१३.१ परिचय

इयत्ता नववी मध्ये, तुम्ही दिलेल्या माहितीचे वर्गीकरण अवर्गीकृत तसेच वर्गीकृत वारंवारता वितरणांमध्ये केले आहे. तुम्ही डेटाचे चित्रमय प्रतिनिधित्व विविध आलेखांच्या रूपात, जसे की स्तंभालेख, हिस्टोग्राम (विविध रुंदीचे समावेश करून) आणि वारंवारता बहुभुज, यांच्या रूपातही दर्शवायला शिकलात. खरं तर, तुम्ही अवर्गीकृत डेटाच्या काही संख्यात्मक प्रतिनिधींचा, ज्यांना केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप म्हणतात, म्हणजे मध्य, मध्यक आणि बहुलक, यांचा अभ्यास करून एक पाऊल पुढे गेलात. या प्रकरणात, आपण या तीन मापांचा, म्हणजे मध्य, मध्यक आणि बहुलक यांचा अभ्यास अवर्गीकृत डेटापासून वर्गीकृत डेटापर्यंत विस्तारित करू. आपण संचयी वारंवारता, संचयी वारंवारता वितरण आणि संचयी वारंवारता वक्र, ज्यांना ‘ओजाइव्ह’ म्हणतात, कसे काढायचे याचीही चर्चा करू.

१३.२ वर्गीकृत डेटाचा मध्य

मध्य (किंवा सरासरी) म्हणजे, आपल्याला माहीत आहेच, सर्व निरीक्षणांच्या मूल्यांची बेरीज भागिले एकूण निरीक्षणांची संख्या. इयत्ता नववीच्या आठवणीवरून, जर $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ ही निरीक्षणे अनुक्रमे $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ वारंवारतांसह असतील, तर याचा अर्थ निरीक्षण $x_{1}$ हे $f_{1}$ वेळा घडते, $x_{2}$ हे $f_{2}$ वेळा घडते, आणि असेच.

आता, सर्व निरीक्षणांच्या मूल्यांची बेरीज $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$ आहे, आणि निरीक्षणांची संख्या $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$ आहे.

म्हणून, डेटाचा मध्य $\bar{x}$ खालील सूत्राने दिला जातो:

$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$

आठवा की आपण हे ग्रीक अक्षर $\Sigma$ (कॅपिटल सिग्मा) वापरून लहान स्वरूपात लिहू शकतो, ज्याचा अर्थ बेरीज होतो. म्हणजे,

$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$

जे, अधिक संक्षिप्तपणे, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ असे लिहिले जाते, जर $i$ हे 1 ते $n$ पर्यंत बदलत असल्याचे समजले तर.

चला हे सूत्र खालील उदाहरणातील मध्य शोधण्यासाठी लागू करूया.

उदाहरण 1 : एका विशिष्ट शाळेच्या इयत्ता $\mathrm{X}$ मधील 30 विद्यार्थ्यांनी 100 गुणांच्या गणिताच्या परीक्षापत्रिकेत मिळवलेले गुण खालील सारणीत दाखवले आहेत. विद्यार्थ्यांनी मिळवलेल्या गुणांचा मध्य शोधा.

उकल: आठवा की मध्य गुण शोधण्यासाठी, आपल्याला प्रत्येक $x_{i}$ चे संबंधित वारंवारता $f_{i}$ सह गुणाकार आवश्यक आहे. म्हणून, ते टेबल 13.1 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे एका स्तंभात ठेवूया.

सारणी 13.1

आता, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$

म्हणून, मिळालेल्या गुणांचा मध्य 59.3 आहे.

आपल्या बहुतेक वास्तविक जीवनातील परिस्थितींमध्ये, डेटा सहसा इतका मोठा असतो की अर्थपूर्ण अभ्यासासाठी तो वर्गीकृत डेटा म्हणून संक्षिप्त करणे आवश्यक असते. म्हणून, दिलेला अवर्गीकृत डेटा वर्गीकृत डेटामध्ये रूपांतरित करणे आणि त्याचा मध्य शोधण्यासाठी काही पद्धत शोधणे आवश्यक आहे.

