5.1 تعارف

آپ جانتے ہیں کہ مربع کا رقبہ $=$ ضلع $\times$ ضلع (جہاں ‘ضلع’ کا مطلب ہے ‘ایک ضلع کی لمبائی’)۔ درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں۔

اعداد 4، 9، 25، 64 اور دیگر ایسے اعداد میں کیا خاص بات ہے؟

چونکہ، 4 کو $2 \times 2=2^{2}, 9$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، $3 \times 3=3^{2}$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، ایسے تمام اعداد کو عدد کا خود سے حاصل ضرب کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

$1,4,9,16,25, \ldots$ جیسے اعداد مربع اعداد کے نام سے جانے جاتے ہیں۔

عام طور پر، اگر ایک قدرتی عدد $m$ کو $n^{2}$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں $n$ بھی ایک قدرتی عدد ہے، تو $m$ ایک مربع عدد ہے۔ کیا 32 ایک مربع عدد ہے؟

ہم جانتے ہیں کہ $5^{2}=25$ اور $6^{2}=36$۔ اگر 32 ایک مربع عدد ہے، تو یہ 5 اور 6 کے درمیان کسی قدرتی عدد کا مربع ہونا چاہیے۔ لیکن 5 اور 6 کے درمیان کوئی قدرتی عدد نہیں ہے۔

لہذا 32 مربع عدد نہیں ہے۔

درج ذیل اعداد اور ان کے مربعوں پر غور کریں۔

اوپر دیے گئے جدول سے، کیا ہم 1 اور 100 کے درمیان مربع اعداد کی فہرست بنا سکتے ہیں؟ کیا 100 تک کوئی قدرتی مربع اعداد چھوٹ گئے ہیں؟

آپ دیکھیں گے کہ باقی اعداد مربع اعداد نہیں ہیں۔

اعداد $1,4,9,16 \ldots$ مربع اعداد ہیں۔ ان اعداد کو کامل مربع بھی کہا جاتا ہے۔

کوشش کریں

1. درج ذیل کے درمیان کامل مربع اعداد تلاش کریں۔

(i) 30 اور 40 (ii) 50 اور 60

5.2 مربع اعداد کی خصوصیات

درج ذیل جدول 1 سے 20 تک اعداد کے مربع دکھاتا ہے۔

اوپر دیے گئے جدول میں مربع اعداد کا مطالعہ کریں۔ مربع اعداد کے اختتامی ہندسے (یعنی، اکائیوں کے مقام پر ہندسے) کیا ہیں؟ یہ تمام اعداد اکائی کے مقام پر $0,1,4,5,6$ یا 9 پر ختم ہوتے ہیں۔ ان میں سے کوئی بھی اکائی کے مقام پر 2، 3، 7 یا 8 پر ختم نہیں ہوتا۔

کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ اگر کوئی عدد $0,1,4,5,6$ یا 9 پر ختم ہوتا ہے، تو یہ ضرور مربع عدد ہونا چاہیے؟ اس پر غور کریں۔

کوشش کریں

1. کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ درج ذیل اعداد کامل مربع ہیں یا نہیں؟ ہمیں کیسے پتہ چلے گا؟

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

پانچ ایسے اعداد لکھیں جنہیں آپ ان کے اکائی ہندسے کو دیکھ کر فیصلہ کر سکتے ہیں کہ وہ مربع اعداد نہیں ہیں۔

2. پانچ ایسے اعداد لکھیں جن کے بارے میں آپ صرف ان کے اکائی ہندسے (یا اکائی کے مقام) کو دیکھ کر یہ فیصلہ نہیں کر سکتے کہ وہ مربع اعداد ہیں یا نہیں۔

• درج ذیل جدول کا مطالعہ کریں جس میں کچھ اعداد اور ان کے مربع ہیں اور دونوں میں اکائی کے مقام پر غور کریں۔

جدول 1

درج ذیل مربع اعداد ہندسہ 1 پر ختم ہوتے ہیں۔

کوشش کریں

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$، $161^{2}, 109^{2}$ میں سے کون سا ہندسہ 1 پر ختم ہوگا؟

اگلے دو مربع اعداد لکھیں جو 1 پر ختم ہوتے ہیں اور ان کے متبادل اعداد۔

آپ دیکھیں گے کہ اگر کسی عدد میں اکائی کے مقام پر 1 یا 9 ہو، تو اس کا مربع 1 پر ختم ہوتا ہے۔

