13.1 ആമുഖം

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ, നിങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയെ അവിഭാജിതവും വിഭാജിതവുമായ ആവൃത്തി വിതരണങ്ങളായി തരം തിരിക്കുന്നത് പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ബാർ ഗ്രാഫുകൾ, ഹിസ്റ്റോഗ്രാമുകൾ (വ്യത്യസ്ത വീതികളുള്ളവ ഉൾപ്പെടെ), ആവൃത്തി ബഹുഭുജങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെ വിവിധ ഗ്രാഫുകളുടെ രൂപത്തിൽ ഡാറ്റയെ ചിത്രീകരിക്കാനും നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, അവിഭാജിത ഡാറ്റയുടെ ചില സംഖ്യാപരമായ പ്രതിനിധികളായ, അതായത് കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകളായ മാധ്യം, മധ്യമം, ബഹുതമാവർത്തിതം എന്നിവ പഠിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾ ഒരു ചുവട് മുന്നോട്ട് വെച്ചിരുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഈ മൂന്ന് അളവുകളുടെയും, അതായത് മാധ്യം, മധ്യമം, ബഹുതമാവർത്തിതം എന്നിവയുടെ പഠനം നാം അവിഭാജിത ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് വിഭാജിത ഡാറ്റയിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കും. സഞ്ചിത ആവൃത്തിയുടെ ആശയം, സഞ്ചിത ആവൃത്തി വിതരണം, സഞ്ചിത ആവൃത്തി വക്രങ്ങൾ (ഓജീവുകൾ) വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള രീതി എന്നിവയെക്കുറിച്ചും നാം ചർച്ച ചെയ്യും.

13.2 വിഭാജിത ഡാറ്റയുടെ മാധ്യം

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ മാധ്യം (അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരി) എന്നത് എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ മൊത്തം നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ്. ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ നിന്ന് ഓർക്കുക, $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ എന്നിവ യഥാക്രമം $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$ എന്നീ ആവൃത്തികളുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങളാണെങ്കിൽ, ഇതിനർത്ഥം $x_{1}$ എന്ന നിരീക്ഷണം $f_{1}$ തവണ സംഭവിക്കുന്നു, $x_{2}$ $f_{2}$ തവണ സംഭവിക്കുന്നു, ഇത്യാദി എന്നാണ്.

ഇപ്പോൾ, എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$ ആണ്, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$ ആണ്.

അതിനാൽ, ഡാറ്റയുടെ മാധ്യം $\bar{x}$ നൽകുന്നത്

$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$

എന്ന സമവാക്യത്തിലൂടെയാണ്.

സങ്കലനം എന്നർത്ഥമുള്ള ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം $\Sigma$ (കാപിറ്റൽ സിഗ്മ) ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതാമെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. അതായത്,

$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$

ഇത്, കൂടുതൽ ചുരുക്കത്തിൽ, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ എന്ന് എഴുതാം, $i$ 1 മുതൽ $n$ വരെ മാറുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കിയാൽ.

ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് താഴെയുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : ഒരു പ്രത്യേക സ്കൂളിലെ $\mathrm{X}$ ക്ലാസ്സിലെ 30 വിദ്യാർത്ഥികൾ 100 മാർക്കുകളുള്ള ഒരു ഗണിത പേപ്പറിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മാർക്കുകൾ താഴെയുള്ള പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. വിദ്യാർത്ഥികൾ നേടിയ മാർക്കുകളുടെ മാധ്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: മാധ്യ മാർക്കുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഓരോ $x_{i}$ ഉം അതിനോടനുബന്ധിച്ച ആവൃത്തി $f_{i}$ ഉം തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം നമുക്ക് ആവശ്യമാണെന്ന് ഓർക്കുക. അതിനാൽ, അവയെ പട്ടിക 13.1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു നിരയിൽ ഇടാം.

പട്ടിക 13.1

ഇപ്പോൾ, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$

അതിനാൽ, നേടിയ മാധ്യ മാർക്കുകൾ 59.3 ആണ്.

നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിൽ മിക്കവാറും, ഡാറ്റ സാധാരണയായി വളരെ വലുതായിരിക്കും, അതിനാൽ അർത്ഥപൂർണ്ണമായ പഠനത്തിന് അത് വിഭാജിത ഡാറ്റയായി ചുരുക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അവിഭാജിത ഡാറ്റ വിഭാജിത ഡാറ്റയാക്കി മാറ്റുകയും അതിന്റെ മാധ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ചില രീതികൾ കണ്ടുപിടിക്കുകയും വേണം.

ഉദാഹരണം 1-ലെ അവിഭാജിത ഡാറ്റ, 15 എന്ന വീതിയുള്ള ക്ലാസ് ഇടവേളകൾ രൂപീകരിച്ച് വിഭാജിത ഡാറ്റയാക്കി മാറ്റാം. ഓരോ ക്ലാസ്-ഇടവേളയിലേക്കും ആവൃത്തികൾ നിയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും ഉയർന്ന ക്ലാസ് പരിധിയിൽ വരുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾ അടുത്ത ക്ലാസിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുമെന്ന് ഓർക്കുക, ഉദാ., 40 മാർക്ക് നേടിയ 4 വിദ്യാർത്ഥികൾ 25-40 എന്ന ക്ലാസ് ഇടവേളയിൽ അല്ല, 40-55 എന്ന ക്ലാസ് ഇടവേളയിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടും. ഈ രീതി മനസ്സിൽ വെച്ചുകൊണ്ട്, നമുക്ക് ഒരു വിഭാജിത ആവൃത്തി വിതരണ പട്ടിക രൂപീകരിക്കാം (പട്ടിക 13.2 കാണുക).

പട്ടിക 13.2

ഇപ്പോൾ, ഓരോ ക്ലാസ്-ഇടവേളയ്ക്കും, മുഴുവൻ ക്ലാസിന്റെയും പ്രതിനിധിയായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദു നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്. ഓരോ ക്ലാസ്-ഇടവേളയുടെയും ആവൃത്തി അതിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിനെ കേന്ദ്രീകരിച്ചാണ് കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഓരോ ക്ലാസിന്റെയും മധ്യബിന്ദു (അല്ലെങ്കിൽ ക്ലാസ് മാർക്ക്) ആ ക്ലാസിൽ വരുന്ന നിരീക്ഷണങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഒരു ക്ലാസിന്റെ മധ്യബിന്ദു (അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ക്ലാസ് മാർക്ക്) കണ്ടെത്തുന്നത് അതിന്റെ ഉയർന്ന, താഴ്ന്ന പരിധികളുടെ ശരാശരി കണ്ടെത്തിയാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. അതായത്,

$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$

പട്ടിക 13.2-നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, $10-25$ എന്ന ക്ലാസിന്, ക്ലാസ് മാർക്ക് $\dfrac{10+25}{2}$ ആണ്, അതായത് 17.5. അതുപോലെ, ശേഷിക്കുന്ന ക്ലാസ് ഇടവേളകളുടെ ക്ലാസ് മാർക്കുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. അവയെ നമ്മൾ പട്ടിക 13.3-ൽ ഇടുന്നു. ഈ ക്ലാസ് മാർക്കുകൾ നമ്മുടെ $x_{i}$ ആയി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ, പൊതുവേ, $i$-ാമത്തെ ക്ലാസ് ഇടവേളയ്ക്ക്, ക്ലാസ് മാർക്ക് $x_{i}$-നോടനുബന്ധിച്ച് $f_{i}$ എന്ന ആവൃത്തി നമുക്കുണ്ട്. ഉദാഹരണം 1-ൽ ഉള്ളതുപോലെ തന്നെ മാധ്യം കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തുടരാം.

പട്ടിക 13.3

അവസാന നിരയിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് $\Sigma f_{i} x_{i}$ നൽകുന്നു. അതിനാൽ, നൽകിയ ഡാറ്റയുടെ മാധ്യം $\bar{x}$ നൽകുന്നത്

$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$

എന്ന സമവാക്യത്തിലൂടെയാണ്.

