13.1 تعارف

آپ نے کلاس نہم میں، دیے گئے ڈیٹا کو غیر مجمّع اور مجمّع تعدد تقسیمات میں درجہ بندی کرنا پڑھا ہے۔ آپ نے ڈیٹا کو مختلف گرافوں کی صورت میں تصویری طور پر پیش کرنا بھی سیکھا ہے جیسے بار گراف، ہسٹوگرام (جن میں مختلف چوڑائیوں والے بھی شامل ہیں) اور تعدد کثیرالاضلاع۔ درحقیقت، آپ غیر مجمّع ڈیٹا کے کچھ عددی نمائندوں، جنہیں مرکزی رجحان کے پیمانے بھی کہا جاتا ہے، یعنی اوسط، وسطانیہ اور وضع کا مطالعہ کر کے ایک قدم اور آگے بڑھے۔ اس باب میں، ہم ان تینوں پیمانوں، یعنی اوسط، وسطانیہ اور وضع کے مطالعہ کو غیر مجمّع ڈیٹا سے مجمّع ڈیٹا تک پھیلائیں گے۔ ہم تجمّعی تعدد، تجمّعی تعدد تقسیم اور تجمّعی تعدد منحنیات، جنہیں اوگیو کہتے ہیں، بنانے کے طریقے پر بھی بحث کریں گے۔

13.2 مجمّع ڈیٹا کی اوسط

جیسا کہ ہم جانتے ہیں، مشاہدات کی اوسط (یا معدل) تمام مشاہدات کی قدروں کے مجموعے کو مشاہدات کی کل تعداد سے تقسیم کرنے پر حاصل ہوتی ہے۔ کلاس نہم سے یاد کریں کہ اگر $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ مشاہدات ہیں جن کے متعلقہ تعدد $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ ہیں، تو اس کا مطلب ہے کہ مشاہدہ $x_{1}$، $f_{1}$ بار ہوتا ہے، $x_{2}$، $f_{2}$ بار ہوتا ہے، اور اسی طرح۔

اب، تمام مشاہدات کی قدروں کا مجموعہ $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$ ہے، اور مشاہدات کی تعداد $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$ ہے۔

لہذا، ڈیٹا کی اوسط $\bar{x}$ مندرجہ ذیل سے دی جاتی ہے:

$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$

یاد رہے کہ ہم اسے مختصراً یونانی حرف $\Sigma$ (بڑا سگما) استعمال کر کے لکھ سکتے ہیں جس کا مطلب مجموعہ ہے۔ یعنی،

$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$

جسے مزید مختصراً $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ لکھا جاتا ہے، اگر یہ سمجھ لیا جائے کہ $i$، 1 سے $n$ تک مختلف ہوتا ہے۔

آئیے اس فارمولے کو مندرجہ ذیل مثال میں اوسط معلوم کرنے کے لیے استعمال کریں۔

مثال 1: ایک مخصوص اسکول کی کلاس $\mathrm{X}$ کے 30 طلبہ کے ریاضی کے ایک پرچے میں 100 نمبروں میں سے حاصل کردہ نمبر ذیل کے جدول میں پیش کیے گئے ہیں۔ طلبہ کے حاصل کردہ نمبروں کی اوسط معلوم کریں۔

حل: یاد کریں کہ اوسط نمبر معلوم کرنے کے لیے، ہمیں ہر $x_{i}$ کو اس کے متعلقہ تعدد $f_{i}$ سے ضرب دینے کی ضرورت ہوتی ہے۔ لہذا، آئیے انہیں جدول 13.1 میں دکھائے گئے طور پر ایک کالم میں رکھیں۔

جدول 13.1

اب، $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$

لہذا، حاصل کردہ اوسط نمبر 59.3 ہے۔

ہماری زندگی کے زیادہ تر حقیقی حالات میں، ڈیٹا عام طور پر اتنا بڑا ہوتا ہے کہ اس کا معنی خیز مطالعہ کرنے کے لیے اسے مجمّع ڈیٹا کے طور پر مختصر کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ لہذا، ہمیں دیے گئے غیر مجمّع ڈیٹا کو مجمّع ڈیٹا میں تبدیل کرنے اور اس کی اوسط معلوم کرنے کے لیے کوئی طریقہ وضع کرنے کی ضرورت ہے۔

