5.1 పరిచయం

చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం $=$ భుజం $\times$ భుజం అని మీకు తెలుసు (ఇక్కడ ‘భుజం’ అంటే ‘భుజం యొక్క పొడవు’). కింది పట్టికను అధ్యయనం చేయండి.

4, 9, 25, 64 మరియు ఇతర అటువంటి సంఖ్యల గురించి ఏమి ప్రత్యేకత ఉంది?

4 ని $2 \times 2=2^{2}, 9$ గా వ్యక్తపరచవచ్చు, 9 ని $3 \times 3=3^{2}$ గా వ్యక్తపరచవచ్చు కాబట్టి, అన్ని అటువంటి సంఖ్యలను ఆ సంఖ్యను దానితో గుణించిన లబ్ధంగా వ్యక్తపరచవచ్చు.

$1,4,9,16,25, \ldots$ వంటి సంఖ్యలు వర్గ సంఖ్యలుగా పిలువబడతాయి.

సాధారణంగా, ఒక సహజ సంఖ్య $m$ ని $n^{2}$ గా వ్యక్తపరచగలిగితే, ఇక్కడ $n$ కూడా ఒక సహజ సంఖ్య అయితే, అప్పుడు $m$ ఒక వర్గ సంఖ్య. 32 ఒక వర్గ సంఖ్యా?

మనకు తెలుసు $5^{2}=25$ మరియు $6^{2}=36$. 32 ఒక వర్గ సంఖ్య అయితే, అది 5 మరియు 6 మధ్య ఉన్న ఒక సహజ సంఖ్య యొక్క వర్గం కావాలి. కానీ 5 మరియు 6 మధ్య ఎటువంటి సహజ సంఖ్య లేదు.

అందువల్ల 32 ఒక వర్గ సంఖ్య కాదు.

కింది సంఖ్యలు మరియు వాటి వర్గాలను పరిగణించండి.

పై పట్టిక నుండి, మనం 1 మరియు 100 మధ్య ఉన్న వర్గ సంఖ్యలను జాబితా చేయగలమా? 100 వరకు ఏ సహజ వర్గ సంఖ్యలు మిగిలిపోయాయా?

మిగిలిన సంఖ్యలు వర్గ సంఖ్యలు కావని మీరు కనుగొంటారు.

$1,4,9,16 \ldots$ సంఖ్యలు వర్గ సంఖ్యలు. ఈ సంఖ్యలను పరిపూర్ణ వర్గాలు అని కూడా అంటారు.

ప్రయత్నించండి

1. కింది మధ్య పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలను కనుగొనండి

(i) 30 మరియు 40 (ii) 50 మరియు 60

5.2 వర్గ సంఖ్యల లక్షణాలు

కింది పట్టిక 1 నుండి 20 వరకు ఉన్న సంఖ్యల వర్గాలను చూపుతుంది.

పై పట్టికలోని వర్గ సంఖ్యలను అధ్యయనం చేయండి. వర్గ సంఖ్యల ముగింపు అంకెలు (అంటే, ఏక స్థానంలోని అంకెలు) ఏమిటి? ఈ సంఖ్యలన్నీ $0,1,4,5,6$ లేదా 9 తో ముగుస్తాయి. ఇవి ఏదీ 2, 3, 7 లేదా 8 తో ముగియవు.

ఒక సంఖ్య $0,1,4,5,6$ లేదా 9 తో ముగిస్తే, అది తప్పకుండా ఒక వర్గ సంఖ్య అని మనం చెప్పగలమా? దాని గురించి ఆలోచించండి.

ప్రయత్నించండి

1. కింది సంఖ్యలు పరిపూర్ణ వర్గాలా కాదా అని మనం చెప్పగలమా? మనకు ఎలా తెలుసు?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

వాటి ఏక స్థాన అంకెను చూసి మీరు నిర్ణయించగలిగే ఐదు సంఖ్యలను రాయండి, అవి వర్గ సంఖ్యలు కావు.

2. వాటి ఏక స్థాన అంకెను (లేదా ఏక స్థానాన్ని) చూసి మాత్రమే మీరు నిర్ణయించలేని ఐదు సంఖ్యలను రాయండి, అవి వర్గ సంఖ్యలా కాదా అని.

• కొన్ని సంఖ్యలు మరియు వాటి వర్గాల కింది పట్టికను అధ్యయనం చేసి, రెండింటిలోనూ ఏక స్థానాన్ని గమనించండి.

పట్టిక 1

కింది వర్గ సంఖ్యలు అంకె 1 తో ముగుస్తాయి.

ప్రయత్నించండి

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ లలో ఏది అంకె 1 తో ముగుస్తుంది?

1 తో ముగిసే తర్వాతి రెండు వర్గ సంఖ్యలు మరియు వాటి సంబంధిత సంఖ్యలను రాయండి.

ఒక సంఖ్య యొక్క ఏక స్థానంలో 1 లేదా 9 ఉంటే, దాని వర్గం 1 తో ముగుస్తుందని మీరు చూస్తారు.

• 6 తో ముగిసే వర్గ సంఖ్యలను పరిగణించండి.

