1.1 भूमिका

अब हमारे लिए चीज़ों को गिनना आसान है। हम बड़ी संख्या में वस्तुओं को गिन सकते हैं, उदाहरण के लिए, स्कूल में विद्यार्थियों की संख्या, और उन्हें अंकों के माध्यम से निरूपित कर सकते हैं। हम उपयुक्त संख्या नामों का उपयोग करके बड़ी संख्याओं का संप्रेषण भी कर सकते हैं।

ऐसा नहीं है कि हम हमेशा से ही बड़ी मात्राओं को वार्तालाप में या प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त करना जानते थे। हजारों वर्ष पहले, लोग केवल छोटी संख्याएँ जानते थे। धीरे-धीरे, उन्होंने बड़ी संख्याओं को संभालना सीखा। उन्होंने बड़ी संख्याओं को प्रतीकों में व्यक्त करना भी सीखा। यह सब मानव के सामूहिक प्रयासों से आया। उनका मार्ग आसान नहीं था, उन्होंने पूरे रास्ते संघर्ष किया। वास्तव में, संपूर्ण गणित के विकास को इस प्रकार समझा जा सकता है। जैसे-जैसे मानव प्रगति करता गया, गणित के विकास की अधिक आवश्यकता हुई और परिणामस्वरूप गणित और अधिक तथा तेजी से विकसित हुआ।

हम संख्याओं का उपयोग करते हैं और उनके बारे में बहुत सी बातें जानते हैं। संख्याएँ हमें ठोस वस्तुओं को गिनने में मदद करती हैं। वे हमें यह कहने में मदद करती हैं कि वस्तुओं का कौन सा संग्रह बड़ा है और उन्हें क्रम में व्यवस्थित करती हैं जैसे, पहला, दूसरा, आदि। संख्याओं का उपयोग कई अलग-अलग संदर्भों में और कई तरीकों से किया जाता है। उन विभिन्न स्थितियों के बारे में सोचिए जहाँ हम संख्याओं का उपयोग करते हैं। पाँच अलग-अलग स्थितियों की सूची बनाइए जिनमें संख्याओं का उपयोग किया जाता है।

हमने अपनी पिछली कक्षाओं में संख्याओं के साथ काम करने का आनंद लिया। हमने उन्हें जोड़ा, घटाया, गुणा और भाग किया है। हमने संख्या अनुक्रमों में प्रतिरूपों को भी देखा और संख्याओं के साथ कई अन्य रोचक कार्य किए। इस अध्याय में, हम थोड़े समीक्षा और पुनरावृत्ति के साथ ऐसी ही रोचक चीजों पर आगे बढ़ेंगे।

1.2 संख्याओं की तुलना

चूँकि हमने पहले भी इस पर काफी काम किया है, आइए देखें कि क्या हमें याद है कि इनमें से सबसे बड़ी संख्या कौन सी है:

(i) $92,392,4456,89742 \quad$ मैं सबसे बड़ी हूँ!

(ii) $1902,1920,9201,9021,9210 \quad$ मैं सबसे बड़ी हूँ!

तो, हम उत्तर जानते हैं।

अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए कि आप वह संख्या कैसे पाते हैं जो सबसे बड़ी है।

ये कीजिए

क्या आप तुरंत प्रत्येक पंक्ति में सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या ज्ञात कर सकते हैं?

1. $382,4972,18,59785,750$ $\qquad$ उत्तर: $59785$ सबसे बड़ी है और 18 सबसे छोटी है
2. $1473,89423,100,5000,310$ $\qquad$ उत्तर: ____________________
3. $1834,75284,111,2333,450$ $\qquad$ उत्तर: ____________________
4. $2853,7691,9999,12002,124$ $\qquad$ उत्तर: ____________________

क्या यह आसान था? यह आसान क्यों था?

हमने केवल अंकों की संख्या को देखा और उत्तर पाया।

सबसे बड़ी संख्या में सबसे अधिक हज़ार हैं और सबसे छोटी संख्या केवल सैकड़ों या दहाई में है।

इस प्रकार के पाँच और प्रश्न बनाइए और अपने मित्रों को हल करने के लिए दीजिए।

अब, हम 4875 और 3542 की तुलना कैसे करते हैं?