• آئیے مربع اعداد پر غور کریں جو 6 پر ختم ہوتے ہیں۔

کوشش کریں

درج ذیل اعداد میں سے کس کے اکائی کے مقام پر ہندسہ 6 ہوگا؟ (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ جب کوئی مربع عدد 6 پر ختم ہوتا ہے، تو جس عدد کا مربع ہے، اس کے اکائی کے مقام پر یا تو 4 یا 6 ہوگا۔

کیا آپ اعداد اور ان کے مربعوں (جدول 1) کا مشاہدہ کرکے مزید ایسے قواعد تلاش کر سکتے ہیں؟

کوشش کریں

درج ذیل اعداد کے مربع میں “اکائی کا ہندسہ” کیا ہوگا؟

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• درج ذیل اعداد اور ان کے مربعوں پر غور کریں۔

اگر کسی عدد کے آخر میں 3 صفر ہوں، تو اس کے مربع میں کتنے صفر ہوں گے؟

آپ عدد کے آخر میں صفر کی تعداد اور اس کے مربع کے آخر میں صفر کی تعداد کے بارے میں کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ مربع اعداد کے آخر میں صرف صفر کی تعداد جفت ہو سکتی ہے؟

• جدول 1 دیکھیں جس میں اعداد اور ان کے مربع ہیں۔

آپ جفت اعداد کے مربعوں اور طاق اعداد کے مربعوں کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

کوشش کریں

1. درج ذیل میں سے کس عدد کا مربع ایک طاق عدد/جفت عدد ہوگا؟ کیوں؟

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. درج ذیل اعداد کے مربع میں صفر کی تعداد کیا ہوگی؟ (i) 60 (ii) 400

5.3 کچھ مزید دلچسپ نمونے

1. مثلثی اعداد کا جمع۔

کیا آپ کو مثلثی اعداد یاد ہیں (وہ اعداد جن کے نقطوں کے نمونوں کو مثلثوں کی طرح ترتیب دیا جا سکتا ہے)؟

اگر ہم دو متواتر مثلثی اعداد کو ملا دیں، تو ہمیں ایک مربع عدد ملتا ہے، جیسے

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. مربع اعداد کے درمیان اعداد

آئیے اب دیکھتے ہیں کہ کیا ہم دو متواتر مربع اعداد کے درمیان کوئی دلچسپ نمونہ تلاش کر سکتے ہیں۔

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ دو غیر مربع اعداد دو مربع اعداد } 1(=1^2) \text{ اور } 4(=2^2) \text{ کے درمیان۔ } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{4 غیر مربع اعداد دو مربع اعداد } 4(=2^2) \text{ اور } 9(3^2) \text{ کے درمیان } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ 6 غیر مربع اعداد دو مربع اعداد } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{8 غیر مربع اعداد دو مربع اعداد } 16(=4^2) \text{ اور } 25(=5^2) \text{ کے درمیان } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ اور $2^{2}(=4)$ کے درمیان دو (یعنی، $2 \times 1$ ) غیر مربع اعداد 2,3 ہیں۔

$2^{2}(=4)$ اور $3^{2}(=9)$ کے درمیان چار (یعنی، $2 \times 2$ ) غیر مربع اعداد $5,6,7,8$ ہیں۔

اب، $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

لہذا، $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ اور $16(=4^{2})$ کے درمیان اعداد $10,11,12,13,14,15$ ہیں، یعنی چھ غیر مربع اعداد جو دو مربعوں کے فرق سے ایک کم ہیں۔

ہمارے پاس $\quad 4^{2}=16$ اور $5^{2}=25$ ہے۔

لہذا، $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ اور $25(=5^{2})$ کے درمیان اعداد $17,18, \ldots, 24$ ہیں، یعنی آٹھ غیر مربع اعداد جو دو مربعوں کے فرق سے ایک کم ہیں۔

$7^{2}$ اور $6^{2}$ پر غور کریں۔ کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ $6^{2}$ اور $7^{2}$ کے درمیان کتنے اعداد ہیں؟ اگر ہم کسی قدرتی عدد $n$ اور $(n+1)$ کے بارے میں سوچیں، تو،

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

ہم پاتے ہیں کہ $n^{2}$ اور $(n+1)^{2}$ کے درمیان $2 n$ اعداد ہیں جو دو مربعوں کے فرق سے ایک کم ہیں۔

اس طرح، عام طور پر ہم کہہ سکتے ہیں کہ اعداد $n$ اور $(n+1)$ کے مربعوں کے درمیان $2 n$ غیر کامل مربع اعداد ہوتے ہیں۔ $n=5, n=6$ وغیرہ کے لیے چیک کریں اور تصدیق کریں۔

کوشش کریں

1. کتنے قدرتی اعداد $9^{2}$ اور $10^{2}$ کے درمیان واقع ہیں؟ $11^{2}$ اور $12^{2}$ کے درمیان؟

