6.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில் முக்கோணங்கள் மற்றும் அவற்றின் பல பண்புகளைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்திருக்கிறீர்கள். ஒன்பதாம் வகுப்பில், முக்கோணங்களின் சர்வசமத்தை விரிவாகப் படித்தீர்கள். இரண்டு உருவங்கள் ஒரே வடிவத்தையும் ஒரே அளவையும் கொண்டிருந்தால், அவை சர்வசமமானவை எனக் கூறப்படும் என்பதை நினைவுகூருங்கள். இந்த அத்தியாயத்தில், ஒரே வடிவம் கொண்ட ஆனால் அவசியம் ஒரே அளவு இல்லாத உருவங்களைப் பற்றி நாம் படிப்போம். ஒரே வடிவம் கொண்ட (மற்றும் அவசியம் ஒரே அளவு இல்லாத) இரண்டு உருவங்கள் ஒருவடிவ உருவங்கள் (similar figures) எனப்படும். குறிப்பாக, முக்கோணங்களின் ஒருவடிவத்தைப் பற்றி விவாதித்து, இந்த அறிவைப் பயன்படுத்தி முன்பு கற்ற பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின் எளிய நிரூபணத்தைத் தருவோம்.

மலைகளின் உயரங்கள் (எடுத்துக்காட்டாக எவரெஸ்ட் சிகரம்) அல்லது சில தொலைதூரப் பொருட்களின் (எடுத்துக்காட்டாக நிலவு) தொலைவுகள் எவ்வாறு கண்டறியப்பட்டுள்ளன என்று யூகிக்க முடியுமா? இவை அனைத்தும் அளவிடும் நாடா உதவியுடன் நேரடியாக அளவிடப்பட்டதாக நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? உண்மையில், இந்த உயரங்களும் தொலைவுகளும் அனைத்தும் மறைமுக அளவீடுகளின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்பட்டுள்ளன, இது உருவங்களின் ஒருவடிவத்தின் கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது (எடுத்துக்காட்டு 7, பயிற்சி 6.3 இன் கேள்வி 15 மற்றும் இந்த புத்தகத்தின் அத்தியாயங்கள் 8 மற்றும் 9 ஐப் பார்க்கவும்).

6.2 ஒருவடிவ உருவங்கள்

ஒன்பதாம் வகுப்பில், ஒரே ஆரம் கொண்ட அனைத்து வட்டங்களும் சர்வசமமானவை, ஒரே பக்க நீளம் கொண்ட அனைத்து சதுரங்களும் சர்வசமமானவை மற்றும் ஒரே பக்க நீளம் கொண்ட அனைத்து சமபக்க முக்கோணங்களும் சர்வசமமானவை என்பதை நீங்கள் பார்த்திருக்கிறீர்கள்.

படம். 6.1

இப்போது ஏதேனும் இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) வட்டங்களைக் கவனியுங்கள் [படம் 6.1 (i) ஐப் பார்க்கவும்]. அவை சர்வசமமானவையா? அவை அனைத்தும் ஒரே ஆரத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதால், அவை ஒன்றுக்கொன்று சர்வசமமாக இல்லை. சில சர்வசமமானவை, சில இல்லை என்பதைக் கவனியுங்கள், ஆனால் அவை அனைத்தும் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. எனவே அவை அனைத்தும், நாம் சொல்வது போல், ஒருவடிவ உருவங்கள் ஆகும். இரண்டு ஒருவடிவ உருவங்கள் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், ஆனால் அவசியம் ஒரே அளவு இருக்க வேண்டியதில்லை. எனவே, அனைத்து வட்டங்களும் ஒருவடிவ உருவங்களாகும். இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சதுரங்கள் அல்லது இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சமபக்க முக்கோணங்கள் [படம் 6.1 (ii) மற்றும் (iii) ஐப் பார்க்கவும்] பற்றி என்ன? வட்டங்களின் விஷயத்தில் கவனிக்கப்பட்டதைப் போல, இங்கும் அனைத்து சதுரங்களும் ஒருவடிவ உருவங்களாகவும், அனைத்து சமபக்க முக்கோணங்களும் ஒருவடிவ உருவங்களாகவும் உள்ளன.

