অধ্যায় ১৩ পৰিসংখ্যা
13.1 পৰিচয়
নৱম শ্ৰেণীত, তোমালোকে দিয়া তথ্যক অশ্ৰেণীবদ্ধ আৰু শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা বিতৰণত শ্ৰেণীবিভাজন কৰা পঢ়িছা। তোমালোকে তথ্যক বিভিন্ন লেখৰ ৰূপত চিত্ৰৰ দৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলেও শিকিছা যেনে- বাৰ লেখ, হিষ্ট’গ্ৰাম (বেলেগ বেলেগ প্ৰস্থৰো অন্তৰ্ভুক্ত) আৰু বাৰংবাৰতা বহুভুজ। আচলতে, তোমালোকে অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ কিছুমান সংখ্যাগত প্ৰতিনিধি, যাক কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ বুলিও কোৱা হয়, অৰ্থাৎ গড়, মধ্যমা আৰু বহুলক অধ্যয়ন কৰি এক পদ আগবাঢ়িছিলা। এই অধ্যায়ত, আমি এই তিনিটা মাপ, অৰ্থাৎ গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ অধ্যয়ন অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ পৰা শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যলৈ বিস্তাৰিত কৰিম। আমি সঞ্চিত বাৰংবাৰতা, সঞ্চিত বাৰংবাৰতা বিতৰণ আৰু কেনেকৈ সঞ্চিত বাৰংবাৰতা বক্ৰ, যাক অ’জাইভ বুলি কোৱা হয়, অংকন কৰিব লাগে সেই ধাৰণাটোও আলোচনা কৰিম।
13.2 শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ গড়
আমি জানি থকাৰ দৰে, গড় (বা গড়) হৈছে সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ মানৰ যোগফলক মুঠ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যায়ে হৰণ কৰা। নৱম শ্ৰেণীৰ পৰা মনত পেলোৱা যে যদি $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ হৈছে ক্ৰমে $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ বাৰংবাৰতাৰ সৈতে পৰ্যবেক্ষণ, তেন্তে ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে পৰ্যবেক্ষণ $x_{1}$ ঘটে $f_{1}$ বাৰ, $x_{2}$ ঘটে $f_{2}$ বাৰ, ইত্যাদি।
এতিয়া, সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ মানৰ যোগফল $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$, আৰু পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$।
গতিকে, তথ্যৰ গড় $\bar{x}$ তলত দিয়া ধৰণে পোৱা যায়
$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$
মনত পেলোৱা যে আমি গ্ৰীক আখৰ $\Sigma$ (কেপিটেল চিগমা) ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াক চমু আকাৰত লিখিব পাৰোঁ যাৰ অৰ্থ হৈছে যোগফল। অৰ্থাৎ,
$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$
যাক, অধিক চমুকৈ, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ হিচাপে লিখা হয়, যদি ইয়াক বুজা যায় যে $i$ 1 ৰ পৰা $n$ লৈ সলনি হয়।
তলৰ উদাহৰণটোত গড় বিচাৰিবলৈ এই সূত্ৰটো প্ৰয়োগ কৰোঁ আহক।
উদাহৰণ 1 : এখন নিৰ্দিষ্ট বিদ্যালয়ৰ $\mathrm{X}$ শ্ৰেণীৰ 30 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে 100 নম্বৰৰ গণিতৰ কাকতত পোৱা নম্বৰবোৰ তলৰ তালিকাত দিয়া হৈছে। ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে পোৱা নম্বৰৰ গড় নিৰ্ণয় কৰা।
| পোৱা নম্বৰ $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | 10 | 20 | 36 | 40 | 50 | 56 | 60 | 70 | 72 | 80 | 88 | 92 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f} _{\boldsymbol{i}}\right)$ | 1 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