2. درج ذیل جوڑی اعداد کے درمیان کتنے غیر مربع اعداد واقع ہیں؟

(i) $100^{2}$ اور $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ اور $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ اور $1001^{2}$

3. طاق اعداد کا جمع

درج ذیل پر غور کریں

$ \begin{matrix} 1 \text{ [ایک طاق عدد] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [پہلے دو طاق اعداد کا مجموعہ] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [پہلے تین طاق اعداد کا مجموعہ] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ پہلے $n$ طاق قدرتی اعداد کا مجموعہ $n^{2}$ ہے۔

اسے ایک مختلف طریقے سے دیکھتے ہوئے، ہم کہہ سکتے ہیں: ‘اگر عدد ایک مربع عدد ہے، تو یہ 1 سے شروع ہونے والے متواتر طاق اعداد کا مجموعہ ہونا چاہیے۔

ان اعداد پر غور کریں جو کامل مربع نہیں ہیں، جیسے 2، 3، 5، 6، … کیا آپ ان اعداد کو 1 سے شروع ہونے والے متواتر طاق قدرتی اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں؟ آپ پائیں گے کہ ان اعداد کو اس شکل میں ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ عدد 25 پر غور کریں۔ اس سے $1,3,5,7,9, \ldots$ کو مسلسل منہا کریں۔

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

اس کا مطلب ہے، $25=1+3+5+7+9$۔ نیز، 25 ایک کامل مربع ہے۔

اب ایک اور عدد 38 پر غور کریں، اور پھر اوپر کی طرح کریں۔

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

یہ ظاہر کرتا ہے کہ ہم 38 کو 1 سے شروع ہونے والے متواتر طاق اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر نہیں کر پا رہے ہیں۔ نیز، 38 ایک کامل مربع نہیں ہے۔

کوشش کریں

درج ذیل میں سے ہر عدد معلوم کریں کہ کامل مربع ہے یا نہیں؟

(i) 121

(ii) 55

(iii) 81

(iv) 49

(v) 69

لہذا ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ اگر ایک قدرتی عدد کو 1 سے شروع ہونے والے متواتر طاق قدرتی اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا، تو یہ کامل مربع نہیں ہے۔

ہم اس نتیجے کا استعمال یہ معلوم کرنے کے لیے کر سکتے ہیں کہ کوئی عدد کامل مربع ہے یا نہیں۔

4. متواتر قدرتی اعداد کا مجموعہ

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

کوشش کریں

1. درج ذیل کو دو متواتر صحیح اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کریں۔

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. کیا آپ سوچتے ہیں کہ اس کا الٹ بھی سچ ہے، یعنی، کیا کسی بھی دو متواتر مثبت صحیح اعداد کا مجموعہ کسی عدد کا کامل مربع ہے؟ اپنے جواب کی حمایت کے لیے مثال دیں۔

5. دو متواتر جفت یا طاق قدرتی اعداد کا حاصل ضرب

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

نیز $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

لہذا، $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

اسی طرح، $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

لہذا عام طور پر ہم کہہ سکتے ہیں کہ $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$۔

6. مربع اعداد میں کچھ مزید نمونے

اعداد کے مربعوں کا مشاہدہ کریں؛ $1,11,111 \ldots$ وغیرہ۔ یہ ایک خوبصورت نمونہ دیتے ہیں:

ایک اور دلچسپ نمونہ۔

کوشش کریں

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

دلچسپی اس میں ہے کہ یہ کیوں ہوتا ہے معلوم کیا جائے۔ ہو سکتا ہے آپ کے لیے ایسے سوالات کی تلاش اور ان پر سوچنا دلچسپ ہو گا چاہے جواب کچھ سال بعد ہی کیوں نہ آئیں۔

اوپر دیے گئے نمونے کا استعمال کرتے ہوئے مربع لکھیں۔

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

کوشش کریں

کیا آپ اوپر دیے گئے نمونے کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل اعداد کے مربع تلاش کر سکتے ہیں؟

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

مشق 5.1

1. درج ذیل اعداد کے مربعوں کا اکائی ہندسہ کیا ہوگا؟

(i) 81 $\quad$ (ii) 272 $\quad$ (iii) 799 $\quad$ (iv) 3853

(v) 1234 $\quad$ (vi) 26387 $\quad$ (vii) 52698 $\quad$ (viii) 99880

(ix) 12796 $\quad$ (x) 55555

2. درج ذیل اعداد واضح طور پر کامل مربع نہیں ہیں۔ وجہ بتائیں۔

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928 $\quad$ (iv) 222222

(v) 64000 $\quad$ (vi) 89722 $\quad$ (vii) 222000 $\quad$ (viii) 505050

3. درج ذیل میں سے کس کے مربع طاق اعداد ہوں گے؟

(i) 431 $\quad$ (ii) 2826 $\quad$ (iii) 7779 $\quad$ (iv) 82004

4. درج ذیل نمونے کا مشاہدہ کریں اور گمشدہ ہندسے تلاش کریں۔

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. درج ذیل نمونے کا مشاہدہ کریں اور گمشدہ اعداد فراہم کریں۔

