6.1 પ્રસ્તાવના

તમે તમારી પહેલાની ધોરણોમાં ત્રિકોણ અને તેમના ઘણા ગુણધર્મોથી પરિચિત છો. ધોરણ IX માં, તમે ત્રિ�ોણની સર્વાગસમતાનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો છે. યાદ કરો કે બે આકૃતિઓ સર્વાગસમ (congruent) કહેવાય છે, જો તેમનો આકાર સમાન હોય અને તેમનું માપ (size) સમાન હોય. આ પ્રકરણમાં, આપણે તે આકૃતિઓ વિશે અભ્યાસ કરીશું જેનો આકાર સમાન હોય પરંતુ જરૂરી નથી કે માપ પણ સમાન હોય. સમાન આકાર ધરાવતી (અને જરૂરી નથી કે સમાન માપ ધરાવતી) બે આકૃતિઓને સમરૂપ (similar) આકૃતિઓ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, આપણે ત્રિકોણની સમરૂપતા (similarity) ચર્ચા કરીશું અને આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ પહેલાં શીખેલા પાયથાગોરસ પ્રમેય (Pythagoras Theorem) નો સરળ પુરાવો આપવા માટે કરીશું.

શું તમે અનુમાન લગાવી શકો છો કે પર્વતોની ઊંચાઈઓ (જેમ કે માઉન્ટ એવરેસ્ટ) અથવા કેટલાક લાંબા અંતરના પદાર્થો (જેમ કે ચંદ્ર) ના અંતર કેવી રીતે શોધી કાઢવામાં આવ્યા છે? શું તમને લાગે છે કે આ માપ માપન ફીતા (measuring tape) ની મદદથી સીધા માપવામાં આવ્યા છે? હકીકતમાં, આ બધી ઊંચાઈઓ અને અંતરો પરોક્ષ માપન (indirect measurements) ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને શોધી કાઢવામાં આવ્યા છે, જે આકૃતિઓની સમરૂપતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે (આ પુસ્તકના ઉદાહરણ 7, પ્રશ્ન 15 અભ્યાસ 6.3 અને પ્રકરણ 8 અને 9 પણ જુઓ).

6.2 સમરૂપ આકૃતિઓ

ધોરણ IX માં, તમે જોયું છે કે સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બધા વર્તુળો સર્વાગસમ છે, સમાન બાજુની લંબાઈ ધરાવતા બધા ચોરસ સર્વાગસમ છે અને સમાન બાજુની લંબાઈ ધરાવતા બધા સમબાજુ ત્રિકોણ સર્વાગસમ છે.

આકૃતિ 6.1

હવે કોઈ પણ બે (અથવા વધુ) વર્તુળો ધ્યાનમાં લો [જુઓ આકૃતિ 6.1 (i)]. શું તે સર્વાગસમ છે? કારણ કે તે બધાની ત્રિજ્યા સમાન નથી, તેથી તે એકબીજા સાથે સર્વાગસમ નથી. નોંધ લો કે કેટલાક સર્વાગસમ છે અને કેટલાક નથી, પરંતુ તે બધાનો આકાર સમાન છે. તેથી તે બધા, આપણે જેને કહીએ છીએ, સમરૂપ છે. બે સમરૂપ આકૃતિઓનો આકાર સમાન હોય છે પરંતુ જરૂરી નથી કે માપ પણ સમાન હોય. તેથી, બધા વર્તુળો સમરૂપ છે. બે (અથવા વધુ) ચોરસ અથવા બે (અથવા વધુ) સમબાજુ ત્રિકોણ વિશે શું [જુઓ આકૃતિ 6.1 (ii) અને (iii)]? વર્તુળોના કિસ્સામાં જેવું અવલોકન કર્યું, અહીં પણ બધા ચોરસ સમરૂપ છે અને બધા સમબાજુ ત્રિકોણ સમરૂપ છે.

ઉપરથી, આપણે કહી શકીએ કે બધી સર્વાગસમ આકૃતિઓ સમરૂપ છે પરંતુ સમરૂપ આકૃતિઓ સર્વાગસમ હોવી જરૂરી નથી.

