6.1 ആമുഖം

നിങ്ങൾ മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ ത്രികോണങ്ങളെയും അവയുടെ പല ഗുണങ്ങളെയും പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഒൻപതാം ക്ലാസിൽ, നിങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ സർവ്വസമത്വം വിശദമായി പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. രണ്ട് രൂപങ്ങൾക്ക് ഒരേ ആകൃതിയും ഒരേ വലിപ്പവും ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ സർവ്വസമമാണെന്ന് ഓർക്കുക. ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഒരേ ആകൃതിയുള്ളതും എന്നാൽ ഒരേ വലിപ്പമില്ലാത്തതുമായ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പഠിക്കും. ഒരേ ആകൃതിയുള്ള (ഒരേ വലിപ്പമില്ലാത്തതും) രണ്ട് രൂപങ്ങളെ സദൃശ്യരൂപങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ സാദൃശ്യം ചർച്ച ചെയ്യുകയും മുമ്പ് പഠിച്ച പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തിന് ലളിതമായൊരു തെളിവ് നൽകുന്നതിന് ഈ അറിവ് പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യും.

പർവ്വതങ്ങളുടെ ഉയരങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിന് മൗണ്ട് എവറസ്റ്റ്) അല്ലെങ്കിൽ ചില വിദൂര വസ്തുക്കളുടെ (ഉദാഹരണത്തിന് ചന്ദ്രൻ) ദൂരങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തിയെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഊഹിക്കാമോ? ഇവ നേരിട്ട് അളക്കുന്ന ടേപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് അളന്നതാണെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? വാസ്തവത്തിൽ, ഈ എല്ലാ ഉയരങ്ങളും ദൂരങ്ങളും പരോക്ഷ അളവെടുപ്പിന്റെ ആശയം ഉപയോഗിച്ചാണ് കണ്ടെത്തിയിരിക്കുന്നത്, ഇത് രൂപങ്ങളുടെ സാദൃശ്യ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (ഉദാഹരണം 7, Exercise 6.3 ന്റെ Q. 15 ഉം ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ അധ്യായങ്ങൾ 8 ഉം 9 ഉം കാണുക).

6.2 സദൃശ്യരൂപങ്ങൾ

ഒൻപതാം ക്ലാസിൽ, ഒരേ ആരമുള്ള എല്ലാ വൃത്തങ്ങളും സർവ്വസമമാണെന്നും ഒരേ വശനീളമുള്ള എല്ലാ ചതുരങ്ങളും സർവ്വസമമാണെന്നും ഒരേ വശനീളമുള്ള എല്ലാ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളും സർവ്വസമമാണെന്നും നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്.

ചിത്രം. 6.1

ഇപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ) വൃത്തങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക [ചിത്രം 6.1 (i) കാണുക]. അവ സർവ്വസമമാണോ? എല്ലാവർക്കും ഒരേ ആരം ഇല്ലാത്തതിനാൽ, അവ പരസ്പരം സർവ്വസമമല്ല. ചിലത് സർവ്വസമവും ചിലത് അല്ലാത്തതുമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, പക്ഷേ എല്ലാവർക്കും ഒരേ ആകൃതിയാണ്. അതിനാൽ അവയെല്ലാം നമ്മൾ സദൃശ്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നതാണ്. രണ്ട് സദൃശ്യരൂപങ്ങൾക്ക് ഒരേ ആകൃതിയുണ്ട്, പക്ഷേ ഒരേ വലിപ്പമാകണമെന്നില്ല. അതിനാൽ, എല്ലാ വൃത്തങ്ങളും സദൃശ്യമാണ്. രണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ) ചതുരങ്ങളെക്കുറിച്ചോ രണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ) സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളെക്കുറിച്ചോ [ചിത്രം 6.1 (ii), (iii) കാണുക] എന്ത് പറയാം? വൃത്തങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ നിരീക്ഷിച്ചതുപോലെ, ഇവിടെയും എല്ലാ ചതുരങ്ങളും സദൃശ്യവും എല്ലാ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളും സദൃശ്യവുമാണ്.

