अध्याय 13 सांख्यिकी
13.1 भूमिका
कक्षा IX में, आपने दिए गए आँकड़ों का वर्गीकरण अवर्गीकृत तथा वर्गीकृत बारंबारता बंटनों में अध्ययन किया है। आपने आँकड़ों को चित्रात्मक रूप से विभिन्न आलेखों जैसे दंड आलेख, आयत चित्र (जिनमें परिवर्ती चौड़ाई वाले भी शामिल हैं) और बारंबारता बहुभुज के रूप में निरूपित करना भी सीखा है। वास्तव में, आप अवर्गीकृत आँकड़ों के कुछ संख्यात्मक प्रतिनिधियों, जिन्हें केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापें भी कहते हैं, अर्थात् माध्य, माध्यिका और बहुलक का अध्ययन करके एक कदम और आगे बढ़ गए थे। इस अध्याय में, हम इन तीनों मापों, अर्थात् माध्य, माध्यिका और बहुलक के अध्ययन को अवर्गीकृत आँकड़ों से वर्गीकृत आँकड़ों तक विस्तारित करेंगे। हम संचयी बारंबारता, संचयी बारंबारता बंटन और संचयी बारंबारता वक्रों, जिन्हें तोरण कहते हैं, को खींचने की विधि पर भी चर्चा करेंगे।
13.2 वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य
जैसा कि हम जानते हैं, प्रेक्षणों का माध्य (या औसत) सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। कक्षा IX से याद कीजिए कि यदि $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ प्रेक्षण हैं जिनकी संगत बारंबारताएँ $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ हैं, तो इसका अर्थ है कि प्रेक्षण $x_{1}$, $f_{1}$ बार आता है, $x_{2}$, $f_{2}$ बार आता है, और इसी तरह।
अब, सभी प्रेक्षणों के मानों का योग $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$ है, और प्रेक्षणों की संख्या $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$ है।
इसलिए, आँकड़ों का माध्य $\bar{x}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$
याद रखिए कि हम इसे संकुचित रूप में यूनानी अक्षर $\Sigma$ (कैपिटल सिग्मा) का उपयोग करके लिख सकते हैं जिसका अर्थ योग है। अर्थात्,
$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$
जिसे, और संक्षेप में, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ लिखा जाता है, यदि यह समझ लिया गया है कि $i$, 1 से $n$ तक परिवर्तित होता है।
आइए इस सूत्र को निम्नलिखित उदाहरण में माध्य ज्ञात करने के लिए लागू करें।
उदाहरण 1 : एक निश्चित विद्यालय की कक्षा $\mathrm{X}$ के 30 विद्यार्थियों द्वारा 100 अंकों वाले गणित के एक पेपर में प्राप्त अंक नीचे दी गई सारणी में प्रस्तुत किए गए हैं। विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य ज्ञात कीजिए।
| प्राप्त अंक $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | 10 | 20 | 36 | 40 | 50 | 56 | 60 | 70 | 72 | 80 | 88 | 92 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या $\left(\boldsymbol{f} _{\boldsymbol{i}}\right)$ | 1 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
हल: याद रखिए कि माध्य अंक ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक $x_{i}$ को संगत बारंबारता $f_{i}$ से गुणा करने की आवश्यकता होती है। इसलिए, आइए उन्हें सारणी 13.1 में दर्शाए गए अनुसार एक कॉलम में रखें।
सारणी 13.1
| प्राप्त अंक $\left(\boldsymbol{x_i}\right)$ | विद्यार्थियों की संख्या $\left(\boldsymbol{f_i}\right)$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 |
| 20 | 1 | 20 |
| 36 | 3 | 108 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 3 | 150 |
| 56 | 2 | 112 |
| 60 | 4 | 240 |
| 70 | 4 | 280 |
| 72 | 1 | 72 |
| 80 | 1 | 80 |
| 88 | 2 | 176 |
| 92 | 3 | 276 |
| 95 | 1 | 95 |
| योग | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} x_{i}=1779$ |
अब, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$
इसलिए, प्राप्त माध्य अंक 59.3 है।
हमारे अधिकांश वास्तविक जीवन की स्थितियों में, आँकड़े आमतौर पर इतने बड़े होते हैं कि सार्थक अध्ययन के लिए उन्हें वर्गीकृत आँकड़ों के रूप में संक्षिप्त करने की आवश्यकता होती है। इसलिए, हमें दिए गए अवर्गीकृत आँकड़ों को वर्गीकृत आँकड़ों में बदलने और उसका माध्य ज्ञात करने के लिए किसी विधि को तैयार करने की आवश्यकता है।
