6.1 भूमिका

आप अपने पिछली कक्षाओं से त्रिभुजों और उनके कई गुणों से परिचित हैं। कक्षा IX में, आपने त्रिभुजों की सर्वांगसमता का विस्तार से अध्ययन किया है। याद कीजिए कि दो आकृतियाँ सर्वांगसम कहलाती हैं, यदि उनका आकार समान हो और उनका आकार समान हो। इस अध्याय में, हम उन आकृतियों के बारे में अध्ययन करेंगे जिनका आकार समान होता है परंतु आवश्यक नहीं कि उनका आकार भी समान हो। समान आकार वाली (और आवश्यक नहीं कि समान आकार वाली) दो आकृतियों को समरूप आकृतियाँ कहा जाता है। विशेष रूप से, हम त्रिभुजों की समरूपता पर चर्चा करेंगे और इस ज्ञान को पहले सीखे गए पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल प्रमाण देने में लागू करेंगे।

क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि पहाड़ों (जैसे माउंट एवरेस्ट) की ऊँचाइयाँ या कुछ लंबी दूरी की वस्तुओं (जैसे चंद्रमा) की दूरियाँ कैसे ज्ञात की गई हैं? क्या आपको लगता है कि इन्हें मापने वाले टेप की सहायता से सीधे मापा गया है? वास्तव में, ये सभी ऊँचाइयाँ और दूरियाँ अप्रत्यक्ष मापन के विचार का उपयोग करके ज्ञात की गई हैं, जो आकृतियों की समरूपता के सिद्धांत पर आधारित है (उदाहरण 7, प्रश्नावली 6.3 का प्रश्न 15 और इस पुस्तक के अध्याय 8 और 9 भी देखें)।

6.2 समरूप आकृतियाँ

कक्षा IX में, आपने देखा है कि समान त्रिज्या वाले सभी वृत्त सर्वांगसम होते हैं, समान भुजा लंबाई वाले सभी वर्ग सर्वांगसम होते हैं और समान भुजा लंबाई वाले सभी समबाहु त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

चित्र 6.1

अब किन्हीं दो (या अधिक) वृत्तों पर विचार कीजिए [चित्र 6.1 (i) देखें]। क्या वे सर्वांगसम हैं? चूँकि उन सभी की त्रिज्या समान नहीं है, वे एक दूसरे के सर्वांगसम नहीं हैं। ध्यान दें कि कुछ सर्वांगसम हैं और कुछ नहीं हैं, लेकिन उन सभी का आकार समान है। इसलिए वे सभी, जैसा कि हम कहते हैं, समरूप हैं। दो समरूप आकृतियों का आकार समान होता है परंतु आवश्यक नहीं कि आकार भी समान हो। इसलिए, सभी वृत्त समरूप होते हैं। दो (या अधिक) वर्गों या दो (या अधिक) समबाहु त्रिभुजों के बारे में क्या कहेंगे [चित्र 6.1 (ii) और (iii) देखें]? जैसा कि वृत्तों के मामले में देखा गया, यहाँ भी सभी वर्ग समरूप हैं और सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं।

उपरोक्त से, हम कह सकते हैं कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं लेकिन समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।

क्या एक वृत्त और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? क्या एक त्रिभुज और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? इन प्रश्नों का उत्तर केवल आकृतियों को देखकर दिया जा सकता है (चित्र 6.1 देखें)। स्पष्टतः ये आकृतियाँ समरूप नहीं हैं। (क्यों?)

चित्र 6.2

आप दो चतुर्भुजों $A B C D$ और $P Q R S$ के बारे में क्या कह सकते हैं (चित्र 6.2 देखें)? क्या वे समरूप हैं? ये आकृतियाँ समरूप प्रतीत होती हैं लेकिन हम इसके बारे में निश्चित नहीं हो सकते। इसलिए, हमारे पास आकृतियों की समरूपता की कुछ परिभाषा होनी चाहिए और इस परिभाषा के आधार पर कुछ नियम यह तय करने के लिए कि दी गई दो आकृतियाँ समरूप हैं या नहीं। इसके लिए, आइए चित्र 6.3 में दी गई तस्वीरों को देखें:

चित्र 6.3

आप तुरंत कहेंगे कि वे एक ही स्मारक (ताजमहल) की तस्वीरें हैं लेकिन अलग-अलग आकार की हैं। क्या आप कहेंगे कि तीनों तस्वीरें समरूप हैं? हाँ, वे हैं।