മുകളിൽ നിന്ന്, എല്ലാ സർവ്വസമ രൂപങ്ങളും സദൃശ്യമാണെന്നും സദൃശ്യ രൂപങ്ങൾ സർവ്വസമമാകണമെന്നില്ലെന്നും നമുക്ക് പറയാം.

ഒരു വൃത്തവും ഒരു ചതുരവും സദൃശ്യമാകുമോ? ഒരു ത്രികോണവും ഒരു ചതുരവും സദൃശ്യമാകുമോ? ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് രൂപങ്ങൾ നോക്കിയുള്ള മറുപടി നൽകാം (ചിത്രം 6.1 കാണുക). വ്യക്തമായും ഈ രൂപങ്ങൾ സദൃശ്യമല്ല. (എന്തുകൊണ്ട്?)

ചിത്രം. 6.2

$A B C D$, $P Q R S$ എന്നീ രണ്ട് ചതുർഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് (ചിത്രം 6.2 കാണുക) നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാനുണ്ട്? അവ സദൃശ്യമാണോ? ഈ രൂപങ്ങൾ സദൃശ്യമാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും നമുക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഉറപ്പില്ല. അതിനാൽ, രൂപങ്ങളുടെ സാദൃശ്യത്തിന് ഒരു നിർവ്വചനം ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഈ നിർവ്വചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി രണ്ട് തന്നിരിക്കുന്ന രൂപങ്ങൾ സദൃശ്യമാണോ അല്ലയോ എന്ന് തീരുമാനിക്കാനുള്ള ചില നിയമങ്ങളും ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഇതിനായി, ചിത്രം 6.3 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോട്ടോകൾ നോക്കാം:

ചിത്രം. 6.3

അവ ഒരേ സ്മാരകത്തിന്റെ (താജ്മഹലിന്റെ) ഫോട്ടോകളാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഉടൻ പറയും, പക്ഷേ വ്യത്യസ്ത വലിപ്പത്തിലാണ്. ഈ മൂന്ന് ഫോട്ടോകളും സദൃശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ പറയുമോ? അതെ, അവ സദൃശ്യമാണ്.

ഒരേ വ്യക്തിയുടെ 10 വയസ്സ് പ്രായത്തിലും 40 വയസ്സ് പ്രായത്തിലുമുള്ള ഒരേ വലിപ്പമുള്ള രണ്ട് ഫോട്ടോകളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാനുണ്ട്? ഈ ഫോട്ടോകൾ സദൃശ്യമാണോ? ഈ ഫോട്ടോകൾ ഒരേ വലിപ്പമുള്ളതാണ്, പക്ഷേ തീർച്ചയായും അവ ഒരേ ആകൃതിയിലുള്ളതല്ല. അതിനാൽ, അവ സദൃശ്യമല്ല.

ഒരേ നെഗറ്റീവിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത വലിപ്പത്തിലുള്ള ഫോട്ടോകൾ പ്രിന്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഫോട്ടോഗ്രാഫർ എന്താണ് ചെയ്യുന്നത്? സ്റ്റാമ്പ് സൈസ്, പാസ്പോർട്ട് സൈസ്, പോസ്റ്റ്കാർഡ് സൈസ് ഫോട്ടോകൾ എന്നിവ നിങ്ങൾ കേട്ടിട്ടുണ്ടാകും. അവർ സാധാരണയായി ഒരു ചെറിയ സൈസ് ഫിലിമിൽ, 35 mm വലിപ്പത്തിൽ, ഒരു ഫോട്ടോ എടുക്കുകയും പിന്നീട് അത് ഒരു വലിയ വലിപ്പത്തിലേക്ക്, 45 mm (അല്ലെങ്കിൽ 55 mm) ആയി വലുതാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, ചെറിയ ഫോട്ടോയിലെ (രൂപത്തിലെ) ഏതെങ്കിലും വരയുടെ ഭാഗം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വലിയ ഫോട്ടോയിലെ (രൂപത്തിലെ) അതിന്റെ അനുയോജ്യമായ വരയുടെ ഭാഗം $\dfrac{45}{35}$ (അല്ലെങ്കിൽ $.\dfrac{55}{35}$) ആയിരിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ചെറിയ ഫോട്ടോയിലെ ഓരോ വരയുടെ ഭാഗവും 35:45 (അല്ലെങ്കിൽ 35:55) എന്ന അനുപാതത്തിൽ വലുതാക്കപ്പെടുന്നു (വർദ്ധിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു) എന്നാണ്. വലിയ ഫോട്ടോയിലെ ഓരോ വരയുടെ ഭാഗവും 45:35 (അല്ലെങ്കിൽ 55:35) എന്ന അനുപാതത്തിൽ ചെറുതാക്കപ്പെടുന്നു (കുറയ്ക്കപ്പെടുന്നു) എന്നും പറയാം. കൂടാതെ, വ്യത്യസ്ത വലിപ്പമുള്ള രണ്ട് ഫോട്ടോകളിലെയും ഏതെങ്കിലും ജോഡി അനുയോജ്യമായ വരയുടെ ഭാഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ചരിവുകൾ (അല്ലെങ്കിൽ കോണുകൾ) നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ചരിവുകൾ (അല്ലെങ്കിൽ കോണുകൾ) എപ്പോഴും തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കാണും. രണ്ട് രൂപങ്ങളുടെയും പ്രത്യേകിച്ച് രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങളുടെയും സാദൃശ്യത്തിന്റെ സാരാംശമാണിത്. നമ്മൾ പറയുന്നത്:

ഒരേ എണ്ണം വശങ്ങളുള്ള രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങൾ സദൃശ്യമാണ്, (i) അവയുടെ അനുയോജ്യമായ കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിലും (ii) അവയുടെ അനുയോജ്യമായ വശങ്ങൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലാണെങ്കിലും (അല്ലെങ്കിൽ ആനുപാതികമാണെങ്കിലും).

അനുയോജ്യമായ വശങ്ങളുടെ ഒരേ അനുപാതത്തെ ബഹുഭുജങ്ങൾക്കുള്ള സ്കെയിൽ ഫാക്ടർ (അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിനിധി ഭിന്നസംഖ്യ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ലോക മാപ്പുകൾ (അതായത് ആഗോള മാപ്പുകൾ) ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള ബ്ലൂ പ്രിന്റുകൾ എന്നിവ ഉചിതമായ സ്കെയിൽ ഫാക്ടർ ഉപയോഗിച്ചും ചില രീതികൾ പാലിച്ചും തയ്യാറാക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ കേട്ടിട്ടുണ്ടാകും.

രൂപങ്ങളുടെ സാദൃശ്യം കൂടുതൽ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനം നടത്താം:

പ്രവർത്തനം 1 : നിങ്ങളുടെ ക്ലാസ് മുറിയിലെ മേൽത്തട്ടിൽ ഒരു പോയിന്റ് $O$ ൽ ഒരു വിളക്കുകൊളുത്തി, അതിന് താഴെ നേരിട്ട് ഒരു മേശ വയ്ക്കുക. ഒരു തലം കാർഡ്ബോർഡിൽ നിന്ന് ഒരു ബഹുഭുജം, ഒരു ചതുർഭുജം $ABCD$, മുറിക്കുകയും ഈ കാർഡ്ബോർഡ് വിളക്കിനും മേശയ്ക്കും ഇടയിൽ നിലത്തിന് സമാന്തരമായി വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. അപ്പോൾ ABCD യുടെ ഒരു നിഴൽ മേശയിൽ പതിക്കുന്നു. ഈ നിഴലിന്റെ രൂപരേഖ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തുക (ചിത്രം 6.4 കാണുക).

ചതുർഭുജം $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ എന്നത് ചതുർഭുജം $ABCD$ ന്റെ വലുതാക്കലാണ് (അല്ലെങ്കിൽ വികസിപ്പിക്കലാണ്) എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇതിന് കാരണം പ്രകാശം നേർരേഖയിൽ പ്രസരിക്കുന്നു എന്ന ഗുണമാണ്. $A^{\prime}$ രശ്മി $OA, B^{\prime}$ ൽ, $OB, C^{\prime}$ രശ്മി $O C$ ൽ, $D^{\prime}$ $O D$ ൽ എന്നിവയും നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. അങ്ങനെ, ചതുർഭുജങ്ങൾ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, $A B C D$ എന്നിവ ഒരേ ആകൃതിയുള്ളതും വ്യത്യസ്ത വലിപ്പമുള്ളതുമാണ്.