മാധ്യം കണ്ടെത്തുന്ന ഈ പുതിയ രീതി നേരിട്ടുള്ള രീതി (Direct Method) എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

പട്ടിക 13.1, 13.3 എന്നിവ ഒരേ ഡാറ്റ ഉപയോഗിക്കുകയും മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നതിന് ഒരേ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ടെങ്കിലും ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് നാം നിരീക്ഷിക്കുന്നു. ഇത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും ഏതാണ് കൂടുതൽ കൃത്യമെന്നും നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ? രണ്ട് മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം പട്ടിക 13.3-ലെ മധ്യബിന്ദു അനുമാനം മൂലമാണ്, 59.3 ആണ് കൃത്യമായ മാധ്യം, അതേസമയം 62 ഒരു സാമീപ്യ മാധ്യമാണ്.

ചിലപ്പോൾ $x_{i}$, $f_{i}$ എന്നിവയുടെ സംഖ്യാപരമായ മൂല്യങ്ങൾ വലുതാകുമ്പോൾ, $x_{i}$, $f_{i}$ എന്നിവയുടെ ഗുണനഫലം കണ്ടെത്തുന്നത് ശ്രമതാല്പര്യമില്ലാത്തതും സമയം കളയുന്നതുമാണ്. അതിനാൽ, അത്തരം സാഹചര്യങ്ങൾക്ക്, ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം.

$f_{i}$-കളുമായി നമുക്ക് ഒന്നും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ഓരോ $x_{i}$-യും ഒരു ചെറിയ സംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റാം, അങ്ങനെ നമ്മുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമാകും. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യും? ഈ $x_{i}^{\prime}$-കളിൽ നിന്ന് ഓരോന്നിൽ നിന്നും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നതെന്താണ്? ഈ രീതി നമുക്ക് പരീക്ഷിക്കാം.

ആദ്യ ഘട്ടം, $x_{i}^{\prime}$-കളിൽ ഒന്ന് അനുമാനിച്ച മാധ്യമായി (assumed mean) തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അതിനെ ‘$a$’ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. കൂടാതെ, നമ്മുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലി കൂടുതൽ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$-ന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് കിടക്കുന്ന $x_{i}$ ആയിരിക്കാൻ ‘$a$’ എടുക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് $a=47.5$ അല്ലെങ്കിൽ $a=62.5$ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. നമുക്ക് $a=47.5$ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

അടുത്ത ഘട്ടം, $a$-നും ഓരോ $x_{i}$-കൾക്കും ഇടയിലുള്ള വ്യത്യാസം $d_{i}$ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അതായത്, ഓരോ $x_{i}$-കളിൽ നിന്നും ‘$a$’-ന്റെ വ്യതിയാനം (deviation).

അതായത്, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$

മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം, $d_{i}$-നെ അനുബന്ധ $f_{i}$-കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് എല്ലാ $f_{i} d_{i}$-കളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പട്ടിക 13.4-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 13.4

അതിനാൽ, പട്ടിക 13.4-ൽ നിന്ന്, വ്യതിയാനങ്ങളുടെ മാധ്യം, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$.

ഇപ്പോൾ, $\bar{d}$, $\bar{x}$ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

$d_{i}$ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഓരോ $x_{i}$-യിൽ നിന്നും ‘$a$’ കുറച്ചതിനാൽ, മാധ്യം $\bar{x}$ ലഭിക്കാൻ, ‘$a$’ എന്നത് $\bar{d}$-ലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇങ്ങനെ വിശദീകരിക്കാം:

$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$

$a, \Sigma f_{i} d_{i}$, $\Sigma f_{i}$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക 13.4-ൽ നിന്ന് പകരം വെയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$

അതിനാൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾ നേടിയ മാർക്കുകളുടെ മാധ്യം 62 ആണ്.

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത രീതി അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതി (Assumed Mean Method) എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

പ്രവർത്തനം 1 : പട്ടിക 13.3-ൽ നിന്ന്, ഓരോ $x_{i}$-യെയും (അതായത് 17.5, 32.5, തുടങ്ങിയവ) ‘$a$’ ആയി എടുത്ത് മാധ്യം കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങൾ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്? ഓരോ കേസിലും നിർണ്ണയിച്ച മാധ്യം ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന്, അതായത് 62 എന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. (എന്തുകൊണ്ട്?)

