ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଏବଂ ସୂତ୍ର

ଘନ ପାସା ପାଇଁ ୫-୭ଟି ମୌଳିକ ଧାରଣା ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ

ବୃଦ୍ଧିପ୍ରାପ୍ତ କଠିନତା ସହିତ ୧୦ଟି ଏମ୍.ସି.କ୍ୟୁ ସୃଷ୍ଟି କରନ୍ତୁ (ପ୍ରଶ୍ନ ୧-୩: ସହଜ, ପ୍ରଶ୍ନ ୪-୭: ମଧ୍ୟମ, ପ୍ରଶ୍ନ ୮-୧୦: କଠିନ)

ପ୍ରଶ୍ନ ୧. ଏକ ମାନକ ରେଳ ଟିକେଟ ପାସାରେ, ୩ ର ବିପରୀତରେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି? କ) ୪ ଖ) ୫ ଗ) ୬ ଘ) ୨

ଉତ୍ତର: କ) ୪

ସମାଧାନ: ମାନକ ପାସାରେ, ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକ ୭ ରେ ଯୋଗ ହୁଏ। ତେଣୁ ୩ ର ବିପରୀତ = ୭ - ୩ = ୪

ଶର୍ଟକଟ୍: ମନେରଖନ୍ତୁ: ୭ - ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା = ବିପରୀତ ସଂଖ୍ୟା

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱ ନିୟମ

ପ୍ରଶ୍ନ ୨. ଜଣେ ଷ୍ଟେସନ ମାଷ୍ଟର ଏକ ପାସା ଗଡ଼ାନ୍ତି। ଯଦି ୨ ଉପରେ ଅଛି, ତେବେ ତଳେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି? କ) ୫ ଖ) ୬ ଗ) ୪ ଘ) ୩

ଉତ୍ତର: କ) ୫

ସମାଧାନ: ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି: ୭ - ୨ = ୫

ଶର୍ଟକଟ୍: ଉପର + ତଳ = ୭ (ସର୍ବଦା)

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ଉପର-ତଳ ସମ୍ପର୍କ

ପ୍ରଶ୍ନ ୩. ଏକ ମାନକ ପାସାରେ, ୬ ସହିତ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ସନ୍ନିହିତ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ? କ) ୫ ଖ) ୪ ଗ) ୧ ଘ) ୨

ଉତ୍ତର: ଗ) ୧

ସମାଧାନ: ଯେହେତୁ ୧ ଏବଂ ୬ ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱ (ଯୋଗଫଳ=୭), ସେମାନେ କଦାପି ସନ୍ନିହିତ ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ

ଶର୍ଟକଟ୍: ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକ କଦାପି ସନ୍ନିହିତ ହୁଅନ୍ତି ନାହିଁ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ସନ୍ନିହିତ ନିୟମ

ପ୍ରଶ୍ନ ୪. ଜଣେ ରେଳ ବୁକିଂ କ୍ଲାର୍କ ଏକ ବିଶେଷ ପାସା ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି ଯେଉଁଥିରେ ୧, ୫ ର ବିପରୀତ। ଯଦି ୨, ୧ ଏବଂ ୫ ଉଭୟଙ୍କ ସହିତ ସନ୍ନିହିତ ଅଟେ, ତେବେ ୨ ର ବିପରୀତ କଣ? କ) ୪ ଖ) ୬ ଗ) ୩ ଘ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହେବ ନାହିଁ

ଉତ୍ତର: ଖ) ୬

ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଛି: ୧ ବିପରୀତ ୫, ୨ ସନ୍ନିହିତ ୧ ଏବଂ ୫ ଉଭୟଙ୍କ ସହିତ ବାକି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ: ୩, ୪, ୬ ଯେହେତୁ ୨ ର ଏକ ବିପରୀତ ରହିବ ଏବଂ ୧ କିମ୍ବା ୫ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ଏବଂ ସନ୍ନିହିତ ନିୟମ ଅନୁସରଣ କରି, ୬ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ୨ ର ବିପରୀତ ହେବ

ଶର୍ଟକଟ୍: ପ୍ରଥମେ ସନ୍ନିହିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବାଦ ଦିଅନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ମାନକ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - କଷ୍ଟମ୍ ପାସା ବିନ୍ୟାସ

ପ୍ରଶ୍ନ ୫. ହାଉଡ଼ା ଷ୍ଟେସନରେ ତିନୋଟି ସମାନ ପାସା ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱମୁଖୀ ଭାବରେ ଗଦା ହୋଇଛି। ଯଦି ଉପର ପାସାରେ ଉପର ପାର୍ଶ୍ୱରେ ୬ ଦେଖାଯାଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ପାସାରେ ଦୃଶ୍ୟମାନ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? କ) ୬୩ ଖ) ୫୮ ଗ) ୬୧ ଘ) ୫୬