آئیے مثال 1 کے غیر مجمّع ڈیٹا کو، فرض کریں 15 کی چوڑائی والے طبقہ وقفے بنا کر، مجمّع ڈیٹا میں تبدیل کریں۔ یاد رکھیں کہ، ہر طبقہ وقفے کو تعدد دیتے وقت، جو طلبہ کسی بھی بالائی طبقہ حد میں آتے ہیں انہیں اگلے طبقہ میں شمار کیا جائے گا، مثلاً، 4 طلبہ جنہوں نے 40 نمبر حاصل کیے ہیں، انہیں طبقہ وقفہ 40-55 میں شمار کیا جائے گا نہ کہ 25-40 میں۔ اس روایت کو ذہن میں رکھتے ہوئے، آئیے ایک مجمّع تعدد تقسیم جدول بناتے ہیں (جدول 13.2 دیکھیں)۔

جدول 13.2

اب، ہر طبقہ وقفے کے لیے، ہمیں ایک ایسے نقطہ کی ضرورت ہے جو پورے طبقہ کا نمائندہ ہو۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ ہر طبقہ وقفے کا تعدد اس کے وسطی نقطہ کے گرد مرتکز ہوتا ہے۔ لہذا ہر طبقہ کا وسطی نقطہ (یا طبقہ نشان) اس طبقہ میں آنے والے مشاہدات کی نمائندگی کے لیے چنا جا سکتا ہے۔ یاد کریں کہ ہم کسی طبقہ کا وسطی نقطہ (یا اس کا طبقہ نشان) اس کی بالائی اور زیریں حدود کا اوسط معلوم کر کے نکالتے ہیں۔ یعنی،

$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$

جدول 13.2 کے حوالے سے، طبقہ $10-25$ کے لیے، طبقہ نشان $\dfrac{10+25}{2}$ ہے، یعنی 17.5۔ اسی طرح، ہم باقی طبقہ وقفوں کے طبقہ نشان معلوم کر سکتے ہیں۔ ہم انہیں جدول 13.3 میں رکھتے ہیں۔ یہ طبقہ نشان ہمارے $x_{i}$ بن جاتے ہیں۔ اب، عام طور پر، $i$ ویں طبقہ وقفے کے لیے، ہمارے پاس طبقہ نشان $x_{i}$ کے مطابق تعدد $f_{i}$ ہے۔ اب ہم اوسط معلوم کرنے کے لیے اسی طرح آگے بڑھ سکتے ہیں جیسے مثال 1 میں کیا تھا۔

جدول 13.3

آخری کالم کی قدروں کا مجموعہ ہمیں $\Sigma f_{i} x_{i}$ دیتا ہے۔ لہذا، دیے گئے ڈیٹا کی اوسط $\bar{x}$ مندرجہ ذیل سے دی جاتی ہے:

$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$

اوسط معلوم کرنے کا یہ نیا طریقہ براہ راست طریقہ کہلاتا ہے۔

ہم دیکھتے ہیں کہ جدول 13.1 اور 13.3 ایک ہی ڈیٹا استعمال کر رہے ہیں اور اوسط کے حساب کے لیے ایک ہی فارمولا استعمال کر رہے ہیں لیکن حاصل کردہ نتائج مختلف ہیں۔ کیا آپ سوچ سکتے ہیں کہ ایسا کیوں ہے، اور کون سا زیادہ درست ہے؟ دونوں قدروں میں فرق جدول 13.3 میں وسطی نقطہ کے مفروضے کی وجہ سے ہے، 59.3 صحیح اوسط ہے، جبکہ 62 ایک قریبی اوسط ہے۔