चला उदाहरण 1 मधील अवर्गीकृत डेटा 15 च्या रुंदीचे वर्ग-अंतर तयार करून वर्गीकृत डेटामध्ये रूपांतरित करूया. लक्षात ठेवा की, प्रत्येक वर्ग-अंतराला वारंवारता देताना, कोणत्याही वरच्या वर्ग-मर्यादेत येणाऱ्या विद्यार्थ्यांचा विचार पुढील वर्गात केला जाईल, उदा., 40 गुण मिळवलेल्या 4 विद्यार्थ्यांचा विचार 40-55 या वर्ग-अंतरात केला जाईल आणि 25-40 मध्ये नाही. हे नियम लक्षात घेऊन, चला एक वर्गीकृत वारंवारता वितरण सारणी तयार करूया (सारणी 13.2 पहा).

सारणी 13.2

आता, प्रत्येक वर्ग-अंतरासाठी, आपल्याला एक बिंदू आवश्यक आहे जो संपूर्ण वर्गाचे प्रतिनिधित्व करेल. असे गृहीत धरले जाते की प्रत्येक वर्ग-अंतराची वारंवारता त्याच्या मध्यबिंदूभोवती केंद्रित असते. म्हणून प्रत्येक वर्गाचा मध्यबिंदू (किंवा वर्ग चिन्ह) त्या वर्गात येणाऱ्या निरीक्षणांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी निवडला जाऊ शकतो. आठवा की आपण वर्गाचा मध्यबिंदू (किंवा त्याचे वर्ग चिन्ह) त्याच्या वरच्या आणि खालच्या मर्यादांची सरासरी काढून शोधतो. म्हणजे,

$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$

सारणी 13.2 चा संदर्भ घेता, $10-25$ या वर्गासाठी, वर्ग चिन्ह $\dfrac{10+25}{2}$ आहे, म्हणजे 17.5. त्याचप्रमाणे, आपण उर्वरित वर्ग अंतरांची वर्ग चिन्हे शोधू शकतो. आपण ती सारणी 13.3 मध्ये ठेवतो. ही वर्ग चिन्हे आपली $x_{i}$ ’s म्हणून काम करतात. आता, सर्वसाधारणपणे, $i$ व्या वर्ग अंतरासाठी, आपल्याकडे वर्ग चिन्ह $x_{i}$ शी संबंधित वारंवारता $f_{i}$ आहे. आता आपण उदाहरण 1 प्रमाणेच मध्याची गणना करू शकतो.

सारणी 13.3

शेवटच्या स्तंभातील मूल्यांची बेरीज आपल्याला $\Sigma f_{i} x_{i}$ देते. म्हणून, दिलेल्या डेटाचा मध्य $\bar{x}$ खालीलप्रमाणे दिला जातो:

$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$

मध्य शोधण्याच्या या नवीन पद्धतीला ‘प्रत्यक्ष पद्धत’ म्हणतात.

आपण पाहतो की सारणी 13.1 आणि 13.3 समान डेटा वापरत आहेत आणि मध्याच्या गणनेसाठी समान सूत्र वापरत आहेत परंतु मिळालेले परिणाम भिन्न आहेत. तुम्हाला असे का वाटते आणि कोणते अधिक अचूक आहे? दोन मूल्यांमधील फरक सारणी 13.3 मधील मध्यबिंदू गृहीतकामुळे आहे, 59.3 हा अचूक मध्य आहे, तर 62 हा अंदाजे मध्य आहे.

कधीकधी जेव्हा $x_{i}$ आणि $f_{i}$ ची संख्यात्मक मूल्ये मोठी असतात, तेव्हा $x_{i}$ आणि $f_{i}$ चा गुणाकार शोधणे कंटाळवाणे आणि वेळ खाणारे होते. म्हणून, अशा परिस्थितीसाठी, या गणना कमी करण्याच्या पद्धतीबद्दल विचार करूया.

