৬.১ পৰিচয়

আপুনি আগৰ শ্ৰেণীসমূহত ত্ৰিভূজ আৰু সিহঁতৰ বহুতো ধৰ্মৰ সৈতে পৰিচিত হৈছে। নৱম শ্ৰেণীত আপুনি ত্ৰিভূজৰ সৰ্বাংগসমতাৰ বিষয়ে বিশদভাৱে অধ্যয়ন কৰিছিল। মনত পেলাওক যে দুটা আকৃতি সৰ্বাংগসম বুলি কোৱা হয়, যদি সিহঁতৰ আকৃতি একে হয় আৰু মাপ একে হয়। এই অধ্যায়ত আমি সেইবোৰ আকৃতিৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিম যিবোৰৰ আকৃতি একে হয় যদিও মাপ একে হ’ব নালাগে। একে আকৃতিৰ (আৰু মাপ একে হ’ব নালাগে) দুটা আকৃতিক সদৃশ আকৃতি বুলি কোৱা হয়। বিশেষকৈ আমি ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্যৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিম আৰু এই জ্ঞান পূৰ্বতে শিকি অহা পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ এটা সৰল প্ৰমাণ দিয়াত প্ৰয়োগ কৰিম।

আপুনি অনুমান কৰিব পাৰেনে যে পৰ্বতৰ উচ্চতা (যেনে মাউণ্ট এভাৰেষ্ট) বা কিছুমান দূৰৱৰ্তী বস্তুৰ দূৰত্ব (যেনে চন্দ্ৰ) কেনেকৈ নিৰ্ণয় কৰা হৈছে? আপুনি ভাবে নেকি যে এইবোৰ মাপৰ ফিতাৰ সহায়ত পোনপটীয়াকৈ জোখা হৈছে? প্ৰকৃততে এই সকলোবোৰ উচ্চতা আৰু দূৰত্ব পৰোক্ষ জোখৰ ধাৰণা ব্যৱহাৰ কৰি নিৰ্ণয় কৰা হৈছে, যি আকৃতিৰ সাদৃশ্যৰ নীতিৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি (এই কিতাপৰ উদাহৰণ ৭, অনুশীলনী ৬.৩ৰ প্ৰশ্ন ১৫ আৰু অধ্যায় ৮ আৰু ৯ চাওক)।

৬.২ সদৃশ আকৃতি

নৱম শ্ৰেণীত আপুনি দেখিছিল যে একে ব্যাসাৰ্ধৰ সকলো বৃত্ত সৰ্বাংগসম, একে বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সকলো বৰ্গ সৰ্বাংগসম আৰু একে বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সকলো সমবাহু ত্ৰিভূজ সৰ্বাংগসম।

চিত্ৰ ৬.১

এতিয়া যিকোনো দুটা (বা ততোধিক) বৃত্ত বিবেচনা কৰক [চিত্ৰ ৬.১ (i) চাওক]। সিহঁত সৰ্বাংগসমনে? যিহেতু সিহঁতৰ সকলোৰে ব্যাসাৰ্ধ একে নহয়, সেয়ে সিহঁটো ইটোৰ সৈতে সৰ্বাংগসম নহয়। লক্ষ্য কৰক যে কিছুমান সৰ্বাংগসম আৰু কিছুমান নহয়, কিন্তু সিহঁতৰ সকলোৰে আকৃতি একে। গতিকে সিহঁত সকলোবোৰেই আমি যাক সদৃশ বুলি কওঁ তেনেকুৱা। দুটা সদৃশ আকৃতিৰ আকৃতি একে হয় যদিও মাপ একে হ’ব নালাগে। সেয়েহে সকলো বৃত্ত সদৃশ। দুটা (বা ততোধিক) বৰ্গ বা দুটা (বা ততোধিক) সমবাহু ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰত কি হয় [চিত্ৰ ৬.১ (ii) আৰু (iii) চাওক]? বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰত যিদৰে লক্ষ্য কৰা হৈছিল, ইয়াতো সকলো বৰ্গ সদৃশ আৰু সকলো সমবাহু ত্ৰিভূজ সদৃশ।