यह भी बहुत कठिन नहीं है। इन दोनों संख्याओं में अंकों की संख्या समान है। दोनों हज़ारों में हैं। लेकिन 4875 में हज़ार के स्थान का अंक 3542 के अंक से बड़ा है। इसलिए, 4875, 3542 से बड़ी है।

ये कीजिए

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

(a) $4536, 4892, 4370, 4452$.
(b) $15623, 15073, 15189, 15800$.
(c) $25286, 25245, 25270, 25210$.
(d) $6895, 23787, 24569, 24659$.

अगला बताइए कि कौन सी बड़ी है, 4875 या 4542? यहाँ भी संख्याओं में अंकों की संख्या समान है। इसके अलावा, दोनों में हज़ार के स्थान का अंक समान है। फिर हम क्या करते हैं? हम अगले अंक पर जाते हैं, यानी सैकड़े के स्थान के अंक पर। 4875 में सैकड़े के स्थान का अंक 4542 के अंक से बड़ा है। इसलिए, 4875, 4542 से बड़ी है।

यदि दोनों संख्याओं में सैकड़े के स्थान के अंक भी समान हों, तो हम क्या करते हैं?

4875 और 4889 की तुलना कीजिए; साथ ही 4875 और 4879 की तुलना कीजिए।

1.2.1 आप कितनी संख्याएँ बना सकते हैं?

मान लीजिए, हमारे पास चार अंक 7, 8, 3, 5 हैं। इन अंकों का उपयोग करके हम विभिन्न 4-अंकीय संख्याएँ इस प्रकार बनाना चाहते हैं कि उनमें कोई अंक दोहराया न जाए। इस प्रकार, 7835 की अनुमति है, लेकिन 7735 की नहीं। जितनी हो सके उतनी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

आपको प्राप्त होने वाली सबसे बड़ी संख्या कौन सी है? सबसे छोटी संख्या कौन सी है?

सबसे बड़ी संख्या 8753 है और सबसे छोटी 3578 है।

दोनों में अंकों की व्यवस्था के बारे में सोचिए। क्या आप कह सकते हैं कि सबसे बड़ी संख्या कैसे बनती है? अपनी प्रक्रिया लिखिए।

ये कीजिए

1. दिए गए अंकों का बिना दोहराव के उपयोग करके सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

(a) $2,8,7,4$
(b) $9,7,4,1$
(c) $4,7,5,0$
(d) $1,7,6,2$
(e) $5,4,0,3$

(संकेत: 0754 एक 3-अंकीय संख्या है।)

2. अब किसी एक अंक को दो बार प्रयोग करके सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

(a) $3,8,7$
(b) $9,0,5$
(c) $0,4,9$
(d) $8,5,1$

(संकेत: प्रत्येक मामले में सोचिए कि आप किस अंक का दो बार उपयोग करेंगे।)

3. किन्हीं चार भिन्न अंकों का उपयोग करके दी गई शर्तों के साथ सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (a) }& \text{ अंक 7 सदैव इकाई के स्थान पर } & \text{ सबसे बड़ी } & \boxed{9}\boxed{8}\boxed{6}\boxed{7} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \boxed{1}\boxed{0}\boxed{2}\boxed{7} \end{array} $

(ध्यान दें, संख्या 0 अंक से शुरू नहीं हो सकती। क्यों?)

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (b) }& \text{ अंक 4 सदैव दहाई के स्थान पर } & \text{ सबसे बड़ी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (c) }& \text{ अंक 9 सदैव सैकड़े के स्थान पर } & \text{ सबसे बड़ी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (d) }& \text{ अंक 1 सदैव हज़ार के स्थान पर } & \text{ सबसे बड़ी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \end{array} $

4. दो अंक लीजिए, मान लीजिए 2 और 3। दोनों अंकों को बराबर बार प्रयोग करके 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

सबसे बड़ी संख्या कौन सी है?

सबसे छोटी संख्या कौन सी है?

आप कुल मिलाकर कितनी भिन्न संख्याएँ बना सकते हैं?

उचित क्रम में खड़े हों

1. सबसे लंबा कौन है?
2. सबसे छोटा कौन है?

(a) क्या आप उन्हें उनकी ऊँचाई के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?
(b) क्या आप उन्हें उनकी ऊँचाई के घटते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?

कौन सा खरीदें?

सोहन और रीता एक अलमारी खरीदने गए। उनके मूल्य टैग के साथ कई अलमारियाँ उपलब्ध थीं।

(a) क्या आप उनके मूल्यों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?
(b) क्या आप उनके मूल्यों को घटते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?