সমাধান: মনত পেলোৱা যে গড় নম্বৰ বিচাৰিবলৈ, আমি প্ৰতিটো $x_{i}$ ৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট বাৰংবাৰতা $f_{i}$ ৰ গুণফলৰ প্ৰয়োজন। গতিকে, সেইবোৰ তালিকা 13.1 ত দেখুওৱাৰ দৰে এটা স্তম্ভত ৰাখোঁ আহক।
তালিকা 13.1
| পোৱা নম্বৰ $\left(\boldsymbol{x_i}\right)$ | ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f_i}\right)$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 |
| 20 | 1 | 20 |
| 36 | 3 | 108 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 3 | 150 |
| 56 | 2 | 112 |
| 60 | 4 | 240 |
| 70 | 4 | 280 |
| 72 | 1 | 72 |
| 80 | 1 | 80 |
| 88 | 2 | 176 |
| 92 | 3 | 276 |
| 95 | 1 | 95 |
| মুঠ | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} x_{i}=1779$ |
এতিয়া, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$
গতিকে, পোৱা গড় নম্বৰ হৈছে 59.3।
আমাৰ বেছিভাগ বাস্তৱ জীৱনৰ পৰিস্থিতিত, তথ্য সাধাৰণতে ইমান ডাঙৰ যে ইয়াৰ অৰ্থপূৰ্ণ অধ্যয়ন কৰিবলৈ ইয়াক শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্য হিচাপে সংকোচিত কৰাৰ প্ৰয়োজন। গতিকে, দিয়া অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যক শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যলৈ ৰূপান্তৰিত কৰিব লাগে আৰু ইয়াৰ গড় বিচাৰিবলৈ কিছুমান পদ্ধতি উদ্ভাৱন কৰিব লাগে।
উদাহৰণ 1 ৰ অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যক, ধৰা হওক 15 ৰ প্ৰস্থৰ শ্ৰেণী-ব্যৱধান গঠন কৰি শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যলৈ ৰূপান্তৰিত কৰোঁ আহক। মনত ৰাখিবা যে, প্ৰতিটো শ্ৰেণী-ব্যৱধানলৈ বাৰংবাৰতা বিতৰণ কৰোঁতে, যি ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে যিকোনো ওপৰৰ শ্ৰেণী-সীমাত পৰে তেওঁলোকক পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীত গণ্য কৰা হ’ব, যেনে, 40 নম্বৰ পোৱা 4 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীক শ্ৰেণী-ব্যৱধান 40-55 ত গণ্য কৰা হ’ব আৰু 25-40 ত নহয়। আমাৰ মনত এই নিয়ম ৰাখি, এটা শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা বিতৰণ তালিকা গঠন কৰোঁ আহক (তালিকা 13.2 চাওক)।
তালিকা 13.2
| শ্ৰেণী ব্যৱধান | $10-25$ | $25-40$ | $40-55$ | $55-70$ | $70-85$ | $85-100$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
এতিয়া, প্ৰতিটো শ্ৰেণী-ব্যৱধানৰ বাবে, এটা বিন্দুৰ প্ৰয়োজন যিয়ে সমগ্ৰ শ্ৰেণীটোৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব। ইয়াক ধৰা হয় যে প্ৰতিটো শ্ৰেণী-ব্যৱধানৰ বাৰংবাৰতা ইয়াৰ মধ্যবিন্দুৰ চাৰিওফালে কেন্দ্ৰীভূত হৈ থাকে। গতিকে প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ মধ্যবিন্দু (বা শ্ৰেণী চিহ্ন) শ্ৰেণীত পৰা পৰ্যবেক্ষণবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ বাছনি কৰিব পাৰি। মনত পেলোৱা যে আমি শ্ৰেণীটোৰ মধ্যবিন্দু (বা ইয়াৰ শ্ৰেণী চিহ্ন) ইয়াৰ ওপৰৰ আৰু তলৰ সীমাৰ গড় নিৰ্ণয় কৰি বিচাৰোঁ। অৰ্থাৎ,
$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$
তালিকা 13.2 ৰ সৈতে সম্পৰ্ক ৰাখি, $10-25$ শ্ৰেণীটোৰ বাবে, শ্ৰেণী চিহ্ন হৈছে $\dfrac{10+25}{2}$, অৰ্থাৎ 17.5। একেদৰে, আমি বাকী শ্ৰেণী ব্যৱধানবোৰৰ শ্ৰেণী চিহ্ন বিচাৰিব পাৰোঁ। আমি সেইবোৰ তালিকা 13.3 ত ৰাখোঁ। এই শ্ৰেণী চিহ্নবোৰে আমাৰ $x_{i}$ ‘চ হিচাপে কাম কৰে। এতিয়া, সাধাৰণতে, $i$ তম শ্ৰেণী ব্যৱধানৰ বাবে, আমি শ্ৰেণী চিহ্ন $x_{i}$ ৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট বাৰংবাৰতা $f_{i}$ পাইছোঁ। আমি এতিয়া উদাহৰণ 1 ৰ দৰে একে ধৰণে গড় গণনা কৰিবলৈ আগবাঢ়িব পাৰোঁ।
