६.१ परिचय

तुम्ही त्रिकोण आणि त्यांचे अनेक गुणधर्म याआधीच्या वर्गांतून परिचित आहात. नववीत, तुम्ही त्रिकोणांची एकरूपता तपशीलवार अभ्यासली आहे. आठवा की, दोन आकृती एकरूप म्हणून म्हटल्या जातात, जर त्यांचा आकार सारखाच असेल आणि त्यांचा आकारमान सारखे असेल. या प्रकरणात, आपण अशा आकृत्या अभ्यासणार आहोत ज्यांचा आकार सारखाच असतो परंतु आकारमान सारखे असणे आवश्यक नसते. दोन आकृती ज्यांचा आकार सारखाच असतो (आणि आकारमान सारखे असणे आवश्यक नसते) त्यांना समरूप आकृती म्हणतात. विशेषतः, आपण त्रिकोणांची समरूपता चर्चा करू आणि हे ज्ञान पूर्वी शिकलेल्या पायथागोरसच्या प्रमेयाचा सोपा पुरावा देण्यासाठी वापरू.

पर्वतांची उंची (उदाहरणार्थ, माउंट एव्हरेस्ट) किंवा काही लांबच्या वस्तूंचे अंतर (उदाहरणार्थ, चंद्र) कसे शोधले गेले आहेत हे तुम्ही अंदाज लावू शकता का? तुम्हाला असे वाटते का की हे मोजपट्टीच्या मदतीने थेट मोजले गेले आहेत? खरेतर, ही सर्व उंची आणि अंतरे अप्रत्यक्ष मापनांच्या कल्पनेचा वापर करून शोधली गेली आहेत, जी आकृत्या समरूप होण्याच्या तत्त्वावर आधारित आहे (उदाहरण ७, प्रश्न १५, उदाहरण ६.३ आणि या पुस्तकाचे प्रकरण ८ आणि ९ पहा).

६.२ समरूप आकृती

नववीत, तुम्ही पाहिले आहे की समान त्रिज्या असलेले सर्व वर्तुळे एकरूप असतात, समान बाजूची लांबी असलेले सर्व चौरस एकरूप असतात आणि समान बाजूची लांबी असलेले सर्व समभुज त्रिकोण एकरूप असतात.

आकृती ६.१

आता कोणतेही दोन (किंवा अधिक) वर्तुळे विचारात घ्या [आकृती ६.१ (i) पहा]. ती एकरूप आहेत का? कारण त्यांपैकी सर्वांची त्रिज्या समान नसते, त्यामुळे ती एकमेकांशी एकरूप नसतात. लक्षात घ्या की काही एकरूप आहेत आणि काही नाहीत, परंतु त्यांचा आकार सारखाच असतो. म्हणून ती सर्व आपण ज्याला समरूप म्हणतो ती आहेत. दोन समरूप आकृत्या समान आकाराच्या असतात परंतु आकारमान समान असणे आवश्यक नसते. म्हणून, सर्व वर्तुळे समरूप आहेत. दोन (किंवा अधिक) चौरस किंवा दोन (किंवा अधिक) समभुज त्रिकोणांचं काय [आकृती ६.१ (ii) आणि (iii) पहा]? वर्तुळांच्या बाबतीत निरीक्षण केल्याप्रमाणे, येथेही सर्व चौरस समरूप आहेत आणि सर्व समभुज त्रिकोण समरूप आहेत.

वरीलवरून, आपण असे म्हणू शकतो की सर्व एकरूप आकृती समरूप असतात परंतु समरूप आकृती एकरूप असणे आवश्यक नसते.

एक वर्तुळ आणि एक चौरस समरूप असू शकतात का? एक त्रिकोण आणि एक चौरस समरूप असू शकतात का? हे प्रश्न फक्त आकृत्यांकडे पाहून (आकृती ६.१ पहा) उत्तर दिले जाऊ शकतात. स्पष्टपणे ही आकृत्या समरूप नाहीत. (का?)