மேலே இருந்து, அனைத்து சர்வசம உருவங்களும் ஒருவடிவ உருவங்கள் என்று சொல்லலாம், ஆனால் ஒருவடிவ உருவங்கள் சர்வசமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை.

ஒரு வட்டமும் ஒரு சதுரமும் ஒருவடிவ உருவங்களாக இருக்க முடியுமா? ஒரு முக்கோணமும் ஒரு சதுரமும் ஒருவடிவ உருவங்களாக இருக்க முடியுமா? இந்த கேள்விகளுக்கு உருவங்களைப் பார்த்தே (படம் 6.1 ஐப் பார்க்கவும்) பதிலளிக்க முடியும். இந்த உருவங்கள் ஒருவடிவ உருவங்கள் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது. (ஏன்?)

படம். 6.2

இரு நாற்கரங்கள் $A B C D$ மற்றும் $P Q R S$ (படம் 6.2 ஐப் பார்க்கவும்) பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்? அவை ஒருவடிவ உருவங்களா? இந்த உருவங்கள் ஒருவடிவ உருவங்களாகத் தோன்றுகின்றன, ஆனால் இதைப் பற்றி நிச்சயமாக இருக்க முடியாது. எனவே, உருவங்களின் ஒருவடிவத்திற்கு சில வரையறைகள் இருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த வரையறையின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு உருவங்கள் ஒருவடிவ உருவங்களா இல்லையா என்பதை முடிவு செய்வதற்கான சில விதிகள் இருக்க வேண்டும். இதற்காக, படம் 6.3 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள புகைப்படங்களைப் பார்ப்போம்:

படம். 6.3

அவை ஒரே நினைவுச்சின்னத்தின் (தாஜ்மகால்) புகைப்படங்கள் ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகளில் உள்ளன என்று நீங்கள் உடனடியாகச் சொல்வீர்கள். இந்த மூன்று புகைப்படங்களும் ஒருவடிவ உருவங்கள் என்று சொல்லுவீர்களா? ஆம், அவை ஒருவடிவ உருவங்களே.

ஒரே நபரின் ஒரே அளவிலான இரண்டு புகைப்படங்கள், ஒன்று 10 வயதில் மற்றொன்று 40 வயதில் எடுக்கப்பட்டவை, பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்? இந்த புகைப்படங்கள் ஒருவடிவ உருவங்களா? இந்த புகைப்படங்கள் ஒரே அளவில் உள்ளன, ஆனால் நிச்சயமாக அவை ஒரே வடிவத்தில் இல்லை. எனவே, அவை ஒருவடிவ உருவங்கள் அல்ல.

