1.1 પ્રસ્તાવના

વસ્તુઓ ગણવી હવે આપણા માટે સરળ છે. આપણે મોટી સંખ્યામાં વસ્તુઓ ગણી શકીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, શાળામાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા, અને તેમને અંકો દ્વારા દર્શાવી શકીએ છીએ. આપણે યોગ્ય સંખ્યાનામોનો ઉપયોગ કરીને મોટી સંખ્યાઓનો સંપર્ક પણ કરી શકીએ છીએ.

એવું નથી કે આપણે હંમેશાં જાણતા હતા કે મોટી માત્રાઓને વાતચીતમાં અથવા પ્રતીકો દ્વારા કેવી રીતે વ્યક્ત કરવી. હજારો વર્ષો પહેલાં, લોકો માત્ર નાની સંખ્યાઓ જાણતા હતા. ધીમે ધીમે, તેઓ મોટી સંખ્યાઓને કેવી રીતે હેન્ડલ કરવી તે શીખ્યા. તેઓ મોટી સંખ્યાઓને પ્રતીકોમાં કેવી રીતે વ્યક્ત કરવી તે પણ શીખ્યા. આ બધું માનવીઓના સામૂહિક પ્રયત્નો દ્વારા આવ્યું. તેમનો માર્ગ સરળ નહોતો, તેઓએ આખા માર્ગે સંઘર્ષ કર્યો. હકીકતમાં, સમગ્ર ગણિતનો વિકાસ આ રીતે સમજી શકાય છે. જેમ જેમ માનવીઓ પ્રગતિ કરતા ગયા, ગણિતના વિકાસની વધુ જરૂરિયાત પડી અને પરિણામે ગણિત વધુ અને ઝડપથી વિકસિત થયું.

આપણે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને તેમના વિશે ઘણી બાબતો જાણીએ છીએ. સંખ્યાઓ આપણને ઠોસ વસ્તુઓ ગણવામાં મદદ કરે છે. તેઓ આપણને એ કહેવામાં મદદ કરે છે કે વસ્તુઓનો કયો સંગ્રહ મોટો છે અને તેમને ક્રમમાં ગોઠવવામાં મદદ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ, બીજું, વગેરે. સંખ્યાઓનો ઉપયોગ ઘણા વિવિધ સંદર્ભોમાં અને ઘણી રીતે થાય છે. વિવિધ પરિસ્થિતિઓ વિશે વિચારો જ્યાં આપણે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પાંચ અલગ પરિસ્થિતિઓની યાદી બનાવો જેમાં સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થાય છે.

આપણે અમારી પાછલી કક્ષાઓમાં સંખ્યાઓ સાથે કામ કરીને આનંદ માણ્યો હતો. આપણે તેમને ઉમેર્યા, બાદબાકી કરી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કર્યા છે. આપણે સંખ્યા ક્રમમાં પેટર્ન પણ શોધ્યા અને સંખ્યાઓ સાથે ઘણી અન્ય રસપ્રદ બાબતો કરી. આ પ્રકરણમાં, આપણે આવી રસપ્રદ બાબતો પર થોડી સમીક્ષા અને પુનરાવર્તન સાથે આગળ વધીશું.

1.2 સંખ્યાઓની તુલના

જેમ આપણે આ પહેલાં ઘણું બધું કર્યું છે, ચાલો જોઈએ કે આપણને યાદ છે કે આમાંથી કઈ સૌથી મોટી છે:

(i) $92,392,4456,89742 \quad$ હું સૌથી મોટો છું!

(ii) $1902,1920,9201,9021,9210 \quad$ હું સૌથી મોટો છું!

તો, આપણે જવાબો જાણીએ છીએ.

તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરો, તમે કેવી રીતે એ સંખ્યા શોધો છો જે સૌથી મોટી છે.

આ પ્રયાસ કરો

શું તમે તરત જ દરેક પંક્તિમાં સૌથી મોટી અને સૌથી નાની સંખ્યાઓ શોધી શકો છો?

1. $382,4972,18,59785,750$ $\qquad$ જવાબ : $59785$ સૌથી મોટી છે અને 18 સૌથી નાની છે
2. $1473,89423,100,5000,310$ $\qquad$ જવાબ : ____________________
3. $1834,75284,111,2333,450$ $\qquad$ જવાબ : ____________________
4. $2853,7691,9999,12002,124$ $\qquad$ જવાબ : ____________________

શું તે સરળ હતું? તે સરળ કેમ હતું?

