ਅਧਿਆਏ 13 ਅੰਕੜੇ
13.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
ਕਲਾਸ ਨੌਵੀਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੇਟਾ ਨੂੰ ਅਣਵੰਡਿਤ ਅਤੇ ਵੰਡਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਡੇਟਾ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਾਰ ਗ੍ਰਾਫ, ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ (ਬਦਲਦੀ ਚੌੜਾਈ ਸਮੇਤ) ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਬਹੁਭੁਜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨਾ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਅਣਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਦੇ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀਆਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਦੇ ਮਾਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ ਮੱਧਮਾਨ, ਮੱਧਿਕਾ ਅਤੇ ਬਹੁਲਕ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਕਦਮ ਅੱਗੇ ਵਧੇ ਸੀ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਤਿੰਨਾਂ ਮਾਪਾਂ, ਯਾਨੀ ਮੱਧਮਾਨ, ਮੱਧਿਕਾ ਅਤੇ ਬਹੁਲਕ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਅਣਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਤੋਂ ਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਤੱਕ ਵਧਾਵਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਸੰਚਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ, ਸੰਚਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵੰਡ ਅਤੇ ਸੰਚਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਕਰਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਓਜਾਈਵ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਣਾਉਣ ਬਾਰੇ ਵੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
13.2 ਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ
ਮੱਧਮਾਨ (ਜਾਂ ਔਸਤ), ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਰੇ ਪ੍ਰੇਖਣਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਖਣਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਲਾਸ ਨੌਵੀਂ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ ਪ੍ਰੇਖਣ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੇਖਣ $x_{1}$, $f_{1}$ ਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, $x_{2}$, $f_{2}$ ਵਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ।
ਹੁਣ, ਸਾਰੇ ਪ੍ਰੇਖਣਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰੇਖਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$ ਹੈ।
ਇਸਲਈ, ਡੇਟਾ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ $\bar{x}$, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰ $\Sigma$ (ਕੈਪੀਟਲ ਸਿਗਮਾ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਛੋਟੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਜੋੜ। ਯਾਨੀ,
$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$
ਜਿਸਨੂੰ, ਹੋਰ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $i$, 1 ਤੋਂ $n$ ਤੱਕ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਕੂਲ ਦੀ ਕਲਾਸ $\mathrm{X}$ ਦੇ 30 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ 100 ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਪੇਪਰ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭੋ।
| ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | 10 | 20 | 36 | 40 | 50 | 56 | 60 | 70 | 72 | 80 | 88 | 92 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $\left(\boldsymbol{f} _{\boldsymbol{i}}\right)$ | 1 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
ਹੱਲ: ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ $x_{i}$ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ $f_{i}$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਆਓ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਟੇਬਲ 13.1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ।
ਟੇਬਲ 13.1
| ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ $\left(\boldsymbol{x_i}\right)$ | ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $\left(\boldsymbol{f_i}\right)$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 |
| 20 | 1 | 20 |
| 36 | 3 | 108 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 3 | 150 |
| 56 | 2 | 112 |
| 60 | 4 | 240 |
| 70 | 4 | 280 |
| 72 | 1 | 72 |
| 80 | 1 | 80 |
| 88 | 2 | 176 |
| 92 | 3 | 276 |
| 95 | 1 | 95 |
| ਕੁੱਲ | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} x_{i}=1779$ |
ਹੁਣ, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$
ਇਸਲਈ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਕ 59.3 ਹੈ।
ਸਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਅਸਲ ਜ਼ਿੰਦਗੀ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਡੇਟਾ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਅਰਥਪੂਰਨ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਣਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਨੂੰ ਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਝ ਵਿਧੀ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਆਓ ਉਦਾਹਰਣ 1 ਦੇ ਅਣਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਨੂੰ, ਮੰਨ ਲਓ 15 ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਵਾਲੇ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾ ਕੇ, ਵੰਡਿਤ ਡੇਟਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲੀਏ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਹਰੇਕ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ ਦੇਣ ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਉੱਪਰਲੀ ਵਰਗ-ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, 4 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ 40 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ 40-55 ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇਗਾ ਨਾ ਕਿ 25-40 ਵਿੱਚ। ਇਸ ਸੰਮੇਲਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਆਓ ਇੱਕ ਵੰਡਿਤ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵੰਡ ਟੇਬਲ ਬਣਾਈਏ (ਟੇਬਲ 13.2 ਵੇਖੋ)।
ਟੇਬਲ 13.2
| ਵਰਗ ਅੰਤਰਾਲ | $10-25$ | $25-40$ | $40-55$ | $55-70$ | $70-85$ | $85-100$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
