అధ్యాయం 13 గణాంకాలు
13.1 పరిచయం
తరగతి IX లో, మీరు ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని వర్గీకరించని మరియు వర్గీకరించిన పౌనఃపున్య విభాజనాలుగా వర్గీకరించడం నేర్చుకున్నారు. మీరు దత్తాంశాన్ని బార్ గ్రాఫ్లు, హిస్టోగ్రామ్లు (వేర్వేరు వెడల్పులు ఉన్నవి సహా) మరియు పౌనఃపున్య బహుభుజుల రూపంలో చిత్రాల ద్వారా సూచించడం కూడా నేర్చుకున్నారు. వాస్తవానికి, మీరు వర్గీకరించని దత్తాంశం యొక్క కొన్ని సంఖ్యా ప్రతినిధులను, అంటే కేంద్రీయ ధోరణి కొలతలు అయిన సగటు, మధ్యగతం మరియు బాహుళ్యం అధ్యయనం చేయడం ద్వారా ఒక అడుగు ముందుకు వెళ్లారు. ఈ అధ్యాయంలో, మేము ఈ మూడు కొలతల అధ్యయనాన్ని, అంటే సగటు, మధ్యగతం మరియు బాహుళ్యం వర్గీకరించని దత్తాంశం నుండి వర్గీకరించిన దత్తాంశానికి విస్తరిస్తాము. మేము సంచిత పౌనఃపున్యం, సంచిత పౌనఃపున్య విభాజనం మరియు సంచిత పౌనఃపున్య వక్రాలను, అంటే ఓజీవ్లను ఎలా గీయాలో కూడా చర్చిస్తాము.
13.2 వర్గీకరించిన దత్తాంశం యొక్క సగటు
పరిశీలనల సగటు (లేదా సరాసరి), మనకు తెలిసినట్లుగా, అన్ని పరిశీలనల విలువల మొత్తాన్ని మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్యతో భాగించడం ద్వారా లభిస్తుంది. తరగతి IX నుండి గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఒకవేళ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ లు వరుసగా $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ పౌనఃపున్యాలతో పరిశీలనలు అయితే, దీని అర్థం పరిశీలన $x_{1}$, $f_{1}$ సార్లు సంభవిస్తుంది, $x_{2}$, $f_{2}$ సార్లు సంభవిస్తుంది, మరియు ఇలా చేస్తుంది.
ఇప్పుడు, అన్ని పరిశీలనల విలువల మొత్తం $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$, మరియు పరిశీలనల సంఖ్య $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$.
కాబట్టి, దత్తాంశం యొక్క సగటు $\bar{x}$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది
$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$
గ్రీకు అక్షరం $\Sigma$ (క్యాపిటల్ సిగ్మా) ఉపయోగించి, ఇది సంకలనాన్ని సూచిస్తుంది, దీని ద్వారా మనం దీనిని సంక్షిప్త రూపంలో వ్రాయగలమని గుర్తుంచుకోండి. అంటే,
$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$
ఇది, మరింత సంక్షిప్తంగా, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ అని వ్రాయబడుతుంది, ఒకవేళ $i$ 1 నుండి $n$ వరకు మారుతుందని అర్థమైతే.
ఈ సూత్రాన్ని కింది ఉదాహరణలో సగటును కనుగొనడానికి వర్తింపజేద్దాం.
ఉదాహరణ 1 : ఒక నిర్దిష్ట పాఠశాలలోని తరగతి $\mathrm{X}$ యొక్క 30 మంది విద్యార్థులు 100 మార్కుల గణిత పేపర్లో పొందిన మార్కులు క్రింది పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి. విద్యార్థులు పొందిన మార్కుల సగటును కనుగొనండి.
| పొందిన మార్కులు $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | 10 | 20 | 36 | 40 | 50 | 56 | 60 | 70 | 72 | 80 | 88 | 92 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| విద్యార్థుల సంఖ్య $\left(\boldsymbol{f} _{\boldsymbol{i}}\right)$ | 1 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
పరిష్కారం: సగటు మార్కులను కనుగొనడానికి, ప్రతి $x_{i}$ యొక్క లబ్ధం మరియు దానికి సంబంధించిన పౌనఃపున్యం $f_{i}$ అవసరమని గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి, వాటిని పట్టిక 13.1లో చూపినట్లుగా ఒక కాలమ్లో ఉంచుదాం.