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. دیے گئے نمونے کا استعمال کرتے ہوئے، گمشدہ اعداد تلاش کریں۔

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

نمونہ تلاش کرنے کے لیے

تیسرا عدد پہلے اور دوسرے عدد سے کیسے متعلق ہے؟

چوتھا عدد تیسرے عدد سے کیسے متعلق ہے؟

7. جمع کیے بغیر، مجموعہ تلاش کریں۔

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) 49 کو 7 طاق اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کریں۔

(ii) 121 کو 11 طاق اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کریں۔

9. درج ذیل اعداد کے مربعوں کے درمیان کتنے اعداد واقع ہیں؟

(i) 12 اور 13 $\quad$ (ii) 25 اور 26 $\quad$ (iii) 99 اور 100

5.4 کسی عدد کا مربع تلاش کرنا

چھوٹے اعداد جیسے $3,4,5,6,7, \ldots$ وغیرہ کے مربع آسانی سے تلاش کرنا آسان ہیں۔ لیکن کیا ہم 23 کا مربع اتنی جلدی تلاش کر سکتے ہیں؟

جواب اتنا آسان نہیں ہے اور ہمیں 23 کو 23 سے ضرب دینے کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔

ایک طریقہ ہے جس سے $23 \times 23$ کو ضرب دیے بغیر یہ تلاش کیا جا سکتا ہے۔

ہم جانتے ہیں

$ \begin{aligned} 23 & =20+3 \\ 23^{2} & =(20+3)^{2}=20(20+3)+3( \\ & =20^{2}+20 \times 3+3 \times 20+3^{2} \\ & =400+60+60+9=529 \end{aligned} $

$ \text{ لہذا } \quad 23^{2}=(20+3)^{2}=20(20+3)+3(20+3) $

مثال 1 : درج ذیل اعداد کے مربع بغیر حقیقی ضرب کے تلاش کریں۔ (i) 39 (ii) 42

حل: (i) $39^{2}=(30+9)^{2}=30(30+9)+9(30+9)$

$ \begin{aligned} & =30^{2}+30 \times 9+9 \times 30+9^{2} \\ & =900+270+270+81=1521 \end{aligned} $

(ii) $42^{2}=(40+2)^{2}=40(40+2)+2(40+2)$

$=40^{2}+40 \times 2+2 \times 40+2^{2}$

$=1600+80+80+4=1764$

5.4.1 مربعوں میں دیگر نمونے

درج ذیل نمونے پر غور کریں:

$25^{2}=625=(2 \times 3)$ سینکڑے +25

$35^{2}=1225=(3 \times 4)$ سینکڑے +25

$75^{2}=5625=(7 \times 8)$ سینکڑے +25

$125^{2}=15625=(12 \times 13)$ سینکڑے +25

اب کیا آپ 95 کا مربع تلاش کر سکتے ہیں؟

کوشش کریں

ایک عدد پر غور کریں جس کا اکائی ہندسہ 5 ہو، یعنی، $a 5$

$ \begin{aligned} (a 5)^{2} & =(10 a+5)^{2} \\ & =10 a(10 a+5)+5(10 a+5) \\ & =100 a^{2}+50 a+50 a+25 \\ & =100 a(a+1)+25 \\ & =a(a+1) \text{ سینکڑے }+25 \end{aligned} $

درج ذیل اعداد کے مربع تلاش کریں جن کے اکائی کے مقام پر 5 ہو۔

(i) 15 $\quad$ (ii) 95 $\quad$ (iii) 105 $\quad$ (iv) 205

5.4.2 فیثاغورثی ثلاثہ

درج ذیل پر غور کریں

$ 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2} $

اعداد 3، 4 اور 5 کا مجموعہ فیثاغورثی ثلاثہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ 6، 8، 10 بھی ایک فیثاغورثی ثلاثہ ہے، کیونکہ

$ 6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2} $

ایک بار پھر، مشاہدہ کریں کہ

$5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$۔ اعداد 5، 12، 13 ایک اور ایسا ثلاثہ بناتے ہیں۔