ये कीजिए

पाँच और ऐसी स्थितियों के बारे में सोचिए जहाँ आप तीन या अधिक राशियों की तुलना करते हैं।

आरोही क्रम आरोही क्रम का अर्थ है सबसे छोटे से सबसे बड़े तक व्यवस्थित करना।

अवरोही क्रम अवरोही क्रम का अर्थ है सबसे बड़े से सबसे छोटे तक व्यवस्थित करना।

ये कीजिए

1. निम्नलिखित संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए:

(a) $847,9754,8320,571$
(b) $9801,25751,36501,38802$

2. निम्नलिखित संख्याओं को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए:

(a) $5000, 7500, 85400, 7861$
(b) $1971,45321,88715,92547$

आरोही/अवरोही क्रम के दस ऐसे उदाहरण बनाइए और उन्हें हल कीजिए।

1.2.2 अंकों का स्थान बदलना

क्या आपने सोचा है कि कितना मजा आएगा यदि किसी संख्या के अंक एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित (खिसक) सकें?

सोचिए कि 182 का क्या होगा। यह 821 जितना बड़ा और 128 जितना छोटा हो सकता है। इसे 391 के साथ भी आजमाइए।

अब इसके बारे में सोचिए। कोई भी 3-अंकीय संख्या लीजिए और सैकड़े के स्थान के अंक को इकाई के स्थान के अंक से बदल दीजिए।

(a) क्या नई संख्या पहले वाली से बड़ी है?
(b) क्या नई संख्या पहले वाली संख्या से छोटी है?

बनी हुई संख्याओं को आरोही और अवरोही दोनों क्रमों में लिखिए।

यदि आप पहली और तीसरी टाइल (यानी अंक) को बदलते हैं, तो किस स्थिति में संख्या बड़ी हो जाती है? किस स्थिति में यह छोटी हो जाती है?

इसे एक 4-अंकीय संख्या के साथ आजमाइए।

1.2.3 $1 0 , 0 0 0$ का परिचय

हम जानते हैं कि 99 के बाद कोई 2-अंकीय संख्या नहीं है। 99 सबसे बड़ी 2-अंकीय संख्या है। इसी प्रकार, सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या 999 है और सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 9999 है। यदि हम 9999 में 1 जोड़ दें तो हमें क्या मिलेगा?

$ \begin{array}{lllllll} \text{प्रतिरूप देखिए : } & 9+1 & = & 10 & = & 10 \times 1 \\ & 99+1 & = & 100 & = & 10 \times 10 \\ & 999+1 & = & 1000 & = & 10 \times 100 \end{array} $

हम देखते हैं कि

सबसे बड़ी एकल अंकीय संख्या $+1=$ सबसे छोटी 2-अंकीय संख्या
सबसे बड़ी 2-अंकीय संख्या $+1=$ सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या
सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या $+1=$ सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या

तब हमें यह अपेक्षा करनी चाहिए कि सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या में 1 जोड़ने पर, हमें सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या प्राप्त होगी, अर्थात $9999+1=10000$।

9999 के बाद आने वाली नई संख्या 10000 है। इसे दस हज़ार कहते हैं। इसके अलावा, $10000=10 \times 1000$।

1.2.4 स्थानीय मान का पुनरीक्षण

आपने यह काफी पहले किया है, और आपको निश्चित रूप से 78 जैसी 2-अंकीय संख्या के विस्तार को याद होगा:

$78=70+8=7 \times 10+8$

इसी प्रकार, आपको 278 जैसी 3-अंकीय संख्या के विस्तार को याद होगा:

$278=200+70+8=2 \times 100+7 \times 10+8$

हम कहते हैं, यहाँ, 8 इकाई के स्थान पर है, 7 दहाई के स्थान पर है और 2 सैकड़े के स्थान पर है।

बाद में हमने इस विचार को 4-अंकीय संख्याओं तक बढ़ाया।

उदाहरण के लिए, 5278 का विस्तार है

$ \begin{aligned} 5278 & =5000+200+70+8 \\ & =5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \end{aligned} $

यहाँ, 8 इकाई के स्थान पर है, 7 दहाई के स्थान पर है, 2 सैकड़े के स्थान पर है और 5 हज़ार के स्थान पर है।

10000 संख्या को जानने के बाद, हम इस विचार को और आगे बढ़ा सकते हैं। हम 5-अंकीय संख्याएँ इस प्रकार लिख सकते हैं:

$45278=4 \times 10000+5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8$

हम कहते हैं कि यहाँ 8 इकाई के स्थान पर है, 7 दहाई के स्थान पर है, 2 सैकड़े के स्थान पर है, 5 हज़ार के स्थान पर है और 4 दस हज़ार के स्थान पर है। संख्या को पैंतालीस हज़ार, दो सौ अठहत्तर पढ़ा जाता है। क्या अब आप सबसे छोटी और सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्याएँ लिख सकते हैं?