आकृती ६.२

दोन चौकोन $A B C D$ आणि $P Q R S$ बद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता (आकृती ६.२ पहा)? ते समरूप आहेत का? ही आकृत्या समरूप दिसतात परंतु आपण याबद्दल निश्चित नाही. म्हणून, आकृत्या समरूप होण्याची काही व्याख्या असणे आवश्यक आहे आणि या व्याख्येवर आधारित दोन दिलेल्या आकृत्या समरूप आहेत की नाही हे ठरवण्यासाठी काही नियम असणे आवश्यक आहे. यासाठी, आकृती ६.३ मध्ये दिलेल्या छायाचित्रांकडे पाहूया:

आकृती ६.३

तुम्ही लगेच म्हणाल की ती समान स्मारकाची (ताजमहाल) छायाचित्रे आहेत परंतु भिन्न आकारात आहेत. तुम्ही असे म्हणाल का की ती तीन छायाचित्रे समरूप आहेत? होय, ती आहेत.

एकाच व्यक्तीची समान आकाराची दोन छायाचित्रे, एक १० वर्षांच्या वयात आणि दुसरी ४० वर्षांच्या वयात, याबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता? ही छायाचित्रे समान आकाराची आहेत परंतु नक्कीच त्यांचा आकार सारखा नाही. म्हणून, ती समरूप नाहीत.

एकाच निगेटिव्हमधून भिन्न आकाराची छायाचित्रे छापताना छायाचित्रकार काय करतो? तुम्ही स्टॅम्प साईझ, पासपोर्ट साईझ आणि पोस्टकार्ड साईझ छायाचित्रांबद्दल ऐकले असेल. ती सामान्यतः छोट्या आकाराच्या फिल्मवर, म्हणा ३५ मिमी आकाराच्या, छायाचित्र घेते आणि नंतर ते मोठ्या आकारात, म्हणा ४५ मिमी (किंवा ५५ मिमी) मध्ये मोठे करते. अशाप्रकारे, जर आपण लहान छायाचित्रातील (आकृतीतील) कोणतीही रेषाखंड विचारात घेतली, तर मोठ्या छायाचित्रातील (आकृतीतील) त्याच्याशी संबंधित रेषाखंड त्या रेषाखंडाच्या $\dfrac{45}{35}$ (किंवा $.\dfrac{55}{35}$) असेल. याचा अर्थ असा की लहान छायाचित्रातील प्रत्येक रेषाखंड ३५:४५ (किंवा ३५:५५) या गुणोत्तरात मोठे केले जाते (वाढवले जाते). हे असेही म्हटले जाऊ शकते की मोठ्या छायाचित्रातील प्रत्येक रेषाखंड ४५:३५ (किंवा ५५:३५) या गुणोत्तरात लहान केले जाते (कमी केले जाते). पुढे, जर तुम्ही भिन्न आकाराच्या दोन छायाचित्रांमधील कोणत्याही जोडीतील संबंधित रेषाखंडांमधील कल (किंवा कोन) विचारात घेतले, तर तुम्हाला असे दिसेल की हे कल (किंवा कोन) नेहमी समान असतात. ही दोन आकृत्या आणि विशेषतः दोन बहुभुजांच्या समरूपतेची मूलतत्त्वे आहेत. आपण असे म्हणतो:

समान संख्येच्या बाजू असलेले दोन बहुभुज समरूप असतात, जर (i) त्यांचे संगत कोन समान असतील आणि (ii) त्यांच्या संगत बाजू समान गुणोत्तरात (किंवा प्रमाणात) असतील.

लक्षात घ्या की संगत बाजूंचे समान गुणोत्तर बहुभुजांसाठी प्रमाण गुणक (किंवा प्रतिनिधी अपूर्णांक) म्हणून संदर्भित केले जाते. तुम्ही नक्कीच ऐकले असेल की जागतिक नकाशे (म्हणजे, ग्लोबल मॅप्स) आणि इमारतीच्या बांधकामासाठी ब्लूप्रिंट योग्य प्रमाण गुणक वापरून आणि काही नियमांचे पालन करून तयार केले जातात.

आकृत्या समरूप होणे अधिक स्पष्टपणे समजून घेण्यासाठी, खालील कृती करूया:

कृती १ : तुमच्या वर्गखोलीत कमालमर्यादेवर एका बिंदू $O$ वर एक प्रकाशित बल्ब ठेवा आणि त्याच्या थेट खाली एक टेबल ठेवा. एक बहुभुज, म्हणा एक चौकोन $ABCD$, एका समतल कार्डबोर्डमधून कापून घेऊ आणि हे कार्डबोर्ड प्रकाशित बल्ब आणि टेबल यांच्यामध्ये जमिनीला समांतर ठेवू. नंतर ABCD ची सावली टेबलावर पडते. या सावलीची रूपरेषा $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ अशी चिन्हांकित करा (आकृती ६.४ पहा).