आपण $f_{i}$ ’s बद्दल काहीही करू शकत नाही, परंतु आपण प्रत्येक $x_{i}$ ला एका लहान संख्येमध्ये बदलू शकतो जेणेकरून आपली गणना सोपी होईल. आपण हे कसे करू? यापैकी प्रत्येक $x_{i}^{\prime}$ मधून एक निश्चित संख्या वजा करण्याबद्दल काय? चला ही पद्धत वापरून पाहूया.

पहिली पायरी म्हणजे $x_{i}^{\prime}$ s मधील एका $a$ ची ‘गृहीत मध्य’ म्हणून निवड करणे आणि ते ’ $a$ ’ असे दर्शवणे. तसेच, आपली गणना कार्य आणखी कमी करण्यासाठी, आपण ’ $x_{i}$ ’ हे $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ च्या मध्यभागी असलेले $a=47.5$ किंवा $a=62.5$ म्हणून निवडू शकतो. चला $a=47.5$ निवडूया.

पुढची पायरी म्हणजे $d_{i}$ आणि प्रत्येक $a$ ’s मधील फरक शोधणे, म्हणजे ’ $x_{i}$ ’ पासून प्रत्येक $a$ ’s चे विचलन.

म्हणजे, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$

तिसरी पायरी म्हणजे $x_{i}$ चा संबंधित $d_{i}$ सह गुणाकार शोधणे आणि सर्व $f_{i}$ ’s ची बेरीज घेणे. गणना सारणी 13.4 मध्ये दाखवली आहे.

सारणी 13.4

म्हणून, सारणी 13.4 वरून, विचलनांचा मध्य, $\Sigma f_{i} d_{i}=435$.

आता, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ आणि $\bar{d}$ मधील संबंध शोधूया.

$\bar{x}$ मिळवताना, आपण प्रत्येक $d_{i}$ मधून ’ $a$ ’ वजा केले असल्याने, म्हणून मध्य $x_{i}$ मिळवण्यासाठी, आपल्याला ’ $\bar{x}$ ’ ला $a$ मध्ये जोडणे आवश्यक आहे. हे गणितीयदृष्ट्या स्पष्ट केले जाऊ शकते:

$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$

सारणी 13.4 मधून $\bar{d}$ आणि $a, \Sigma f_{i} d_{i}$ ची मूल्ये बदलून, आपल्याला मिळते

$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$

म्हणून, विद्यार्थ्यांनी मिळवलेल्या गुणांचा मध्य 62 आहे.

वर चर्चा केलेल्या पद्धतीला ‘गृहीत मध्य पद्धत’ म्हणतात.

कृती 1 : सारणी 13.3 वरून प्रत्येक $\Sigma f_{i}$ (म्हणजे 17.5, 32.5, इ.) ला ’ $x_{i}$ ’ म्हणून घेऊन मध्य शोधा. तुम्हाला काय आढळते? तुम्हाला आढळेल की प्रत्येक बाबतीत निश्चित केलेला मध्य समान आहे, म्हणजे 62. (का?)

म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की मिळालेल्या मध्याचे मूल्य ’ $a$ ’ च्या निवडीवर अवलंबून नाही.

लक्षात घ्या की सारणी 13.4 मध्ये, स्तंभ 4 मधील मूल्ये सर्व 15 च्या पटीत आहेत. म्हणून, जर आपण संपूर्ण स्तंभ 4 मधील मूल्यांना 15 ने भागले तर आपल्याला $a$ सह गुणाकार करण्यासाठी लहान संख्या मिळतील. (येथे, 15 ही प्रत्येक वर्ग अंतराची वर्ग रुंदी आहे.)