তালিকা 13.3
| শ্ৰেণী ব্যৱধান | ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | শ্ৰেণী চিহ্ন $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | 35.0 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | 97.5 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 332.5 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 375.0 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 465.0 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 555.0 |
| মুঠ | $\sum f_{i}=30$ | $\sum f_{i} x_{i}=1860.0$ |
শেষ স্তম্ভৰ মানবোৰৰ যোগফলে আমাক $\Sigma f_{i} x_{i}$ দিয়ে। গতিকে, দিয়া তথ্যৰ গড় $\bar{x}$ তলত দিয়া ধৰণে পোৱা যায়
$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$
গড় বিচাৰাৰ এই নতুন পদ্ধতিক প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি বুলি কোৱা হয়।
আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে তালিকা 13.1 আৰু 13.3 একে তথ্য ব্যৱহাৰ কৰি আছে আৰু গড় গণনাৰ বাবে একে সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি আছে কিন্তু পোৱা ফলাফলবোৰ বেলেগ। তুমি ভাবিব পাৰানে কিয় এনে হৈছে, আৰু কোনটো অধিক সঠিক? দুয়োটা মানৰ পাৰ্থক্যটো তালিকা 13.3 ত মধ্যবিন্দুৰ ধাৰণাৰ বাবে, 59.3 হৈছে সঠিক গড়, আনহাতে 62 হৈছে এটা আনুমানিক গড়।
কেতিয়াবা যেতিয়া $x_{i}$ আৰু $f_{i}$ ৰ সংখ্যাগত মানবোৰ ডাঙৰ হয়, $x_{i}$ আৰু $f_{i}$ ৰ গুণফল বিচাৰাটো ক্লান্তিকৰ আৰু সময়সাপেক্ষ হৈ পৰে। গতিকে, এনে পৰিস্থিতিৰ বাবে, এই গণনাবোৰ হ্ৰাস কৰাৰ এটা পদ্ধতিৰ বিষয়ে চিন্তা কৰোঁ আহক।
আমি $f_{i}$ ‘চৰ সৈতে একো কৰিব নোৱাৰোঁ, কিন্তু আমি প্ৰতিটো $x_{i}$ ক সৰু সংখ্যালৈ সলনি কৰিব পাৰোঁ যাতে আমাৰ গণনাবোৰ সহজ হয়। আমি ইয়াক কেনেকৈ কৰোঁ? এই $x_{i}^{\prime}$ ‘চৰ প্ৰতিটোৰ পৰা এটা স্থিৰ সংখ্যা বিয়োগ কৰাৰ বিষয়ে কি? আহক এই পদ্ধতি চেষ্টা কৰোঁ।
প্ৰথম পদক্ষেপ হৈছে $x_{i}^{\prime}$ চৰ মাজৰ পৰা এটাক ধৰা গড় হিচাপে বাছনি কৰা, আৰু ইয়াক ‘$a$’ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা। ইয়াৰ উপৰিও, আমাৰ গণনাৰ কাম আৰু হ্ৰাস কৰিবলৈ, আমি ‘$a$’ ক সেই $x_{i}$ হিচাপে ল’ব পাৰোঁ যি $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ৰ কেন্দ্ৰত থাকে। গতিকে, আমি $a=47.5$ বা $a=62.5$ বাছনি কৰিব পাৰোঁ। আহক $a=47.5$ বাছনি কৰোঁ।
পৰৱৰ্তী পদক্ষেপ হৈছে $d_{i}$ বিচাৰা, $a$ আৰু প্ৰতিটো $x_{i}$ ‘চৰ মাজৰ পাৰ্থক্য, অৰ্থাৎ, ‘$a$’ ৰ প্ৰতিটো $x_{i}$ ‘চৰ পৰা বিচ্যুতি।
অৰ্থাৎ, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$
তৃতীয় পদক্ষেপ হৈছে $d_{i}$ ক সংশ্লিষ্ট $f_{i}$ ৰ সৈতে গুণ কৰা, আৰু সকলো $f_{i} d_{i}$ ‘চৰ যোগফল লোৱা। গণনাবোৰ তালিকা 13.4 ত দেখুওৱা হৈছে।
তালিকা 13.4
| শ্ৰেণী ব্যৱধান | ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | শ্ৰেণী চিহ্ন $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{4 7 . 5}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{d_i}$ |
|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -60 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -45 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 90 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 180 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 270 |