लक्षात घ्या की चौकोन $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ हा चौकोन $ABCD$ चा विस्तार (किंवा विस्तारण) आहे. हे प्रकाशाच्या गुणधर्मामुळे आहे की प्रकाश सरळ रेषेत पसरतो. तुम्ही हे देखील लक्षात घ्या की $A^{\prime}$ किरण $OA, B^{\prime}$ वर आहे, $OB, C^{\prime}$ किरण $O C$ वर आहे आणि $D^{\prime}$ $O D$ वर आहे. अशाप्रकारे, चौकोन $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ आणि $A B C D$ समान आकाराचे परंतु भिन्न आकाराचे आहेत.

आकृती ६.४

म्हणून, चौकोन $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ हा चौकोन $ABCD$ शी समरूप आहे. आपण असेही म्हणू शकतो की चौकोन $A B C D$ हा चौकोन $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ शी समरूप आहे.

येथे, तुम्ही हे देखील लक्षात घेऊ शकता की शिरोबिंदू $A^{\prime}$ हा शिरोबिंदू $A$ शी संबंधित आहे, शिरोबिंदू $B^{\prime}$ हा शिरोबिंदू $B$ शी संबंधित आहे, शिरोबिंदू $C^{\prime}$ हा शिरोबिंदू $C$ शी संबंधित आहे आणि शिरोबिंदू $D^{\prime}$ हा शिरोबिंदू D शी संबंधित आहे. चिन्हात्मकपणे, हे संबंध $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ आणि $D^{\prime} \leftrightarrow D$ असे दर्शविले जातात. दोन चौकोनांचे कोन आणि बाजू प्रत्यक्षात मोजून, तुम्ही हे सत्यापित करू शकता की

(i) $\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}$ आणि

(ii) $\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}}$.

हे पुन्हा एकदा जोर देते की समान संख्येच्या बाजू असलेले दोन बहुभुज समरूप असतात, जर (i) सर्व संगत कोन समान असतील आणि (ii) सर्व संगत बाजू समान गुणोत्तरात (किंवा प्रमाणात) असतील.

वरीलवरून, तुम्ही सहजपणे म्हणू शकता की आकृती ६.५ मधील चौकोन $A B C D$ आणि PQRS समरूप आहेत.

आकृती ६.५

टिप्पणी : तुम्ही सत्यापित करू शकता की जर एक बहुभुज दुसऱ्या बहुभुजाशी समरूप असेल आणि हा दुसरा बहुभुज तिसऱ्या बहुभुजाशी समरूप असेल, तर पहिला बहुभुज तिसऱ्या बहुभुजाशी समरूप असतो.

तुम्ही लक्षात घ्या की आकृती ६.६ मधील दोन चौकोनांमध्ये (एक चौरस आणि एक आयत), संगत कोन समान आहेत, परंतु त्यांच्या संगत बाजू समान गुणोत्तरात नाहीत.

आकृती ६.६

म्हणून, दोन चौकोन समरूप नाहीत. त्याचप्रमाणे, तुम्ही लक्षात घेऊ शकता की आकृती ६.७ मधील दोन चौकोनांमध्ये (एक चौरस आणि एक समभुज चौकोन), संगत बाजू समान गुणोत्तरात आहेत, परंतु त्यांचे संगत कोन समान नाहीत. पुन्हा, दोन बहुभुज (चौकोन) समरूप नाहीत.

आकृती ६.७

अशाप्रकारे, दोन बहुभुजांच्या समरूपतेच्या वरील दोन अटींपैकी (i) आणि (ii) कोणतीही एक पुरेशी नाही.

६.३ त्रिकोणांची समरूपता

दोन त्रिकोणांच्या समरूपतेबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

तुम्हाला आठवेल की त्रिकोण हा देखील एक बहुभुज आहे. म्हणून, आपण दोन त्रिकोणांच्या समरूपतेसाठी समान अती देऊ शकतो. ती अशी:

दोन त्रिकोण समरूप असतात, जर

(i) त्यांचे संगत कोन समान असतील आणि

(ii) त्यांच्या संगत बाजू समान गुणोत्तरात (किंवा प्रमाणात) असतील.