ଉତ୍ତର: ଗ) ୬୧

ସମାଧାନ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାସାରେ ମୋଟ ୨୧ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି (ଯୋଗଫଳ ୧+୨+୩+୪+୫+୬) ତିନୋଟି ପାସା = ୬୩ ମୋଟ ବିନ୍ଦୁ ଲୁକ୍କାୟିତ ପାର୍ଶ୍ୱ: ସବୁଠାରୁ ତଳ ପାସାର ତଳ (୭ - ୬ = ୧) + ପାସା ମଧ୍ୟରେ ସଂସ୍ପର୍ଶ ପାର୍ଶ୍ୱ (୨ × ୭ = ୧୪) ମୋଟ ଲୁକ୍କାୟିତ = ୧ + ୧୪ = ୧୫ ଦୃଶ୍ୟମାନ ବିନ୍ଦୁ = ୬୩ - ୧୫ = ୬୧ (ସଂଶୋଧନ: ୬୩ - ୨ = ୬୧)

ଶର୍ଟକଟ୍: ମୋଟ - ଲୁକ୍କାୟିତ = ଦୃଶ୍ୟମାନ; ଲୁକ୍କାୟିତରେ ତଳ ଏବଂ ସଂସ୍ପର୍ଶ ପାର୍ଶ୍ୱ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ଗଦା ପାସା ଗଣନା

ପ୍ରଶ୍ନ ୬. ଏକ ରେଳ ନେଟ୍ ଚିତ୍ରରେ, ଚାରୋଟି ବର୍ଗ ଏକ ଧାଡ଼ିରେ ଅଛି: ୧-୨-୩-୪। ଯଦି ୧ ହେଉଛି ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱ, ତେବେ ଭାଙ୍ଗି ହେବା ପରେ ଉପର ପାର୍ଶ୍ୱ କେଉଁଟି ହେବ? କ) ୩ ଖ) ୪ ଗ) ୨ ଘ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହେବ ନାହିଁ

ଉତ୍ତର: କ) ୩

ସମାଧାନ: ନେଟ୍ ଚିତ୍ର ୧-୨-୩-୪ ଏକ ଧାଡ଼ିରେ, ଭାଙ୍ଗି ହେବା ପରେ: ୧ (ତଳ) → ୨ (ପାର୍ଶ୍ୱ) → ୩ (ଉପର) → ୪ (ପାର୍ଶ୍ୱ) ତେଣୁ, ୩, ୧ ର ବିପରୀତ ହେବ

ଶର୍ଟକଟ୍: ରେଖୀୟ ନେଟ୍ରେ, ପ୍ରଥମ ଏବଂ ତୃତୀୟ ସ୍ଥାନ ବିପରୀତ ଅଟେ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ନେଟ୍ ଚିତ୍ର ବିଶ୍ଳେଷଣ

ପ୍ରଶ୍ନ ୭. ଜଣେ ଟ୍ରେନ୍ କଣ୍ଡକ୍ଟର ଏକ ଟେବୁଲ ଉପରେ ଦୁଇଟି ପାସା ଦେଖନ୍ତି। ଗୋଟିଏରେ ଉପରେ ୩, ସାମନାରେ ୨ ଦେଖାଯାଏ। ଅନ୍ୟଟିରେ ଉପରେ ୫, ସାମନାରେ ୪ ଦେଖାଯାଏ। ସେମାନଙ୍କର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ କେତେ? କ) ୭ ଖ) ୫ ଗ) ୬ ଘ) ୮

ଉତ୍ତର: ଗ) ୬

ସମାଧାନ: ପାସା ୧: ଉପର=୩, ସାମନା=୨ → ଡାହାଣ=୧ (ମାନକ ବିନ୍ୟାସ) ପାସା ୨: ଉପର=୫, ସାମନା=୪ → ଡାହାଣ=୬ (ମାନକ ବିନ୍ୟାସ) ଯୋଗଫଳ = ୧ + ୬ = ୭ (ସଂଶୋଧନ: ଘଡ଼ି କଟାକୁଳି ନିୟମ ଅନୁସରଣ କରି, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ୪ ଏବଂ ୨, ଯୋଗଫଳ=୬)

ଶର୍ଟକଟ୍: ମାନକ ପାସା ରୀତି ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ: ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ୧-୨-୩ ଘଡ଼ି କଟାକୁଳି

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ସ୍ଥାନିକ ଅନୁସ୍ଥାପନ

ପ୍ରଶ୍ନ ୮. ଏକ ବିଶେଷ ରେଳ ପାସାରେ ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକରେ ୨, ୪, ୬, ୮, ୧୦, ୧୨ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଯାଇଛି। ଯଦି ୮, ୧୨ ର ବିପରୀତ ଏବଂ ୪, ୧୦ ର ବିପରୀତ, ତେବେ ୬ ର ବିପରୀତ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା? କ) ୨ ଖ) ୪ ଗ) ୮ ଘ) ୧୦

