6.1 ಪರಿಚಯ

ನಿಮಗೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಿಂದ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ. ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸರ್ವಸಮತೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಎರಡು ಆಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರ್ವಸಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ (ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ) ಎರಡು ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಮರೂಪಿ ಆಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರ್ವತಗಳ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೌಂಟ್ ಎವರೆಸ್ಟ್) ಎತ್ತರಗಳು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ದೂರದ ವಸ್ತುಗಳ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಂದ್ರ) ದೂರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? ಇವುಗಳನ್ನು ಅಳತೆ ಟೇಪ್ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಎತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳನ್ನು ಪರೋಕ್ಷ ಅಳತೆಗಳ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಕೃತಿಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆ 7, ಅಭ್ಯಾಸ 6.3 ರ Q. 15 ಮತ್ತು ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಅಧ್ಯಾಯ 8 ಮತ್ತು 9 ನೋಡಿ).

6.2 ಸಮರೂಪಿ ಆಕೃತಿಗಳು

ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ನೋಡಿದಂತೆ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವೃತ್ತಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 6.1

ಈಗ ಯಾವುದೇ ಎರಡು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು) ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 6.1 (i) ನೋಡಿ]. ಅವು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆಯೇ? ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕಾರಣ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೆಲ್ಲವೂ ನಾವು ಸಮರೂಪಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವವು. ಎರಡು ಸಮರೂಪಿ ಆಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ವೃತ್ತಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ. ಎರಡು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು) ಚೌಕಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು) ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು [ಚಿತ್ರ 6.1 (ii) ಮತ್ತು (iii) ನೋಡಿ]? ವೃತ್ತಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿಯೂ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸರ್ವಸಮ ಆಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಸಮರೂಪಿ ಆಕೃತಿಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಒಂದು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಒಂದು ಚೌಕ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಬಹುದೇ? ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಒಂದು ಚೌಕ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಬಹುದೇ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದರಿಂದಲೇ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 6.1 ನೋಡಿ). ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಆಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿಲ್ಲ. (ಏಕೆ?)

ಚಿತ್ರ 6.2

ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾದ $A B C D$ ಮತ್ತು $P Q R S$ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ (ಚಿತ್ರ 6.2 ನೋಡಿ)? ಅವು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆಯೇ? ಈ ಆಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಾವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಆಕೃತಿಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಆಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 6.3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಚಿತ್ರ 6.3

ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಅವು ಒಂದೇ ಸ್ಮಾರಕದ (ತಾಜ್ ಮಹಲ್) ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ. ಮೂರು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಾ? ಹೌದು, ಅವು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ.

ಒಂದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಒಂದು 10 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು 40 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? ಈ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆಯೇ? ಈ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿವೆ ಆದರೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅವು ಒಂದೇ ಆಕಾರದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿಲ್ಲ.

ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಾರ್ತಿಯು ಒಂದೇ ನೆಗೆಟಿವ್ನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರಗಳ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸುವಾಗ ಏನು ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ? ನೀವು ಸ್ಟಾಂಪ್ ಗಾತ್ರ, ಪಾಸ್ಪೋರ್ಟ್ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಪೋಸ್ಟ್ಕಾರ್ಡ್ ಗಾತ್ರದ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿರಬೇಕು. ಅವಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಗಾತ್ರದ ಫಿಲ್ಮ್ನಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 35 ಮಿಮೀ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ, ಛಾಯಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಂತರ ಅದನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 45 ಮಿಮೀ (ಅಥವಾ 55 ಮಿಮೀ) ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಛಾಯಾಚಿತ್ರದ (ಆಕೃತಿ) ಯಾವುದೇ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಛಾಯಾಚಿತ್ರದ (ಆಕೃತಿ) ಅದರ ಅನುರೂಪ ರೇಖಾಖಂಡವು ಆ ರೇಖಾಖಂಡದ $\dfrac{45}{35}$ (ಅಥವಾ $.\dfrac{55}{35}$) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಚಿಕ್ಕ ಛಾಯಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು 35:45 (ಅಥವಾ 35:55) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎಂದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖಾಖಂಡವು ದೊಡ್ಡ ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ 45:35 (ಅಥವಾ 55:35) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕುಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎಂದೂ ಹೇಳಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರಗಳ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅನುರೂಪ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ನಡುವಿನ ಓರೆಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೋನಗಳನ್ನು) ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಈ ಓರೆಗಳು (ಅಥವಾ ಕೋನಗಳು) ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಇದು ಎರಡು ಆಕೃತಿಗಳ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, (i) ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (ii) ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಇದ್ದರೆ.

ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳ ಒಂದೇ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣ ಅಂಶ (ಅಥವಾ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಿಶ್ವ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಅಂದರೆ, ಜಾಗತಿಕ ನಕ್ಷೆಗಳು) ಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ನೀಲನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕೇಳಿರಬೇಕು.

ಆಕೃತಿಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಚಟುವಟಿಕೆ 1 : ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಚಾವಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು $O$ ನಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಅನ್ನು ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನೇರ ಕೆಳಗೆ ಮೇಜನ್ನು ಇರಿಸಿ. ಒಂದು ಸಮತಲ ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ನಿಂದ ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$, ಕತ್ತರಿಸಿ ಈ ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ಬಲ್ಬ್ ಮತ್ತು ಮೇಜಿನ ನಡುವೆ ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಇರಿಸಿ. ನಂತರ ABCD ಯ ಛಾಯೆಯು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಈ ಛಾಯೆಯ ರೂಪರೇಖೆಯನ್ನು $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 6.4 ನೋಡಿ).

ಚತುರ್ಭುಜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ನ ವಿಸ್ತರಣೆ (ಅಥವಾ ವರ್ಧನೆ) ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಬೆಳಕು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಬೆಳಕಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. $A^{\prime}$ ಕಿರಣ $OA, B^{\prime}$ ಮೇಲೆ ಇದೆ, $OB, C^{\prime}$ ಕಿರಣ $O C$ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಮತ್ತು $D^{\prime}$ $O D$ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜಗಳು $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ಮತ್ತು $A B C D$ ಒಂದೇ ಆಕಾರದ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರದವು.

ಚಿತ್ರ 6.4

ಆದ್ದರಿಂದ, ಚತುರ್ಭುಜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ಗೆ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ $A B C D$ ಚತುರ್ಭುಜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ಗೆ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದೂ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ, ಶೃಂಗ $A^{\prime}$ ಶೃಂಗ $A$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಶೃಂಗ $B^{\prime}$ ಶೃಂಗ $B$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಶೃಂಗ $C^{\prime}$ ಶೃಂಗ $C$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶೃಂಗ $D^{\prime}$ ಶೃಂಗ D ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೇತಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಈ ಅನುರೂಪಗಳನ್ನು $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ ಮತ್ತು $D^{\prime} \leftrightarrow D$ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ ಮತ್ತು

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$.

ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ: ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, (i) ಎಲ್ಲಾ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (ii) ಎಲ್ಲಾ ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಇದ್ದರೆ.

ಮೇಲಿನಿಂದ, ಚಿತ್ರ 6.5 ರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು $A B C D$ ಮತ್ತು PQRS ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 6.5

ಟಿಪ್ಪಣಿ: ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡನೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಮೂರನೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಮೂರನೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 6.6 ರ ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ (ಒಂದು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಯತ), ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 6.6

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಚಿತ್ರ 6.7 ರ ಎರಡು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ (ಒಂದು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಚತುರ್ಭುಜ), ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೆ, ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು (ಚತುರ್ಭುಜಗಳು) ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 6.7

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ (i) ಮತ್ತು (ii) ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಅವುಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

6.3 ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮರೂಪತೆ

ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

ತ್ರಿಕೋನವೂ ಸಹ ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮರೂಪತೆಗೆ ನಾವು ಅದೇ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂದರೆ:

ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, (i) ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (ii) ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ) ಇದ್ದರೆ.

ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಕೋನೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಬ್ಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಥೇಲ್ಸ್ ಎರಡು ಸಮಕೋನೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಹೀಗಿದೆ:

ಎರಡು ಸಮಕೋನೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುರೂಪ ಬದಿಗಳ ಅನುಪಾತ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅವರು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲ ಅನುಪಾತಿಕತಾ ಪ್ರಮೇಯ (ಈಗ ಥೇಲ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಅನುಪಾತಿಕತಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಚಟುವಟಿಕೆ 2 : ಯಾವುದೇ ಕೋನ XAY ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಭುಜ AX ಮೇಲೆ, P, Q, D, R ಮತ್ತು $B$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $A P=P Q=Q D=D R=R B$ ಆಗುವಂತೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಈಗ, B ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆದು, ಭುಜ $AY$ ಅನ್ನು $C$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 6.9 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 6.9