म्हणून, समजा $f_{i^{\prime}}$, जेथे $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$ हा गृहीत मध्य आहे आणि $a$ हा वर्गाचा आकार आहे.

आता, आपण $h$ या पद्धतीने काढतो आणि पूर्वीप्रमाणेच पुढे जाऊ (म्हणजे $u_{i}$ शोधा आणि नंतर $f_{i} u_{i}$). $\Sigma f_{i} u_{i}$ घेऊन, चला सारणी 13.5 तयार करूया.

सारणी 13.5

समजा $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$

येथे, पुन्हा $\Sigma f_{i} u_{i}=29$ आणि $\bar{u}$ मधील संबंध शोधूया.

आपल्याकडे आहे, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$

म्हणून, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$

तर, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$

म्हणजे, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$

तर, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$

आता, सारणी 14.5 मधून $\bar{x}$ आणि $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ ची मूल्ये बदलून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$

म्हणून, विद्यार्थ्याने मिळवलेल्या गुणांचा मध्य 62 आहे.

वर चर्चा केलेल्या पद्धतीला ‘पायरी-विचलन पद्धत’ म्हणतात.

आपण लक्षात घेतो की:

• पायरी-विचलन पद्धत लागू करणे सोयीचे असेल जर सर्व $\Sigma f_{i}$ ’s मध्ये एक सामान्य घटक असेल.
• तिन्ही पद्धतींनी मिळालेला मध्य समान आहे.
• गृहीत मध्य पद्धत आणि पायरी-विचलन पद्धत ही प्रत्यक्ष पद्धतीची सरलीकृत रूपे आहेत.
• सूत्र $d_{i}$ तरीही वैध आहे जर $\bar{x}=a+h \bar{u}$ आणि $a$ वर दिल्याप्रमाणे नसतील, परंतु कोणत्याही शून्येतर संख्या असतील जसे की $h$.

चला या पद्धती दुसऱ्या उदाहरणात लागू करूया.

उदाहरण 2 : खालील सारणी भारतातील विविध राज्ये आणि केंद्रशासित प्रदेशांच्या (U.T.) ग्रामीण भागातील प्राथमिक शाळांमधील महिला शिक्षकांचे टक्केवारी वितरण देते. या विभागात चर्चा केलेल्या तिन्ही पद्धतींनी महिला शिक्षकांची सरासरी टक्केवारी शोधा.

स्रोत : NCERT द्वारे आयोजित सातवे अखिल भारतीय शालेय शिक्षण सर्वेक्षण

उकल : चला प्रत्येक वर्गाची वर्ग चिन्हे, $75-85$, शोधू आणि ती एका स्तंभात ठेवू (सारणी 13.6 पहा):

सारणी 13.6

येथे आपण $75-85$ घेऊ, नंतर $a=50, h=10$ आणि $d_{i}=x_{i}-50$.

आता आपण $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$ आणि $d_{i}$ शोधू आणि ती सारणी 13.7 मध्ये ठेवू.

सारणी 13.7

वरील सारणीवरून, आपल्याला $\mathbf{- 3 6}$ मिळते,

$$ \Sigma f_{i} d_{i}=-360, \quad \Sigma f_{i} u_{i}=-36 $$

प्रत्यक्ष पद्धत वापरून, $\Sigma f_{i}=35, \quad \Sigma f_{i} x_{i}=1390$

गृहीत मध्य पद्धत वापरून,

$$ \bar{x}=a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}=50+\dfrac{(-360)}{35}=39.71 $$

पायरी-विचलन पद्धत वापरून,

$$ \bar{x}=a+\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=50+\left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10=39.71 $$

म्हणून, ग्रामीण भागातील प्राथमिक शाळांमधील महिला शिक्षकांची सरासरी टक्केवारी 39.71 आहे.