આપણે માત્ર અંકોની સંખ્યા જોઈ અને જવાબ શોધ્યો.

સૌથી મોટી સંખ્યામાં સૌથી વધુ હજારો હોય છે અને સૌથી નાની સંખ્યા માત્ર સોમાં અથવા દસમાં હોય છે.

આ પ્રકારની પાંચ વધુ સમસ્યાઓ બનાવો અને તમારા મિત્રોને ઉકેલવા માટે આપો.

હવે, આપણે 4875 અને 3542 ની તુલના કેવી રીતે કરીએ?

આ પણ ખૂબ મુશ્કેલ નથી. આ બે સંખ્યાઓમાં અંકોની સંખ્યા સમાન છે. તે બંને હજારોમાં છે. પરંતુ 4875 માં હજારના સ્થાને અંક 3542 કરતાં વધારે છે. તેથી, 4875 એ 3542 કરતાં વધારે છે.

આ પ્રયાસ કરો

સૌથી મોટી અને સૌથી નાની સંખ્યાઓ શોધો.

(a) $4536, 4892, 4370, 4452$.
(b) $15623, 15073, 15189, 15800$.
(c) $25286, 25245, 25270, 25210$.
(d) $6895, 23787, 24569, 24659$.

પછી કહો કે કઈ વધારે છે, 4875 અથવા 4542? અહીં પણ સંખ્યાઓમાં અંકોની સંખ્યા સમાન છે. વધુમાં, બંનેમાં હજારના સ્થાને અંક સમાન છે. પછી આપણે શું કરીએ? આપણે પછીના અંક પર જઈએ છીએ, એટલે કે સોના સ્થાનના અંક પર. 4875 માં સોના સ્થાને અંક 4542 કરતાં વધારે છે. તેથી, 4875 એ 4542 કરતાં વધારે છે.

જો સોના સ્થાને અંકો પણ બે સંખ્યાઓમાં સમાન હોય, તો પછી આપણે શું કરીએ?

4875 અને 4889 ની તુલના કરો; 4875 અને 4879 ની પણ તુલના કરો.

1.2.1 તમે કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો?

માની લો, આપણી પાસે ચાર અંકો 7, 8, 3, 5 છે. આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને આપણે વિવિધ 4-અંકની સંખ્યાઓ બનાવવા માંગીએ છીએ જેમ કે તેમાં કોઈ અંક પુનરાવર્તિત ન થાય. આમ, 7835 માન્ય છે, પરંતુ 7735 માન્ય નથી. તમે જેટલી 4-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકો તેટલી બનાવો.

તમને મળી શકે તે સૌથી મોટી સંખ્યા કઈ છે? સૌથી નાની સંખ્યા કઈ છે?

સૌથી મોટી સંખ્યા 8753 છે અને સૌથી નાની 3578 છે.

બંનેમાં અંકોના ગોઠવણી વિશે વિચારો. શું તમે કહી શકો છો કે સૌથી મોટી સંખ્યા કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે? તમારી પ્રક્રિયા લખો.

આ પ્રયાસ કરો

1. આપેલા અંકોનો ઉપયોગ પુનરાવર્તન વિના કરો અને સૌથી મોટી અને નાની 4-અંકની સંખ્યાઓ બનાવો.

(a) $2,8,7,4$
(b) $9,7,4,1$
(c) $4,7,5,0$
(d) $1,7,6,2$
(e) $5,4,0,3$

(સૂચન: 0754 એ 3-અંકની સંખ્યા છે.)

2. હવે કોઈ એક અંકને બે વાર ઉપયોગ કરીને સૌથી મોટી અને નાની 4-અંકની સંખ્યાઓ બનાવો.

(a) $3,8,7$
(b) $9,0,5$
(c) $0,4,9$
(d) $8,5,1$

(સૂચન: દરેક કિસ્સામાં વિચારો કે તમે કયો અંક બે વાર ઉપયોગ કરશો.)

3. કોઈ પણ ચાર અલગ અંકોનો ઉપયોગ કરીને સૌથી મોટી અને નાની 4-અંકની સંખ્યાઓ બનાવો, આપેલ શરતો મુજબ.