શું એક વર્તુળ અને એક ચોરસ સમરૂપ હોઈ શકે? શું એક ત્રિકોણ અને એક ચોરસ સમરૂપ હોઈ શકે? આ પ્રશ્નો માત્ર આકૃતિઓ જોઈને જવાબ આપી શકાય છે (જુઓ આકૃતિ 6.1). સ્પષ્ટ છે કે આ આકૃતિઓ સમરૂપ નથી. (કેમ?)

આકૃતિ 6.2

તમે બે ચતુષ્કોણો $A B C D$ અને $P Q R S$ વિશે શું કહી શકો છો (જુઓ આકૃતિ 6.2)? શું તે સમરૂપ છે? આ આકૃતિઓ સમરૂપ લાગે છે પરંતુ આપણે તેના વિશે નિશ્ચિત નથી. તેથી, આપણી પાસે આકૃતિઓની સમરૂપતાની કોઈ વ્યાખ્યા હોવી જોઈએ અને આ વ્યાખ્યા પર આધારિત કેટલાક નિયમો હોવા જોઈએ જે નક્કી કરે કે આપેલ બે આકૃતિઓ સમરૂપ છે કે નહીં. આ માટે, ચાલો આકૃતિ 6.3 માં આપેલ ફોટોગ્રાફ્સ જોઈએ:

આકૃતિ 6.3

તમે તરત જ કહેશો કે તે એક જ સ્મારક (તાજમહાલ) ના ફોટોગ્રાફ છે પરંતુ તે જુદા જુદા માપમાં છે. શું તમે કહેશો કે આ ત્રણેય ફોટોગ્રાફ સમરૂપ છે? હા, તે છે.

એક જ વ્યક્તિના એક જ માપના બે ફોટોગ્રાફ વિશે તમે શું કહી શકો છો, એક 10 વર્ષની ઉંમરે અને બીજો 40 વર્ષની ઉંમરે? શું આ ફોટોગ્રાફ સમરૂપ છે? આ ફોટોગ્રાફ એક જ માપના છે પરંતુ ચોક્કસપણે તે એક જ આકારના નથી. તેથી, તે સમરૂપ નથી.

ફોટોગ્રાફર જુદા જુદા માપના ફોટોગ્રાફ એક જ નેગેટિવમાંથી છાપે ત્યારે શું કરે છે? તમે સ્ટેમ્પ સાઇઝ, પાસપોર્ટ સાઇઝ અને પોસ્ટકાર્ડ સાઇઝના ફોટોગ્રાફ વિશે સાંભળ્યું હશે. તે સામાન્ય રીતે નાના માપની ફિલ્મ પર, ધારો કે 35 mm માપની, ફોટોગ્રાફ લે છે અને પછી તેને મોટા માપમાં, ધારો કે 45 mm (અથવા 55 mm) માં વધારે છે. આમ, જો આપણે નાના ફોટોગ્રાફ (આકૃતિ)માં કોઈ પણ રેખાખંડ ધ્યાનમાં લઈએ, તો મોટા ફોટોગ્રાફ (આકૃતિ)માં તેનો અનુરૂપ રેખાખંડ તે રેખાખંડનો $\dfrac{45}{35}$ (અથવા $.\dfrac{55}{35}$) હશે. આનો વાસ્તવિક અર્થ એ છે કે નાના ફોટોગ્રાફનો દરેક રેખાખંડ 35:45 (અથવા 35:55) ના ગુણોત્તરમાં વિસ્તૃત (વધારવામાં) થાય છે. એ પણ કહી શકાય કે મોટા ફોટોગ્રાફનો દરેક રેખાખંડ 45:35 (અથવા 55:35) ના ગુણોત્તરમાં ઘટાડવામાં આવે છે. વધુમાં, જો તમે જુદા જુદા માપના બે ફોટોગ્રાફમાં કોઈ પણ જોડી અનુરૂપ રેખાખંડો વચ્ચેના ઝુકાવ (અથવા ખૂણા) ધ્યાનમાં લો, તો તમે જોશો કે આ ઝુકાવ (અથવા ખૂણા) હંમેશા સમાન હોય છે. આ બે આકૃતિઓ અને ખાસ કરીને બહુકોણોની સમરૂપતાનો સાર છે. આપણે કહીએ છીએ કે:

સમાન બાજુઓની સંખ્યા ધરાવતા બે બહુકોણો સમરૂપ છે, જો (i) તેમના અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય અને (ii) તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (અથવા પ્રમાણમાં) હોય.