ஒரே நெகட்டிவிலிருந்து வெவ்வேறு அளவுகளில் புகைப்படங்களை அச்சிடும்போது புகைப்படக் கலைஞர் என்ன செய்கிறார்? முத்திரை அளவு, பாஸ்போர்ட் அளவு மற்றும் அஞ்சல் அட்டை அளவு புகைப்படங்களைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். அவர் பொதுவாக ஒரு சிறிய அளவிலான படச்சுருளில், 35 மிமீ அளவு என்று சொல்லலாம், புகைப்படம் எடுத்து, பின்னர் அதை ஒரு பெரிய அளவில், 45 மிமீ (அல்லது 55 மிமீ) என விரிவுபடுத்துகிறார். எனவே, சிறிய புகைப்படத்தில் (உருவம்) உள்ள எந்த கோட்டுத் துண்டையும் நாம் கருத்தில் கொண்டால், பெரிய புகைப்படத்தில் (உருவம்) அதன் தொடர்புடைய கோட்டுத் துண்டு அந்த கோட்டுத் துண்டின் $\dfrac{45}{35}$ (அல்லது $.\dfrac{55}{35}$) ஆக இருக்கும். இதன் பொருள் சிறிய புகைப்படத்தின் ஒவ்வொரு கோட்டுத் துண்டும் 35:45 (அல்லது 35:55) என்ற விகிதத்தில் பெரிதாக்கப்படுகிறது (அதிகரிக்கப்படுகிறது) என்பதாகும். பெரிய புகைப்படத்தின் ஒவ்வொரு கோட்டுத் துண்டும் 45:35 (அல்லது 55:35) என்ற விகிதத்தில் சுருக்கப்படுகிறது (குறைக்கப்படுகிறது) என்றும் சொல்லலாம். மேலும், வெவ்வேறு அளவுகளில் உள்ள இரண்டு புகைப்படங்களில் எந்த ஜோடி தொடர்புடைய கோட்டுத் துண்டுகளுக்கிடையேயான சாய்வுகளை (அல்லது கோணங்களை) நீங்கள் கருத்தில் கொண்டால், இந்த சாய்வுகள் (அல்லது கோணங்கள்) எப்போதும் சமமாக இருப்பதைக் காண்பீர்கள். இது இரண்டு உருவங்களின், மற்றும் குறிப்பாக இரண்டு பல்கோணங்களின் ஒருவடிவத்தின் சாராம்சமாகும். நாம் கூறுவது:

ஒரே எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட இரண்டு பல்கோணங்கள், (i) அவற்றின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருந்தால் மற்றும் (ii) அவற்றின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் (அல்லது விகிதாச்சாரத்தில்) இருந்தால், ஒருவடிவ உருவங்கள் ஆகும்.

தொடர்புடைய பக்கங்களின் ஒரே விகிதம் பல்கோணங்களுக்கான அளவுக் காரணி (அல்லது பிரதிநிதி பின்னம்) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். உலக வரைபடங்கள் (அதாவது, உலகளாவிய வரைபடங்கள்) மற்றும் ஒரு கட்டிடத்தின் கட்டுமானத்திற்கான நீல அச்சு வரைபடங்கள் பொருத்தமான அளவுக் காரணியைப் பயன்படுத்தி மற்றும் சில மரபுகளைக் கடைப்பிடித்து தயாரிக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம்.

உருவங்களின் ஒருவடிவத்தை மேலும் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள, பின்வரும் செயல்பாட்டைச் செய்வோம்:

செயல்பாடு 1 : உங்கள் வகுப்பறையில் உச்சவரம்பில் ஒரு புள்ளி $O$ இல் ஒரு விளக்கு விளக்கை வைத்து, அதன் கீழே நேரடியாக ஒரு மேசையை வைக்கவும். ஒரு பல்கோணத்தை, ஒரு நாற்கரம் $ABCD$ என்று சொல்லலாம், ஒரு தட்டையான அட்டைத் தாளிலிருந்து வெட்டி, இந்த அட்டைத் தாளை விளக்கு விளக்குக்கும் மேசைக்கும் இடையில் தரைக்கு இணையாக வைக்கவும். பின்னர் ABCD இன் நிழல் மேசையில் விழும். இந்த நிழலின் வெளிவரையை $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ எனக் குறிக்கவும் (படம் 6.4 ஐப் பார்க்கவும்).

நாற்கரம் $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ என்பது நாற்கரம் $ABCD$ இன் ஒரு விரிவாக்கம் (அல்லது பெரிதாக்கம்) என்பதைக் கவனியுங்கள். இது ஒளி நேர்கோட்டில் பரவும் என்ற பண்பு காரணமாகும். $A^{\prime}$, கதிர் $OA, B^{\prime}$ இல் உள்ளது, $OB, C^{\prime}$, கதிர் $O C$ இல் உள்ளது மற்றும் $D^{\prime}$, $O D$ இல் உள்ளது என்பதையும் நீங்கள் கவனிக்கலாம். எனவே, நாற்கரங்கள் $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ மற்றும் $A B C D$ ஒரே வடிவம் கொண்டவை ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகள் கொண்டவை.