کبھی کبھی جب $x_{i}$ اور $f_{i}$ کی عددی قدریں بڑی ہوتی ہیں، تو $x_{i}$ اور $f_{i}$ کا حاصل ضرب معلوم کرنا تکلیف دہ اور وقت طلب ہو جاتا ہے۔ لہذا، ایسے حالات کے لیے، آئیے ان حسابات کو کم کرنے کے طریقے پر غور کریں۔

ہم $f_{i}$ کے ساتھ کچھ نہیں کر سکتے، لیکن ہم ہر $x_{i}$ کو ایک چھوٹی عدد میں تبدیل کر سکتے ہیں تاکہ ہمارے حسابات آسان ہو جائیں۔ ہم یہ کیسے کریں؟ ان $x_{i}^{\prime}$ میں سے ہر ایک سے ایک مقررہ عدد منفی کرنے کے بارے میں کیا خیال ہے؟ آئیے اس طریقے کو آزماتے ہیں۔

پہلا قدم $x_{i}^{\prime}$ میں سے ایک کو مفروضہ اوسط کے طور پر منتخب کرنا ہے، اور اسے ‘$a$’ سے ظاہر کرنا ہے۔ نیز، اپنے حساب کے کام کو مزید کم کرنے کے لیے، ہم ‘$a$’ کو وہ $x_{i}$ لے سکتے ہیں جو $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ کے مرکز میں واقع ہو۔ لہذا، ہم $a=47.5$ یا $a=62.5$ منتخب کر سکتے ہیں۔ آئیے $a=47.5$ منتخب کرتے ہیں۔

اگلا قدم $d_{i}$ کو ‘$a$’ اور ہر $x_{i}$ کے درمیان فرق معلوم کرنا ہے، یعنی ‘$a$’ سے ہر $x_{i}$ کا انحراف۔

یعنی، $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$

تیسرا قدم $d_{i}$ کو متعلقہ $f_{i}$ سے ضرب دینا ہے، اور تمام $f_{i} d_{i}$ کا مجموعہ لینا ہے۔ حسابات جدول 13.4 میں دکھائے گئے ہیں۔

جدول 13.4

لہذا، جدول 13.4 سے، انحرافات کی اوسط، $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$۔

اب، آئیے $\bar{d}$ اور $\bar{x}$ کے درمیان تعلق معلوم کریں۔

چونکہ $d_{i}$ حاصل کرنے میں، ہم نے ہر $x_{i}$ سے ‘$a$’ منفی کیا تھا، لہذا، اوسط $\bar{x}$ حاصل کرنے کے لیے، ہمیں ‘$a$’ کو $\bar{d}$ میں جمع کرنے کی ضرورت ہے۔ اسے ریاضیاتی طور پر یوں سمجھایا جا سکتا ہے:

$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$

$a, \Sigma f_{i} d_{i}$ اور $\Sigma f_{i}$ کی قدروں کو جدول 13.4 سے رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں:

$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$

لہذا، طلبہ کے حاصل کردہ نمبروں کی اوسط 62 ہے۔

اوپر بحث کیے گئے طریقے کو مفروضہ اوسط کا طریقہ کہتے ہیں۔

سرگرمی 1: جدول 13.3 سے، ہر $x_{i}$ (یعنی 17.5، 32.5، وغیرہ) کو ‘$a$’ لے کر اوسط معلوم کریں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ دیکھیں گے کہ ہر صورت میں معلوم کردہ اوسط ایک ہی ہے، یعنی 62۔ (کیوں؟)

لہذا، ہم کہہ سکتے ہیں کہ حاصل کردہ اوسط کی قدر ‘$a$’ کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔

غور کریں کہ جدول 13.4 میں، کالم 4 کی تمام قدریں 15 کے ضربی ہیں۔ لہذا، اگر ہم پورے کالم 4 کی قدروں کو 15 سے تقسیم کریں، تو ہمیں $f_{i^{\prime}}$ سے ضرب دینے کے لیے چھوٹے اعداد حاصل ہوں گے۔ (یہاں، 15 ہر طبقہ وقفہ کا طبقہ سائز ہے۔)