ওপৰৰ পৰা আমি ক’ব পাৰোঁ যে সকলো সৰ্বাংগসম আকৃতি সদৃশ কিন্তু সদৃশ আকৃতিবোৰ সৰ্বাংগসম হ’ব নালাগে।

এটা বৃত্ত আৰু এটা বৰ্গ সদৃশ হ’ব পাৰেনে? এটা ত্ৰিভূজ আৰু এটা বৰ্গ সদৃশ হ’ব পাৰেনে? এই প্ৰশ্নবোৰ কেৱল আকৃতিবোৰ চালেই উত্তৰ দিব পাৰি (চিত্ৰ ৬.১ চাওক)। স্পষ্টভাৱে এই আকৃতিবোৰ সদৃশ নহয়। (কিয়?)

চিত্ৰ ৬.২

আপুনি দুটা চতুৰ্ভূজ $A B C D$ আৰু $P Q R S$ (চিত্ৰ ৬.২ চাওক)ৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰে? সিহঁত সদৃশনে? এই আকৃতিবোৰ সদৃশ যেন লাগে কিন্তু আমি ইয়াৰ বিষয়ে নিশ্চিত হ’ব নোৱাৰোঁ। সেয়েহে আমাৰ সদৃশ আকৃতিৰ কিছুমান সংজ্ঞা থাকিব লাগিব আৰু এই সংজ্ঞাৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি দুটা দিয়া আকৃতি সদৃশ নে নহয় সিদ্ধান্ত ল’বলৈ কিছুমান নিয়ম থাকিব লাগিব। ইয়াৰ বাবে, চিত্ৰ ৬.৩ত দিয়া ফটোবোৰ চাওঁ আহক:

চিত্ৰ ৬.৩

আপুনি তৎক্ষণাত ক’ব যে এইবোৰ একে স্মাৰক (তাজমহল)ৰ ফটো কিন্তু ভিন্ন মাপৰ। আপুনি ক’ব নেকি যে তিনিওটা ফটো সদৃশ? হয়, সিহঁত সদৃশ।

এজন ব্যক্তিৰ একে মাপৰ দুটা ফটো, এটা ১০ বছৰ বয়সত আৰু আনটো ৪০ বছৰ বয়সত, আপুনি কি ক’ব পাৰে? এই ফটোবোৰ সদৃশনে? এই ফটোবোৰৰ মাপ একে কিন্তু নিশ্চিতভাৱে সিহঁতৰ আকৃতি একে নহয়। গতিকে সিহঁত সদৃশ নহয়।

একেটা নেগেটিভৰ পৰা ভিন্ন মাপৰ ফটো প্ৰিণ্ট কৰোতে ফটোগ্ৰাফাৰজনে কি কৰে? আপুনি ষ্টাম্প মাপ, পাছপৰ্ট মাপ আৰু পোষ্টকাৰ্ড মাপৰ ফটোৰ কথা শুনিছে নিশ্চয়। তেওঁ সাধাৰণতে সৰু মাপৰ ফিল্মত, যেনে ৩৫ মিমি মাপত এটা ফটো তোলে আৰু তাৰ পিছত ডাঙৰ মাপত, যেনে ৪৫ মিমি (বা ৫৫ মিমি) লৈ বৃহদায়িত কৰে। গতিকে যদি আমি সৰু ফটো (আকৃতি)ত যিকোনো ৰেখাখণ্ড বিবেচনা কৰোঁ, ডাঙৰ ফটো (আকৃতি)ত ইয়াৰ অনূৰূপ ৰেখাখণ্ড ৰেখাখণ্ডটোৰ $\dfrac{45}{35}$ (বা $.\dfrac{55}{35}$) হ’ব। ই প্ৰকৃততে বুজায় যে সৰু ফটোৰ প্ৰতিটো ৰেখাখণ্ড ৩৫:৪৫ (বা ৩৫:৫৫) অনুপাতত বৃহদায়িত (বৃদ্ধি) কৰা হৈছে। ইয়াক এনেদৰেও কোৱা হয় যে ডাঙৰ ফটোৰ প্ৰতিটো ৰেখাখণ্ড ৪৫:৩৫ (বা ৫৫:৩৫) অনুপাতত হ্ৰাস কৰা হৈছে। অতিৰিক্তভাৱে, যদি আপুনি ভিন্ন মাপৰ দুটা ফটোত যিকোনো জোৰা অনূৰূপ ৰেখাখণ্ডৰ মাজৰ হেলন (বা কোণ) বিবেচনা কৰে, আপুনি দেখিব যে এই হেলনবোৰ (বা কোণবোৰ) সদায় সমান। এইটোৱেই হ’ল দুটা আকৃতি আৰু বিশেষকৈ দুটা বহুভূজৰ সাদৃশ্যৰ মৰ্ম। আমি কওঁ যে:

একে সংখ্যক বাহুৰ দুটা বহুভূজ সদৃশ হয়, যদি (i) সিহঁতৰ অনূৰূপ কোণবোৰ সমান হয় আৰু (ii) সিহঁতৰ অনূৰূপ বাহুবোৰ একে অনুপাতত (বা সমানুপাতত) থাকে।

মনত ৰাখিব যে অনূৰূপ বাহুবোৰৰ একে অনুপাতটোক বহুভূজবোৰৰ বাবে স্কেল ফেক্টৰ (বা প্ৰতিনিধিত্বমূলক ভগ্নাংশ) বুলি উল্লেখ কৰা হয়। আপুনি নিশ্চয় শুনিছে যে বিশ্ব মানচিত্ৰ (অৰ্থাৎ গোলকীয় মানচিত্ৰ) আৰু এটা ভৱন নিৰ্মাণৰ বাবে ব্লু প্ৰিণ্টবোৰ উপযুক্ত স্কেল ফেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি আৰু কিছুমান নীতি মানি প্ৰস্তুত কৰা হয়।

আকৃতিৰ সাদৃশ্য অধিক স্পষ্টভাৱে বুজিবৰ বাবে, আহক নিম্নলিখিত কাৰ্যকলাপ সম্পাদনা কৰোঁ:

কাৰ্যকলাপ ১ : আপোনাৰ শ্ৰেণীকোঠাৰ চালত এটা বিন্দু $O$ত এটা জ্বলি থকা বাল্ব স্থাপন কৰক আৰু ইয়াৰ তলত পোনপটীয়াকৈ এখন মেজ ৰাখক। আহক এটা বহুভূজ, যেনে এটা চতুৰ্ভূজ $ABCD$, এটা সমতলীয় কাৰ্ডবৰ্ডৰ পৰা কাটি লওঁ আৰু এই কাৰ্ডবৰ্ডখন জ্বলি থকা বাল্ব আৰু মেজৰ মাজত মাটিৰ সমান্তৰালকৈ ৰাখোঁ। তেতিয়া ABCDৰ এটা ছাঁ মেজত পৰিব। এই ছাঁৰ ৰূপৰেখা $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ হিচাপে চিহ্নিত কৰক (চিত্ৰ ৬.৪ চাওক)।

মনত ৰাখিব যে চতুৰ্ভূজ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ হ’ল চতুৰ্ভূজ $ABCD$ৰ এটা বৃহদায়ন (বা বিবৰ্ধন)। ইয়াৰ কাৰণ হ’ল পোহৰৰ ধৰ্ম যে পোহৰ সৰলৰেখাত প্ৰচাৰিত হয়। আপুনি ইয়াও লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে $A^{\prime}$ ৰশ্মি $OA, B^{\prime}$ত থাকে, $OB, C^{\prime}$ ৰশ্মি $O C$ত থাকে আৰু $D^{\prime}$ $O D$ত থাকে। গতিকে চতুৰ্ভূজ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ আৰু $A B C D$ৰ আকৃতি একে হয় যদিও মাপ ভিন্ন।

চিত্ৰ ৬.৪

গতিকে চতুৰ্ভূজ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ চতুৰ্ভূজ $ABCD$ৰ সদৃশ। আমি এনেদৰেও ক’ব পাৰোঁ যে চতুৰ্ভূজ $A B C D$ চতুৰ্ভূজ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ৰ সদৃশ।