शेरा : तिन्ही पद्धतींनी मिळालेला निकाल समान आहे. म्हणून कोणती पद्धत वापरायची हे $\bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1390}{35}=39.71$ आणि $x_{i}$ च्या संख्यात्मक मूल्यांवर अवलंबून आहे. जर $f_{i}$ आणि $x_{i}$ पुरेशी लहान असतील, तर प्रत्यक्ष पद्धत हा योग्य पर्याय आहे. जर $f_{i}$ आणि $x_{i}$ संख्यात्मकदृष्ट्या मोठ्या संख्या असतील, तर आपण गृहीत मध्य पद्धत किंवा पायरी-विचलन पद्धत वापरू शकतो. जर वर्ग आकार असमान असतील आणि $f_{i}$ संख्यात्मकदृष्ट्या मोठे असतील, तरीही आपण सर्व $x_{i}$ ’s चा योग्य विभाजक म्हणून $h$ घेऊन पायरी-विचलन पद्धत लागू करू शकतो.

उदाहरण 3 : खालील वितरण एकदिवसीय क्रिकेट सामन्यांमध्ये गोलंदाजांनी घेतलेल्या बळींची संख्या दर्शवते. योग्य पद्धत निवडून बळींची सरासरी संख्या शोधा. मध्य काय सूचित करतो?

उकल : येथे, वर्गाचा आकार बदलतो आणि $350-450$ s मोठे आहेत. चला तरीही $x_{i}$ आणि $a=200$ सह पायरी-विचलन पद्धत लागू करूया. नंतर, आपल्याला सारणी 13.8 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे डेटा मिळतो.

सारणी 13.8

म्हणून, $\mathbf{- 1 0 6}$. म्हणून, $\bar{u}=\dfrac{-106}{45}$.

हे आपल्याला सांगते की, सरासरीने, या 45 गोलंदाजांनी एकदिवसीय क्रिकेटमध्ये घेतलेल्या बळींची संख्या 152.89 आहे.

आता, या विभागात चर्चा केलेल्या संकल्पना तुम्ही किती चांगल्या प्रकारे लागू करू शकता ते पाहूया!

कृती 2 :

तुमच्या वर्गातील विद्यार्थ्यांना तीन गटांमध्ये विभाजित करा आणि प्रत्येक गटाला खालीलपैकी एक कृती करण्यास सांगा.

1. तुमच्या शाळेने आयोजित केलेल्या नवीनतम परीक्षेत तुमच्या वर्गातील सर्व विद्यार्थ्यांनी गणितात मिळवलेले गुण गोळा करा. मिळालेल्या डेटाचे वर्गीकृत वारंवारता वितरण तयार करा.

2. तुमच्या शहरातील 30 दिवसांच्या कालावधीसाठी नोंदवलेल्या दैनिक कमाल तापमानाचा डेटा गोळा करा. हा डेटा वर्गीकृत वारंवारता सारणी म्हणून सादर करा.

3. तुमच्या वर्गातील सर्व विद्यार्थ्यांची उंची (सेमी मध्ये) मोजा आणि या डेटाची वर्गीकृत वारंवारता वितरण सारणी तयार करा.

सर्व गटांनी डेटा गोळा केला आणि वर्गीकृत वारंवारता वितरण सारणी तयार केल्यानंतर, गटांनी प्रत्येक बाबतीत त्यांना योग्य वाटणाऱ्या पद्धतीने मध्य शोधावा.

१३.३ वर्गीकृत डेटाचा बहुलक

इयत्ता नववीच्या आठवणीवरून, बहुलक हे निरीक्षणांमधील ते मूल्य आहे जे सर्वात जास्त वेळा घडते, म्हणजे ज्या निरीक्षणाची वारंवारता सर्वाधिक आहे त्या निरीक्षणाचे मूल्य. पुढे, आपण अवर्गीकृत डेटाचा बहुलक शोधण्याची चर्चा केली. येथे, आपण वर्गीकृत डेटाचा बहुलक मिळवण्याच्या मार्गांची चर्चा करू. शक्य आहे की एकापेक्षा जास्त मूल्यांची समान कमाल वारंवारता असू