ये कीजिए

जहाँ भी रिक्त स्थान हैं, संख्याओं को पढ़िए और विस्तारित कीजिए।

संख्या	संख्या का नाम	विस्तार
20000	बीस हज़ार	$2 \times 10000$
26000	छब्बीस हज़ार	$2 \times 10000+6 \times 1000$
38400	अड़तीस हज़ार चार सौ	$3 \times 10000+8 \times 1000 +4 \times 100$
65740	पैंसठ हज़ार सात सौ चालीस	$6 \times 10000+5 \times 1000 +7 \times 100+4 \times 10$
89324	नवासी हज़ार तीन सौ चौबीस	$8 \times 10000 + 9 \times 1000 + 3 \times 100+2 \times 10 + 4 \times 1$
50000	_______________	_______________
41000	_______________	_______________
47300	_______________	_______________
57630	_______________	_______________
29485	_______________	_______________
29085	_______________	_______________
20085	_______________	_______________
20005	_______________	_______________

पाँच और 5-अंकीय संख्याएँ लिखिए, उन्हें पढ़िए और विस्तारित कीजिए।

1.2.5 $1,00,000$ का परिचय

सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या कौन सी है?

सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या में 1 जोड़ने पर, सबसे छोटी 6-अंकीय संख्या प्राप्त होनी चाहिए: $99,999+1=1,00,000$

इस संख्या को एक लाख कहा जाता है। एक लाख, 99,999 के बाद आता है।

$10 \times 10,000=1,00,000$

अब हम 6-अंकीय संख्याओं को विस्तारित रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} 2,46,853= & 2 \times 1,00,000+4 \times 10,000+6 \times 1,000+ \\ & 8 \times 100+5 \times 10+3 \times 1 \end{aligned} $

इस संख्या में 3 इकाई के स्थान पर है, 5 दहाई के स्थान पर है, 8 सैकड़े के स्थान पर है, 6 हज़ार के स्थान पर है, 4 दस हज़ार के स्थान पर है और 2 लाख के स्थान पर है। इसका संख्या नाम दो लाख छियालीस हज़ार आठ सौ तिरपन है।

ये कीजिए

जहाँ भी रिक्त स्थान हैं, संख्याओं को पढ़िए और विस्तारित कीजिए।

संख्या	संख्या का नाम	विस्तार
$3,00,000$	तीन लाख	$3 \times 1,00,000$
$3,50,000$	तीन लाख पचास हज़ार	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000$
$3,53,500$	तीन लाख तिरपन हज़ार पाँच सौ	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000 +3 \times 1000+5 \times 100$
$4,57,928$	__________	__________
$4,07,928$	__________	__________
$4,00,829$	__________	__________
$4,00,029$	__________	__________

1.2.6 बड़ी संख्याएँ

यदि हम सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या में एक और जोड़ दें तो हमें सबसे छोटी 7-अंकीय संख्या मिलती है। इसे दस लाख कहा जाता है।

सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या और सबसे छोटी 7-अंकीय संख्या लिखिए। सबसे बड़ी 7-अंकीय संख्या और सबसे छोटी 8-अंकीय संख्या लिखिए। सबसे छोटी 8-अंकीय संख्या को एक करोड़ कहा जाता है।

प्रतिरूप को पूरा कीजिए:

$\begin{array}{ll}9+1 & =10 \\ 99+1 & =100 \\ 999+1 & = ——\\ 9,999+1 & = ——\\ 99,999+1 & = ——\\ 9,99,999+1 & = ——\\ 99,99,999+1 & =-1,00,00,000 \end{array}$

ये कीजिए

1. $10-1=$ क्या है?
2. $100-1=$ क्या है?
3. $10,000-1=$ क्या है?
4. $1,00,000-1=$ क्या है?
5. $1,00,00,000-1=$ क्या है?