ইয়াত আপুনি ইয়াও লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে শীৰ্ষবিন্দু $A^{\prime}$ শীৰ্ষবিন্দু $A$ৰ সৈতে অনূৰূপ, শীৰ্ষবিন্দু $B^{\prime}$ শীৰ্ষবিন্দু $B$ৰ সৈতে অনূৰূপ, শীৰ্ষবিন্দু $C^{\prime}$ শীৰ্ষবিন্দু $C$ৰ সৈতে অনূৰূপ আৰু শীৰ্ষবিন্দু $D^{\prime}$ শীৰ্ষবিন্দু Dৰ সৈতে অনূৰূপ। প্ৰতীকীভাৱে এই অনূৰূপতাবোৰক $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ আৰু $D^{\prime} \leftrightarrow D$ হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। প্ৰকৃততে দুয়োটা চতুৰ্ভূজৰ কোণ আৰু বাহুবোৰ জুখি আপুনি যাচাই কৰিব পাৰে যে

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ আৰু

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$।

ইয়ে আকৌ গুৰুত্ব দিয়ে যে একে সংখ্যক বাহুৰ দুটা বহুভূজ সদৃশ হয়, যদি (i) সকলো অনূৰূপ কোণ সমান হয় আৰু (ii) সকলো অনূৰূপ বাহু একে অনুপাতত (বা সমানুপাতত) থাকে।

ওপৰৰ পৰা আপুনি সহজে ক’ব পাৰে যে চিত্ৰ ৬.৫ৰ চতুৰ্ভূজ $A B C D$ আৰু PQRS সদৃশ।

চিত্ৰ ৬.৫

টোকা : আপুনি যাচাই কৰিব পাৰে যে যদি এটা বহুভূজ আন এটা বহুভূজৰ সদৃশ হয় আৰু এই দ্বিতীয় বহুভূজটো তৃতীয় এটা বহুভূজৰ সদৃশ হয়, তেন্তে প্ৰথম বহুভূজটো তৃতীয় বহুভূজটোৰ সদৃশ হয়।

আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে চিত্ৰ ৬.৬ৰ দুটা চতুৰ্ভূজ (এটা বৰ্গ আৰু এটা আয়ত)ত অনূৰূপ কোণবোৰ সমান হয়, কিন্তু সিহঁতৰ অনূৰূপ বাহুবোৰ একে অনুপাতত নাথাকে।

চিত্ৰ ৬.৬

গতিকে দুয়োটা চতুৰ্ভূজ সদৃশ নহয়। একেদৰে আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে চিত্ৰ ৬.৭ৰ দুটা চতুৰ্ভূজ (এটা বৰ্গ আৰু এটা ৰম্বাছ)ত অনূৰূপ বাহুবোৰ একে অনুপাতত থাকে, কিন্তু সিহঁতৰ অনূৰূপ কোণবোৰ সমান নহয়। আকৌ দুয়োটা বহুভূজ (চতুৰ্ভূজ) সদৃশ নহয়।

চিত্ৰ ৬.৭

গতিকে দুটা বহুভূজৰ সাদৃশ্যৰ ওপৰৰ দুটা অৱস্থাৰ (i) আৰু (ii)ৰ যিকোনো এটা সিহঁতৰ সদৃশ হোৱাৰ বাবে পৰ্যাপ্ত নহয়।

৬.৩ ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্য

আপুনি দুটা ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্যৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰে?

আপুনি মনত পেলাব পাৰে যে ত্ৰিভূজো এটা বহুভূজ। গতিকে আমি দুটা ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্যৰ বাবে একে অৱস্থাবোৰ উল্লেখ কৰিব পাৰোঁ। অৰ্থাৎ:

দুটা ত্ৰিভূজ সদৃশ হয়, যদি

(i) সিহঁতৰ অনূৰূপ কোণবোৰ সমান হয় আৰু

(ii) সিহঁতৰ অনূৰূপ বাহুবোৰ একে অনুপাতত (বা সমানুপাতত) থাকে।

মনত ৰাখিব যে যদি দুটা ত্ৰিভূজৰ অনূৰূপ কোণবোৰ সমান হয়, তেন্তে সিহঁতক সমকোণী ত্ৰিভূজ বুলি জনা যায়। এজন বিখ্যাত গ্ৰীক গণিতজ্ঞ থেলছে দুটা সমকোণী ত্ৰিভূজৰ সৈতে জড়িত এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ সত্য দিছিল যি তলত দিয়া ধৰণৰ:

দুটা সমকোণী ত্ৰিভূজত যিকোনো দুটা অনূৰূপ বাহুৰ অনুপাত সদায় একে হয়।

বিশ্বাস কৰা হয় যে তেওঁ একে বাবে মৌলিক সমানুপাতিকতা উপপাদ্য (বৰ্তমান থেলছৰ উপপাদ্য বুলি জনা যায়) নামৰ এটা ফলাফল ব্যৱহাৰ কৰিছিল।

মৌলিক সমানুপাতিকতা উপপাদ্য বুজিবৰ বাবে, আহক নিম্নলিখিত কাৰ্যকলাপ সম্পাদনা কৰোঁ:

কাৰ্যকলাপ ২ : যিকোনো এটা কোণ XAY আঁকক আৰু ইয়াৰ এটা বাহু AXত, বিন্দু (যেনে পাঁচটা বিন্দু) P, Q, D, R আৰু $B$ চিহ্নিত কৰক যাতে $A P=P Q=Q D=D R=R B$ হয়।

এতিয়া Bৰ মাজেৰে যিকোনো ৰেখা আঁকক যিয়ে বাহু $AY$ক $C$ত ছেদ কৰে (চিত্ৰ ৬.৯ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.৯

আৰু বিন্দু $D$ৰ মাজেৰে, $BC$ৰ সমান্তৰাল এটা ৰেখা আঁকক যিয়ে $AC$ক $E$ত ছেদ কৰে। আপোনাৰ গঠনৰ পৰা আপুনি লক্ষ্য কৰেনে যে $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ হয়? $AE$ আৰু $EC$ জুখক। $\dfrac{A E}{E C}$ৰ বিষয়ে কি? লক্ষ্য কৰক যে $\dfrac{A E}{E C}$ও $\dfrac{3}{2}$ৰ সমান। গতিকে আপুনি দেখিব পাৰে যে $\triangle ABC, DE \| BC$ আৰু $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ত। এইটো কেৱল কাকতালিক নেকি? নহয়, ই তলত দিয়া উপপাদ্যৰ বাবে হয় (মৌলিক সমানুপাতিকতা উপপাদ্য হিচাপে জনা যায়):

উপপাদ্য ৬.১: যদি এটা ত্ৰিভূজৰ এটা বাহুৰ সমান্তৰালকৈ এটা ৰেখা টনা হয় যাতে আন দুটা বাহুক পৃথক বিন্দুত ছেদ কৰে, তেন্তে আন দুটা বাহু একে অনুপাতত বিভক্ত হয়।

প্ৰমাণ : আমাক এটা ত্ৰিভূজ $ABC$ দিয়া হৈছে য’ত এটা ৰেখা বাহু $BC$ৰ সমান্তৰালকৈ টনা হৈছে যিয়ে আন দুটা বাহু $AB$ আৰু $AC$ক ক্ৰমে $D$ আৰু $E$ত ছেদ কৰে (চিত্ৰ ৬.১০ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.১০

আমাক প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ হয়।

আহক আমি $BE$ আৰু $CD$ সংযোগ কৰোঁ আৰু তাৰ পিছত $DM \perp AC$ আৰু $EN \perp AB$ টনোঁ।

এতিয়া, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ৰ কালি = ভূমি × উচ্চতা $\times$ $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$।

নৱম শ্ৰেণীৰ পৰা মনত পেলাওক যে $\triangle ADE$ৰ কালিক $ar(ADE)$ হিচাপে সূচিত কৰা হয়।

$ \text{গতিকে,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{একেদৰে,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ আৰু } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

সেয়েহে, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

আৰু $$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

মনত ৰাখিব যে $\triangle BDE$ আৰু $DEC$ একে ভূমি $DE$ৰ ওপৰত আৰু একে সমান্তৰাল $BC$ আৰু $DE$ৰ মাজত থাকে।

$$ \begin{equation*} \text{So,}\quad \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\operatorname{ar}(\mathrm{DEC}) \tag{3} \end{equation*} $$

সেয়েহে (1), (2) আৰু (3)ৰ পৰা, আমি পাইছোঁ:

$ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} $

এই উপপাদ্যৰ বিপৰীতটোও সত্য নেকি (বিপৰীতৰ অৰ্থৰ বাবে, পৰিশিষ্ট ১ চাওক)? ইয়াক পৰীক্ষা কৰিবলৈ, আহক নিম্নলিখিত কাৰ্যকলাপ সম্পাদনা কৰোঁ:

কাৰ্যকলাপ ৩ : আপোনাৰ বহীত এটা কোণ XAY আঁকক আৰু ৰশ্মি $AX$ত, বিন্দু $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ আৰু $B$ চিহ্নিত কৰক যাতে $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$ হয়।

একেদৰে ৰশ্মি AYত, বিন্দু $C_1, C_2, C_3, C_4$ আৰু $C$ চিহ্নিত কৰক যাতে $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$ হয়। তাৰ পিছত $B_1 C_1$ আৰু $BC$ সংযোগ কৰক (চিত্ৰ ৬.১১ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.১১

মনত ৰাখিব যে $\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ (প্ৰতিটো $\dfrac{1}{4}$ৰ সমান)

আপুনি ইয়াও দেখিব পাৰে যে ৰেখা $B_1 C_1$ আৰু $BC$ ইটোৰ সৈতে সমান্তৰাল, অৰ্থাৎ:

$$ B_1 C_1 \| BC \tag{1} $$

একেদৰে, $B_2 C_2, B_3 C_3$ আৰু $B_4 C_4$ সংযোগ কৰি, আপুনি দেখিব পাৰে যে:

$$\dfrac{AB_2}{B_2 B}=\dfrac{AC_2}{C_2 C}(=\dfrac{2}{3}) \text{ and } B_2 C_2 \| BC \tag{2} $$

$$ \dfrac{AB_3}{B_3 B}=\dfrac{AC_3}{C_3 C}(=\dfrac{3}{2}) \text{ and } B_3 C_3 \| BC \tag{3} $$

$$ \dfrac{AB_4}{B_4 B}=\dfrac{AC_4}{C_4 C}(=\dfrac{4}{1}) \text{ and } B_4 C_4 \| BC \tag{4}$$

(1), (2), (3) আৰু (4)ৰ পৰা ই লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে যদি এটা ৰেখাই এটা ত্ৰিভূজৰ দুটা বাহুক একে অনুপাতত বিভক্ত কৰে, তেন্তে ৰেখাটো তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল হয়।

আপুনি ভিন্ন মাপৰ যিকোনো কোণ XAY আঁকি আৰু বাহু AX আৰু AYত সমান সংখ্যক ভাগ লৈ এই কাৰ্যকলাপ পুনৰাবৃত্তি কৰিব পাৰে। প্ৰতিবাৰেই আপুনি একে ফলাফলত উপনীত হ’ব। গতিকে আমি তলৰ উপপাদ্যটো পাইছোঁ, যি উপপাদ্য ৬.১ৰ বিপৰীত:

উপপাদ্য ৬.২: যদি এটা ৰেখাই এটা ত্ৰিভূজৰ যিকোনো দুটা বাহুক একে অনুপাতত বিভক্ত কৰে, তেন্তে ৰেখাটো তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল হয়।

এই উপপাদ্যটো $DE$ ৰেখা এটা লৈ প্ৰমাণ কৰিব পাৰি যাতে $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ হয় আৰু ধৰি লৈ যে $DE$, $BC$ৰ সমান্তৰাল নহয় (চিত্ৰ ৬.১২ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.১২

যদি $DE$, $BC$ৰ সমান্তৰাল নহয়, $DE^{\prime}$ ৰেখা এটা আঁকক যি $BC$ৰ সমান্তৰাল।

$ \text{গতিকে,}\quad \dfrac{A D}{D B}=\dfrac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad \text{ (কিয়?) } $

$ \text{সেয়েহে,}\quad \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AE^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad(\text{ কিয়?) } $

ওপৰৰ দুয়োপালে 1 যোগ কৰি, আপুনি দেখিব পাৰে যে $E$ আৰু $E^{\prime}$ একে হ’ব লাগিব। (কিয়?)