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (a) }& \text{ અંક 7 હંમેશાં એકમના સ્થાને હોય } & \text{ સૌથી મોટી } & \boxed{9}\boxed{8}\boxed{6}\boxed{7} \\ \\ & & \text{ નાની} & \boxed{1}\boxed{0}\boxed{2}\boxed{7} \end{array} $

(નોંધ, સંખ્યા અંક 0 થી શરૂ થઈ શકતી નથી. શા માટે?)

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (b) }& \text{ અંક 4 હંમેશાં દશકના સ્થાને હોય } & \text{ સૌથી મોટી } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ નાની} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (c) }& \text{ અંક 9 હંમેશાં સોના સ્થાને હોય } & \text{ સૌથી મોટી } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ નાની} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (d) }& \text{ અંક 1 હંમેશાં હજારના સ્થાને હોય } & \text{ સૌથી મોટી } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ નાની} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \end{array} $

4. બે અંકો લો, ધારો કે 2 અને 3. બંને અંકોનો સમાન સંખ્યામાં વાર ઉપયોગ કરીને 4-અંકની સંખ્યાઓ બનાવો.

સૌથી મોટી સંખ્યા કઈ છે?

સૌથી નાની સંખ્યા કઈ છે?

તમે કુલ મળીને કેટલી અલગ સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો?

યોગ્ય ક્રમમાં ઊભા રહો

1. સૌથી ઊંચો કોણ છે?
2. સૌથી ઓછી ઊંચાઈ કોની છે?

(a) શું તમે તેમને તેમની ઊંચાઈના વધતા ક્રમમાં ગોઠવી શકો છો?
(b) શું તમે તેમને તેમની ઊંચાઈના ઘટતા ક્રમમાં ગોઠવી શકો છો?

કઈ ખરીદવી?

સોહન અને રીતા એક અલમારી ખરીદવા ગયા. ત્યાં ઘણી અલમારીઓ તેમના ભાવ ટેગ સાથે ઉપલબ્ધ હતી.

(a) શું તમે તેમના ભાવો વધતા ક્રમમાં ગોઠવી શકો છો?
(b) શું તમે તેમના ભાવો ઘટતા ક્રમમાં ગોઠવી શકો છો?

આ પ્રયાસ કરો

પાંચ વધુ પરિસ્થિતિઓ વિશે વિચારો જ્યાં તમે ત્રણ અથવા વધુ માત્રાઓની તુલના કરો છો.

ચડતો ક્રમ ચડતો ક્રમ એટલે સૌથી નાનાથી સૌથી મોટા સુધીની ગોઠવણી.

ઉતરતો ક્રમ ઉતરતો ક્રમ એટલે સૌથી મોટાથી સૌથી નાના સુધીની ગોઠવણી.

આ પ્રયાસ કરો

1. નીચેની સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:

(a) $847,9754,8320,571$
(b) $9801,25751,36501,38802$

2. નીચેની સંખ્યાઓને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો:

(a) $5000, 7500, 85400, 7861$
(b) $1971,45321,88715,92547$

ચડતા/ઉતરતા ક્રમના આવા દસ ઉદાહરણો બનાવો અને તેમને ઉકેલો.

1.2.2 અંકોની ખસેડણી

શું તમે વિચાર્યું છે કે કેટલી મજા આવે જો સંખ્યામાં અંકો એક સ્થાનથી બીજા સ્થાને ખસી શકે (ખસેડી શકાય)?

182 નું શું થશે તે વિશે વિચારો. તે 821 જેટલી મોટી અને 128 જેટલી નાની બની શકે. 391 સાથે પણ આ પ્રયાસ કરો.

હવે આ વિશે વિચારો. કોઈ પણ 3-અંકની સંખ્યા લો અને સોના સ્થાનના અંકને એકમના સ્થાનના અંક સાથે બદલો.

(a) શું નવી સંખ્યા પહેલાની સંખ્યા કરતાં વધારે છે?
(b) શું નવી સંખ્યા પહેલાની સંખ્યા કરતાં નાની છે?

બનેલી સંખ્યાઓ ચડતા અને ઉતરતા બંને ક્રમમાં લખો.

જો તમે પ્રથમ અને ત્રીજા ટાઇલ (એટલે કે અંકો) ને બદલો, તો કઈ કિસ્સામાં સંખ્યા વધારે બને છે? કઈ કિસ્સામાં તે નાની બને છે?