एक ही व्यक्ति की समान आकार की दो तस्वीरों के बारे में आप क्या कह सकते हैं, एक 10 वर्ष की आयु में और दूसरी 40 वर्ष की आयु में? क्या ये तस्वीरें समरूप हैं? ये तस्वीरें समान आकार की हैं लेकिन निश्चित रूप से उनका आकार समान नहीं है। इसलिए, वे समरूप नहीं हैं।

जब एक फोटोग्राफर एक ही नेगेटिव से अलग-अलग आकार की तस्वीरें छापती है तो वह क्या करती है? आपने स्टैंप साइज, पासपोर्ट साइज और पोस्टकार्ड साइज की तस्वीरों के बारे में सुना होगा। वह आमतौर पर एक छोटे आकार की फिल्म पर, मान लीजिए 35 मिमी आकार की, तस्वीर लेती है और फिर उसे एक बड़े आकार में, मान लीजिए 45 मिमी (या 55 मिमी) में बढ़ा देती है। इस प्रकार, यदि हम छोटी तस्वीर (आकृति) में किसी रेखाखंड पर विचार करते हैं, तो बड़ी तस्वीर (आकृति) में इसका संगत रेखाखंड उस रेखाखंड का $\dfrac{45}{35}$ (या $.\dfrac{55}{35}$) होगा। इसका वास्तव में अर्थ है कि छोटी तस्वीर का प्रत्येक रेखाखंड अनुपात 35:45 (या 35:55) में बढ़ाया (बढ़ा हुआ) गया है। यह भी कहा जा सकता है कि बड़ी तस्वीर का प्रत्येक रेखाखंड अनुपात 45:35 (या 55:35) में घटाया (घटा हुआ) गया है। इसके अलावा, यदि आप अलग-अलग आकार की दो तस्वीरों में किसी भी जोड़ी के संगत रेखाखंडों के बीच झुकाव (या कोण) पर विचार करते हैं, तो आप देखेंगे कि ये झुकाव (या कोण) हमेशा बराबर होते हैं। यह दो आकृतियों और विशेष रूप से दो बहुभुजों की समरूपता का सार है। हम कहते हैं कि:

समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में हों।

ध्यान दें कि संगत भुजाओं के समान अनुपात को बहुभुजों के लिए स्केल फैक्टर (या प्रतिनिधि भिन्न) के रूप में जाना जाता है। आपने सुना होगा कि विश्व मानचित्र (यानी वैश्विक मानचित्र) और एक इमारत के निर्माण के लिए ब्लू प्रिंट एक उपयुक्त स्केल फैक्टर और कुछ निश्चित परंपराओं का पालन करते हुए तैयार किए जाते हैं।

आकृतियों की समरूपता को और स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए निम्नलिखित गतिविधि करते हैं:

गतिविधि 1 : अपनी कक्षा में छत पर एक बिंदु $O$ पर एक जलता हुआ बल्ब रखें और उसके ठीक नीचे एक मेज रखें। आइए एक समतल कार्डबोर्ड से एक बहुभुज, मान लीजिए एक चतुर्भुज $ABCD$, काटें और इस कार्डबोर्ड को जलते हुए बल्ब और मेज के बीच जमीन के समानांतर रखें। तब ABCD की एक छाया मेज पर पड़ती है। इस छाया की रूपरेखा को $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ के रूप में चिह्नित करें (चित्र 6.4 देखें)।

ध्यान दें कि चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, चतुर्भुज $ABCD$ का एक विस्तार (या आवर्धन) है। यह प्रकाश के उस गुण के कारण है कि प्रकाश सीधी रेखा में चलता है। आप यह भी ध्यान दें कि $A^{\prime}$ किरण $OA, B^{\prime}$ पर स्थित है, $OB, C^{\prime}$ किरण $O C$ पर स्थित है और $D^{\prime}$ $O D$ पर स्थित है। इस प्रकार, चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ और $A B C D$ समान आकार के हैं लेकिन अलग-अलग आकार के हैं।

चित्र 6.4

इसलिए, चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, चतुर्भुज $ABCD$ के समरूप है। हम यह भी कह सकते हैं कि चतुर्भुज $A B C D$, चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ के समरूप है।