படம். 6.4

எனவே, நாற்கரம் $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ என்பது நாற்கரம் $ABCD$ க்கு ஒருவடிவ உருவமாகும். நாற்கரம் $A B C D$ என்பது நாற்கரம் $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ க்கு ஒருவடிவ உருவம் என்றும் சொல்லலாம்.

இங்கே, உச்சி $A^{\prime}$ உச்சி $A$ க்கு ஒத்திருக்கிறது, உச்சி $B^{\prime}$ உச்சி $B$ க்கு ஒத்திருக்கிறது, உச்சி $C^{\prime}$ உச்சி $C$ க்கு ஒத்திருக்கிறது மற்றும் உச்சி $D^{\prime}$ உச்சி D க்கு ஒத்திருக்கிறது என்பதையும் நீங்கள் கவனிக்கலாம். குறியீட்டு முறையில், இந்த ஒத்திசைவுகள் $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ மற்றும் $D^{\prime} \leftrightarrow D$ எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டு நாற்கரங்களின் கோணங்களையும் பக்கங்களையும் உண்மையில் அளவிடுவதன் மூலம், நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்:

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ மற்றும்

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$.

இது மீண்டும் வலியுறுத்துகிறது: ஒரே எண்ணிக்கையிலான பக்கங்களைக் கொண்ட இரண்டு பல்கோணங்கள், (i) அனைத்து தொடர்புடைய கோணங்களும் சமமாக இருந்தால் மற்றும் (ii) அனைத்து தொடர்புடைய பக்கங்களும் ஒரே விகிதத்தில் (அல்லது விகிதாச்சாரத்தில்) இருந்தால், ஒருவடிவ உருவங்கள் ஆகும்.

மேலே இருந்து, படம் 6.5 இல் உள்ள நாற்கரங்கள் $A B C D$ மற்றும் PQRS ஒருவடிவ உருவங்கள் என்பதை நீங்கள் எளிதாகச் சொல்லலாம்.

படம். 6.5

குறிப்பு : ஒரு பல்கோணம் மற்றொரு பல்கோணத்திற்கு ஒருவடிவ உருவமாக இருந்தால், இந்த இரண்டாவது பல்கோணம் மூன்றாவது பல்கோணத்திற்கு ஒருவடிவ உருவமாக இருந்தால், முதல் பல்கோணம் மூன்றாவது பல்கோணத்திற்கு ஒருவடிவ உருவமாகும் என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்.

படம் 6.6 இல் உள்ள இரண்டு நாற்கரங்களில் (ஒரு சதுரம் மற்றும் ஒரு செவ்வகம்), தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருந்தாலும், அவற்றின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் இல்லை என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.

படம். 6.6

எனவே, இரண்டு நாற்கரங்களும் ஒருவடிவ உருவங்கள் அல்ல. இதேபோல், படம் 6.7 இல் உள்ள இரண்டு நாற்கரங்களில் (ஒரு சதுரம் மற்றும் ஒரு சாய்சதுரம்), தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் இருந்தாலும், அவற்றின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இல்லை என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். மீண்டும், இரண்டு பல்கோணங்களும் (நாற்கரங்கள்) ஒருவடிவ உருவங்கள் அல்ல.

படம். 6.7

எனவே, இரண்டு பல்கோணங்களின் ஒருவடிவத்திற்கான மேலே உள்ள இரண்டு நிபந்தனைகளில் (i) மற்றும் (ii) எதுவும் அவை ஒருவடிவ உருவங்களாக இருப்பதற்கு போதுமானதாக இல்லை.