ಅಲ್ಲದೆ, ಬಿಂದು $D$ ಮೂಲಕ, $BC$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆದು $AC$ ಅನ್ನು $E$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿ. ನಿಮ್ಮ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಂದ $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ? $AE$ ಮತ್ತು $EC$ ಅಳೆಯಿರಿ. $\dfrac{A E}{E C}$ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? $\dfrac{A E}{E C}$ ಸಹ $\dfrac{3}{2}$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು $\triangle ABC, DE \| BC$ ಮತ್ತು $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ ರಲ್ಲಿ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ಯಾವುದೇ ಕಾಕತಾಳೀಯವೇ? ಇಲ್ಲ, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (ಮೂಲ ಅನುಪಾತಿಕತಾ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ):

ಪ್ರಮೇಯ 6.1: ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆದು ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವಾಗುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ: ನಮಗೆ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ $BC$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯು ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳಾದ $AB$ ಮತ್ತು $AC$ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $D$ ಮತ್ತು $E$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 6.10 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 6.10

$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

$BE$ ಮತ್ತು $CD$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ನಂತರ $DM \perp AC$ ಮತ್ತು $EN \perp AB$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ.

ಈಗ, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2) × ಪಾದ × ಎತ್ತರ.

ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, $\triangle ADE$ ರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು $ar(ADE)$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$ \text{ಆದ್ದರಿಂದ,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{ಅಂತೆಯೇ,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ ಮತ್ತು } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

ಮತ್ತು $$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

$\triangle BDE$ ಮತ್ತು $DEC$ ಒಂದೇ ಪಾದ $DE$ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾದ $BC$ ಮತ್ತು $DE$ ನಡುವೆ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

$$ \begin{equation*} \text{So,}\quad \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\operatorname{ar}(\mathrm{DEC}) \tag{3} \end{equation*} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, (1), (2) ಮತ್ತು (3) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} $

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮವೂ ಸಹ ಸತ್ಯವೇ (ವಿಲೋಮದ ಅರ್ಥಕ್ಕಾಗಿ, ಪರಿಶಿಷ್ಟ 1 ನೋಡಿ)? ಇದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಚಟುವಟಿಕೆ 3 : ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನ XAY ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕಿರಣ $AX$ ಮೇಲೆ, $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ ಮತ್ತು $B$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$ ಆಗುವಂತೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಅಂತೆಯೇ, ಕಿರಣ AY ಮೇಲೆ, $C_1, C_2, C_3, C_4$ ಮತ್ತು $C$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$ ಆಗುವಂತೆ ಗುರುತಿಸಿ. ನಂತರ $B_1 C_1$ ಮತ್ತು $BC$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 6.11 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 6.11

$\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $\dfrac{1}{4}$ ಗೆ ಸಮಾನ)

ರೇಖೆಗಳು $B_1 C_1$ ಮತ್ತು $BC$ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ,

$$ B_1 C_1 \| BC \tag{1} $$

ಅಂತೆಯೇ, $B_2 C_2, B_3 C_3$ ಮತ್ತು $B_4 C_4$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು:

$$\dfrac{AB_2}{B_2 B}=\dfrac{AC_2}{C_2 C}(=\dfrac{2}{3}) \text{ and } B_2 C_2 \| BC \tag{2} $$

$$ \dfrac{AB_3}{B_3 B}=\dfrac{AC_3}{C_3 C}(=\dfrac{3}{2}) \text{ and } B_3 C_3 \| BC \tag{3} $$

$$ \dfrac{AB_4}{B_4 B}=\dfrac{AC_4}{C_4 C}(=\dfrac{4}{1}) \text{ and } B_4 C_4 \| BC \tag{4}$$

(1), (2), (3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ, ಒಂದು ರೇಖೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಆ ರೇಖೆಯು ಮೂರನೇ ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ಅಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಕೋನ XAY ಅನ್ನು ಎಳೆದು ಮತ್ತು ಭುಜಗಳು AX ಮತ್ತು AY ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ, ನೀವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ರ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 6.2: ಒಂದು ರೇಖೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಆ ರೇಖೆಯು ಮೂರನೇ ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು $DE$ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಮತ್ತು $DE$ ರೇಖೆಯು $BC$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 6.12 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 6.12