ਹੁਣ, ਹਰੇਕ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਪੂਰੇ ਵਰਗ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਵ ਕਰੇ। ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਇਸਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਸ-ਪਾਸ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਦਾ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ (ਜਾਂ ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ) ਉਸ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰੇਖਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦਾ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ (ਜਾਂ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ) ਇਸਦੀਆਂ ਉੱਪਰਲੀ ਅਤੇ ਹੇਠਲੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਲੱਭ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਨੀ,
$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$
ਟੇਬਲ 13.2 ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਵਰਗ $10-25$ ਲਈ, ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ $\dfrac{10+25}{2}$ ਹੈ, ਯਾਨੀ 17.5। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਟੇਬਲ 13.3 ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਾਡੇ $x_{i}$ ਦਾ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ, ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $i$ ਵੇਂ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ $x_{i}$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ $f_{i}$ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਦਾਹਰਣ 1 ਵਾਂਗ ਹੀ ਮੱਧਮਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਟੇਬਲ 13.3
| ਵਰਗ ਅੰਤਰਾਲ | ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | 35.0 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | 97.5 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 332.5 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 375.0 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 465.0 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 555.0 |
| ਕੁੱਲ | $\sum f_{i}=30$ | $\sum f_{i} x_{i}=1860.0$ |
ਆਖਰੀ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਾਨੂੰ $\Sigma f_{i} x_{i}$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੇਟਾ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ $\bar{x}$ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:
$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$
ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਇਸ ਨਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਸਿੱਧੀ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੇਬਲ 13.1 ਅਤੇ 13.3 ਇੱਕੋ ਡੇਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਲਈ ਇੱਕੋ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ ਪਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਤੀਜੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਹੈ? ਦੋਵਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਟੇਬਲ 13.3 ਵਿੱਚ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਕਾਰਨ ਹੈ, 59.3 ਸਹੀ ਮੱਧਮਾਨ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ 62 ਇੱਕ ਅੰਦਾਜ਼ੀ ਮੱਧਮਾਨ ਹੈ।
ਕਈ ਵਾਰ ਜਦੋਂ $x_{i}$ ਅਤੇ $f_{i}$ ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ $x_{i}$ ਅਤੇ $f_{i}$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭਣਾ ਥਕਾਵਟ ਭਰਿਆ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਖਾਣ ਵਾਲਾ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਲਈ, ਆਓ ਇਨ੍ਹਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਬਾਰੇ ਸੋਚੀਏ।
ਅਸੀਂ $f_{i}$ ਨਾਲ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ $x_{i}$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਡੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਣ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਰੇਕ $x_{i}^{\prime}$ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਘਟਾਉਣ ਬਾਰੇ ਕੀ ਵਿਚਾਰ ਹੈ? ਆਓ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਈਏ।
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ $x_{i}^{\prime}$ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਮੰਨਿਆ ਹੋਇਆ ਮੱਧਮਾਨ ਚੁਣਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ‘$a$’ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਆਪਣੇ ਗਣਨਾ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਹੋਰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ‘$a$’ ਨੂੰ ਉਹ $x_{i}$ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅਸੀਂ $a=47.5$ ਜਾਂ $a=62.5$ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ $a=47.5$ ਚੁਣੀਏ।
ਅਗਲਾ ਕਦਮ $a$ ਅਤੇ ਹਰੇਕ $x_{i}$ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ $d_{i}$ ਲੱਭਣਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਹਰੇਕ $x_{i}$ ਤੋਂ ‘$a$’ ਦਾ ਵਿਚਲਨ।
ਯਾਨੀ, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$
ਤੀਜਾ ਕਦਮ $d_{i}$ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ $f_{i}$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਰੇ $f_{i} d_{i}$ ਦਾ ਜੋੜ ਲੈਣਾ ਹੈ। ਗਣਨਾਵਾਂ ਟੇਬਲ 13.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਟੇਬਲ 13.4
| ਵਰਗ ਅੰਤਰਾਲ | ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{4 7 . 5}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{d_i}$ |
|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -60 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -45 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 90 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 180 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 270 |
| ਕੁੱਲ | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} d_{i}=435$ |
ਇਸਲਈ, ਟੇਬਲ 13.4 ਤੋਂ, ਵਿਚਲਨਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$.
ਹੁਣ, ਆਓ $\bar{d}$ ਅਤੇ $\bar{x}$ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਲੱਭੀਏ।
ਕਿਉਂਕਿ $d_{i}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ $x_{i}$ ਵਿੱਚੋਂ ‘$a$’ ਘਟਾਇਆ ਸੀ, ਇਸਲਈ, ਮੱਧਮਾਨ $\bar{x}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ $\bar{d}$ ਵਿੱਚ ‘$a$’ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$
ਟੇਬਲ 13.4 ਤੋਂ $a, \Sigma f_{i} d_{i}$ ਅਤੇ $\Sigma f_{i}$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$
ਇਸਲਈ, ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ 62 ਹੈ।
ਉੱਪਰ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਮੰਨਿਆ ਹੋਇਆ ਮੱਧਮਾਨ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਰਿਆ 1 : ਟੇਬਲ 13.3 ਤੋਂ, ਹਰੇਕ $x_{i}$ (ਯਾਨੀ 17.5, 32.5, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ) ਨੂੰ ‘$a$’ ਲੈ ਕੇ ਮੱਧਮਾਨ ਲੱਭੋ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਹਰੇਕ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਮੱਧਮਾਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ 62। (ਕਿਉਂ?)
ਇਸਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੱਧਮਾਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ‘$a$’ ਦੀ ਚੋਣ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਟੇਬਲ 13.4 ਵਿੱਚ, ਕਾਲਮ 4 ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ 15 ਦੇ ਗੁਣਜ ਹਨ। ਇਸਲਈ, ਜੇ ਅਸੀਂ ਪੂਰੇ ਕਾਲਮ 4 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 15 ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ $f_{i^{\prime}}$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਮਿਲਣਗੀਆਂ। (ਇੱਥੇ, 15 ਹਰੇਕ ਵਰਗ-ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਵਰਗ ਆਕਾਰ ਹੈ।)
ਇਸਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$, ਜਿੱਥੇ $a$ ਮੰਨਿਆ ਹੋਇਆ ਮੱਧਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ $h$ ਵਰਗ ਆਕਾਰ ਹੈ।
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ $u_{i}$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ (ਯਾਨੀ, $f_{i} u_{i}$ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ $\Sigma f_{i} u_{i}$)। $h=15$ ਲੈ ਕੇ, ਆਓ ਟੇਬਲ 13.5 ਬਣਾਈਏ।
ਟੇਬਲ 13.5
| ਵਰਗ ਅੰਤਰਾਲ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{u_i}=\dfrac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{h}}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -2 | -4 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -1 | -3 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 1 | 6 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 2 | 12 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 3 | 18 |
| ਕੁੱਲ | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} u_{i}=29$ |
ਮੰਨ ਲਓ $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$
ਇੱਥੇ, ਫਿਰ ਆਓ $\bar{u}$ ਅਤੇ $\bar{x}$ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਲੱਭੀਏ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$
ਇਸਲਈ, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$
ਇਸਲਈ, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$
ਯਾਨੀ, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$
ਇਸਲਈ, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$
ਹੁਣ, ਟੇਬਲ 14.5 ਤੋਂ $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ ਅਤੇ $\Sigma f_{i}$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$
ਇਸਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੱਧਮਾਨ ਅੰਕ 62 ਹੈ।
ਉੱਪਰ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਪੜਾਵ-ਵਿਚਲਨ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
- ਪੜਾਵ-ਵਿਚਲਨ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ $d_{i}$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ।
- ਤਿੰਨਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੱਧਮਾਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ।
- ਮੰਨਿਆ ਹੋਇਆ ਮੱਧਮਾਨ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਪੜਾਵ-ਵਿਚਲਨ ਵਿਧੀ ਸਿਰਫ਼ ਸਿੱਧੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਹਨ।
- ਫਾਰਮੂਲਾ $\bar{x}=a+h \bar{u}$ ਅਜੇ ਵੀ ਕਾਇਮ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $a$ ਅਤੇ $h$ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$.
ਆਓ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਭਾਰਤ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰਾਜਾਂ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਸ਼ਾਸਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ਾਂ (U.T.) ਦੇ ਪੇਂਡੂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਸਕੂਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਹਿਲਾ ਅਧਿਆਪਕਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵੰਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਤਿੰਨਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਮਹਿਲਾ ਅਧਿਆਪਕਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲੱਭੋ।
| ਮਹਿਲਾ ਅਧਿਆਪਕਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ | $15-25$ | $25-35$ | $35-45$ | $45-55$ | $55-65$ | $65-75$ | $75-85$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ਰਾਜਾਂ/ਕੇ.ਸ਼ਾ.ਪ੍ਰ. ਦੀ ਗਿਣਤੀ | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
ਸਰੋਤ : NCERT ਦੁਆਰਾ ਕਰਵਾਇਆ ਗਿਆ ਸੱਤਵਾਂ ਅਖਿਲ ਭਾਰਤੀ ਸਕੂਲ ਸਿੱਖਿਆ ਸਰਵੇਖਣ
ਹੱਲ : ਆਓ ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਦੇ ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ, $x_{i}$, ਲੱਭੀਏ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਏ (ਟੇਬਲ 13.6 ਵੇਖੋ):
ਟੇਬਲ 13.6
| ਮਹਿਲਾ ਅਧਿਆਪਕਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ | ਰਾਜਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $/$ ਕੇ.ਸ਼ਾ.ਪ੍ਰ. $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ |
|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 |
| $25-35$ | 11 | 30 |
| $35-45$ | 7 | 40 |
| $45-55$ | 4 | 50 |
| $55-65$ | 4 | 60 |
| $65-75$ | 2 | 70 |
| $75-85$ | 1 | 80 |
ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ $a=50, h=10$ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ $d_{i}=x_{i}-50$ ਅਤੇ $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$.
ਹੁ
BETA