పట్టిక 13.1
| పొందిన మార్కులు $\left(\boldsymbol{x_i}\right)$ | విద్యార్థుల సంఖ్య $\left(\boldsymbol{f_i}\right)$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 |
| 20 | 1 | 20 |
| 36 | 3 | 108 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 3 | 150 |
| 56 | 2 | 112 |
| 60 | 4 | 240 |
| 70 | 4 | 280 |
| 72 | 1 | 72 |
| 80 | 1 | 80 |
| 88 | 2 | 176 |
| 92 | 3 | 276 |
| 95 | 1 | 95 |
| మొత్తం | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} x_{i}=1779$ |
ఇప్పుడు, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$
అందువల్ల, పొందిన సగటు మార్కులు 59.3.
మన నిజ జీవిత పరిస్థితుల్లో చాలా వరకు, దత్తాంశం సాధారణంగా చాలా పెద్దదిగా ఉంటుంది, అర్థవంతమైన అధ్యయనం చేయడానికి దానిని వర్గీకరించిన దత్తాంశంగా సంగ్రహించాలి. కాబట్టి, ఇచ్చిన వర్గీకరించని దత్తాంశాన్ని వర్గీకరించిన దత్తాంశంగా మార్చి, దాని సగటును కనుగొనడానికి కొన్ని పద్ధతులను రూపొందించాలి.
ఉదాహరణ 1 యొక్క వర్గీకరించని దత్తాంశాన్ని, 15 వెడల్పు ఉన్న తరగతి అంతరాలను ఏర్పరచడం ద్వారా వర్గీకరించిన దత్తాంశంగా మార్చుకుందాం. ప్రతి తరగతి అంతరానికి పౌనఃపున్యాలను కేటాయించేటప్పుడు, ఏదైనా ఎగువ తరగతి పరిమితిలో వచ్చే విద్యార్థులు తదుపరి తరగతిలో పరిగణించబడతారని గుర్తుంచుకోండి, ఉదాహరణకు, 40 మార్కులు పొందిన 4 మంది విద్యార్థులు 25-40 తరగతి అంతరంలో కాకుండా 40-55 తరగతి అంతరంలో పరిగణించబడతారు. మన మనస్సులో ఈ సంప్రదాయంతో, ఒక వర్గీకరించిన పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను ఏర్పరుచుకుందాం (పట్టిక 13.2 చూడండి).
పట్టిక 13.2
| తరగతి అంతరం | $10-25$ | $25-40$ | $40-55$ | $55-70$ | $70-85$ | $85-100$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| విద్యార్థుల సంఖ్య | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
ఇప్పుడు, ప్రతి తరగతి అంతరానికి, మొత్తం తరగతికి ప్రతినిధిగా ఉండే ఒక బిందువు అవసరం. ప్రతి తరగతి అంతరం యొక్క పౌనఃపున్యం దాని మధ్య బిందువు చుట్టూ కేంద్రీకృతమై ఉంటుందని భావించబడుతుంది. కాబట్టి ప్రతి తరగతి యొక్క మధ్య బిందువు (లేదా తరగతి గుర్తు) ఆ తరగతిలో వచ్చే పరిశీలనలను సూచించడానికి ఎంచుకోవచ్చు. ఒక తరగతి యొక్క మధ్య బిందువును (లేదా దాని తరగతి గుర్తు) దాని ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితుల సగటును కనుగొనడం ద్వారా మనం కనుగొంటామని గుర్తుంచుకోండి. అంటే,
$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$
పట్టిక 13.2ని సూచిస్తూ, $10-25$ తరగతికి, తరగతి గుర్తు $\dfrac{10+25}{2}$, అంటే 17.5. అదేవిధంగా, మిగిలిన తరగతి అంతరాల తరగతి గుర్తులను మనం కనుగొనవచ్చు. మేము వాటిని పట్టిక 13.3లో ఉంచుతాము. ఈ తరగతి గుర్తులు మన $x_{i}$ లుగా పనిచేస్తాయి. ఇప్పుడు, సాధారణంగా, $i$ వ తరగతి అంతరానికి, మనకు తరగతి గుర్తు $x_{i}$కి సంబంధించిన పౌనఃపున్యం $f_{i}$ ఉంటుంది. ఇప్పుడు మనం ఉదాహరణ 1లో వలె అదే పద్ధతిలో సగటును లెక్కించడం కొనసాగించవచ్చు.