لہذا، مان لیں $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$، جہاں $a$ مفروضہ اوسط ہے اور $h$ طبقہ سائز ہے۔

اب، ہم $u_{i}$ کو اس طرح حساب کرتے ہیں اور پہلے کی طرح جاری رکھتے ہیں (یعنی $f_{i} u_{i}$ اور پھر $\Sigma f_{i} u_{i}$ معلوم کرتے ہیں)۔ $h=15$ لے کر، آئیے جدول 13.5 بناتے ہیں۔

جدول 13.5

مان لیں $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$

یہاں، پھر سے آئیے $\bar{u}$ اور $\bar{x}$ کے درمیان تعلق معلوم کریں۔

ہمارے پاس، $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$

لہذا، $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$

تو، $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$

یعنی، $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$

لہذا، $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$

اب، $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ اور $\Sigma f_{i}$ کی قدروں کو جدول 14.5 سے رکھتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں:

$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$

لہذا، ایک طالب علم کے حاصل کردہ اوسط نمبر 62 ہیں۔

اوپر بحث کیے گئے طریقے کو قدم انحراف کا طریقہ کہتے ہیں۔

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ:

• قدم انحراف کا طریقہ استعمال کرنا آسان ہوگا اگر تمام $d_{i}$ کا ایک مشترک عامل ہو۔
• تینوں طریقوں سے حاصل کردہ اوسط ایک ہی ہے۔
• مفروضہ اوسط کا طریقہ اور قدم انحراف کا طریقہ براہ راست طریقہ کے ہی سادہ روپ ہیں۔
• فارمولا $\bar{x}=a+h \bar{u}$ اب بھی درست رہتا ہے اگر $a$ اور $h$ اوپر دیے گئے نہ ہوں، بلکہ کوئی بھی غیر صفر اعداد ہوں جیسے کہ $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$۔

آئیے ان طریقوں کو ایک اور مثال میں استعمال کریں۔

مثال 2: ذیل کا جدول بھارت کے مختلف ریاستوں اور یونین علاقوں (یو ٹی) کے دیہی علاقوں کے پرائمری اسکولوں میں خواتین اساتذہ کی فیصد تقسیم دیتا ہے۔ اس سیکشن میں بحث کیے گئے تینوں طریقوں سے خواتین اساتذہ کی فیصد اوسط معلوم کریں۔

ماخذ: این سی ای آر ٹی کے ذریعے کروایا گیا ساتواں آل انڈیا اسکول ایجوکیشن سروے

حل: آئیے ہر طبقہ کے طبقہ نشان، $x_{i}$، معلوم کریں، اور انہیں ایک کالم میں رکھیں (جدول 13.6 دیکھیں):

جدول 13.6

یہاں ہم $a=50, h=10$ لیتے ہیں، پھر $d_{i}=x_{i}-50$ اور $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$۔

اب ہم $d_{i}$ اور $u_{i}$ معلوم کرتے ہیں اور انہیں جدول 13.7 میں رکھتے ہیں۔

جدول 13.7

اوپر کے جدول سے، ہم حاصل کرتے ہیں $\Sigma f_{i}=35, \quad \Sigma f_{i} x_{i}=1390$،

$$ \Sigma f_{i} d_{i}=-360, \quad \Sigma f_{i} u_{i}=-36 $$

براہ راست طریقہ استعمال کرتے ہوئے، $\bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1390}{35}=39.71$

مفروضہ اوسط کے طریقے کا استعمال کرتے ہوئے،

$$ \bar{x}=a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}=50+\dfrac{(-360)}{35}=39.71 $$

قدم انحراف کے طریقے کا استعمال کرتے ہوئے،

$$ \bar{x}=a+\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=50+\left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10=39.71 $$