यहाँ, आप यह भी ध्यान दे सकते हैं कि शीर्ष $A^{\prime}$, शीर्ष $A$ के संगत है, शीर्ष $B^{\prime}$, शीर्ष $B$ के संगत है, शीर्ष $C^{\prime}$, शीर्ष $C$ के संगत है और शीर्ष $D^{\prime}$, शीर्ष D के संगत है। प्रतीकात्मक रूप से, इन संगतताओं को $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ और $D^{\prime} \leftrightarrow D$ के रूप में दर्शाया जाता है। वास्तव में दोनों चतुर्भुजों के कोणों और भुजाओं को मापकर, आप सत्यापित कर सकते हैं कि

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ और

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$।

यह फिर से इस बात पर जोर देता है कि समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) सभी संगत कोण बराबर हों और (ii) सभी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में हों।

उपरोक्त से, आप आसानी से कह सकते हैं कि चित्र 6.5 के चतुर्भुज $A B C D$ और PQRS समरूप हैं।

चित्र 6.5

टिप्पणी: आप सत्यापित कर सकते हैं कि यदि एक बहुभुज दूसरे बहुभुज के समरूप है और यह दूसरा बहुभुज तीसरे बहुभुज के समरूप है, तो पहला बहुभुज तीसरे बहुभुज के समरूप है।

आप ध्यान दें कि चित्र 6.6 के दो चतुर्भुजों (एक वर्ग और एक आयत) में, संगत कोण बराबर हैं, लेकिन उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में नहीं हैं।

चित्र 6.6

इसलिए, दोनों चतुर्भुज समरूप नहीं हैं। इसी तरह, आप ध्यान दे सकते हैं कि चित्र 6.7 के दो चतुर्भुजों (एक वर्ग और एक समचतुर्भुज) में, संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं, लेकिन उनके संगत कोण बराबर नहीं हैं। फिर से, दोनों बहुभुज (चतुर्भुज) समरूप नहीं हैं।

चित्र 6.7

इस प्रकार, दो बहुभुजों की समरूपता के उपरोक्त दोनों शर्तों (i) और (ii) में से कोई भी उनके समरूप होने के लिए पर्याप्त नहीं है।

6.3 त्रिभुजों की समरूपता

दो त्रिभुजों की समरूपता के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

आपको याद होगा कि त्रिभुज भी एक बहुभुज होता है। इसलिए, हम दो त्रिभुजों की समरूपता के लिए समान शर्तें बता सकते हैं। अर्थात्:

दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण बराबर हों और

(ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में हों।

ध्यान दें कि यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो उन्हें समकोणिक त्रिभुज के रूप में जाना जाता है। एक प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ थेल्स ने दो समकोणिक त्रिभुजों से संबंधित एक महत्वपूर्ण सत्य दिया है जो इस प्रकार है:

दो समकोणिक त्रिभुजों में किन्हीं दो संगत भुजाओं का अनुपात हमेशा समान होता है।

ऐसा माना जाता है कि उन्होंने इसके लिए एक परिणाम का उपयोग किया था जिसे मूल आनुपातिकता प्रमेय (अब थेल्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है) कहा जाता है।

मूल आनुपातिकता प्रमेय को समझने के लिए, आइए निम्नलिखित गतिविधि करते हैं:

गतिविधि 2 : कोई कोण XAY खींचिए और इसकी एक भुजा AX पर, बिंदु (मान लीजिए पाँच बिंदु) P, Q, D, R और $B$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $A P=P Q=Q D=D R=R B$।

अब, B से होकर, कोई रेखा खींचिए जो भुजा $AY$ को $C$ पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र 6.9 देखें)।

चित्र 6.9

साथ ही, बिंदु $D$ से होकर, $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है। क्या आप अपनी रचनाओं से यह देखते हैं कि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$? $AE$ और $EC$ को मापिए। $\dfrac{A E}{E C}$ के बारे में क्या? देखिए कि $\dfrac{A E}{E C}$ भी $\dfrac{3}{2}$ के बराबर है। इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि $\triangle ABC, DE \| BC$ और $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ में। क्या यह एक संयोग है? नहीं, यह निम्नलिखित प्रमेय (मूल आनुपातिकता प्रमेय के रूप में जाना जाता है) के कारण है:

प्रमेय 6.1: यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

प्रमाण: हमें एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया है जिसमें भुजा $BC$ के समांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र 6.10 देखें)।

चित्र 6.10

हमें यह सिद्ध करना है कि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$।

आइए हम $BE$ और $CD$ को मिलाएँ और फिर $DM \perp AC$ और $EN \perp AB$ खींचें।

अब, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार $\times$ × ऊँचाई $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$।