(संकेत: दिए गए प्रतिरूप का उपयोग कीजिए।)

हमें कई अलग-अलग स्थितियों में बड़ी संख्याएँ मिलती हैं। उदाहरण के लिए, जबकि आपकी कक्षा में बच्चों की संख्या एक 2-अंकीय संख्या होगी, आपके स्कूल में बच्चों की संख्या एक 3 या 4-अंकीय संख्या होगी।

पास के शहर में लोगों की संख्या बहुत अधिक होगी।

क्या यह एक 5 या 6 या 7-अंकीय संख्या है?

क्या आप अपने राज्य में लोगों की संख्या जानते हैं?

उस संख्या में कितने अंक होंगे?

गेहूँ से भरी एक बोरी में अनाज के दानों की संख्या क्या होगी? एक 5-अंकीय संख्या, एक 6-अंकीय संख्या या अधिक?

ये कीजिए

1. पाँच उदाहरण दीजिए जहाँ गिनी जाने वाली चीजों की संख्या 6-अंकीय संख्या से अधिक होगी।
2. सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या से शुरू करते हुए, पिछली पाँच संख्याएँ अवरोही क्रम में लिखिए।
3. सबसे छोटी 8-अंकीय संख्या से शुरू करते हुए, अगली पाँच संख्याएँ आरोही क्रम में लिखिए और उन्हें पढ़िए।

1.2.7 बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में सहायता

निम्नलिखित संख्याओं को पढ़ने का प्रयास कीजिए:

(a) 279453
(b) 5035472
(c) 152700375
(d) 40350894

क्या यह कठिन था?

क्या आपको ध्यान रखना कठिन लगा?

कभी-कभी बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में संकेतकों का उपयोग करने से मदद मिलती है।

शगुफ्ता संकेतकों का उपयोग करती है जो उसे बड़ी संख्याएँ पढ़ने और लिखने में मदद करते हैं। उसके संकेतक संख्याओं के विस्तार को लिखने में भी उपयोगी हैं। उदाहरण के लिए, वह 257 में इकाई, दहाई और सैकड़े के स्थान के अंकों को तालिकाओं $O, T$ और $H$ के नीचे लिखकर पहचानती है:

$\mathrm{Th} \quad \mathrm{H} \quad \mathrm{T} \quad \mathrm{O} \quad$ विस्तार

$\begin{array}{llll}2 & 9 & 0 & 2 & 2 \times 1000+9 \times 100+0 \times 10+2 \times 1\end{array}$

इसी प्रकार, 2902 के लिए,

$\mathrm{Th} \quad \mathrm{H} \quad \mathrm{T} \quad \mathrm{O} \quad$ विस्तार

$\begin{array}{llll}2 & 9 & 0 & 2 & 2 \times 1000+9 \times 100+0 \times 10+2 \times 1\end{array}$

इस विचार को लाख तक की संख्याओं के लिए निम्न तालिका में दिखाए अनुसार बढ़ाया जा सकता है। (आइए इन्हें स्थान बक्से कहते हैं)। छोड़े गए रिक्त स्थानों में प्रविष्टियाँ भरिए।

इसी प्रकार, हम नीचे दिखाए अनुसार करोड़ तक की संख्याओं को शामिल कर सकते हैं:

आप संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखने के लिए तालिकाओं के अन्य प्रारूप बना सकते हैं।

अल्पविरामों का उपयोग

आपने ध्यान दिया होगा कि ऊपर के अनुभागों में बड़ी संख्याएँ लिखने में हमने अक्सर अल्पविरामों का उपयोग किया है। अल्पविराम बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में हमारी मदद करते हैं। हमारी भारतीय संख्यांकन प्रणाली में हम इकाई, दहाई, सैकड़ा, हज़ार और फिर लाख और करोड़ का उपयोग करते हैं। अल्पविरामों का उपयोग हज़ार, लाख और करोड़ को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। पहला अल्पविराम सैकड़े के स्थान के बाद (दाईं ओर से तीन अंक) आता है और हज़ार को चिह्नित करता है। दूसरा अल्पविराम दो अंक बाद (दाईं ओर से पाँच अंक) आता है। यह दस हज़ार के स्थान के बाद आता है और लाख को चिह्नित करता है। तीसरा अल्पविराम दो और अंकों के बाद (दाईं ओर से सात अंक) आता है। यह दस लाख के स्थान के बाद आता है और करोड़ को चिह्नित करता है।

संख्या नाम लिखते समय, हम अल्पविरामों का उपयोग नहीं करते।

$ \begin{array}{ll} \text{उदाहरण के लिए, } & 5, 08, 01, 592 \\ & 3,32,40,781 \\ & 7,27,05,062 \\ \end{array} $

ऊप