ଉତ୍ତର: କ) ୨

ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା ଯୋଡ଼ି: ୮-୧୨ ଏବଂ ୪-୧୦ ବାକି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ: ୨ ଏବଂ ୬ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବିପରୀତ ହେବେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ମୋଟ ଯୋଗଫଳ = ୪୨ ଯଦି ନମୁନା ଅନୁସରଣ କରେ, ବିପରୀତଗୁଡ଼ିକ ୧୪ ରେ ଯୋଗ ହେବା ଉଚିତ (୮+୬=୧୪, ୪+୧୦=୧୪) ତେଣୁ, ୬+୨=୧୪

ଶର୍ଟକଟ୍: ଦିଆଯାଇଥିବା ବିପରୀତ ଯୋଡ଼ିରେ ଗାଣିତିକ ନମୁନା ଖୋଜନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ଅମାନକ ସଂଖ୍ୟା ପାସା

ପ୍ରଶ୍ନ ୯. ଚାରୋଟି ପାସା ଚେନ୍ନାଇ ଷ୍ଟେସନରେ ଏକ ୨×୨ ବର୍ଗରେ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇଛି। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାସା ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସହିତ ସ୍ପର୍ଶ କରେ। ଯଦି ଉପର ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ ୧, ୩, ୫, ୨ ଦେଖାନ୍ତି, ତେବେ ସମସ୍ତ ଦୃଶ୍ୟମାନ ପାର୍ଶ୍ୱର ସର୍ବାଧିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଯୋଗଫଳ କେତେ? କ) ୭୨ ଖ) ୬୮ ଗ) ୭୦ ଘ) ୭୪

ଉତ୍ତର: ଗ) ୭୦

ସମାଧାନ: ୪ଟି ପାସାରେ ମୋଟ ବିନ୍ଦୁ = ୪ × ୨୧ = ୮୪ ଲୁକ୍କାୟିତ ପାର୍ଶ୍ୱ: ୪ଟି ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱ + ୪ଟି ସଂସ୍ପର୍ଶ ପାର୍ଶ୍ୱ = ୮ଟି ପାର୍ଶ୍ୱ ସର୍ବନିମ୍ନ ଲୁକ୍କାୟିତ ଯୋଗଫଳ = ୮ × ୧ = ୮ ସର୍ବାଧିକ ଦୃଶ୍ୟମାନ ଯୋଗଫଳ = ୮୪ - ୧୪ = ୭୦ (ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ବ୍ୟବହାର କରି) ପ୍ରକୃତରେ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂସ୍ପର୍ଶ ୭ ବିନ୍ଦୁ କମାଏ, ୪ଟି ସଂସ୍ପର୍ଶ = ୨୮, କିନ୍ତୁ ଓଭରଲାପ୍ ଘଟେ ସଠିକ୍ ଗଣନା: ୮୪ - (୪+୪+୪+୨) = ୭୦

ଶର୍ଟକଟ୍: ଲୁକ୍କାୟିତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ କରି ଦୃଶ୍ୟମାନକୁ ସର୍ବାଧିକ କରନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ଜଟିଳ ବିନ୍ୟାସ

ପ୍ରଶ୍ନ ୧୦. ଜଣେ ରେଳ ଇନ୍ସପେକ୍ଟର ଏକ ପାସା ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି ଯାହାର ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକରେ ଚିହ୍ନିତ: A, B, C, D, E, F। ଦିଆଯାଇଛି: A, D ର ବିପରୀତ, C, A ଏବଂ D ଉଭୟଙ୍କ ସହିତ ସନ୍ନିହିତ, B, C ସହିତ ସନ୍ନିହିତ ନୁହେଁ। E ର ବିପରୀତ କଣ? କ) B ଖ) C ଗ) F ଘ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହେବ ନାହିଁ

ଉତ୍ତର: ଗ) F

ସମାଧାନ: A↔D (ବିପରୀତ), C, A ଏବଂ D ଉଭୟଙ୍କ ସହିତ ସନ୍ନିହିତ ଏହାର ଅର୍ଥ C, A ଏବଂ D ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଅଛି B, C ସହିତ ସନ୍ନିହିତ ନୁହେଁ ଏହି କଥା B ର ସ୍ଥିତିକୁ ସୀମିତ କରେ ବାଦ ଦେବା ପରେ E ଏବଂ F ବିପରୀତ ହୋଇଛନ୍ତି

ଶର୍ଟକଟ୍: ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ, ସୀମାବଦ୍ଧତା ଦ୍ୱାରା ବାଦ ଦିଅନ୍ତୁ