4-અંકની સંખ્યા સાથે આ પ્રયાસ કરો.

1.2.3 $1 0 , 0 0 0$ નો પરિચય

આપણે જાણીએ છીએ કે 99 ની પછી કોઈ 2-અંકની સંખ્યા નથી. 99 એ સૌથી મોટી 2-અંકની સંખ્યા છે. તે જ રીતે, સૌથી મોટી 3-અંકની સંખ્યા 999 છે અને સૌથી મોટી 4-અંકની સંખ્યા 9999 છે. જો આપણે 9999 માં 1 ઉમેરીએ તો આપણને શું મળશે?

$ \begin{array}{lllllll} \text{પેટર્ન જુઓ : } & 9+1 & = & 10 & = & 10 \times 1 \\ & 99+1 & = & 100 & = & 10 \times 10 \\ & 999+1 & = & 1000 & = & 10 \times 100 \end{array} $

આપણે નોંધીએ છીએ કે

સૌથી મોટી એક-અંકની સંખ્યા $+1=$ નાની 2-અંકની સંખ્યા
સૌથી મોટી 2-અંકની સંખ્યા $+1=$ નાની 3-અંકની સંખ્યા
સૌથી મોટી 3-અંકની સંખ્યા $+1=$ નાની 4-અંકની સંખ્યા

પછી આપણે અપેક્ષા રાખીશું કે સૌથી મોટી 4-અંકની સંખ્યામાં 1 ઉમેરતા, આપણને સૌથી નાની 5-અંકની સંખ્યા મળશે, એટલે કે $9999+1=10000$.

9999 પછી આવતી નવી સંખ્યા 10000 છે. તેને દસ હજાર કહેવાય. વધુમાં, $10000=10 \times 1000$.

1.2.4 સ્થાન કિંમતની પુનરાવર્તિત સમીક્ષા

તમે આ પહેલાં ઘણું કર્યું છે, અને તમને ચોક્કસ યાદ હશે કે 78 જેવી 2-અંકની સંખ્યાનું વિસ્તરણ

$78=70+8=7 \times 10+8$

તે જ રીતે, તમને 278 જેવી 3-અંકની સંખ્યાનું વિસ્તરણ યાદ હશે

$278=200+70+8=2 \times 100+7 \times 10+8$

આપણે કહીએ છીએ, અહીં, 8 એકમના સ્થાને છે, 7 દશકના સ્થાને છે અને 2 સોના સ્થાને છે.

પછીથી આપણે આ વિચારને 4-અંકની સંખ્યાઓ સુધી વિસ્તાર્યો.

ઉદાહરણ તરીકે, 5278 નું વિસ્તરણ છે

$ \begin{aligned} 5278 & =5000+200+70+8 \\ & =5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \end{aligned} $

અહીં, 8 એકમના સ્થાને છે, 7 દશકના સ્થાને છે, 2 સોના સ્થાને છે અને 5 હજારના સ્થાને છે.

10000 ની સંખ્યા આપણને જાણીતી હોવાથી, આપણે વિચારને વધુ વિસ્તારી શકીએ છીએ. આપણે 5-અંકની સંખ્યાઓ આ રીતે લખી શકીએ છીએ

$45278=4 \times 10000+5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8$

આપણે કહીએ છીએ કે અહીં 8 એકમના સ્થાને છે, 7 દશકના સ્થાને છે, 2 સોના સ્થાને છે, 5 હજારના સ્થાને છે અને 4 દસ હજારના સ્થાને છે. સંખ્યાને પચાસ હજાર બસો અઠ્ઠાવન તરીકે વાંચવામાં આવે છે. શું તમે હવે સૌથી નાની અને સૌથી મોટી 5-અંકની સંખ્યાઓ લખી શકો છો?

આ પ્રયાસ કરો

સંખ્યાઓ વાંચો અને જ્યાં ખાલી જગ્યા છે ત્યાં વિસ્તરણ કરો.