लक्षात घ्या की जर दोन त्रिकोणांचे संगत कोन समान असतील, तर त्यांना समकोणी त्रिकोण म्हणून ओळखले जाते. एक प्रसिद्ध ग्रीक गणितज्ञ थेल्स यांनी दोन समकोणी त्रिकोणांशी संबंधित एक महत्त्वाचा सत्य दिला आहे जो खालीलप्रमाणे आहे:

दोन समकोणी त्रिकोणांमधील कोणत्याही दोन संगत बाजूंचे गुणोत्तर नेहमी समान असते.

असे मानले जाते की त्यांनी त्यासाठी मूलभूत प्रमाण प्रमेय (आता थेल्स प्रमेय म्हणून ओळखले जाते) नावाचा निकाल वापरला होता.

मूलभूत प्रमाण प्रमेय समजून घेण्यासाठी, खालील कृती करूया:

कृती २ : कोणताही कोन XAY काढा आणि त्याच्या एका बाजू AX वर, P, Q, D, R आणि $B$ असे बिंदू (म्हणा पाच बिंदू) चिन्हांकित करा जेणेकरून $A P=P Q=Q D=D R=R B$.

आता, B मधून, कोणतीही रेषा काढा जी बाजू $AY$ ला $C$ वर छेदते (आकृती ६.९ पहा).

आकृती ६.९

तसेच, बिंदू $D$ मधून, $BC$ ला समांतर एक रेषा काढा जी $AC$ ला $E$ वर छेदते. तुमच्या रचनेवरून तुम्ही पाहता की $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$? $AE$ आणि $EC$ मोजा. $\dfrac{A E}{E C}$ बद्दल काय? लक्षात घ्या की $\dfrac{A E}{E C}$ हे $\dfrac{3}{2}$ च्या समान आहे. अशाप्रकारे, तुम्ही पाहू शकता की $\triangle ABC, DE \| BC$ आणि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ मध्ये. हा योगायोग आहे का? नाही, हे खालील प्रमेयामुळे आहे (ज्याला मूलभूत प्रमाण प्रमेय म्हणून ओळखले जाते):

प्रमेय ६.१: जर त्रिकोणाच्या एका बाजूस समांतर रेषा काढली आणि ती इतर दोन बाजूंना भिन्न बिंदूंमध्ये छेदली, तर इतर दोन बाजू समान गुणोत्तरात विभागल्या जातात.

पुरावा: आपल्याला एक त्रिकोण $ABC$ दिलेला आहे ज्यामध्ये बाजू $BC$ ला समांतर रेषा इतर दोन बाजू $AB$ आणि $AC$ ला अनुक्रमे $D$ आणि $E$ वर छेदते (आकृती ६.१० पहा).

आकृती ६.१०

आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$.

$BE$ आणि $CD$ जोडू आणि नंतर $DM \perp AC$ आणि $EN \perp AB$ काढू.

आता, $\Delta ADE(=\dfrac{1}{2}.$ चे क्षेत्रफळ = (१/२) × पाया $\times$ × उंची $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$.

नववीतून आठवा, की $\triangle ADE$ चे क्षेत्रफळ $ar(ADE)$ असे दर्शविले जाते.

$ \text{म्हणून,}\quad ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AD \times EN $

$ \begin{aligned} \text{त्याचप्रमाणे,}\\ & ar(BDE)=\dfrac{1}{2} DB \times EN, \\ & ar(ADE)=\dfrac{1}{2} AE \times DM \text{ आणि } ar(DEC)=\dfrac{1}{2} EC \times DM . \end{aligned} $

म्हणून, $$\quad \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AD \times EN}{\dfrac{1}{2} DB \times EN}=\dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

आणि $$\dfrac{ar(ADE)}{ar(DEC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2} AE \times DM}{\dfrac{1}{2} EC \times DM}=\dfrac{AE}{EC} \tag{2}$$

लक्षात घ्या की $\triangle BDE$ आणि $DEC$ एकाच पाया $DE$ वर आणि एकाच समांतर रेषा $BC$ आणि $DE$ यांच्यामध्ये आहेत.

$$ \begin{equation*} \text{So,}\quad \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\operatorname{ar}(\mathrm{DEC}) \tag{3} \end{equation*} $$

म्हणून, (१), (२) आणि (३) वरून, आपल्याला मिळते:

$ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} $

या प्रमेयाचा व्यत्यास देखील सत्य आहे का (व्यत्यासाचा अर्थ, परिशिष्ट १ पहा)? हे तपासण्यासाठी, खालील कृती करूया:

कृती ३ : तुमच्या नोटबुकवर एक कोन XAY काढा आणि किरण $AX$ वर, $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ आणि $B$ असे बिंदू चिन्हांकित करा जेणेकरून $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$.