आइए उदाहरण 1 के अवर्गीकृत आँकड़ों को, मान लीजिए 15 की चौड़ाई वाले वर्ग-अंतराल बनाकर, वर्गीकृत आँकड़ों में बदलें। याद रखिए कि प्रत्येक वर्ग-अंतराल को बारंबारताएँ आवंटित करते समय, किसी भी ऊपरी वर्ग सीमा में आने वाले विद्यार्थियों को अगले वर्ग में माना जाएगा, उदाहरण के लिए, 40 अंक प्राप्त करने वाले 4 विद्यार्थियों को वर्ग-अंतराल 40-55 में माना जाएगा न कि 25-40 में। इस परंपरा को ध्यान में रखते हुए, आइए एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाते हैं (सारणी 13.2 देखें)।
सारणी 13.2
| वर्ग अंतराल | $10-25$ | $25-40$ | $40-55$ | $55-70$ | $70-85$ | $85-100$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
अब, प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए, हमें एक ऐसे बिंदु की आवश्यकता होती है जो पूरे वर्ग का प्रतिनिधित्व कर सके। यह माना जाता है कि प्रत्येक वर्ग-अंतराल की बारंबारता उसके मध्य-बिंदु के चारों ओर केंद्रित होती है। इसलिए प्रत्येक वर्ग का मध्य-बिंदु (या वर्ग चिह्न) उस वर्ग में आने वाले प्रेक्षणों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना जा सकता है। याद रखिए कि हम एक वर्ग का मध्य-बिंदु (या उसका वर्ग चिह्न) उसकी ऊपरी और निचली सीमाओं का औसत ज्ञात करके प्राप्त करते हैं। अर्थात्,
$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$
सारणी 13.2 के संदर्भ में, वर्ग $10-25$ के लिए, वर्ग चिह्न $\dfrac{10+25}{2}$ है, अर्थात् 17.5। इसी तरह, हम शेष वर्ग अंतरालों के वर्ग चिह्न ज्ञात कर सकते हैं। हम उन्हें सारणी 13.3 में रखते हैं। ये वर्ग चिह्न हमारे $x_{i}$ के रूप में कार्य करते हैं। अब, सामान्यतः, $i$ वें वर्ग अंतराल के लिए, हमारे पास वर्ग चिह्न $x_{i}$ के संगत बारंबारता $f_{i}$ है। अब हम उदाहरण 1 की तरह ही माध्य की गणना करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।
सारणी 13.3
| वर्ग अंतराल | विद्यार्थियों की संख्या $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | वर्ग चिह्न $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | 35.0 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | 97.5 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 332.5 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 375.0 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 465.0 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 555.0 |
| योग | $\sum f_{i}=30$ | $\sum f_{i} x_{i}=1860.0$ |
अंतिम स्तंभ में मानों का योग हमें $\Sigma f_{i} x_{i}$ देता है। इसलिए, दिए गए आँकड़ों का माध्य $\bar{x}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$
माध्य ज्ञात करने की इस नई विधि को प्रत्यक्ष विधि के रूप में जाना जाता है।
हम देखते हैं कि सारणी 13.1 और 13.3 समान आँकड़ों का उपयोग कर रही हैं और माध्य की गणना के लिए समान सूत्र का उपयोग कर रही हैं लेकिन प्राप्त परिणाम भिन्न हैं। क्या आप सोच सकते हैं कि ऐसा क्यों है, और कौन सा अधिक सटीक है? दोनों मानों में अंतर सारणी 13.3 में मध्य-बिंदु की धारणा के कारण है, 59.3 सटीक माध्य है, जबकि 62 एक अनुमानित माध्य है।
कभी-कभी जब $x_{i}$ और $f_{i}$ के संख्यात्मक मान बड़े होते हैं, तो $x_{i}$ और $f_{i}$ का गुणनफल ज्ञात करना थकाऊ और समय लेने वाला हो जाता है। इसलिए, ऐसी स्थितियों के लिए, आइए इन गणनाओं को कम करने की एक विधि के बारे में सोचें।
हम $f_{i}$ के साथ कुछ नहीं कर सकते, लेकिन हम प्रत्येक $x_{i}$ को एक छोटी संख्या में बदल सकते हैं ताकि हमारी गणनाएँ आसान हो जाएँ। हम यह कैसे करें? इनमें से प्रत्येक $x_{i}^{\prime}$ से एक निश्चित संख्या घटाने के बारे में क्या विचार है? आइए इस विधि को आज़माएँ।
पहला कदम $x_{i}^{\prime}$ में से एक को कल्पित माध्य के रूप में चुनना है, और इसे ‘$a$’ से निरूपित करना है। साथ ही, हमारे गणना कार्य को और कम करने के लिए, हम ‘$a$’ को वह $x_{i}$ ले सकते हैं जो $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ के केंद्र में स्थित हो। इसलिए, हम $a=47.5$ या $a=62.5$ चुन सकते हैं। आइए $a=47.5$ चुनते हैं।
अगला कदम $d_{i}$ और प्रत्येक $x_{i}$ के बीच का अंतर $a$ ज्ञात करना है, अर्थात्, ‘$a$’ का प्रत्येक $x_{i}$ से विचलन।
अर्थात्, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$
तीसरा कदम $d_{i}$ को संगत $f_{i}$ से गुणा करना है, और सभी $f_{i} d_{i}$ का योग लेना है। गणनाएँ सारणी 13.4 में दर्शाई गई हैं।