| মুঠ | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} d_{i}=435$ |
গতিকে, তালিকা 13.4 ৰ পৰা, বিচ্যুতিবোৰৰ গড়, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$।
এতিয়া, আহক $\bar{d}$ আৰু $\bar{x}$ ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বিচাৰোঁ।
কাৰণ $d_{i}$ পোৱাত, আমি প্ৰতিটো $x_{i}$ ৰ পৰা ‘$a$’ বিয়োগ কৰিছিলোঁ, গতিকে, গড় $\bar{x}$ পাবলৈ, আমাক ‘$a$’ ক $\bar{d}$ লৈ যোগ কৰিব লাগিব। ইয়াক গাণিতিকভাৱে এনেদৰে ব্যাখ্যা কৰিব পাৰি:
$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$
$a, \Sigma f_{i} d_{i}$ আৰু $\Sigma f_{i}$ ৰ মান তালিকা 13.4 ৰ পৰা প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি, আমি পাওঁ
$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$
গতিকে, ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে পোৱা নম্বৰৰ গড় হৈছে 62।
ওপৰত আলোচনা কৰা পদ্ধতিক ধৰা গড় পদ্ধতি বুলি কোৱা হয়।
কাৰ্যকলাপ 1 : তালিকা 13.3 ৰ পৰা প্ৰতিটো $x_{i}$ (অৰ্থাৎ 17.5, 32.5, ইত্যাদি) ক ‘$a$’ হিচাপে লৈ গড় বিচাৰা। তুমি কি লক্ষ্য কৰা? তুমি দেখিবা যে প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত নিৰ্ণয় কৰা গড় একে, অৰ্থাৎ 62। (কিয়?)
গতিকে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে পোৱা গড়ৰ মান ‘$a$’ ৰ বাছনিৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে।
লক্ষ্য কৰা যে তালিকা 13.4 ত, স্তম্ভ 4 ৰ মানবোৰ সকলো 15 ৰ গুণিতক। গতিকে, যদি আমি সমগ্ৰ স্তম্ভ 4 ৰ মানবোৰক 15 ৰে হৰণ কৰোঁ, তেন্তে আমি $f_{i^{\prime}}$ ৰ সৈতে গুণ কৰিবলৈ সৰু সংখ্যা পাম। (ইয়াত, 15 হৈছে প্ৰতিটো শ্ৰেণী ব্যৱধানৰ শ্ৰেণী আকাৰ।)
গতিকে, ধৰা হওক $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$, য’ত $a$ হৈছে ধৰা গড় আৰু $h$ হৈছে শ্ৰেণী আকাৰ।
এতিয়া, আমি $u_{i}$ এই ধৰণে গণনা কৰোঁ আৰু আগৰ দৰে আগবাঢ়ি থাকোঁ (অৰ্থাৎ, $f_{i} u_{i}$ বিচাৰোঁ আৰু তাৰ পিছত $\Sigma f_{i} u_{i}$)। $h=15$ লৈ, আহক তালিকা 13.5 গঠন কৰোঁ।
তালিকা 13.5
| শ্ৰেণী ব্যৱধান | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{u_i}=\dfrac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{h}}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -2 | -4 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -1 | -3 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 1 | 6 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 2 | 12 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 3 | 18 |
| মুঠ | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} u_{i}=29$ |
ধৰা হওক $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$
ইয়াত, আকৌ আহক $\bar{u}$ আৰু $\bar{x}$ ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বিচাৰোঁ।
আমাৰ আছে, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$
গতিকে, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$
অৰ্থাৎ, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$
অৰ্থাৎ, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$
গতিকে, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$