कक्षा IX से याद कीजिए, कि $\triangle ADE$ के क्षेत्रफल को $ar(ADE)$ से निरूपित किया जाता है।

$ \text{अतः,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{इसी प्रकार,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ और } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

इसलिए, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

और $$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

ध्यान दें कि $\triangle BDE$ और $DEC$ एक ही आधार $DE$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $BC$ और $DE$ के बीच स्थित हैं।

$$ \begin{equation*} \text{So,}\quad \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\operatorname{ar}(\mathrm{DEC}) \tag{3} \end{equation*} $$

इसलिए, (1), (2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है:

$ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} $

क्या इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है (विलोम के अर्थ के लिए, परिशिष्ट 1 देखें)? इसे जाँचने के लिए, आइए निम्नलिखित गतिविधि करते हैं:

गतिविधि 3 : अपनी नोटबुक पर एक कोण XAY खींचिए और किरण $AX$ पर, बिंदु $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ और $B$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$।

इसी प्रकार, किरण AY पर, बिंदु $C_1, C_2, C_3, C_4$ और $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$। फिर $B_1 C_1$ और $BC$ को मिलाइए (चित्र 6.11 देखें)।

चित्र 6.11

ध्यान दें कि $\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ (प्रत्येक $\dfrac{1}{4}$ के बराबर)

आप यह भी देख सकते हैं कि रेखाएँ $B_1 C_1$ और $BC$ एक दूसरे के समांतर हैं, अर्थात्,

$$ B_1 C_1 \| BC \tag{1} $$

इसी तरह, $B_2 C_2, B_3 C_3$ और $B_4 C_4$ को मिलाकर, आप देख सकते हैं कि:

$$\dfrac{AB_2}{B_2 B}=\dfrac{AC_2}{C_2 C}(=\dfrac{2}{3}) \text{ and } B_2 C_2 \| BC \tag{2} $$

$$ \dfrac{AB_3}{B_3 B}=\dfrac{AC_3}{C_3 C}(=\dfrac{3}{2}) \text{ and } B_3 C_3 \| BC \tag{3} $$

$$ \dfrac{AB_4}{B_4 B}=\dfrac{AC_4}{C_4 C}(=\dfrac{4}{1}) \text{ and } B_4 C_4 \| BC \tag{4}$$

(1), (2), (3) और (4) से, यह देखा जा सकता है कि यदि एक रेखा एक त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

आप इस गतिविधि को अलग-अलग माप के कोण XAY खींचकर और भुजाओं AX और AY पर समान भागों की किसी भी संख्या को लेकर दोहरा सकते हैं। हर बार, आप एक ही परिणाम पर पहुँचेंगे। इस प्रकार, हम निम्नलिखित प्रमेय प्राप्त करते हैं, जो प्रमेय 6.1 का विलोम है:

प्रमेय 6.2: यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

इस प्रमेय को एक रेखा $DE$ इस प्रकार लेकर सिद्ध किया जा सकता है कि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ और यह मानकर कि $DE$, $BC$ के समांतर नहीं है (चित्र 6.12 देखें)।

चित्र 6.12

यदि $DE$, $BC$ के समांतर नहीं है, तो एक रेखा $DE^{\prime}$ खींचिए जो $BC$ के समांतर हो।

$ \text{अतः,}\quad \dfrac{A D}{D B}=\dfrac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad \text{ (क्यों?) } $

$ \text{इसलिए,}\quad \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AE^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad(\text{ क्यों?) } $

उपरोक्त के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, आप देख सकते हैं कि $E$ और $E^{\prime}$ संपाती होने चाहिए। (क्यों?)

आइए उपरोक्त प्रमेयों के उपयोग को दर्शाने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1 : यदि एक रेखा एक $\triangle A B C$ की भुजाओं $A B$ और $A C$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है और $B C$ के समांतर है, तो सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{A D}{A B}=\dfrac{A E}{A C}$ (चित्र 6.13 देखें)।

चित्र 6.13

हल : $DE \| BC \quad \quad \quad $ दिया है

इसलिए, $$\quad \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\tag{ Theorem 6.1 }$$

या, $\quad \dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$

या, $\quad \dfrac{DB}{AD}+1=\dfrac{EC}{AE}+1$

या,

या, $\quad \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE} $

इसलिए, $\quad \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC} $

उदाहरण 2 : ABCD एक समलंब है जिसमें $AB \| DC$। $E$ और $F$ असमांतर भुजाओं $A D$ और $B C$ पर क्रमशः ऐसे बिंदु हैं कि $E F$, $A B$ के समांतर है (चित्र 6.14 देखें)। दर्शाइए कि $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$।