सारणी 13.4
| वर्ग अंतराल | विद्यार्थियों की संख्या $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | वर्ग चिह्न $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{4 7 . 5}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{d_i}$ |
|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -60 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -45 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 90 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 180 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 270 |
| योग | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} d_{i}=435$ |
इसलिए, सारणी 13.4 से, विचलनों का माध्य, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$।
अब, आइए $\bar{d}$ और $\bar{x}$ के बीच संबंध ज्ञात करें।
चूँकि $d_{i}$ प्राप्त करने में, हमने प्रत्येक $x_{i}$ से ‘$a$’ घटाया था, इसलिए, माध्य $\bar{x}$ प्राप्त करने के लिए, हमें $\bar{d}$ में ‘$a$’ जोड़ने की आवश्यकता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार समझाया जा सकता है:
$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$
$a, \Sigma f_{i} d_{i}$ और $\Sigma f_{i}$ के मान सारणी 13.4 से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$
इसलिए, विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य 62 है।
ऊपर चर्चित विधि को कल्पित माध्य विधि कहा जाता है।
क्रियाकलाप 1 : सारणी 13.3 से प्रत्येक $x_{i}$ (अर्थात् 17.5, 32.5, इत्यादि) को ‘$a$’ मानकर माध्य ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं? आप पाएंगे कि प्रत्येक स्थिति में निर्धारित माध्य समान है, अर्थात् 62। (क्यों?)
इसलिए, हम कह सकते हैं कि प्राप्त माध्य का मान ‘$a$’ के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।
ध्यान दें कि सारणी 13.4 में, कॉलम 4 के मान सभी 15 के गुणज हैं। इसलिए, यदि हम पूरे कॉलम 4 के मानों को 15 से विभाजित करें, तो हमें $f_{i^{\prime}}$ से गुणा करने के लिए छोटी संख्याएँ प्राप्त होंगी। (यहाँ, 15 प्रत्येक वर्ग अंतराल का वर्ग आकार है।)
इसलिए, मान लीजिए $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$, जहाँ $a$ कल्पित माध्य है और $h$ वर्ग आकार है।
अब, हम $u_{i}$ की गणना इस प्रकार करते हैं और पहले की तरह जारी रखते हैं (अर्थात् $f_{i} u_{i}$ और फिर $\Sigma f_{i} u_{i}$ ज्ञात करते हैं)। $h=15$ लेते हुए, आइए सारणी 13.5 बनाते हैं।
सारणी 13.5
| वर्ग अंतराल | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{u_i}=\dfrac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{h}}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -2 | -4 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -1 | -3 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 1 | 6 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 2 | 12 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 3 | 18 |
| योग | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} u_{i}=29$ |
मान लीजिए $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$
यहाँ, फिर से आइए $\bar{u}$ और $\bar{x}$ के बीच संबंध ज्ञात करें।
हमारे पास है, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$
इसलिए, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$
अतः, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$
अर्थात्, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$
इसलिए, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$
अब, $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ और $\Sigma f_{i}$ के मान सारणी 14.5 से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$
इसलिए, एक विद्यार्थी द्वारा प्राप्त माध्य अंक 62 है।
ऊपर चर्चित विधि को पद-विचलन विधि कहा जाता है।
हम ध्यान देते हैं कि:
- पद-विचलन विधि लागू करना सुविधाजनक होगा यदि सभी $d_{i}$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो।
- तीनों विधियों द्वारा प्राप्त माध्य समान है।
- कल्पित माध्य विधि और पद-विचलन विधि प्रत्यक्ष विधि के ही सरलीकृत रूप हैं।