এতিয়া, $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ আৰু $\Sigma f_{i}$ ৰ মান তালিকা 14.5 ৰ পৰা প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি, আমি পাওঁ
$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$
গতিকে, এজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পোৱা গড় নম্বৰ হৈছে 62।
ওপৰত আলোচনা কৰা পদ্ধতিক পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি বুলি কোৱা হয়।
আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে :
- পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰাটো সুবিধাজনক হ’ব যদি সকলো $d_{i}$ ‘চৰ এটা সাধাৰণ উৎপাদক থাকে।
- তিনিওটা পদ্ধতিৰে পোৱা গড় একে।
- ধৰা গড় পদ্ধতি আৰু পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি হৈছে প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰ সহজ ৰূপ।
- সূত্ৰ $\bar{x}=a+h \bar{u}$ তেতিয়াও বহিৰাগত হৈ থাকে যদি $a$ আৰু $h$ ওপৰত দিয়াৰ দৰে নহয়, কিন্তু যিকোনো অশূন্য সংখ্যা হয় যেনে $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$।
আহক এই পদ্ধতিবোৰ আন এটা উদাহৰণত প্ৰয়োগ কৰোঁ।
উদাহৰণ 2 : তলৰ তালিকাখনে ভাৰতৰ বিভিন্ন ৰাজ্য আৰু কেন্দ্ৰীয় শাসিত অঞ্চল (U.T.) ৰ গ্ৰাম্য অঞ্চলৰ প্ৰাথমিক বিদ্যালয়ত মহিলা শিক্ষকৰ শতাংশ বিতৰণ দিয়ে। এই অংশত আলোচনা কৰা তিনিওটা পদ্ধতিৰে মহিলা শিক্ষকৰ গড় শতাংশ নিৰ্ণয় কৰা।
| মহিলা শিক্ষকৰ শতাংশ | $15-25$ | $25-35$ | $35-45$ | $45-55$ | $55-65$ | $65-75$ | $75-85$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ৰাজ্য/কেন্দ্ৰীয় শাসিত অঞ্চলৰ সংখ্যা | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
উৎস : NCERT দ্বাৰা পৰিচালিত সপ্তম গোট ভাৰত বিদ্যালয় শিক্ষা সমীক্ষা
সমাধান : আহক প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ শ্ৰেণী চিহ্ন, $x_{i}$, বিচাৰোঁ, আৰু সেইবোৰ এটা স্তম্ভত ৰাখোঁ (তালিকা 13.6 চাওক):
তালিকা 13.6
| মহিলা শিক্ষকৰ শতাংশ | ৰাজ্যৰ সংখ্যা $/$ কেন্দ্ৰীয় শাসিত অঞ্চল $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ |
|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 |
| $25-35$ | 11 | 30 |
| $35-45$ | 7 | 40 |
| $45-55$ | 4 | 50 |
| $55-65$ | 4 | 60 |
| $65-75$ | 2 | 70 |
| $75-85$ | 1 | 80 |
ইয়াত আমি $a=50, h=10$ লওঁ, তেতিয়া $d_{i}=x_{i}-50$ আৰু $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$।
আমি এতিয়া $d_{i}$ আৰু $u_{i}$ বিচাৰোঁ আৰু সেইবোৰ তালিকা 13.7 ত ৰাখোঁ।
তালিকা 13.7
| মহিলা শিক্ষকৰ শতাংশ | ৰাজ্য/কেন্দ্ৰীয় শাসিত অঞ্চলৰ সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{5 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{x_i}-\mathbf{5 0}}{\mathbf{1 0}}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{d_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 | -30 | -3 | 120 | -180 | -18 |
| $25-35$ | 11 | 30 | -20 | -2 | 330 | -220 | -22 |
| $35-45$ | 7 | 40 | -10 | -1 | 280 | -70 | -7 |
| $45-55$ | 4 | 50 | 0 | 0 | 200 | 0 | 0 |
| $55-65$ | 4 | 60 | 10 | 1 | 240 | 40 | 4 |
| $65-75$ | 2 | 70 | 20 | 2 | 140 | 40 | 4 |
| $75-85$ | 1 | 80 | 30 | 3 | 80 | 30 | 3 |