അതിനാൽ, ലഭിച്ച മാധ്യ മൂല്യം ‘$a$’-ന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

പട്ടിക 13.4-ൽ, നിര 4-ലെ മൂല്യങ്ങൾ എല്ലാം 15-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. അതിനാൽ, മുഴുവൻ നിര 4-ലെയും മൂല്യങ്ങളെ 15 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, $f_{i^{\prime}}$-കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ ചെറിയ സംഖ്യകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും. (ഇവിടെ, 15 എന്നത് ഓരോ ക്ലാസ് ഇടവേളയുടെയും ക്ലാസ് വലുപ്പമാണ്.)

അതിനാൽ, $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$ ആകട്ടെ, ഇവിടെ $a$ എന്നത് അനുമാനിച്ച മാധ്യവും $h$ എന്നത് ക്ലാസ് വലുപ്പവുമാണ്.

ഇപ്പോൾ, ഈ രീതിയിൽ $u_{i}$ കണക്കാക്കുകയും മുമ്പത്തെപ്പോലെ തുടരുകയും ചെയ്യാം (അതായത് $f_{i} u_{i}$ കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് $\Sigma f_{i} u_{i}$). $h=15$ എടുത്ത്, നമുക്ക് പട്ടിക 13.5 രൂപീകരിക്കാം.

പട്ടിക 13.5

ആകട്ടെ $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$

ഇവിടെ, വീണ്ടും $\bar{u}$, $\bar{x}$ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

നമുക്കുണ്ട്, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$

അതിനാൽ, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$

അതായത്, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$

അതായത്, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$

അതിനാൽ, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$

ഇപ്പോൾ, $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$, $\Sigma f_{i}$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക 14.5-ൽ നിന്ന് പകരം വെയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഒരു വിദ്യാർത്ഥി നേടിയ മാധ്യ മാർക്കുകൾ 62 ആണ്.

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത രീതി ഘട്ട-വ്യതിയാന രീതി (Step-deviation Method) എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

നാം ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

• എല്ലാ $d_{i}$-കൾക്കും ഒരു പൊതു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ഘട്ട-വ്യതിയാന രീതി പ്രയോഗിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും.
• മൂന്ന് രീതികളിലൂടെയും ലഭിച്ച മാധ്യം ഒന്നുതന്നെയാണ്.
• അനുമാനിച്ച മാധ്യ രീതിയും ഘട്ട-വ്യതിയാന രീതിയും നേരിട്ടുള്ള രീതിയുടെ ലഘൂകരിച്ച രൂപങ്ങൾ മാത്രമാണ്.
• $a$, $h$ എന്നിവ മുകളിൽ നൽകിയതുപോലെയല്ല, പക്ഷേ $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$ ആയ ഏതെങ്കിലും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളാണെങ്കിലും $\bar{x}=a+h \bar{u}$ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഇപ്പോഴും ശരിയാണ്.

ഈ രീതികൾ മറ്റൊരു ഉദാഹരണത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം 2 : ഇന്ത്യയിലെ വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെയും കേന്ദ്രഭരണ പ്രദേശങ്ങളുടെയും (U.T.) ഗ്രാമീണ പ്രദേശങ്ങളിലെ പ്രാഥമിക സ്കൂളുകളിലെ വനിതാ അധ്യാപികമാരുടെ ശതമാന വിതരണം താഴെയുള്ള പട്ടിക നൽകുന്നു. ഈ വിഭാഗത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത മൂന്ന് രീതികളിലൂടെയും വനിതാ അധ്യാപികമാരുടെ ശതമാനത്തിന്റെ മാധ്യം കണ്ടെത്തുക.

ഉറവിടം : NCERT നടത്തിയ ഏഴാമത്തെ ഓൾ ഇന്ത്യ സ്കൂൾ എഡ്യൂക്കേഷൻ സർവേ

പരിഹാരം : ഓരോ ക്ലാസിന്റെയും ക്ലാസ് മാർക്കുകൾ $x_{i}$ കണ്ടെത്തി, അവയെ ഒരു നിരയിൽ ഇടാം (പട്ടിക 13.6 കാണുക):

പട്ടിക 13.6