6.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਹੋ। ਕਲਾਸ IX ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਸਰਬਾਂਗਸਮਤਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਕਹਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਆਕਾਰ ਵੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਬਾਰੇ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਆਕਾਰ ਵੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਦੋ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਅਤੇ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਆਕਾਰ ਵੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ) ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਕਹਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸ ਗਿਆਨ ਨੂੰ ਪਿਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਸਬੂਤ ਦੇਣ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਹਾੜਾਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ (ਮਾਉਂਟ ਐਵਰੈਸਟ ਵਰਗੇ) ਜਾਂ ਕੁਝ ਦੂਰ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ (ਚੰਦਰਮਾ ਵਰਗੇ) ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੀਆਂ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲੀ ਟੇਪ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ? ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਅਤੇ ਦੂਰੀਆਂ ਅਸਿੱਧੇ ਮਾਪਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਲੱਗੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ‘ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ (ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਅਧਿਆਇ 8 ਅਤੇ 9 ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਉਦਾਹਰਣ 7, ਪ੍ਰਸ਼ਨ 15 ਅਭਿਆਸ 6.3 ਵੇਖੋ)।

6.2 ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ

ਕਲਾਸ IX ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਸੀ ਕਿ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਭੁਜਾ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਭੁਜਾ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.1

ਹੁਣ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ (ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ) ਚੱਕਰਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ [ਚਿੱਤਰ 6.1 (i) ਵੇਖੋ]। ਕੀ ਉਹ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਹਨ? ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕੁਝ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਾਰੇ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਸਮਰੂਪ ਹਨ। ਦੋ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਆਕਾਰ ਵੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦੋ (ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ) ਵਰਗਾਂ ਜਾਂ ਦੋ (ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ) ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿਣਾ ਹੈ [ਚਿੱਤਰ 6.1 (ii) ਅਤੇ (iii) ਵੇਖੋ]? ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਥੇ ਵੀ ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਉਪਰੋਕਤ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦਾ ਸਰਬਾਂਗਸਮ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਕੀ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸਮਰੂਪ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ? ਕੀ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸਮਰੂਪ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਸਿਰਫ਼ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਹੀ ਦੱਸੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.1 ਵੇਖੋ)। ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇਹ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ। (ਕਿਉਂ?)

ਚਿੱਤਰ 6.2

ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ $A B C D$ ਅਤੇ $P Q R S$ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ (ਚਿੱਤਰ 6.2 ਵੇਖੋ)? ਕੀ ਉਹ ਸਮਰੂਪ ਹਨ? ਇਹ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਸਮਰੂਪ ਜਾਪਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਕੁਝ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ ਕੁਝ ਨਿਯਮ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਤੈਅ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੋ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਇਸ ਲਈ, ਆਓ ਚਿੱਤਰ 6.3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਫੋਟੋਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ:

ਚਿੱਤਰ 6.3

ਤੁਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਕਹੋਗੇ ਕਿ ਇਹ ਉਸੇ ਸਮਾਰਕ (ਤਾਜ ਮਹਿਲ) ਦੀਆਂ ਫੋਟੋਆਂ ਹਨ ਪਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਹੋਗੇ ਕਿ ਤਿੰਨਾਂ ਫੋਟੋਆਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ? ਹਾਂ, ਉਹ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਉਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਕਾਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਫੋਟੋਆਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਇੱਕ 10 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਦੂਜੀ 40 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ? ਕੀ ਇਹ ਫੋਟੋਆਂ ਸਮਰੂਪ ਹਨ? ਇਹ ਫੋਟੋਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਕਾਰ ਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਕਾਰ ਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਉਹ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਜਦੋਂ ਫੋਟੋਗ੍ਰਾਫਰ ਇੱਕੋ ਨੈਗੇਟਿਵ ਤੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਫੋਟੋਆਂ ਪ੍ਰਿੰਟ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਕੀ ਕਰਦੀ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਸਟੈਂਪ ਸਾਈਜ਼, ਪਾਸਪੋਰਟ ਸਾਈਜ਼ ਅਤੇ ਪੋਸਟਕਾਰਡ ਸਾਈਜ਼ ਦੀਆਂ ਫੋਟੋਆਂ ਬਾਰੇ ਸੁਣਿਆ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਹ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਫਿਲਮ ‘ਤੇ ਫੋਟੋ ਖਿੱਚਦੀ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ 35 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਆਕਾਰ ਦੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸਨੂੰ ਵੱਡੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਵਧਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ 45 ਮਿਲੀਮੀਟਰ (ਜਾਂ 55 ਮਿਲੀਮੀਟਰ)। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਛੋਟੀ ਫੋਟੋ (ਆਕ੍ਰਿਤੀ) ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਵੱਡੀ ਫੋਟੋ (ਆਕ੍ਰਿਤੀ) ਵਿੱਚ ਇਸਦਾ ਸੰਗਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਉਸ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਾ $\dfrac{45}{35}$ (ਜਾਂ $.\dfrac{55}{35}$) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸਦਾ ਅਸਲ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਛੋਟੀ ਫੋਟੋ ਦਾ ਹਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਅਨੁਪਾਤ 35:45 (ਜਾਂ 35:55) ਵਿੱਚ ਵੱਡਾ (ਵਧਾਇਆ) ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੱਡੀ ਫੋਟੋ ਦਾ ਹਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਅਨੁਪਾਤ 45:35 (ਜਾਂ 55:35) ਵਿੱਚ ਘਟਾਇਆ (ਘਟਾਇਆ) ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਫੋਟੋਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਜੋੜੇ ਦੇ ਸੰਗਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਝੁਕਾਅ (ਜਾਂ ਕੋਣ) ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਇਹ ਝੁਕਾਅ (ਜਾਂ ਕੋਣ) ਹਮੇਸ਼ਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੋ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਾਰ ਹੈ ਅਤੇ ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜਾਂ ਦਾ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ:

ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ (i) ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਅਤੇ (ii) ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਨੁਪਾਤ (ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ) ਵਿੱਚ ਹੋਣ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਬਹੁਭੁਜਾਂ ਲਈ ਸਕੇਲ ਫੈਕਟਰ (ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਭਿੰਨ) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰ ਸੁਣਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਵਿਸ਼ਵ ਨਕਸ਼ੇ (ਯਾਨੀ ਗਲੋਬਲ ਨਕਸ਼ੇ) ਅਤੇ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਉਸਾਰੀ ਲਈ ਬਲੂਪ੍ਰਿੰਟ ਇੱਕ ਢੁਕਵੇਂ ਸਕੇਲ ਫੈਕਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਕੁਝ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਮੇਲਨਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਤੀਵਿਧੀ ਨੂੰ ਕਰੀਏ:

ਗਤੀਵਿਧੀ 1 : ਆਪਣੀ ਕਲਾਸਰੂਮ ਵਿੱਚ ਛੱਤ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $O$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਜਗਦੀ ਹੋਈ ਬਲਬ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਠੀਕ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਮੇਜ਼ ਰੱਖੋ। ਆਓ ਇੱਕ ਬਹੁਭੁਜ, ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ $ABCD$, ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਤੋਂ ਕੱਟੀਏ ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਨੂੰ ਜਗਦੀ ਹੋਈ ਬਲਬ ਅਤੇ ਮੇਜ਼ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੱਖੀਏ। ਫਿਰ ABCD ਦੀ ਇੱਕ ਪਰਛਾਵਾਂ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪਰਛਾਵਾਂ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਨੂੰ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 6.4 ਵੇਖੋ)।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਤੁਰਭੁਜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ਚਤੁਰਭੁਜ $ABCD$ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ (ਜਾਂ ਵੱਡਾ ਕਰਨਾ) ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਉਸ ਗੁਣ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $A^{\prime}$ ਕਿਰਨ $OA, B^{\prime}$ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, $OB, C^{\prime}$ ਕਿਰਨ $O C$ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ $D^{\prime}$ $O D$ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਚਤੁਰਭੁਜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ਅਤੇ $A B C D$ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹਨ ਪਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.4

ਇਸ ਲਈ, ਚਤੁਰਭੁਜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ਚਤੁਰਭੁਜ $ABCD$ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚਤੁਰਭੁਜ $A B C D$ ਚਤੁਰਭੁਜ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।

ਇੱਥੇ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਸਿਖਰ $A^{\prime}$ ਸਿਖਰ $A$ ਦੇ ਸੰਗਤ ਹੈ, ਸਿਖਰ $B^{\prime}$ ਸਿਖਰ $B$ ਦੇ ਸੰਗਤ ਹੈ, ਸਿਖਰ $C^{\prime}$ ਸਿਖਰ $C$ ਦੇ ਸੰਗਤ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ $D^{\prime}$ ਸਿਖਰ D ਦੇ ਸੰਗਤ ਹੈ। ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸੰਗਤਤਾਵਾਂ $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ ਅਤੇ $D^{\prime} \leftrightarrow D$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵਾਂ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਪੜਤਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ ਅਤੇ

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$.