त्याचप्रमाणे, किरण AY वर, $C_1, C_2, C_3, C_4$ आणि $C$ असे बिंदू चिन्हांकित करा जेणेकरून $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$. नंतर $B_1 C_1$ आणि $BC$ जोडा (आकृती ६.११ पहा).

आकृती ६.११

लक्षात घ्या की $\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ (प्रत्येक $\dfrac{1}{4}$ च्या समान)

तुम्ही हे देखील पाहू शकता की रेषा $B_1 C_1$ आणि $BC$ एकमेकांना समांतर आहेत, म्हणजे,

$$ B_1 C_1 \| BC \tag{1} $$

त्याचप्रमाणे, $B_2 C_2, B_3 C_3$ आणि $B_4 C_4$ जोडून, तुम्ही पाहू शकता:

$$\dfrac{AB_2}{B_2 B}=\dfrac{AC_2}{C_2 C}(=\dfrac{2}{3}) \text{ and } B_2 C_2 \| BC \tag{2} $$

$$ \dfrac{AB_3}{B_3 B}=\dfrac{AC_3}{C_3 C}(=\dfrac{3}{2}) \text{ and } B_3 C_3 \| BC \tag{3} $$

$$ \dfrac{AB_4}{B_4 B}=\dfrac{AC_4}{C_4 C}(=\dfrac{4}{1}) \text{ and } B_4 C_4 \| BC \tag{4}$$

(१), (२), (३) आणि (४) वरून, हे निरीक्षण करता येते की जर एक रेषा त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना समान गुणोत्तरात विभागते, तर ती रेषा तिसऱ्या बाजूस समांतर असते.

तुम्ही भिन्न मापाचा कोणताही कोन XAY काढून आणि बाजू AX आणि AY वर समान भागांची कोणतीही संख्या घेऊन ही कृती पुन्हा करू शकता. प्रत्येक वेळी, तुम्हाला समान निकाल मिळेल. अशाप्रकारे, आपल्याला खालील प्रमेय प्राप्त होते, जे प्रमेय ६.१ चा व्यत्यास आहे:

प्रमेय ६.२: जर एक रेषा त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंना समान गुणोत्तरात विभागते, तर ती रेषा तिसऱ्या बाजूस समांतर असते.

हे प्रमेय एक रेषा $DE$ घेऊन सिद्ध करता येते जसे की $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ आणि असे गृहीत धरून की $DE$ ही $BC$ ला समांतर नाही (आकृती ६.१२ पहा).

आकृती ६.१२

जर $DE$ ही $BC$ ला समांतर नसेल, तर एक रेषा $DE^{\prime}$ काढा जी $BC$ ला समांतर आहे.

$ \text{म्हणून,}\quad \dfrac{A D}{D B}=\dfrac{A E^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad \text{ (का?) } $

$ \text{म्हणून,}\quad \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AE^{\prime}}{E^{\prime} C} \quad(\text{ का?) } $

वरील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना १ मिळवल्यास, तुम्ही पाहू शकता की $E$ आणि $E^{\prime}$ एकरूप होणे आवश्यक आहे. (का?)

वरील प्रमेयांचा वापर स्पष्ट करण्यासाठी काही उदाहरणे घेऊ.

उदाहरण १ : जर एक रेषा $A B$ आणि $A C$ या $\triangle A B C$ च्या बाजूंना अनुक्रमे $D$ आणि $E$ वर छेदते आणि $B C$ ला समांतर असेल, तर सिद्ध करा की $\dfrac{A D}{A B}=\dfrac{A E}{A C}$ (आकृती ६.१३ पहा).

आकृती ६.१३

उकल : $DE \| BC \quad \quad \quad $ दिलेले आहे

म्हणून, $$\quad \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\tag{ Theorem 6.1 }$$

किंवा, $\quad \dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$

किंवा, $\quad \dfrac{DB}{AD}+1=\dfrac{EC}{AE}+1$

किंवा,

किंवा, $\quad \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE} $

म्हणून, $\quad \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC} $

उदाहरण २ : ABCD हा एक समलंब चौकोन आहे ज्यामध्ये $AB \| DC$. $E$ आणि $F$ हे अनुक्रमे असमांतर बाजू $A D$ आणि $B C$ वरील बिंदू आहेत जसे की $E F$ ही $A B$ ला समांतर आहे (आकृती ६.१४ पहा). दाखवा की $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$.