పట్టిక 13.3
| తరగతి అంతరం | విద్యార్థుల సంఖ్య $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | తరగతి గుర్తు $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | 35.0 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | 97.5 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 332.5 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 375.0 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 465.0 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 555.0 |
| మొత్తం | $\sum f_{i}=30$ | $\sum f_{i} x_{i}=1860.0$ |
చివరి కాలమ్లోని విలువల మొత్తం మనకు $\Sigma f_{i} x_{i}$ని ఇస్తుంది. కాబట్టి, ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క సగటు $\bar{x}$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది
$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$
సగటును కనుగొనే ఈ కొత్త పద్ధతిని ప్రత్యక్ష పద్ధతి అంటారు.
పట్టికలు 13.1 మరియు 13.3 ఒకే దత్తాంశాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాయి మరియు సగటు గణన కోసం ఒకే సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నాయి, కానీ పొందిన ఫలితాలు భిన్నంగా ఉన్నాయని మనం గమనించాము. ఇది ఎందుకు అని మరియు ఏది మరింత ఖచ్చితమైనది అని మీరు ఆలోచించగలరా? రెండు విలువలలో తేడా పట్టిక 13.3లోని మధ్య బిందువు ఊహ కారణంగా ఉంటుంది, 59.3 ఖచ్చితమైన సగటు అయితే, 62 ఒక సుమారు సగటు.
కొన్నిసార్లు $x_{i}$ మరియు $f_{i}$ యొక్క సంఖ్యా విలువలు పెద్దవిగా ఉన్నప్పుడు, $x_{i}$ మరియు $f_{i}$ లబ్ధాన్ని కనుగొనడం దుర్భరమైన మరియు సమయం తీసుకునే పని అవుతుంది. కాబట్టి, అలాంటి పరిస్థితుల కోసం, ఈ గణనలను తగ్గించే పద్ధతి గురించి ఆలోచిద్దాం.
మనం $f_{i}$ లతో ఏమీ చేయలేము, కానీ మనం ప్రతి $x_{i}$ని చిన్న సంఖ్యగా మార్చవచ్చు, తద్వారా మన గణనలు సులభం అవుతాయి. మనం దీన్ని ఎలా చేస్తాము? ఈ ప్రతి $x_{i}^{\prime}$ నుండి ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసివేయడం గురించి ఏమిటి? ఈ పద్ధతిని ప్రయత్నిద్దాం.
మొదటి దశ $x_{i}^{\prime}$ లలో ఒకదాన్ని ఊహించిన సగటుగా ఎంచుకోవడం, మరియు దానిని ‘$a$‘గా సూచించడం. అలాగే, మన గణన పనిని మరింత తగ్గించడానికి, మనం ‘$a$‘ని $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ మధ్యలో ఉన్న $x_{i}$గా తీసుకోవచ్చు. కాబట్టి, మనం $a=47.5$ లేదా $a=62.5$ని ఎంచుకోవచ్చు. $a=47.5$ని ఎంచుకుందాం.
తరువాతి దశ $a$ మరియు ప్రతి $x_{i}$ ల మధ్య వ్యత్యాసం $d_{i}$ని కనుగొనడం, అంటే, ప్రతి $x_{i}$ నుండి ‘$a$’ యొక్క విచలనం.
అంటే, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$
మూడవ దశ $d_{i}$ని సంబంధిత $f_{i}$తో గుణించడం, మరియు అన్ని $f_{i} d_{i}$ ల మొత్తాన్ని తీసుకోవడం. గణనలు పట్టిక 13.4లో చూపబడ్డాయి.
పట్టిక 13.4
| తరగతి అంతరం | విద్యార్థుల సంఖ్య $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | తరగతి గుర్తు $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{4 7 . 5}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{d_i}$ |
|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -60 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -45 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 90 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 180 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 270 |
| మొత్తం | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} d_{i}=435$ |
కాబట్టి, పట్టిక 13.4 నుండి, విచలనాల సగటు, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$.
ఇప్పుడు, $\bar{d}$ మరియు $\bar{x}$ మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొందాం.