- सूत्र $\bar{x}=a+h \bar{u}$ तब भी मान्य रहता है यदि $a$ और $h$ ऊपर दिए गए अनुसार नहीं हैं, बल्कि कोई भी शून्येतर संख्याएँ हैं जैसे कि $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$।
आइए इन विधियों को एक अन्य उदाहरण में लागू करें।
उदाहरण 2 : नीचे दी गई सारणी भारत के विभिन्न राज्यों और केंद्र शासित प्रदेशों (U.T.) के ग्रामीण क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में महिला शिक्षकों का प्रतिशत वितरण देती है। इस अनुभाग में चर्चित सभी तीनों विधियों द्वारा महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
| महिला शिक्षकों का प्रतिशत | $15-25$ | $25-35$ | $35-45$ | $45-55$ | $55-65$ | $65-75$ | $75-85$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| राज्यों/केंद्र शासित प्रदेशों की संख्या | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
स्रोत: NCERT द्वारा आयोजित सातवीं अखिल भारतीय विद्यालय शिक्षा सर्वेक्षण
हल: आइए प्रत्येक वर्ग के वर्ग चिह्न, $x_{i}$, ज्ञात करें, और उन्हें एक कॉलम में रखें (सारणी 13.6 देखें):
सारणी 13.6
| महिला शिक्षकों का प्रतिशत | राज्यों की संख्या $/$ केंद्र शासित प्रदेश $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ |
|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 |
| $25-35$ | 11 | 30 |
| $35-45$ | 7 | 40 |
| $45-55$ | 4 | 50 |
| $55-65$ | 4 | 60 |
| $65-75$ | 2 | 70 |
| $75-85$ | 1 | 80 |
यहाँ हम $a=50, h=10$ लेते हैं, तब $d_{i}=x_{i}-50$ और $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$।
अब हम $d_{i}$ और $u_{i}$ ज्ञात करते हैं और उन्हें सारणी 13.7 में रखते हैं।
सारणी 13.7
| महिला शिक्षकों का प्रतिशत | राज्यों/केंद्र शासित प्रदेशों की संख्या $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{5 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{x_i}-\mathbf{5 0}}{\mathbf{1 0}}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{d_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 | -30 | -3 | 120 | -180 | -18 |
| $25-35$ | 11 | 30 | -20 | -2 | 330 | -220 | -22 |
| $35-45$ | 7 | 40 | -10 | -1 | 280 | -70 | -7 |
| $45-55$ | 4 | 50 | 0 | 0 | 200 | 0 | 0 |
| $55-65$ | 4 | 60 | 10 | 1 | 240 | 40 | 4 |
| $65-75$ | 2 | 70 | 20 | 2 | 140 | 40 | 4 |
| $75-85$ | 1 | 80 | 30 | 3 | 80 | 30 | 3 |
| योग | $\mathbf{3 5}$ | $\mathbf{1 3 9 0}$ | $\mathbf{- 3 6 0}$ | $\mathbf{- 3 6}$ |
उपरोक्त सारणी से, हम प्राप्त करते हैं $\Sigma f_{i}=35, \quad \Sigma f_{i} x_{i}=1390$,
$$ \Sigma f_{i} d_{i}=-360, \quad \Sigma f_{i} u_{i}=-36 $$
प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करते हुए, $\bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1390}{35}=39.71$
कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हुए,
$$ \bar{x}=a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}=50+\dfrac{(-360)}{35}=39.71 $$
पद-विचलन विधि का उपयोग करते हुए,
$$ \bar{x}=a+\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=50+\left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10=39.71 $$
इसलिए, ग्रामीण क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत 39.71 है।
टिप्पणी: तीनों विधियों द्वारा प्राप्त परिणाम समान है। इसलिए उपयोग की जाने वाली विधि का चुनाव $x_{i}$ और $f_{i}$ के संख्यात्मक मानों पर निर्भर करता है। यदि $x_{i}$ और $f_{i}$ पर्याप्त रूप से छोटे हैं, तो प्रत्यक्ष विधि एक उपयुक्त विकल्प है। यदि $x_{i}$ और $f_{i}$ संख्यात्मक रूप से बड़ी संख्याएँ हैं, तो हम कल्पित माध्य विधि या पद-विचलन विधि का उपयोग कर सकते हैं। यदि वर्ग आकार असमान हैं, और $x_{i}$ संख्यात्मक रूप से बड़े हैं, तब भी हम सभी $d_{i}$ के एक उपयुक्त भाजक के रूप में $h$ लेकर पद-विचलन विधि लागू कर सकते हैं।
उदाहरण 3: नीचे दिया गया बंटन एक दिवसीय क्रिकेट मैचों में गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या दर्शाता है। एक उपयुक्त विधि चुनकर विकेटों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। माध्य क्या दर्शाता है?