6.3 முக்கோணங்களின் ஒருவடிவம்

இரண்டு முக்கோணங்களின் ஒருவடிவத்தைப் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்?

முக்கோணமும் ஒரு பல்கோணம் என்பதை நீங்கள் நினைவுகூரலாம். எனவே, இரண்டு முக்கோணங்களின் ஒருவடிவத்திற்கான அதே நிபந்தனைகளை நாம் கூறலாம். அதாவது:

இரண்டு முக்கோணங்கள்,

(i) அவற்றின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருந்தால் மற்றும்

(ii) அவற்றின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் (அல்லது விகிதாச்சாரத்தில்) இருந்தால், ஒருவடிவ முக்கோணங்கள் ஆகும்.

இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவை சமகோண முக்கோணங்கள் என அறியப்படுகின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். ஒரு புகழ்பெற்ற கிரேக்க கணிதவியலாளர் தேல்ஸ், இரண்டு சமகோண முக்கோணங்களுடன் தொடர்புடைய ஒரு முக்கியமான உண்மையை பின்வருமாறு வழங்கினார்:

இரண்டு சமகோண முக்கோணங்களில், ஏதேனும் இரண்டு தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதம் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

அதற்காக அவர் அடிப்படை விகிதாச்சாரத் தேற்றம் (இப்போது தேல்ஸ் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது) என்ற முடிவைப் பயன்படுத்தினார் என்று நம்பப்படுகிறது.

அடிப்படை விகிதாச்சாரத் தேற்றத்தைப் புரிந்துகொள்ள, பின்வரும் செயல்பாட்டைச் செய்வோம்:

செயல்பாடு 2 : ஏதேனும் ஒரு கோணம் XAY ஐ வரைந்து, அதன் ஒரு பக்கமான AX இல், P, Q, D, R மற்றும் $B$ போன்ற புள்ளிகளை (ஐந்து புள்ளிகள் என்று சொல்லலாம்) $A P=P Q=Q D=D R=R B$ எனக் குறிக்கவும்.

இப்போது, B வழியாக, பக்கத்தை $AY$, $C$ இல் வெட்டும் எந்தக் கோட்டையும் வரையவும் (படம் 6.9 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 6.9

மேலும், புள்ளி $D$ வழியாக, $BC$ க்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரைந்து $AC$ ஐ $E$ இல் வெட்டவும். உங்கள் கட்டுமானங்களில் இருந்து $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ என்பதைக் கவனிக்கிறீர்களா? $AE$ மற்றும் $EC$ ஐ அளவிடவும். $\dfrac{A E}{E C}$ பற்றி என்ன? $\dfrac{A E}{E C}$ என்பதும் $\dfrac{3}{2}$ க்குச் சமம் என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே, $\triangle ABC, DE \| BC$ மற்றும் $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ இல் இருப்பதை நீங்கள் காணலாம். இது ஒரு தற்செயல் நிகழ்வா? இல்லை, இது பின்வரும் தேற்றத்தின் காரணமாகும் (அடிப்படை விகிதாச்சாரத் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது):

தேற்றம் 6.1: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக ஒரு கோடு வரையப்பட்டு, மற்ற இரு பக்கங்களை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டினால், அந்த இரு பக்கங்களும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன.

நிரூபணம் : ஒரு முக்கோணம் $ABC$ கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் பக்கம் $BC$ க்கு இணையான ஒரு கோடு மற்ற இரு பக்கங்கள் $AB$ மற்றும் $AC$ ஐ முறையே $D$ மற்றும் $E$ இல் வெட்டுகிறது (படம் 6.10 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 6.10

$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ என நிரூபிக்க வேண்டும்.

$BE$ மற்றும் $CD$ ஐ இணைத்து, பின்னர் $DM \perp AC$ மற்றும் $EN \perp AB$ ஐ வரைவோம்.

இப்போது, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ இன் பரப்பு = (1/2) × அடிப்பக்கம் $\times$ × உயரம் $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$.