ചിത്രം. 6.4

അതിനാൽ, ചതുർഭുജം $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ചതുർഭുജം $ABCD$ ന് സദൃശ്യമാണ്. ചതുർഭുജം $A B C D$ ചതുർഭുജം $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ന് സദൃശ്യമാണെന്നും നമുക്ക് പറയാം.

ഇവിടെ, ശീർഷകം $A^{\prime}$ ശീർഷകം $A$ നോട്, ശീർഷകം $B^{\prime}$ ശീർഷകം $B$ നോട്, ശീർഷകം $C^{\prime}$ ശീർഷകം $C$ നോട്, ശീർഷകം $D^{\prime}$ ശീർഷകം D നോട് യോജിക്കുന്നു എന്നും നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഈ യോജിപ്പുകൾ പ്രതീകാത്മകമായി $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$, $D^{\prime} \leftrightarrow D$ എന്നിങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. രണ്ട് ചതുർഭുജങ്ങളുടെയും കോണുകളും വശങ്ങളും യഥാർത്ഥത്തിൽ അളക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം:

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$.

ഒരേ എണ്ണം വശങ്ങളുള്ള രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങൾ സദൃശ്യമാണ്, (i) എല്ലാ അനുയോജ്യമായ കോണുകളും തുല്യമാണെങ്കിലും (ii) എല്ലാ അനുയോജ്യമായ വശങ്ങളും ഒരേ അനുപാതത്തിലാണെങ്കിലും (അല്ലെങ്കിൽ ആനുപാതികമാണെങ്കിലും) എന്ന് ഇത് വീണ്ടും ഊന്നിപ്പറയുന്നു.

മുകളിൽ നിന്ന്, ചിത്രം 6.5 ലെ ചതുർഭുജങ്ങൾ $A B C D$, PQRS എന്നിവ സദൃശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പറയാം.

ചിത്രം. 6.5

ശ്രദ്ധിക്കുക : ഒരു ബഹുഭുജം മറ്റൊരു ബഹുഭുജത്തിന് സദൃശ്യമാണെങ്കിലും ഈ രണ്ടാമത്തെ ബഹുഭുജം മൂന്നാമത്തെ ബഹുഭുജത്തിന് സദൃശ്യമാണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ ബഹുഭുജം മൂന്നാമത്തെ ബഹുഭുജത്തിന് സദൃശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം.

ചിത്രം 6.6 ലെ രണ്ട് ചതുർഭുജങ്ങളിൽ (ഒരു ചതുരവും ഒരു ദീർഘചതുരവും), അനുയോജ്യമായ കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിലും അവയുടെ അനുയോജ്യമായ വശങ്ങൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലല്ല എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

ചിത്രം. 6.6

അതിനാൽ, രണ്ട് ചതുർഭുജങ്ങളും സദൃശ്യമല്ല. അതുപോലെ, ചിത്രം 6.7 ലെ രണ്ട് ചതുർഭുജങ്ങളിൽ (ഒരു ചതുരവും ഒരു സമചതുരവും), അനുയോജ്യമായ വശങ്ങൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലാണെങ്കിലും അവയുടെ അനുയോജ്യമായ കോണുകൾ തുല്യമല്ല എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. വീണ്ടും, രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങളും (ചതുർഭുജങ്ങളും) സദൃശ്യമല്ല.

ചിത്രം. 6.7

അങ്ങനെ, രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങളുടെ സാദൃശ്യത്തിനുള്ള മുകളിലെ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകളിൽ (i), (ii) ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് മാത്രം അവ സദൃശ്യമാകാൻ പര്യാപ്തമല്ല.

6.3 ത്രികോണങ്ങളുടെ സാദൃശ്യം

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ സാദൃശ്യത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാനുണ്ട്?