ਇਹ ਦੁਬਾਰਾ ਜ਼ੋਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ (i) ਸਾਰੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਅਤੇ (ii) ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਨੁਪਾਤ (ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ) ਵਿੱਚ ਹੋਣ।

ਉਪਰੋਕਤ ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.5 ਦੇ ਚਤੁਰਭੁਜ $A B C D$ ਅਤੇ PQRS ਸਮਰੂਪ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.5

ਟਿੱਪਣੀ : ਤੁਸੀਂ ਪੜਤਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਹੁਭੁਜ ਦੂਜੇ ਬਹੁਭੁਜ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਦੂਜਾ ਬਹੁਭੁਜ ਤੀਜੇ ਬਹੁਭੁਜ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾ ਬਹੁਭੁਜ ਤੀਜੇ ਬਹੁਭੁਜ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.6 ਦੇ ਦੋ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ (ਇੱਕ ਵਰਗ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤ) ਵਿੱਚ, ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.6

ਇਸ ਲਈ, ਦੋਵੇਂ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.7 ਦੇ ਦੋ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ (ਇੱਕ ਵਰਗ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਚਤੁਰਭੁਜ) ਵਿੱਚ, ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਦੁਬਾਰਾ, ਦੋ ਬਹੁਭੁਜ (ਚਤੁਰਭੁਜ) ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.7

ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਬਹੁਭੁਜਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀਆਂ ਉਪਰੋਕਤ ਦੋਵਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ (i) ਅਤੇ (ii) ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੋਣ ਲਈ ਪਰਿਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।

6.3 ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ

ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਤੁਸੀਂ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਤਿਕੋਣ ਵੀ ਇੱਕ ਬਹੁਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਉਹੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਨੀ:

ਦੋ ਤਿਕੋਣ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ

(i) ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਅਤੇ

(ii) ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਨੁਪਾਤ (ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ) ਵਿੱਚ ਹੋਣ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਕੋਣੀ ਤਿਕੋਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਥੇਲਸ ਨੇ ਦੋ ਸਮਕੋਣੀ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੱਚਾਈ ਦਿੱਤੀ ਸੀ ਜੋ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

ਦੋ ਸਮਕੋਣੀ ਤਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ ਜਿਸਨੂੰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅਨੁਪਾਤਿਕਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ (ਹੁਣ ਥੇਲਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਬੁਨਿਆਦੀ ਅਨੁਪਾਤਿਕਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਤੀਵਿਧੀ ਨੂੰ ਕਰੀਏ:

ਗਤੀਵਿਧੀ 2 : ਕੋਈ ਵੀ ਕੋਣ XAY ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ AX ‘ਤੇ, ਬਿੰਦੂ (ਮੰਨ ਲਓ ਪੰਜ ਬਿੰਦੂ) P, Q, D, R ਅਤੇ $B$ ਅਜਿਹੇ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ ਕਿ $A P=P Q=Q D=D R=R B$।

ਹੁਣ, B ਦੁਆਰਾ, ਕੋਈ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਭੁਜਾ $AY$ ਨੂੰ $C$ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.9 ਵੇਖੋ)।

ਚਿੱਤਰ 6.9

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਬਿੰਦੂ $D$ ਦੁਆਰਾ, $BC$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ $AC$ ਨੂੰ $E$ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀ ਰਚਨਾ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$? $AE$ ਅਤੇ $EC$ ਨੂੰ ਮਾਪੋ। $\dfrac{A E}{E C}$ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਦੇਖੋ ਕਿ $\dfrac{A E}{E C}$ ਵੀ $\dfrac{3}{2}$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $\triangle ABC, DE \| BC$ ਅਤੇ $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ ਵਿੱਚ। ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਯੋਗ ਹੈ? ਨਹੀਂ, ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ (ਬੁਨਿਆਦੀ ਅਨੁਪਾਤਿਕਤਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਕਾਰਨ ਹੈ:

ਪ੍ਰਮੇਯ 6.1: ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਬਾਕੀ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਉਸੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਵੰਡੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਬੂਤ : ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਭੁਜਾ $BC$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਾਕੀ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ $AB$ ਅਤੇ $AC$ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $D$ ਅਤੇ $E$ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.10 ਵੇਖੋ)।

ਚਿੱਤਰ 6.10

ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$।

ਆਓ $BE$ ਅਤੇ $CD$ ਨੂੰ ਜੋੜੀਏ ਅਤੇ ਫਿਰ $DM \perp AC$ ਅਤੇ $EN \perp AB$ ਖਿੱਚੀਏ।

ਹੁਣ, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = 1/2 × ਆਧਾਰ $\times$ × ਉਚਾਈ $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$।

ਕਲਾਸ IX ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ, ਕਿ $\triangle ADE$ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ $ar(ADE)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

$ \text{ਇਸ ਲਈ,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1