ওপৰৰ উপপাদ্যবোৰৰ ব্যৱহাৰ স্পষ্ট কৰিবলৈ আহক আমি কিছুমান উদাহৰণ লওঁ।

উদাহৰণ ১ : যদি এটা ৰেখাই $A B$ ত্ৰিভূজৰ বাহু $A C$ আৰু $\triangle A B C$ক ক্ৰমে $D$ আৰু $E$ত ছেদ কৰে আৰু $B C$ৰ সমান্তৰাল হয়, প্ৰমাণ কৰক যে $\dfrac{A D}{A B}=\dfrac{A E}{A C}$ হয় (চিত্ৰ ৬.১৩ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.১৩

সমাধান : $DE \| BC \quad \quad \quad $ দিয়া আছে

গতিকে, $$\quad \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\tag{ Theorem 6.1 }$$

বা, $\quad \dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$

বা, $\quad \dfrac{DB}{AD}+1=\dfrac{EC}{AE}+1$

বা,

বা, $\quad \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE} $

গতিকে, $\quad \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC} $

উদাহৰণ ২ : ABCD হ’ল এটা ট্ৰেপিজিয়াম য’ত $AB \| DC$। $E$ আৰু $F$ হ’ল অ-সমান্তৰাল বাহু $A D$ আৰু $B C$ৰ ওপৰত থকা বিন্দু ক্ৰমে যাতে $E F$, $A B$ৰ সমান্তৰাল হয় (চিত্ৰ ৬.১৪ চাওক)। দেখুৱাওক যে $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$ হয়।

চিত্ৰ ৬.১৪

সমাধান : আহক আমি AC সংযোগ কৰোঁ যাতে ই $EF$ক $G$ত ছেদ কৰে (চিত্ৰ ৬.১৫ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.১৫

$AB \| DC$ আৰু $EF \| AB$ (দিয়া আছে)

গতিকে, $EF \| DC$ (একে ৰেখাৰ সমান্তৰাল ৰেখাবোৰ ইটোৰ সৈতে সমান্তৰাল হয়)

এতিয়া, $\triangle ADC$ত,

EG $\|$ DC (কাৰণ EF $\|$ DC)

গতিকে, $$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AG}{GC} \quad (Theorem 6.1) \tag{1}$$

একেদৰে, $\triangle CAB$ৰ পৰা,

$$ \dfrac{CG}{AG}=\dfrac{CF}{BF} $$

$$ \text{i.e.,}\quad \dfrac{AG}{GC}=\dfrac{BF}{FC} \tag{2} $$

সেয়েহে (1) আৰু (2)ৰ পৰা,

$$ \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC} $$

উদাহৰণ ৩ : চিত্ৰ ৬.১৬ত, $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ আৰু $\angle PST=$ $\angle PRQ$। প্ৰমাণ কৰক যে $PQR$ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ।

চিত্ৰ ৬.১৬

সমাধান : দিয়া আছে যে $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$।

$$\text{So,}\quad \text{ST } \| \text{ QR} \tag{Theorem 6.2}$$

(উপপাদ্য ৬.২)

$$ \text{Therefore,}\quad \angle PST=\angle PQR \quad \text{ (Corresponding angles) } \tag{1} $$

আৰু দিয়া আছে যে

$$ \angle PST=\angle PRQ \tag{2} $$

$\text{So,}\quad \angle PRQ=\angle PQR$ [(1) আৰু (2)ৰ পৰা]

সেয়েহে, $ \quad \quad PQ=PR \quad$ (সমান কোণৰ বিপৰীত বাহু)

অৰ্থাৎ, $\quad\quad\triangle PQR$ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ।

৬.৪ ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্যৰ নিকষ

পূৰ্বৱৰ্তী বিভাগত আমি উল্লেখ কৰিছিলোঁ যে দুটা ত্ৰিভূজ সদৃশ হয়, যদি (i) সিহঁতৰ অনূৰূপ কোণবোৰ সমান হয় আৰু (ii) সিহঁতৰ অনূৰূপ বাহুবোৰ একে অনুপাতত (বা সমানুপাতত) থাকে।

অৰ্থাৎ, $\triangle ABC$ আৰু $\triangle DEF$ত, যদি

(i) $\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ হয় আৰু

(ii) $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$ হয়, তেন্তে দুয়োটা ত্ৰিভূজ সদৃশ হয় (চিত্ৰ ৬.২২ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.২২