| মুঠ | $\mathbf{3 5}$ | $\mathbf{1 3 9 0}$ | $\mathbf{- 3 6 0}$ | $\mathbf{- 3 6}$ |
ওপৰৰ তালিকাৰ পৰা, আমি পাওঁ $\Sigma f_{i}=35, \quad \Sigma f_{i} x_{i}=1390$,
$$ \Sigma f_{i} d_{i}=-360, \quad \Sigma f_{i} u_{i}=-36 $$
প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি, $\bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1390}{35}=39.71$
ধৰা গড় পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি,
$$ \bar{x}=a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}=50+\dfrac{(-360)}{35}=39.71 $$
পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি,
$$ \bar{x}=a+\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=50+\left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10=39.71 $$
গতিকে, গ্ৰাম্য অঞ্চলৰ প্ৰাথমিক বিদ্যালয়ত মহিলা শিক্ষকৰ গড় শতাংশ হৈছে 39.71।
টোকা : তিনিওটা পদ্ধতিৰে পোৱা ফলাফল একে। গতিকে ব্যৱহাৰ কৰিবলগীয়া পদ্ধতিৰ বাছনি $x_{i}$ আৰু $f_{i}$ ৰ সংখ্যাগত মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যদি $x_{i}$ আৰু $f_{i}$ যথেষ্ট সৰু হয়, তেন্তে প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি এটা উপযুক্ত বাছনি। যদি $x_{i}$ আৰু $f_{i}$ সংখ্যাগতভাৱে ডাঙৰ সংখ্যা হয়, তেন্তে আমি ধৰা গড় পদ্ধতি বা পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ল’ব পাৰোঁ। যদি শ্ৰেণী আকাৰবোৰ অসমান হয়, আৰু $x_{i}$ সংখ্যাগতভাৱে ডাঙৰ হয়, আমি তেতিয়াও $h$ ক সকলো $d_{i}$ ‘চৰ এটা উপযুক্ত ভাজক হিচাপে লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিব পাৰোঁ।
উদাহৰণ 3 : তলৰ বিতৰণটোৱে এদিনীয়া ক্ৰিকেট খেলত বোলাৰসকলে লোৱা ৱিকেটৰ সংখ্যা দেখুৱায়। এটা উপযুক্ত পদ্ধতি বাছনি কৰি ৱিকেটৰ গড় সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। গড়ই কি সূচায়?
| ৱিকেটৰ সংখ্যা | $20-60$ | $60-100$ | $100-150$ | $150-250$ | $250-350$ | $350-450$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| বোলাৰৰ সংখ্যা | 7 | 5 | 16 | 12 | 2 | 3 |
সমাধান : ইয়াত, শ্ৰেণী আকাৰ সলনি হয়, আৰু $x_{i}$ চবোৰ ডাঙৰ। আহক তেতিয়াও $a=200$ আৰু $h=20$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰোঁ। তেতিয়া, আমি তালিকা 13.8 ত দিয়াৰ দৰে তথ্য পাওঁ।
তালিকা 13.8
| লোৱা ৱিকেটৰ সংখ্যা | বোলাৰৰ সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d}_{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{x_i}-\mathbf{2 0 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{d_i}}{\mathbf{2 0}}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{f_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $20-60$ | 7 | 40 | -160 | -8 | -56 |
| $60-100$ | 5 | 80 | -120 | -6 | -30 |
| $100-150$ | 16 | 125 | -75 | -3.75 | -60 |
| $150-250$ | 12 | 200 | 0 | 0 | 0 |
| $250-350$ | 2 | 300 | 100 | 5 | 10 |
| $350-450$ | 3 | 400 | 200 | 10 | 30 |
| মুঠ | $\mathbf{4 5}$ | $\mathbf{- 1 0 6}$ |
গতিকে, $\bar{u}=\dfrac{-106}{45}$। সেয়েহে, $\bar{x}=200+20\left(\dfrac{-106}{45}\right)=200-47.11=152.89$।
ইয়াই আমাক কয় যে, গড়ত, এই 45 জন বোলাৰে এদিনীয়া ক্ৰিকেটত লোৱা ৱিকেটৰ সংখ্যা হৈছে 152.89।
এতিয়া, আহক চাওঁ তুমি এই অংশত আলোচনা কৰা ধাৰণাবোৰ কিমান ভালদৰে প্ৰয়োগ কৰিব পাৰা!