ஒன்பதாம் வகுப்பிலிருந்து நினைவுகூருங்கள், $\triangle ADE$ இன் பரப்பு $ar(ADE)$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

$ \text{எனவே,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{அதேபோல்,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ மற்றும் } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

எனவே, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

மற்றும் $$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

$\triangle BDE$ மற்றும் $DEC$ ஆகியவை ஒரே அடிப்பக்கம் $DE$ மீதும், ஒரே இணைகோடுகள் $BC$ மற்றும் $DE$ க்கிடையேயும் உள்ளன என்பதைக் கவனியுங்கள்.

$$ \begin{equation*} \text{So,}\quad \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\operatorname{ar}(\mathrm{DEC}) \tag{3} \end{equation*} $$

எனவே, (1), (2) மற்றும் (3) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது:

$ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} $

இந்த தேற்றத்தின் மறுதலை (converse) உண்மையா? (மறுதலையின் பொருளுக்கு, பின் இணைப்பு 1 ஐப் பார்க்கவும்). இதைச் சோதிக்க, பின்வரும் செயல்பாட்டைச் செய்வோம்:

செயல்பாடு 3 : உங்கள் குறிப்பேட்டில் ஒரு கோணம் XAY ஐ வரைந்து, கதிர் $AX$ மீது, $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ மற்றும் $B$ போன்ற புள்ளிகளை $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$ எனக் குறிக்கவும்.

அதேபோல், கதிர் AY மீது, $C_1, C_2, C_3, C_4$ மற்றும் $C$ போன்ற புள்ளிகளை $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$ எனக் குறிக்கவும். பின்னர் $B_1 C_1$ மற்றும் $BC$ ஐ இணைக்கவும் (படம் 6.11 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 6.11

$\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ என்பதைக் கவனியுங்கள் (ஒவ்வொன்றும் $\dfrac{1}{4}$ க்குச் சமம்)

கோடுகள் $B_1 C_1$ மற்றும் $BC$ ஒன்றுக்கொன்று இணையாக உள்ளன, அதாவது,

$$ B_1 C_1 \| BC \tag{1} $$

அதேபோல், $B_2 C_2, B_3 C_3$ மற்றும் $B_4 C_4$ ஐ இணைப்பதன் மூலம், நீங்கள் பார்க்கலாம்:

$$\dfrac{AB_2}{B_2 B}=\dfrac{AC_2}{C_2 C}(=\dfrac{2}{3}) \text{ and } B_2 C_2 \| BC \tag{2} $$

$$ \dfrac{AB_3}{B_3 B}=\dfrac{AC_3}{C_3 C}(=\dfrac{3}{2}) \text{ and } B_3 C_3 \| BC \tag{3} $$

$$ \dfrac{AB_4}{B_4 B}=\dfrac{AC_4}{C_4 C}(=\dfrac{4}{1}) \text{ and } B_4 C_4 \| BC \tag{4}$$

(1), (2), (3) மற்றும் (4) இலிருந்து, ஒரு கோடு ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே விகிதத்தில் பிரித்தால், அந்தக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம்.

வெவ்வேறு அளவீடுகளின் XAY கோணத்தை வரைந்து, AX மற்றும் AY பக்கங்களில் எத்தனை சம பாகங்களை எடுத்துக் கொண்டாலும் இந்தச் செயல்பாட்டை நீங்கள் மீண்டும் செய்யலாம். ஒவ்வொரு முறையும், நீங்கள் அதே முடிவிற்கு வருவீர்கள். எனவே, நாம் பின்வரும் தேற்றத்தைப் பெறுகிறோம், இது தேற்றம் 6.1 இன் மறுதலையாகும்:

தேற்றம் 6.2: ஒரு கோடு ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் இரு பக்கங்களையும் ஒரே விகிதத்தில் பிரித்தால், அந்தக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக இருக்கும்.