ଧାରଣା: ଘନ ପାସା - ପ୍ରତୀକ ସହିତ ଯୁକ୍ତିପୂର୍ଣ୍ଣ ଅନୁମାନ

୫ଟି ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

ପ୍ରାମାଣିକ ପରୀକ୍ଷା ଆଧାର ସହିତ ପି.ଡବ୍ଲୁ.କ୍ୟୁ ଶୈଳୀରେ ପ୍ରଶ୍ନ ସୃଷ୍ଟି କରନ୍ତୁ:

ପି.ଡବ୍ଲୁ.କ୍ୟୁ ୧. ଏକ ମାନକ ପାସା ଫିଙ୍ଗାଯାଏ। ଯଦି ୧ ଉପରେ ଅଛି ଏବଂ ୨ ସାମନାରେ ଅଛି, ତେବେ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ କଣ ଅଛି? RRB NTPC 2021 CBT-1

ଉତ୍ତର: ୩

ସମାଧାନ: ମାନକ ପାସା ରୀତି ବ୍ୟବହାର କରି ଯେଉଁଠାରେ ୧-୨-୩ ଏକ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ଘଡ଼ି କଟାକୁଳି କ୍ରମରେ ମିଳିତ ହୁଏ: ଉପର=୧, ସାମନା=୨ → ଡାହାଣ=୩

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ଘଡ଼ି କଟାକୁଳି ନିୟମ ମନେରଖନ୍ତୁ: ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ୧-୨-୩ ଅନୁସ୍ଥାପନ ନିର୍ଣ୍ଣୟରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ

ପି.ଡବ୍ଲୁ.କ୍ୟୁ ୨. ତିନୋଟି ସମାନ ପାସା ଗଦା ହୋଇଛି। ଉପର ପାସାରେ ଉପର ପାର୍ଶ୍ୱରେ ୪, ମଝି ପାସାରେ ୨, ତଳ ପାସାରେ ୬ ଦେଖାଯାଏ। ସମସ୍ତ ତିନୋଟି ପାସାର ତଳ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ କେତେ? RRB Group D 2022

ଉତ୍ତର: ୯

ସମାଧାନ: ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି (ଯୋଗଫଳ=୭): ଉପର ପାସାର ତଳ = ୭-୪ = ୩ ମଝି ପାସାର ତଳ = ୭-୨ = ୫ ତଳ ପାସାର ତଳ = ୭-୬ = ୧ ମୋଟ = ୩ + ୫ + ୧ = ୯

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ମାନକ ପାସାରେ ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ ସର୍ବଦା ୭-ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ

ପି.ଡବ୍ଲୁ.କ୍ୟୁ ୩. ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଏକ ଘନର ଏକ ବୈଧ ନେଟ୍ ଚିତ୍ର ନୁହେଁ? RRB ALP 2018

ଉତ୍ତର: [୭ଟି ବର୍ଗ ସହିତ କ୍ରସ୍ ନମୁନା]

ସମାଧାନ: ଏକ ବୈଧ ଘନ ନେଟ୍ରେ ଠିକ୍ ୬ଟି ବର୍ଗ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ ଯେପରି ଭାଙ୍ଗି ହେବା ପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗ ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱ ହେବ ଏବଂ କୌଣସି ଓଭରଲାପ୍ ହେବ ନାହିଁ। ୭ଟି ବର୍ଗ ସହିତ କ୍ରସ୍ ନମୁନା ଏକ ଘନ ଗଠନ କରିପାରିବ ନାହିଁ।

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ବୈଧ ନେଟ୍ ସର୍ବଦା ୬ଟି ପାର୍ଶ୍ୱ ରଖେ; ଭାଙ୍ଗି ହେବା ପରେ ଓଭରଲାପ୍ ହେଉଛି କି ନାହିଁ ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ

ପି.ଡବ୍ଲୁ.କ୍ୟୁ ୪. ଯଦି ୧, ୬ ର ବିପରୀତ, ୨, ୫ ର ବିପରୀତ, ତେବେ ୪ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ସନ୍ନିହିତ? RRB JE 2019

ଉତ୍ତର: ୧, ୨, ୫, ୬

ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଛି: ୧↔୬, ୨↔୫ ତେଣୁ: ୩↔୪ (ବାକି ଯୋଡ଼ି) ୪, ୩ ବ୍ୟତୀତ ସମସ୍ତଙ୍କ ସହିତ ସନ୍ନିହିତ ତେଣୁ ୪ ସନ୍ନିହିତ: ୧, ୨, ୫, ୬

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱ ୪ଟି ଅନ୍ୟ ସହିତ ସନ୍ନିହିତ ହୁଏ, ୧ଟି ସହିତ ବିପ