નોંધ લો કે અનુરૂપ બાજુઓનો સમાન ગુણોત્તર બહુકોણો માટે સ્કેલ ફેક્ટર (scale factor) (અથવા પ્રતિનિધિત્વ અપૂર્ણાંક - Representative Fraction) તરીકે ઓળખાય છે. તમે સાંભળ્યું હશે કે વિશ્વના નકશા (એટલે કે ગ્લોબલ મેપ્સ) અને ઇમારતના બાંધકામ માટે બ્લુ પ્રિન્ટ્સ યોગ્ય સ્કેલ ફેક્ટર અને ચોક્કસ સંમેલનોનું પાલન કરીને તૈયાર કરવામાં આવે છે.

આકૃતિઓની સમરૂપતા વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજવા માટે, ચાલો નીચેની પ્રવૃત્તિ કરીએ:

પ્રવૃત્તિ 1 : તમારા વર્ગખંડમાં છત પર એક બિંદુ $O$ પર એક પ્રકાશિત બલ્બ મૂકો અને તેની નીચે સીધું એક ટેબલ મૂકો. ચાલો એક સમતલ કાર્ડબોર્ડમાંથી એક બહુકોણ, ધારો કે ચતુષ્કોણ $ABCD$, કાપી લઈએ અને આ કાર્ડબોર્ડને પ્રકાશિત બલ્બ અને ટેબલ વચ્ચે જમીન સાથે સમાંતર મૂકીએ. ત્યારે ABCD ની પડછાયા ટેબલ પર પડે છે. આ પડછાયાની રૂપરેખા $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ તરીકે ચિહ્નિત કરો (જુઓ આકૃતિ 6.4).

નોંધ લો કે ચતુષ્કોણ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું વિસ્તરણ (અથવા વિસ્તૃતીકરણ) છે. આ પ્રકાશના ગુણધર્મને કારણે છે કે પ્રકાશ સીધી રેખામાં પ્રસરે છે. તમે એ પણ નોંધ શકો છો કે $A^{\prime}$ કિરણ $OA, B^{\prime}$ પર આવેલું છે, $OB, C^{\prime}$ કિરણ $O C$ પર આવેલું છે અને $D^{\prime}$ $O D$ પર આવેલું છે. આમ, ચતુષ્કોણો $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ અને $A B C D$ સમાન આકારના પરંતુ જુદા જુદા માપના છે.

આકૃતિ 6.4

તેથી, ચતુષ્કોણ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ચતુષ્કોણ $ABCD$ સાથે સમરૂપ છે. આપણે એ પણ કહી શકીએ કે ચતુષ્કોણ $A B C D$ ચતુષ્કોણ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ સાથે સમરૂપ છે.

અહીં, તમે એ પણ નોંધ શકો છો કે શિરોબિંદુ $A^{\prime}$ શિરોબિંદુ $A$ને અનુરૂપ છે, શિરોબિંદુ $B^{\prime}$ શિરોબિંદુ $B$ને અનુરૂપ છે, શિરોબિંદુ $C^{\prime}$ શિરોબિંદુ $C$ને અનુરૂપ છે અને શિરોબિંદુ $D^{\prime}$ શિરોબિંદુ Dને અનુરૂપ છે. પ્રતીકાત્મક રીતે, આ પત્રવ્યવહાર $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ અને $D^{\prime} \leftrightarrow D$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. બે ચતુષ્કોણોના ખૂણાઓ અને બાજુઓનું વાસ્તવિક માપ લઈને, તમે ચકાસી શકો છો કે

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ અને

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$.

આ ફરીથી ભાર મૂકે છે કે સમાન બાજુઓની સંખ્યા ધરાવતા બે બહુકોણો સમરૂપ છે, જો (i) બધા અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય અને (ii) બધી અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (અથવા પ્રમાણમાં) હોય.

ઉપરથી, તમે સરળતાથી કહી શકો છો કે આકૃતિ 6.5 ના ચતુષ્કોણો $A B C D$ અને PQRS સમરૂપ છે.