ത്രികോണവും ഒരു ബഹുഭുജമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കാം. അതിനാൽ, രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ സാദൃശ്യത്തിന് നമുക്ക് അതേ വ്യവസ്ഥകൾ പ്രസ്താവിക്കാം. അതായത്:

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ സദൃശ്യമാണ്,

(i) അവയുടെ അനുയോജ്യമായ കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിലും

(ii) അവയുടെ അനുയോജ്യമായ വശങ്ങൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലാണെങ്കിലും (അല്ലെങ്കിൽ ആനുപാതികമാണെങ്കിലും).

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ അനുയോജ്യമായ കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവ സമകോണ ത്രികോണങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. രണ്ട് സമകോണ ത്രികോണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രധാന സത്യം ഒരു പ്രശസ്ത ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ താലസ് നൽകി, അത് ഇപ്രകാരമാണ്:

രണ്ട് സമകോണ ത്രികോണങ്ങളിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അനുയോജ്യമായ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം എപ്പോഴും ഒരേപോലെയാണ്.

ഇതിനായി അദ്ദേഹം ബേസിക് പ്രൊപ്പോർഷണാലിറ്റി സിദ്ധാന്തം (ഇപ്പോൾ താലസ് സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു) എന്ന ഫലം ഉപയോഗിച്ചതായി വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.

ബേസിക് പ്രൊപ്പോർഷണാലിറ്റി സിദ്ധാന്തം മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനം നടത്താം:

പ്രവർത്തനം 2 : ഏതെങ്കിലും ഒരു കോൺ XAY വരയ്ക്കുക, അതിന്റെ ഒരു ഭുജം AX ൽ, P, Q, D, R, $B$ എന്നീ പോയിന്റുകൾ (അഞ്ച് പോയിന്റുകൾ എന്ന് പറയാം) $A P=P Q=Q D=D R=R B$ ആയിരിക്കും വിധം അടയാളപ്പെടുത്തുക.

ഇപ്പോൾ, B വഴി, ഭുജം $AY$ നെ $C$ ൽ ഛേദിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും രേഖ വരയ്ക്കുക (ചിത്രം 6.9 കാണുക).

ചിത്രം. 6.9

കൂടാതെ, പോയിന്റ് $D$ വഴി, $BC$ ന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക, അത് $AC$ നെ $E$ ൽ ഛേദിക്കുന്നു. നിങ്ങളുടെ നിർമ്മാണങ്ങളിൽ നിന്ന് $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ എന്ന് നിങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നുണ്ടോ? $AE$, $EC$ അളക്കുക. $\dfrac{A E}{E C}$ എന്താണ്? $\dfrac{A E}{E C}$ എന്നത് $\dfrac{3}{2}$ ന് തുല്യമാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. അങ്ങനെ, $\triangle ABC, DE \| BC$, $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ എന്നിവയിൽ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാം. ഇതൊരു യാദൃശ്ചികതയാണോ? അല്ല, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ (ബേസിക് പ്രൊപ്പോർഷണാലിറ്റി സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്ന) ഫലമാണ്:

സിദ്ധാന്തം 6.1: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരച്ച് മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളെ വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കളിൽ ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

തെളിവ് : ഒരു ത്രികോണം $ABC$ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ വശം $BC$ ന് സമാന്തരമായ ഒരു രേഖ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളായ $AB$, $AC$ എന്നിവയെ യഥാക്രമം $D$, $E$ എന്നിവയിൽ ഛേദിക്കുന്നു (ചിത്രം 6.10 കാണുക).

ചിത്രം. 6.10

$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് $BE$, $CD$ എന്നിവ ചേർക്കുകയും പിന്നീട് $DM \perp AC$, $EN \perp AB$ എന്നിവ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം.

ഇപ്പോൾ, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (1/2) × പാദം $\times$ × ഉയരം $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$.

ഒൻപതാം ക്ലാസിൽ നിന്ന് ഓർക്കുക, $\triangle ADE$ ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ar(ADE)$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

$ \text{അതിനാൽ,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{അതുപോലെ,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ and } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

അതിനാൽ, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

$$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

$\triangle BDE$, $DEC$ എന്നിവ ഒരേ പാദം $DE$ ൽ, ഒരേ സമാന്തര രേ