आकृती ६.१४

उकल : $EF$ ला छेदण्यासाठी AC जोडू या (आकृती ६.१५ पहा).

आकृती ६.१५

$AB \| DC$ आणि $EF \| AB$ (दिलेले)

म्हणून, $EF \| DC$ (एकाच रेषेला समांतर असलेल्या रेषा एकमेकांना समांतर असतात)

आता, $\triangle ADC$ मध्ये,

EG $\|$ DC (कारण EF $\|$ DC)

म्हणून, $$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AG}{GC} \quad (Theorem 6.1) \tag{1}$$

त्याचप्रमाणे, $\triangle CAB$ पासून,

$$ \dfrac{CG}{AG}=\dfrac{CF}{BF} $$

$$ \text{i.e.,}\quad \dfrac{AG}{GC}=\dfrac{BF}{FC} \tag{2} $$

म्हणून, (१) आणि (२) वरून,

$$ \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC} $$

उदाहरण ३ : आकृती ६.१६ मध्ये, $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ आणि $\angle PST=$ $\angle PRQ$. सिद्ध करा की $PQR$ हा एक समद्विभुज त्रिकोण आहे.

आकृती ६.१६

उकल : हे दिले आहे की $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$.

$$\text{So,}\quad \text{ST } \| \text{ QR} \tag{Theorem 6.2}$$

(प्रमेय ६.२)

$$ \text{Therefore,}\quad \angle PST=\angle PQR \quad \text{ (Corresponding angles) } \tag{1} $$

तसेच, हे दिले आहे की

$$ \angle PST=\angle PRQ \tag{2} $$

$\text{So,}\quad \angle PRQ=\angle PQR$ [(१) आणि (२) वरून]

म्हणून, $ \quad \quad PQ=PR \quad$ (समान कोनांच्या समोरील बाजू)

म्हणजे, $\quad\quad\triangle PQR$ हा एक समद्विभुज त्रिकोण आहे.

६.४ त्रिकोणांच्या समरूपतेची निकष

मागील विभागात, आपण असे नमूद केले होते की दोन त्रिकोण समरूप असतात, जर (i) त्यांचे संगत कोन समान असतील आणि (ii) त्यांच्या संगत बाजू समान गुणोत्तरात (किंवा प्रमाणात) असतील.

म्हणजे, $\triangle ABC$ आणि $\triangle DEF$ मध्ये, जर

(i) $\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ आणि

(ii) $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$, तर दोन त्रिकोण समरूप आहेत (आकृती ६.२२ पहा).

आकृती ६.२२

येथे, तुम्ही पाहू शकता की A हा D शी संबंधित आहे, B हा E शी संबंधित आहे आणि C हा F शी संबंधित आहे. चिन्हात्मकपणे, आपण या दोन त्रिकोणांची समरूपता ‘$\triangle ABC \sim \triangle DEF$’ असे लिहितो आणि ‘त्रिकोण ABC हा त्रिकोण DEF शी समरूप आहे’ असे वाचतो. ‘$\sim$’ हे चिन्ह ‘समरूप आहे’ यासाठी वापरले जाते. नववीत, तुम्ही ‘एकरूप आहे’ यासाठी ‘$\cong$’ हे चिन्ह वापरले आहे हे आठवा.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की दोन त्रिकोणांच्या एकरूपतेप्रमाणे, दोन त्रिकोणांची समरूपता देखील चिन्हात्मकपणे, त्यांच्या शिरोबिंदूंच्या योग्य संबंध वापरून व्यक्त केली पाहिजे. उदाहरणार्थ, आकृती ६.२२ मधील त्रिकोण $A B C$ आणि $D E F$ साठी, आपण $\Delta ABC \sim \Delta EDF$ किंवा $\Delta ABC \sim \Delta FED$ लिहू शकत नाही. तथापि, आपण $\Delta BAC \sim \Delta EDF$ लिहू शकतो.

आता एक नैसर्गिक प्रश्न उद्भवतो: दोन त्रिकोणांची समरूपता तपासण्यासाठी, म्हणा $ABC$ आणि $DEF$, आपल्याला नेहमीच त्यांच्या संगत कोनांच्या सर्व समानता संबंध $ \left(\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F \right)$ आणि त्यांच्या संगत बाजूंच्या गुणोत्तर