આકૃતિ 6.5

ટિપ્પણી : તમે ચકાસી શકો છો કે જો એક બહુકોણ બીજા બહુકોણ સાથે સમરૂપ હોય અને આ બીજો બહુકોણ ત્રીજા બહુકોણ સાથે સમરૂપ હોય, તો પહેલો બહુકોણ ત્રીજા બહુકોણ સાથે સમરૂપ છે.

તમે નોંધ શકો છો કે આકૃતિ 6.6 ના બે ચતુષ્કોણો (એક ચોરસ અને એક લંબચોરસ) માં, અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, પરંતુ તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં નથી.

આકૃતિ 6.6

તેથી, બે ચતુષ્કોણો સમરૂપ નથી. તેવી જ રીતે, તમે નોંધ શકો છો કે આકૃતિ 6.7 ના બે ચતુષ્કોણો (એક ચોરસ અને એક સમચતુષ્કોણ) માં, અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં છે, પરંતુ તેમના અનુરૂપ ખૂણા સમાન નથી. ફરીથી, બે બહુકોણો (ચતુષ્કોણો) સમરૂપ નથી.

આકૃતિ 6.7

આમ, બે બહુકોણોની સમરૂપતાની ઉપરની બે પરિસ્થિતિઓ (i) અને (ii) માંથી કોઈ પણ એક પરિસ્થિતિ તેમના સમરૂપ હોવા માટે પર્યાપ્ત નથી.

6.3 ત્રિકોણની સમરૂપતા

તમે બે ત્રિકોણોની સમરૂપતા વિશે શું કહી શકો છો?

તમને યાદ હશે કે ત્રિકોણ પણ એક બહુકોણ છે. તેથી, આપણે બે ત્રિકોણોની સમરૂપતા માટે સમાન શરતો જણાવી શકીએ છીએ. એટલે કે:

બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે, જો

(i) તેમના અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય અને

(ii) તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (અથવા પ્રમાણમાં) હોય.

નોંધ લો કે જો બે ત્રિકોણોના અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય, તો તેમને સમખૂણા ત્રિકોણ (equiangular triangles) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. એક પ્રખ્યાત ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી થેલ્સે (Thales) બે સમખૂણા ત્રિકોણો સંબંધિત એક મહત્વપૂર્ણ સત્ય આપ્યું હતું જે નીચે મુજબ છે:

બે સમખૂણા ત્રિકોણોમાં કોઈ પણ બે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર હંમેશા સમાન હોય છે.

માનવામાં આવે છે કે તેમણે મૂળ પ્રમાણસરતા પ્રમેય (Basic Proportionality Theorem) (હવે થેલ્સ પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે) ના પરિણામનો ઉપયોગ કર્યો હતો.

મૂળ પ્રમાણસરતા પ્રમેય (Basic Proportionality Theorem) સમજવા માટે, ચાલો નીચેની પ્રવૃત્તિ કરીએ:

પ્રવૃત્તિ 2 : કોઈ પણ ખૂણો XAY દોરો અને તેની એક ભુજા AX પર, બિંદુઓ (ધારો કે પાંચ બિંદુઓ) P, Q, D, R અને $B$ એવી રીતે ચિહ્નિત કરો કે $A P=P Q=Q D=D R=R B$.

હવે, B માંથી પસાર થઈને, કોઈ પણ રેખા દોરો જે ભુજા $AY$ ને $C$ પર છેદે છે (જુઓ આકૃતિ 6.9).

આકૃતિ 6.9

એટલે જ, બિંદુ $D$ માંથી પસાર થઈને, $BC$ ને સમાંતર એક રેખા દોરો જે $AC$ ને $E$ પર છેદે છે. શું તમે તમારી રચનાઓ પરથી અવલોકન કરો છો કે $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ ? $AE$ અને $EC$ નું માપ લો. $\dfrac{A E}{E C}$ વિશે શું? અવલોકન કરો કે $\dfrac{A E}{E C}$ પણ $\dfrac{3}{2}$ બરાબર છે. આમ, તમે જોઈ શકો છો કે $\triangle ABC, DE \| BC$ અને $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ માં. શું આ એક સંયોગ છે? ના, તે નીચેના પ્રમેયને કારણે છે (જેને મૂળ પ્રમાણસરતા પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે):

પ્રમેય 6.1: જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે જે બીજી બે બાજુઓને જુદા જુદા બિંદુઓ પર છેદે છે, તો બીજી બે બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે.