کیا آپ مزید ایسے ثلاثے تلاش کر سکتے ہیں؟

کسی بھی قدرتی عدد $m>1$ کے لیے، ہمارے پاس $(2 m)^{2}+(m^{2}-1)^{2}=(m^{2}+1)^{2}$ ہے۔ لہذا، $2 m$، $m^{2}-1$ اور $m^{2}+1$ ایک فیثاغورثی ثلاثہ بناتے ہیں۔

اس شکل کا استعمال کرتے ہوئے کچھ مزید فیثاغورثی ثلاثے تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

مثال 2 : ایک فیثاغورثی ثلاثہ لکھیں جس کا سب سے چھوٹا رکن 8 ہو۔

حل: ہم عمومی شکل $2 m, m^{2}-1, m^{2}+1$ کا استعمال کرکے فیثاغورثی ثلاثے حاصل کر سکتے ہیں۔

پہلے لیں

$ \begin{aligned} m^{2}-1 & =8 \\ \text{تو، } & m^{2} & =8+1=9 \\ m & =3 \\ 2 m & =6 \text{ اور } m^{2}+1=10 \end{aligned} $

تو،

لہذا،

ثلاثہ اس طرح $6,8,10$ ہے۔ لیکن 8 اس کا سب سے چھوٹا رکن نہیں ہے۔

تو، آئیے کوشش کریں

پھر $2 m=8$

ہمیں ملتا ہے $m=4$

اور $ \begin{aligned} & m^{2}-1=16-1=15 \\ & m^{2}+1=16+1=17 \end{aligned} $

ثلاثہ $8,15,17$ ہے جس میں 8 سب سے چھوٹا رکن ہے۔

مثال 3 : ایک فیثاغورثی ثلاثہ تلاش کریں جس میں ایک رکن 12 ہو۔

حل: اگر ہم $\quad m^{2}-1=12$ لیں

تو، $ m^{2}=12+1=13 $

تو $m$ کی قدر ایک صحیح عدد نہیں ہوگی۔

لہذا، ہم $m^{2}+1=12$ لینے کی کوشش کرتے ہیں۔ پھر $m^{2}=11$ $m$ کے لیے صحیح عددی قدر نہیں دے گا۔

تو، آئیے لیں $ 2 m=12 $

پھر $ m=6 $

اس طرح، $\quad m^{2}-1=36-1=35$ اور $m^{2}+1=36+1=37$

لہذا، مطلوبہ ثلاثہ $12,35,37$ ہے۔

نوٹ: تمام فیثاغورثی ثلاثے اس شکل کا استعمال کرکے حاصل نہیں کیے جا سکتے۔ مثال کے طور پر ایک اور ثلاثہ 5، 12، 13 میں بھی 12 ایک رکن ہے۔

مشق 5.2

1. درج ذیل اعداد کے مربع تلاش کریں۔

(i) 32 $\quad$ (ii) 35 $\quad$ (iii) 86 $\quad$ (iv) 93 $\quad$

(v) 71 $\quad$ (vi) 46

2. ایک فیثاغورثی ثلاثہ لکھیں جس کا ایک رکن ہو۔

(i) 6 $\quad$ (ii) 14 $\quad$ (iii) 16 $\quad$ (iv) 18

5.5 جذر المربع

درج ذیل حالات کا مطالعہ کریں۔

(a) ایک مربع کا رقبہ $144 cm^{2}$ ہے۔ مربع کا ضلع کیا ہو سکتا ہے؟

ہم جانتے ہیں کہ مربع کا رقبہ $=$ ضلع $^{2}$

اگر ہم ضلع کی لمبائی کو ‘$a$’ فرض کریں، تو $144=a^{2}$

ضلع کی لمبائی معلوم کرنے کے لیے ضروری ہے کہ ایک ایسا عدد تلاش کیا جائے جس کا مربع 144 ہو۔

(b) $8 cm$ ضلع والے مربع کے قطر کی لمبائی کیا ہے (شکل 5.1)؟

کیا ہم اسے حل کرنے کے لیے فیثاغورث کا نظریہ استعمال کر سکتے ہیں؟

ہمارے پاس ہے،

یعنی،

$ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $

$ \text{ یا } \quad 128=AC^{2} $

ایک بار پھر $AC$ حاصل کرنے کے لیے ہمیں ایسے عدد کے بارے میں سوچنے کی ضرورت ہے جس کا مربع 128 ہو۔

شکل 5.1

(c) ایک قائمہ مثلث میں وتر اور ایک ضلع کی لمبائی بالترتیب $5 cm$ اور $3 cm$ ہے (شکل 5.2)۔

کیا آپ تیسرا ضلع تلاش کر