இந்த தேற்றத்தை, $DE$ என்ற கோடு $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ என இருக்கும்படி எடுத்துக்கொண்டு, $DE$ என்பது $BC$ க்கு இணையாக இல்லை என்று கருதி நிரூபிக்க முடியும் (படம் 6.12 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 6.12

$DE$ என்பது $BC$ க்கு இணையாக இல்லாவிட்டால், $DE^{\prime}$ என்ற கோட்டை $BC$ க்கு இணையாக வரையவும்.

$ \text{எனவே,}\quad \dfrac{A D}{D B}=\dfrac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad \text{ (ஏன்?) } $

$ \text{எனவே,}\quad \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AE^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad(\text{ ஏன்?) } $

மேலே உள்ள இரு பக்கங்களிலும் 1 ஐக் கூட்டினால், $E$ மற்றும் $E^{\prime}$ ஒத்துப்போக வேண்டும் என்பதை நீங்கள் காணலாம். (ஏன்?)

மேலே உள்ள தேற்றங்களின் பயன்பாட்டை விளக்க சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : ஒரு கோடு $A B$ மற்றும் $A C$ பக்கங்களை ஒரு முக்கோணம் $\triangle A B C$ இல் முறையே $D$ மற்றும் $E$ இல் வெட்டி, $B C$ க்கு இணையாக இருந்தால், $\dfrac{A D}{A B}=\dfrac{A E}{A C}$ என நிரூபிக்கவும் (படம் 6.13 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 6.13

தீர்வு : $DE \| BC \quad \quad \quad $ கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

எனவே, $$\quad \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\tag{ Theorem 6.1 }$$

அல்லது, $\quad \dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$

அல்லது, $\quad \dfrac{DB}{AD}+1=\dfrac{EC}{AE}+1$

அல்லது,

அல்லது, $\quad \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE} $

எனவே, $\quad \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC} $

எடுத்துக்காட்டு 2 : ABCD என்பது ஒரு சரிவகம், இதில் $AB \| DC$. $E$ மற்றும் $F$ என்பவை இணையற்ற பக்கங்கள் $A D$ மற்றும் $B C$ மீது உள்ள புள்ளிகள், அதாவது $E F$ என்பது $A B$ க்கு இணையாக உள்ளது (படம் 6.14 ஐப் பார்க்கவும்). $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$ எனக் காட்டுக.

படம். 6.14

தீர்வு : $EF$ ஐ வெட்டும் வகையில் AC ஐ இணைப்போம், அது $G$ இல் வெட்டட்டும் (படம் 6.15 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 6.15

$AB \| DC$ மற்றும் $EF \| AB$ (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

எனவே, $EF \| DC$ (ஒரே கோட்டிற்கு இணையான கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை)

இப்போது, $\triangle ADC$ இல்,

EG $\|$ DC (EF $\|$ DC என்பதால்)

எனவே, $$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AG}{GC} \quad (Theorem 6.1) \tag{1}$$

அதேபோல், $\triangle CAB$ இலிருந்து,

$$ \dfrac{CG}{AG}=\dfrac{CF}{BF} $$

$$ \text{i.e.,}\quad \dfrac{AG}{GC}=\dfrac{BF}{FC} \tag{2} $$

எனவே, (1) மற்றும் (2) இலிருந்து,

$$ \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC} $$

எடுத்துக்காட்டு 3 : படம் 6.16 இல், $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ மற்றும் $\angle PST=$ $\angle PRQ$. $PQR$ என்பது ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் என நிரூபிக்கவும்.

படம். 6.16

தீர்வு : $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

$$\text{So,}\quad \text{ST } \| \text{ QR} \tag{Theorem 6.2}$$

(தேற்றம் 6.2)

$$ \text{Therefore,}\quad \angle PST=\angle PQR \quad \text{ (Corresponding angles) } \tag{1} $$

மேலும், கொடுக்கப்பட்ட