ইয়াত আপুনি দেখিব পাৰে যে A, Dৰ সৈতে অনূৰূপ, B, Eৰ সৈতে অনূৰূপ আৰু C, Fৰ সৈতে অনূৰূপ। প্ৰতীকীভাৱে আমি এই দুটা ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্য ‘$\triangle ABC \sim \triangle DEF$’ হিচাপে লিখোঁ আৰু ‘ত্ৰিভূজ ABC ত্ৰিভূজ DEFৰ সদৃশ’ বুলি পঢ়োঁ। ‘$\sim$’ প্ৰতীকটোৱে ‘সদৃশ’ বুজায়। মনত পেলাওক যে নৱম শ্ৰেণীত আপুনি ‘সৰ্বাংগসম’ বুজাবলৈ ‘$\cong$’ প্ৰতীকটো ব্যৱহাৰ কৰিছিল।

ইয়াক মনত ৰাখিব লাগিব যে দুটা ত্ৰিভূজৰ সৰ্বাংগসমতাৰ ক্ষেত্ৰত কৰাৰ দৰে, দুটা ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্যও প্ৰতীকীভাৱে প্ৰকাশ কৰিব লাগিব, সিহঁতৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰৰ শুদ্ধ অনূৰূপতা ব্যৱহাৰ কৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, চিত্ৰ ৬.২২ৰ ত্ৰিভূজ $A B C$ আৰু $D E F$ৰ বাবে আমি $\Delta ABC \sim \Delta EDF$ বা $\Delta ABC \sim \Delta FED$ লিখিব নোৱাৰোঁ। কিন্তু আমি $\Delta BAC \sim \Delta EDF$ লিখিব পাৰোঁ।

এতিয়া এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন ওঠে: দুটা ত্ৰিভূজ, যেনে $ABC$ আৰু $DEF$ৰ সাদৃশ্য পৰীক্ষা কৰিবলৈ, আমি সদায় সিহঁতৰ অনূৰূপ কোণবোৰৰ সকলো সমতা সম্বন্ধ $ \left(\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F \right)$ আৰু সিহঁতৰ অনূৰূপ বাহুবোৰৰ অনুপাতৰ সকলো সমতা সম্বন্ধ $(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD})$ বিচাৰিব লাগেনে? আহক আমি পৰীক্ষা কৰোঁ। আপুনি মনত পেলাব পাৰে যে নৱম শ্ৰেণীত আপুনি দুটা ত্ৰিভূজৰ সৰ্বাংগসমতাৰ বাবে কিছুমান নিকষ পাইছিল য’ত দুটা ত্ৰিভূজৰ অনূৰূপ অংশৰ (বা উপাদানৰ) মাত্ৰ তিনিজোৰা জোৰা জড়িত আছিল। ইয়াতো, দুটা ত্ৰিভূজৰ সকলো ছয়জোৰা অনূৰূপ অংশৰ সলনি, দুটা ত্ৰিভূজৰ কম সংখ্যক জোৰা অনূৰূপ অংশৰ মাজৰ সম্পৰ্ক জড়িত কৰি দুটা ত্ৰিভূজৰ সাদৃশ্যৰ বাবে কিছুমান নিকষত উপনীত হ’বলৈ চেষ্টা কৰোঁ। ইয়াৰ বাবে, আহক নিম্নলিখিত কাৰ্যকলাপ সম্পাদনা কৰোঁ:

কাৰ্যকলাপ ৪ : দুটা ভিন্ন দৈৰ্ঘ্যৰ, যেনে ক্ৰমে ৩ ছেমি আৰু ৫ ছেমি, দুটা ৰেখাখণ্ড $BC$ আৰু $EF$ আঁকক। তাৰ পিছত বিন্দু $B$ আৰু $C$ত ক্ৰমে কিছুমান মাপৰ, যেনে $60^{\circ}$ আৰু $40^{\circ}$ৰ কোণ $PBC$ আৰু QCB গঠন কৰক। আৰু বিন্দু $E$ আৰু $F$ত, ক্ৰমে $60^{\circ}$ আৰু $40^{\circ}$ৰ কোণ REF আৰু SFE গঠন কৰক (চিত্ৰ ৬.২৩ চাওক)।

চিত্ৰ ৬.২৩

ৰশ্মি $BP$ আৰু $CQ$ক ইটোৱে সিটোক $A$