$d_{i}$ని పొందడంలో, మనం ప్రతి $x_{i}$ నుండి ‘$a$‘ని తీసివేసినందున, కాబట్టి, సగటు $\bar{x}$ని పొందడానికి, మనం $\bar{d}$కి ‘$a$‘ని జోడించాలి. దీనిని గణితశాస్త్రపరంగా ఇలా వివరించవచ్చు:
$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$
పట్టిక 13.4 నుండి $a, \Sigma f_{i} d_{i}$ మరియు $\Sigma f_{i}$ విలువలను ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది
$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$
అందువల్ల, విద్యార్థులు పొందిన మార్కుల సగటు 62.
పైన చర్చించిన పద్ధతిని ఊహించిన సగటు పద్ధతి అంటారు.
కృత్యం 1 : పట్టిక 13.3 నుండి, ప్రతి $x_{i}$ (అంటే 17.5, 32.5, మరియు మొదలగునవి)ని ‘$a$‘గా తీసుకొని సగటును కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు? మీరు ప్రతి సందర్భంలో నిర్ణయించబడిన సగటు ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అంటే 62 అని కనుగొంటారు. (ఎందుకు?)
కాబట్టి, పొందిన సగటు విలువ ‘$a$’ ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదని మనం చెప్పగలం.
పట్టిక 13.4లో, కాలమ్ 4లోని విలువలు అన్నీ 15 గుణిజాలుగా ఉన్నాయని గమనించండి. కాబట్టి, మనం మొత్తం కాలమ్ 4లోని విలువలను 15తో భాగిస్తే, మనకు $f_{i^{\prime}}$తో గుణించడానికి చిన్న సంఖ్యలు లభిస్తాయి. (ఇక్కడ, 15 ప్రతి తరగతి అంతరం యొక్క తరగతి పరిమాణం.)
కాబట్టి, $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$ అనుకుందాం, ఇక్కడ $a$ ఊహించిన సగటు మరియు $h$ తరగతి పరిమాణం.
ఇప్పుడు, మనం ఈ విధంగా $u_{i}$ని లెక్కిస్తాము మరియు ముందు వలె కొనసాగిస్తాము (అంటే $f_{i} u_{i}$ని కనుగొని, ఆపై $\Sigma f_{i} u_{i}$). $h=15$ని తీసుకొని, పట్టిక 13.5ని ఏర్పరుచుకుందాం.
పట్టిక 13.5
| తరగతి అంతరం | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{u_i}=\dfrac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{h}}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -2 | -4 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -1 | -3 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 1 | 6 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 2 | 12 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 3 | 18 |
| మొత్తం | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} u_{i}=29$ |
అనుకుందాం $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$
ఇక్కడ, మళ్ళీ $\bar{u}$ మరియు $\bar{x}$ మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొందాం.
మనకు ఉంది, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$
అందువల్ల, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$
కాబట్టి, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$
అంటే, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$
కాబట్టి, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$
ఇప్పుడు, పట్టిక 14.5 నుండి $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ మరియు $\Sigma f_{i}$ విలువలను ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది
$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$
కాబట్టి, ఒక విద్యార్థి పొందిన సగటు మార్కులు 62.
పైన చర్చించిన పద్ధతిని దశ-విచలన పద్ధతి అంటారు.
మేము గమనించాము:
- అన్ని $d_{i}$ లకు ఒక సామాన్య కారణాంకం ఉంటే దశ-విచలన పద్ధతిని వర్తింపజేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.
- మూడు పద్ధతుల ద్వారా పొందిన సగటు ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
- ఊహించిన సగటు పద్ధతి మరియు దశ-విచలన పద్ధతి ప్రత్యక్ష పద్ధతి యొక్క సరళీకృత రూపాలు మాత్రమే.
- సూత్రం $\bar{x}=a+h \bar{u}$, $a$ మరియు $h$ పైన ఇవ్వబడినట్లుగా లేకపోయినా, ఏదైనా శూన్యేతర సంఖ్యలు అయి $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$ అయితే ఇప్పటికీ ఉంటుంది.
ఈ పద్ధతులను మరొక ఉదాహరణలో వర్తింపజేద్దాం.