لہذا، دیہی علاقوں کے پرائمری اسکولوں میں خواتین اساتذہ کی فیصد اوسط 39.71 ہے۔

تبصرہ: تینوں طریقوں سے حاصل کردہ نتیجہ ایک ہی ہے۔ لہذا استعمال ہونے والے طریقے کا انتخاب $x_{i}$ اور $f_{i}$ کی عددی قدروں پر منحصر ہے۔ اگر $x_{i}$ اور $f_{i}$ کافی چھوٹے ہیں، تو براہ راست طریقہ ایک مناسب انتخاب ہے۔ اگر $x_{i}$ اور $f_{i}$ عددی طور پر بڑے اعداد ہیں، تو ہم مفروضہ اوسط کا طریقہ یا قدم انحراف کا طریقہ استعمال کر سکتے ہیں۔ اگر طبقہ سائز غیر مساوی ہیں، اور $x_{i}$ عددی طور پر بڑے ہیں، تب بھی ہم قدم انحراف کا طریقہ استعمال کر سکتے ہیں بشرطیکہ $h$ کو تمام $d_{i}$ کا ایک مناسب مقسوم علیہ لیا جائے۔

مثال 3: ذیل کی تقسیم ون ڈے کرکٹ میچوں میں گیند بازوں کے لیے وکٹوں کی تعداد دکھاتی ہے۔ ایک مناسب طریقہ منتخب کرتے ہوئے وکٹوں کی اوسط تعداد معلوم کریں۔ اوسط کیا ظاہر کرتی ہے؟

حل: یہاں، طبقہ سائز مختلف ہے، اور $x_{i}$ بڑے ہیں۔ آئیے پھر بھی قدم انحراف کا طریقہ $a=200$ اور $h=20$ لے کر استعمال کریں۔ پھر، ہمیں جدول 13.8 میں دکھائے گئے طور پر ڈیٹا حاصل ہوتا ہے۔

جدول 13.8

لہذا، $\bar{u}=\dfrac{-106}{45}$۔ لہذا، $\bar{x}=200+20\left(\dfrac{-106}{45}\right)=200-47.11=152.89$۔

یہ ہمیں بتاتا ہے کہ، اوسطاً، ان 45 گیند بازوں کے لیے ون ڈے کرکٹ میں لی گئی وکٹوں کی تعداد 152.89 ہے۔

اب، آئیے دیکھیں کہ آپ اس سیکشن میں بحث کیے گئے تصورات کو کتنی اچھی طرح استعمال کر سکتے ہیں!

سرگرمی 2:

اپنی کلاس کے طلبہ کو تین گروپوں میں تقسیم کریں اور ہر گروپ سے مندرجہ ذیل سرگرمیوں میں سے ایک کرنے کو کہیں۔

1. اپنے اسکول کے ذریعے منعقدہ تازہ ترین امتحان میں اپنی کلاس کے تمام طلبہ کے ریاضی میں حاصل کردہ نمبر جمع کریں۔ حاصل کردہ ڈیٹا کی ایک مجمّع تعدد تقسیم بنائیں۔

2. اپنے شہر میں 30 دن کی مدت کے لیے ریکارڈ کی گئی روزانہ زیادہ سے زیادہ درجہ حرارت جمع کریں۔ اس ڈیٹا کو ایک مجمّع تعدد جدول کے طور پر پیش کریں۔

3. اپنی کلاس کے تمام طلبہ کی اونچائی (سینٹی میٹر میں) ناپیں اور اس ڈیٹا کی ایک مجمّع تعدد تقسیم جدول بنائیں۔

جب تمام گروپوں نے ڈیٹا جمع کر لیا ہے اور مجمّع تعدد تقسیم جدول بنا لیے ہیں، تو گروپوں کو ہر صورت میں اوسط اس طریقے سے معلوم کرنی چاہیے جو انہیں مناسب لگے۔

13.3 مجمّع ڈیٹا کی وضع

کلاس نہم سے یاد کریں، وضع وہ قدر ہے جو مشاہدات میں سب سے زیادہ بار ہوتی ہے، یعنی زیادہ سے زیادہ تعدد والے مشاہدے کی قدر۔ مزید، ہم نے غیر مجمّع ڈیٹا کی وضع معلوم کرنے پر بحث کی تھی۔ یہاں، ہم مجمّع ڈیٹا کی وضع معلوم کرنے کے طریقوں پر بحث کریں گے۔ یہ ممکن ہے کہ ایک سے زیادہ قدر کا ایک ہی زیادہ سے زیادہ تعدد ہو۔ ایسی صورتوں میں، ڈیٹا کو کثیر وضعی کہا جاتا ہے۔ اگرچہ مجمّع ڈیٹا بھی کثیر وضعی ہو سکتا ہے، ہم خود کو صرف ایک وضع والے مسائل تک محدود رکھیں گے۔