| विकेटों की संख्या | $20-60$ | $60-100$ | $100-150$ | $150-250$ | $250-350$ | $350-450$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| गेंदबाजों की संख्या | 7 | 5 | 16 | 12 | 2 | 3 |
हल: यहाँ, वर्ग आकार परिवर्ती है, और $x_{i}$ बड़े हैं। आइए फिर भी $a=200$ और $h=20$ के साथ पद-विचलन विधि लागू करें। तब, हम सारणी 13.8 में दिए गए अनुसार आँकड़े प्राप्त करते हैं।
सारणी 13.8
| लिए गए विकेटों की संख्या | गेंदबाजों की संख्या $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d}_{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{x_i}-\mathbf{2 0 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{d_i}}{\mathbf{2 0}}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{f_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $20-60$ | 7 | 40 | -160 | -8 | -56 |
| $60-100$ | 5 | 80 | -120 | -6 | -30 |
| $100-150$ | 16 | 125 | -75 | -3.75 | -60 |
| $150-250$ | 12 | 200 | 0 | 0 | 0 |
| $250-350$ | 2 | 300 | 100 | 5 | 10 |
| $350-450$ | 3 | 400 | 200 | 10 | 30 |
| योग | $\mathbf{4 5}$ | $\mathbf{- 1 0 6}$ |
इसलिए, $\bar{u}=\dfrac{-106}{45}$। अतः, $\bar{x}=200+20\left(\dfrac{-106}{45}\right)=200-47.11=152.89$।
यह हमें बताता है कि, औसतन, इन 45 गेंदबाजों द्वारा एक दिवसीय क्रिकेट में लिए गए विकेटों की संख्या 152.89 है।
अब, आइए देखें कि आप इस अनुभाग में चर्चित अवधारणाओं को कितनी अच्छी तरह लागू कर सकते हैं!
क्रियाकलाप 2:
अपनी कक्षा के विद्यार्थियों को तीन समूहों में विभाजित कीजिए और प्रत्येक समूह को निम्नलिखित में से एक क्रियाकलाप करने के लिए कहिए।
1. अपने विद्यालय द्वारा आयोजित नवीनतम परीक्षा में आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों द्वारा गणित में प्राप्त अंक एकत्रित कीजिए। प्राप्त आँकड़ों का एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन बनाइए।
2. अपने शहर में 30 दिनों की अवधि के लिए दर्ज की गई दैनिक अधिकतम तापमान एकत्रित कीजिए। इस आँकड़े को एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए।
3. अपनी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ (सेमी में) मापिए और इस आँकड़े की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
सभी समूहों द्वारा आँकड़े एकत्रित करने और वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणियाँ बनाने के बाद, समूहों को प्रत्येक स्थिति में उस विधि द्वारा माध्य ज्ञात करना चाहिए जो उन्हें उपयुक्त लगे।
13.3 वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक
कक्षा IX से याद कीजिए, बहुलक वह मान है जो प्रेक्षणों में सबसे अधिक बार आता है, अर्थात् अधिकतम बारंबारता वाले प्रेक्षण का मान। इसके अलावा, हमने अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करने पर चर्चा की थी। यहाँ, हम वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक प्राप्त करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे। यह संभव है कि एक से अधिक मानों की समान अधिकतम बारंबारता हो। ऐसी स्थितियों में, आँकड़ों को बहुबहुलकी कहा जाता है। हालाँकि वर्गीकृत आँकड़े भी बहुबहुलकी हो सकते हैं, हम स्वयं को केवल एक बहुलक वाली समस्याओं तक सीमित रखेंगे।
आइए पहले याद करें कि हमने निम्नलिखित उदाहरण के म
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