પુરાવો : આપણને એક ત્રિકોણ $ABC$ આપેલ છે જેમાં બાજુ $BC$ ને સમાંતર રેખા બીજી બે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને અનુક્રમે $D$ અને $E$ પર છેદે છે (જુઓ આકૃતિ 6.10).

આકૃતિ 6.10

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$.

ચાલો $BE$ અને $CD$ ને જોડીએ અને પછી $DM \perp AC$ અને $EN \perp AB$ દોરીએ.

હવે, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ નું ક્ષેત્રફળ = (1/2) × પાયો × ઊંચાઈ $\times$.

ધોરણ IX માંથી યાદ કરો, કે $\triangle ADE$ નું ક્ષેત્રફળ $ar(ADE)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

$ \text{તેથી,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{તેવી જ રીતે,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ અને } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

તેથી, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

અને $$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

નોંધ લો કે $\triangle BDE$ અને $DEC$ એક જ પાયા $DE$ પર છે અને સમાન સમાંતર રેખાઓ $BC$ અને $DE$ વચ્ચે છે.

$$ \begin{equation*} \text{So,}\quad \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\operatorname{ar}(\mathrm{DEC}) \tag{3} \end{equation*} $$

તેથી, (1), (2) અને (3) માંથી, આપણને મળે છે:

$ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} $

શું આ પ્રમેયનું વિપરીત (converse) પણ સત્ય છે (વિપરીતનો અર્થ, પરિશિષ્ટ 1 જુઓ)? આની તપાસ કરવા માટે, ચાલો નીચેની પ્રવૃત્તિ કરીએ:

પ્રવૃત્તિ 3 : તમારી નોટબુક પર એક ખૂણો XAY દોરો અને કિરણ $AX$ પર, બિંદુઓ $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ અને $B$ એવી રીતે ચિહ્નિત કરો કે $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$.

તેવી જ રીતે, કિરણ AY પર, બિંદુઓ $C_1, C_2, C_3, C_4$ અને $C$ એવી રીતે ચિહ્નિત કરો કે $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$. પછી $B_1 C_1$ અને $BC$ ને જોડો (જુઓ આકૃતિ 6.11).

આકૃતિ 6.11

નોંધ લો કે $\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ (દરેક $\dfrac{1}{4}$ બરાબર)

તમે એ પણ જોઈ શકો છો કે રેખાઓ $B_1 C_1$ અને $BC$ એકબીજાને સમાંતર છે, એટલે કે,

$$ B_1 C_1 \| BC \tag{1} $$

તેવી જ રીતે, $B_2 C_2, B_3 C_3$ અને $B_4 C_4$ ને જોડીને, તમે જોઈ શકો છો કે:

$$\dfrac{AB_2}{B_2 B}=\dfrac{AC_2}{C_2 C}(=\dfrac{2}{3}) \text{ and } B_2 C_2 \| BC \tag{2} $$

$$ \dfrac{AB_3}{B_3 B}=\dfrac{AC_3}{C_3 C}(=\dfrac{3}{2}) \text{ and } B_3 C_3 \| BC \tag{3} $$

$$ \dfrac{AB_4}{B_4 B}=\dfrac{AC_4}{C_4 C}(=\dfrac{4}{1}) \text{ and } B_4 C_4 \| BC \tag{4}$$

(1), (2), (3) અને (4) માંથી, તે અવલોકન કરી શકાય છે કે જો એક રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, તો રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.

તમે જુદા જુદા માપના કોઈ પણ ખૂણા XAY દોરીને અને ભુજાઓ AX અને AY પર સમાન ભાગોની કોઈ પણ સંખ્યા લઈને આ પ્રવૃત્તિનું પુનરાવર્તન કરી શકો છો. દરેક વખતે, તમે એ જ પરિણામ પર પહોંચશો. આમ, આપણે નીચેનો પ્રમેય મેળવીએ છીએ, જે પ્રમેય 6.1 નું વિપરીત છે:

પ્રમેય 6.2: જો એક રેખા ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, તો રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.

આ પ્રમેય એક રેખા $DE$ લઈને સાબિત કરી શકાય છે જેમ કે $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ અને એમ ધારીને કે $DE$ એ $BC$ ને સમાંતર નથ