آئیے پہلے یاد کریں کہ ہم نے غیر مجمّع ڈیٹا کی وضع مندرجہ ذیل مثال کے ذریعے کیسے معلوم کی تھی۔

مثال 4: ایک گیند باز کے 10 کرکٹ میچوں میں لی گئی وکٹیں یوں ہیں:

$$ \begin{array}{llllllllll} 2 & 6 & 4 & 5 & 0 & 2 & 1 & 3 & 2 & 3 \end{array} $$

ڈیٹا کی وضع معلوم کریں۔

حل: آئیے دیے گئے ڈیٹا کی تعدد تقسیم جدول بناتے ہیں:

واضح طور پر، 2 وکٹوں کی تعداد ہے جو گیند باز نے زیادہ سے زیادہ (یعنی 3) میچوں میں لی ہے۔ لہذا، اس ڈیٹا کی وضع 2 ہے۔

ایک مجمّع تعدد تقسیم میں، تعدد دیکھ کر وضع معلوم کرنا ممکن نہیں ہے۔ یہاں، ہم صرف زیادہ سے زیادہ تعدد والے طبقہ کی نشاندہی کر سکتے ہیں، جسے وضعی طبقہ کہتے ہیں۔ وضع وضعی طبقہ کے اندر ایک قدر ہوتی ہے، اور اسے مندرجہ ذیل فارمولے سے دی جاتی ہے:

$$ \text { Mode }=l+\left(\dfrac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h $$

جہاں $l=$ وضعی طبقہ کی زیریں حد،

$h=$ طبقہ وقفہ کا سائز (فرض کرتے ہوئے کہ تمام طبقہ سائز برابر ہیں)،

$f_{1}=$ وضعی طبقہ کا تعدد،

$f_{0}=$ وضعی طبقہ سے پہلے والے طبقہ کا تعدد،

$f_{2}=$ وضعی طبقہ کے بعد والے طبقہ کا تعدد۔

آئیے اس فارمولے کے استعمال کو واضح کرنے کے لیے مندرجہ ذیل مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 5: طلبہ کے ایک گروپ کے ذریعے ایک علاقے کے 20 گھرانوں پر کروائے گئے ایک سروے کے نتیجے میں ایک گھرانے کے اراکین کی تعداد کے لیے مندرجہ ذیل تعدد جدول حاصل ہوا:

اس ڈیٹا کی وضع معلوم کریں۔

حل: یہاں زیادہ سے زیادہ طبقہ تعدد 8 ہے، اور اس تعدد کے مطابق طبقہ $3-5$ ہے۔ لہذا، وضعی طبقہ $3-5$ ہے۔

اب

وضعی طبقہ $=3-5$، وضعی طبقہ کی زیریں حد $(l)$، طبقہ سائز $(h)=2$

وضعی طبقہ کا تعدد $\left(f_{1}\right)$،

وضعی طبقہ سے پہلے والے طبقہ کا تعدد $\left(f_{0}\right)$،

وضعی طبقہ کے بعد والے طبقہ کا تعدد $\left(f_{2}\right)$۔

اب، آئیے ان قدروں کو فارمولے میں رکھیں:

$$ \begin{aligned} \text { Mode } & =l+\left(\dfrac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ \\ & =3+\left(\dfrac{8-7}{2 \times 8-7-2}\right) \times 2=3+\dfrac{2}{7}=3.286 \end{aligned} $$

لہذا، اوپر دیے گئے ڈیٹا کی وضع 3.286 ہے۔

مثال 6: مثال 1 کے جدول 13.3 میں 30 طلب