चित्र 6.14

हल : आइए हम AC को मिलाते हैं जो $EF$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र 6.15 देखें)।

चित्र 6.15

$AB \| DC$ और $EF \| AB$ (दिया है)

इसलिए, $EF \| DC$ (एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ एक दूसरे के समांतर होती हैं)

अब, $\triangle ADC$ में,

EG $\|$ DC (चूँकि EF $\|$ DC)

इसलिए, $$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AG}{GC} \quad (Theorem 6.1) \tag{1}$$

इसी प्रकार, $\triangle CAB$ से,

$$ \dfrac{CG}{AG}=\dfrac{CF}{BF} $$

$$ \text{i.e.,}\quad \dfrac{AG}{GC}=\dfrac{BF}{FC} \tag{2} $$

इसलिए, (1) और (2) से,

$$ \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC} $$

उदाहरण 3 : चित्र 6.16 में, $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ और $\angle PST=$ $\angle PRQ$। सिद्ध कीजिए कि $PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

चित्र 6.16

हल : यह दिया है कि $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$।

$$\text{So,}\quad \text{ST } \| \text{ QR} \tag{Theorem 6.2}$$

(प्रमेय 6.2)

$$ \text{Therefore,}\quad \angle PST=\angle PQR \quad \text{ (Corresponding angles) } \tag{1} $$

साथ ही, यह दिया है कि

$$ \angle PST=\angle PRQ \tag{2} $$

$\text{So,}\quad \angle PRQ=\angle PQR$ [(1) और (2) से]

इसलिए, $ \quad \quad PQ=PR \quad$ (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ)

अर्थात्, $\quad\quad\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

6.4 त्रिभुजों की समरूपता के लिए मापदंड

पिछले अनुभाग में, हमने कहा था कि दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में हों।

अर्थात्, $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में, यदि

(i) $\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ और

(ii) $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$, तो दोनों त्रिभुज समरूप हैं (चित्र 6.22 देखें)।

चित्र 6.22

यहाँ, आप देख सकते हैं कि A, D के संगत है, B, E के संगत है और C, F के संगत है। प्रतीकात्मक रूप से, हम इन दो त्रिभुजों की समरूपता को ‘$\triangle ABC \sim \triangle DEF$’ के रूप में लिखते हैं और इसे ‘त्रिभुज ABC, त्रिभुज DEF के समरूप है’ पढ़ते हैं। प्रतीक ‘$\sim$’ का अर्थ ‘समरूप है’ होता है। याद कीजिए कि आपने कक्षा IX में ‘सर्वांगसम है’ के लिए प्रतीक ‘$\cong$’ का उपयोग किया था।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जैसा कि दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के मामले में किया गया था, दो त्रिभुजों की समरूपता को भी प्रतीकात्मक रूप से, उनके शीर्षों के सही संगति का उपयोग करके व्यक्त किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 6.22 के त्रिभुजों $A B C$ और $D E F$ के लिए, हम $\Delta ABC \sim \Delta EDF$ या $\Delta ABC \sim \Delta FED$ नहीं लिख सकते। हालाँकि, हम $\Delta BAC \sim \Delta EDF$ लिख सकते हैं।

अब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: दो त्रिभुजों, मान लीजिए $ABC$ और $DEF$, की समरूपता की जाँच के लिए, क्या हमें हमेशा उनके संगत कोणों $ \left(\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F \right)$ की सभी समानता संबंधों और उनकी संगत भुजाओं के अनुपात $(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD})$ की सभी समानता संबंधों को देखना चाहिए? आइए जाँच करते हैं। आपको याद होगा कि कक्षा IX में, आपने दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कुछ मापदंड प्राप्त किए थे जिनमें दो त्रिभुजों के केवल तीन जोड़े संगत भाग (या तत्व) शामिल थे। यहाँ भी, आइए दो त्रिभुजों के सभी छह जोड़े संगत भागों के बजाय, दो त्रिभुजों के कम संख्या में जोड़े संगत भागों के बीच संबंध शामिल करते हुए, दो त्रिभुजों की समरूपता के लिए कुछ मापदंड प्राप्त करने का प्रयास करते हैं। इसके लिए, आइए न