ఉదాహరణ 2 : క్రింది పట్టిక భారతదేశంలోని వివిధ రాష్ట్రాలు మరియు కేంద్రపాలిత ప్రాంతాల (U.T.) గ్రామీణ ప్రాంతాల ప్రాథమిక పాఠశాలల్లోని మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతం విభాజనను ఇస్తుంది. ఈ విభాగంలో చర్చించిన మూడు పద్ధతుల ద్వారా మహిళా ఉపాధ్యాయుల సగటు శాతాన్ని కనుగొనండి.
| మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతం | $15-25$ | $25-35$ | $35-45$ | $45-55$ | $55-65$ | $65-75$ | $75-85$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| రాష్ట్రాలు/కేంద్రపాలిత ప్రాంతాల సంఖ్య | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
మూలం : NCERT ద్వారా నిర్వహించబడిన ఏడవ అఖిల భారత పాఠశాల విద్యా సర్వే
పరిష్కారం : ప్రతి తరగతి యొక్క తరగతి గుర్తులు, $x_{i}$, ని కనుగొని, వాటిని ఒక కాలమ్లో ఉంచుదాం (పట్టిక 13.6 చూడండి):
పట్టిక 13.6
| మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతం | రాష్ట్రాల సంఖ్య $/$ కేంద్రపాలిత ప్రాంతాలు $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ |
|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 |
| $25-35$ | 11 | 30 |
| $35-45$ | 7 | 40 |
| $45-55$ | 4 | 50 |
| $55-65$ | 4 | 60 |
| $65-75$ | 2 | 70 |
| $75-85$ | 1 | 80 |
ఇక్కడ మనం $a=50, h=10$ని తీసుకుంటే, అప్పుడు $d_{i}=x_{i}-50$ మరియు $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$.
ఇప్పుడు మనం $d_{i}$ మరియు $u_{i}$ని కనుగొని వాటిని పట్టిక 13.7లో ఉంచుతాము.
పట్టిక 13.7
| మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతం | రాష్ట్రాలు/కేంద్రపాలిత ప్రాంతాల సంఖ్య $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{5 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{x_i}-\mathbf{5 0}}{\mathbf{1 0}}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{d_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 | -30 | -3 | 120 | -180 | -18 |
| $25-35$ | 11 | 30 | -20 | -2 | 330 | -220 | -22 |
| $35-45$ | 7 | 40 | -10 | -1 | 280 | -70 | -7 |
| $45-55$ | 4 | 50 | 0 | 0 | 200 | 0 | 0 |
| $55-65$ | 4 | 60 | 10 | 1 | 240 | 40 | 4 |
| $65-75$ | 2 | 70 | 20 | 2 | 140 | 40 | 4 |
| $75-85$ | 1 | 80 | 30 | 3 | 80 | 30 | 3 |
| మొత్తం | $\mathbf{3 5}$ | $\mathbf{1 3 9 0}$ | $\mathbf{- 3 6 0}$ | $\mathbf{- 3 6}$ |
పై పట్టిక నుండి, మనకు $\Sigma f_{i}=35, \quad \Sigma f_{i} x_{i}=1390$ లభిస్తుంది,
$$ \Sigma f_{i} d_{i}=-360, \quad \Sigma f_{i} u_{i}=-36 $$
ప్రత్యక్ష పద్ధతిని ఉపయోగించి, $\bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1390}{35}=39.71$
ఊహించిన సగటు పద్ధతిని ఉపయోగించి,
$$ \bar{x}=a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}=50+\dfrac{(-360)}{35}=39.71 $$
దశ-విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి,
$$ \bar{x}=a+\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=50+\left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10=39.71 $$
అందువల్ల, గ్రామీణ ప్రాంతాల ప్రాథమిక పాఠశాలల్లో మహిళా ఉపాధ్యాయుల సగటు శాతం 39.71.
వ్యాఖ్య : మూడు పద్ధతుల ద్వారా పొందిన ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. కాబట్టి ఉపయోగించాల్సిన పద్ధతి యొక్క ఎంపిక $x_{i}$ మరియు $f_{i}$ యొక్క సంఖ్యా విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒకవేళ $x_{i}$ మరియు $f_{i}$ తగినంత చిన్నవిగా ఉంటే, అప్పుడు ప్రత్యక్ష పద్ధతి సరైన ఎంపిక. ఒకవేళ $x_{i}$ మరియు $f_{i}$ సంఖ్యాపరంగా పెద్ద సంఖ్యలు అయితే, అప్పుడు మనం ఊహించిన సగటు పద్ధతి లేదా దశ-విచలన పద్ధతికి వెళ్లవచ్చు.
BETA