কাৰ্যকলাপ 2 :
তোমাৰ শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলক তিনিটা গোটত ভাগ কৰা আৰু প্ৰতিটো গোটক তলৰ কাৰ্যকলাপবোৰৰ এটা কৰিবলৈ কওক।
1. তোমাৰ বিদ্যালয়ে পৰিচালনা কৰা শেহতীয়া পৰীক্ষাত তোমাৰ শ্ৰেণীৰ সকলো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে গণিতত পোৱা নম্বৰ সংগ্ৰহ কৰা। পোৱা তথ্যৰ এটা শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা বিতৰণ গঠন কৰা।
2. তোমাৰ চহৰত 30 দিনৰ বাবে ৰেকৰ্ড কৰা দৈনিক সৰ্বোচ্চ তাপমাত্ৰা সংগ্ৰহ কৰা। এই তথ্যক এটা শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা তালিকা হিচাপে প্ৰস্তুত কৰা।
3. তোমাৰ শ্ৰেণীৰ সকলো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ উচ্চতা (চেমি ত) জোখা আৰু এই তথ্যৰ এটা শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা বিতৰণ তালিকা গঠন কৰা।
সকলো গোটে তথ্য সংগ্ৰহ কৰি শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা বিতৰণ তালিকা গঠন কৰাৰ পিছত, গোটবোৰে প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত সেই পদ্ধতিৰে গড় বিচাৰিব লাগিব যিটো তেওঁলোকে উপযুক্ত বুলি ভাবে।
13.3 শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বহুলক
নৱম শ্ৰেণীৰ পৰা মনত পেলোৱা, বহুলক হৈছে সেই মান যি পৰ্যবেক্ষণবোৰৰ মাজত বেছিকৈ ঘটে, অৰ্থাৎ, সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা থকা পৰ্যবেক্ষণৰ মান। ইয়াৰ উপৰিও, আমি অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বহুলক বিচাৰি আলোচনা কৰিছিলোঁ। ইয়াত, আমি শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বহুলক পোৱাৰ উপায়বোৰ আলোচনা কৰিম। ই সম্ভৱ যে এটাতকৈ অধিক মানৰ একে সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা থাকিব পাৰে। এনে পৰিস্থিতিত, তথ্যক বহু-বহুলক বুলি কোৱা হয়। যদিও শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যো বহু-বহুলক হ’ব পাৰে, আমি আমাক কেৱল একক বহুলক থকা সমস্যাবোৰলৈ সীমাবদ্ধ ৰাখিম।
আহক প্ৰথমে তলৰ উদাহৰণটোৰ জৰিয়তে আমি কেনেকৈ অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে বহুলক বিচাৰিছিলোঁ মনত পেলোৱা।
উদাহৰণ 4 : এজন বোলাৰে 10 টা ক্ৰিকেট খেলত লোৱা ৱিকেটবোৰ তলত দিয়া ধৰণৰ:
$$ \begin{array}{llllllllll} 2 & 6 & 4 & 5 & 0 & 2 & 1 & 3 & 2 & 3 \end{array} $$
তথ্যৰ বহুলক নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান : আহক দিয়া তথ্যৰ বাৰংবাৰতা বিতৰণ তালিকা তলত দিয়া ধৰণে গঠন কৰোঁ:
| ৱিকেটৰ সংখ্যা | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| খেলৰ সংখ্যা | 1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
স্পষ্টতেই, 2 হৈছে বোলাৰজনে সৰ্বাধিক সংখ্যক (অৰ্থাৎ 3) খেলত লোৱা ৱিকেটৰ সংখ্যা। গতিকে, এই তথ্যৰ বহুলক হৈছে 2।
এটা শ্ৰেণীবদ্ধ বাৰংবাৰতা বিতৰণত, বাৰংবাৰতাবোৰ চাই বহুলক নিৰ্ণয় কৰাটো সম্ভৱ নহয়।
BETA