સંખ્યા	સંખ્યાનામ	વિસ્તરણ
20000	વીસ હજાર	$2 \times 10000$
26000	છવીસ હજાર	$2 \times 10000+6 \times 1000$
38400	અડતાલીસ હજાર ચાર સો	$3 \times 10000+8 \times 1000 +4 \times 100$
65740	પાંસઠ હજાર સાત સો ચાલીસ	$6 \times 10000+5 \times 1000 +7 \times 100+4 \times 10$
89324	નેવ્યાસી હજાર ત્રણ સો ચોવીસ	$8 \times 10000 + 9 \times 1000 + 3 \times 100+2 \times 10 + 4 \times 1$
50000	_______________	_______________
41000	_______________	_______________
47300	_______________	_______________
57630	_______________	_______________
29485	_______________	_______________
29085	_______________	_______________
20085	_______________	_______________
20005	_______________	_______________

પાંચ વધુ 5-અંકની સંખ્યાઓ લખો, તેમને વાંચો અને વિસ્તૃત કરો.

1.2.5 $1,00,000$ નો પરિચય

સૌથી મોટી 5-અંકની સંખ્યા કઈ છે?

સૌથી મોટી 5-અંકની સંખ્યામાં 1 ઉમેરતા, સૌથી નાની 6-અંકની સંખ્યા મળવી જોઈએ: $99,999+1=1,00,000$

આ સંખ્યાને એક લાખ કહેવાય છે. એક લાખ 99,999 પછી આવે છે.

$10 \times 10,000=1,00,000$

હવે આપણે 6-અંકની સંખ્યાઓને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં આ રીતે લખી શકીએ છીએ

$ \begin{aligned} 2,46,853= & 2 \times 1,00,000+4 \times 10,000+6 \times 1,000+ \\ & 8 \times 100+5 \times 10+3 \times 1 \end{aligned} $

આ સંખ્યામાં 3 એકમના સ્થાને છે, 5 દશકના સ્થાને છે, 8 સોના સ્થાને છે, 6 હજારના સ્થાને છે, 4 દસ હજારના સ્થાને છે અને 2 લાખના સ્થાને છે. તેનું સંખ્યાનામ બે લાખ છતાલીસ હજાર આઠ સો ત્રેપન છે.

આ પ્રયાસ કરો

સંખ્યાઓ વાંચો અને જ્યાં ખાલી જગ્યા છે ત્યાં વિસ્તરણ કરો.

સંખ્યા	સંખ્યાનામ	વિસ્તરણ
$3,00,000$	ત્રણ લાખ	$3 \times 1,00,000$
$3,50,000$	ત્રણ લાખ પચાસ હજાર	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000$
$3,53,500$	ત્રણ લાખ ત્રેપન હજાર પાંચ સો	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000 +3 \times 1000+5 \times 100$
$4,57,928$	__________	__________
$4,07,928$	__________	__________
$4,00,829$	__________	__________
$4,00,029$	__________	__________

1.2.6 મોટી સંખ્યાઓ

જો આપણે સૌથી મોટી 6-અંકની સંખ્યામાં એક વધુ ઉમેરીએ તો આપણને સૌથી નાની 7-અંકની સંખ્યા મળે છે. તેને દસ લાખ કહેવાય છે.

સૌથી મોટી 6-અંકની સંખ્યા અને સૌથી નાની 7-અંકની સંખ્યા લખો. સૌથી મોટી 7-અંકની સંખ્યા અને સૌથી નાની 8-અંકની સંખ્યા લખો. સૌથી નાની 8-અંકની સંખ્યાને એક કરોડ કહેવાય છે.

પેટર્ન પૂર્ણ કરો:

$\begin{array}{ll}9+1 & =10 \\ 99+1 & =100 \\ 999+1 & = ——\\ 9,999+1 & = ——\\ 99,999+1 & = ——\\ 9,99,999+1 & = ——\\ 99,99,999+1 & =-1,00,00,000 \end{array}$

આ પ્રયાસ કરો

1. $10-1=$ શું છે?
2. $100-1=$ શું છે?
3. $10,000-1=$ શું છે?
4. $1,00,000-1=$ શું છે?
5. $1,00,00,000-1=$ શું છે?

(સૂચન: આપેલ પેટર્નનો ઉપયોગ કરો.)

આપણે ઘણી વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં મોટી સંખ્યાઓ જોઈએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તમારા વર્ગમાં બાળકોની સંખ્યા 2-અંકની સંખ્યા હશે, ત્યારે તમારી શાળામાં બાળકોની સંખ્યા 3 અથવા 4-અંકની સંખ્યા હશે.

નજીકના શહેરમાં લોકોની સંખ્યા ઘણી વધારે હશે.

શું તે 5 અથવા