ప్రయత్నించండి

కింది సంఖ్యలలో ఏది ఏక స్థానంలో అంకె 6 ని కలిగి ఉంటుంది. (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

ఒక వర్గ సంఖ్య 6 తో ముగిస్తే, దాని వర్గమూలం ఉన్న సంఖ్య యొక్క ఏక స్థానంలో 4 లేదా 6 ఉంటుందని మనం చూడగలం.

సంఖ్యలు మరియు వాటి వర్గాలను (పట్టిక 1) గమనించి మీరు మరిన్ని నియమాలను కనుగొనగలరా?

ప్రయత్నించండి

కింది సంఖ్యల వర్గంలో “ఏక స్థాన అంకె” ఏమిటి?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• కింది సంఖ్యలు మరియు వాటి వర్గాలను పరిగణించండి.

ఒక సంఖ్య చివర 3 సున్నాలు ఉంటే, దాని వర్గానికి ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?

సంఖ్య చివర ఉన్న సున్నాల సంఖ్య మరియు దాని వర్గం చివర ఉన్న సున్నాల సంఖ్య గురించి మీరు ఏమి గమనించారు?

వర్గ సంఖ్యలు చివర సున్నాల సంఖ్య సరిసంఖ్య మాత్రమే ఉంటుందని మనం చెప్పగలమా?

• సంఖ్యలు మరియు వాటి వర్గాలతో కూడిన పట్టిక 1 ని చూడండి.

సరి సంఖ్యల వర్గాలు మరియు బేసి సంఖ్యల వర్గాల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

ప్రయత్నించండి

1. కింది సంఖ్యలలో దేని వర్గం ఒక బేసి సంఖ్య/సరి సంఖ్య అవుతుంది? ఎందుకు?

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. కింది సంఖ్యల వర్గంలో ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి? (i) 60 (ii) 400

5.3 మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన నమూనాలు

1. త్రిభుజాకార సంఖ్యలను కూడటం.

త్రిభుజాకార సంఖ్యలు (దీని బిందు నమూనాలను త్రిభుజాలుగా అమర్చవచ్చు) గుర్తుందా?

రెండు వరుస త్రిభుజాకార సంఖ్యలను కలిపితే, మనకు ఒక వర్గ సంఖ్య వస్తుంది, ఇలా

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. వర్గ సంఖ్యల మధ్య ఉన్న సంఖ్యలు

రెండు వరుస వర్గ సంఖ్యల మధ్య ఏదైనా ఆసక్తికరమైన నమూనా ఉందో లేదో చూద్దాం.

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ రెండు వర్గ సంఖ్యలు } 1(=1^2) \text{ మరియు } 4(=2^2) \text{ మధ్య ఉన్న రెండు వర్గేతర సంఖ్యలు. } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{రెండు వర్గ సంఖ్యలు } 4(=2^2) \text{ మరియు } 9(3^2) \text{ మధ్య ఉన్న 4 వర్గేతర సంఖ్యలు} & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ రెండు వర్గ సంఖ్యల మధ్య ఉన్న 6 వర్గేతర సంఖ్యలు } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{రెండు వర్గ సంఖ్యలు } 16(=4^2) \text{ మరియు } 25(=5^2) \text{ మధ్య ఉన్న 8 వర్గేతర సంఖ్యలు } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ మరియు $2^{2}(=4)$ మధ్య రెండు (అంటే, $2 \times 1$ ) వర్గేతర సంఖ్యలు 2,3 ఉన్నాయి.

$2^{2}(=4)$ మరియు $3^{2}(=9)$ మధ్య నాలుగు (అంటే, $2 \times 2$ ) వర్గేతర సంఖ్యలు $5,6,7,8$ ఉన్నాయి.

ఇప్పుడు, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

అందువల్ల, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ మరియు $16(=4^{2})$ మధ్య సంఖ్యలు $10,11,12,13,14,15$, అంటే, ఆరు వర్గేతర సంఖ్యలు, ఇది రెండు వర్గాల భేదం కంటే 1 తక్కువ.

మనకు $\quad 4^{2}=16$ మరియు $5^{2}=25$ ఉన్నాయి

అందువల్ల, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ మరియు $25(=5^{2})$ మధ్య సంఖ్యలు $17,18, \ldots, 24$, అంటే, ఎనిమిది వర్గేతర సంఖ్యలు, ఇది రెండు వర్గాల భేదం కంటే 1 తక్కువ.

$7^{2}$ మరియు $6^{2}$ ను పరిగణించండి. $6^{2}$ మరియు $7^{2}$ మధ్య ఎన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయో మీరు చెప్పగలరా? మనం ఏదైనా సహజ సంఖ్య $n$ మరియు $(n+1)$ గా భావిస్తే, అప్పుడు,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

$n^{2}$ మరియు $(n+1)^{2}$ మధ్య $2 n$ సంఖ్యలు ఉన్నాయని మనం కనుగొంటాము, ఇది రెండు వర్గాల భేదం కంటే 1 తక్కువ.

అందువల్ల, సాధారణంగా $n$ మరియు $(n+1)$ సంఖ్యల వర్గాల మధ్య $2 n$ పరిపూర్ణ వర్గేతర సంఖ్యలు ఉన్నాయని మనం చెప్పగలం. $n=5, n=6$ మొదలైన వాటికి తనిఖీ చేసి, ధృవీకరించండి.

ప్రయత్నించండి

1. $9^{2}$ మరియు $10^{2}$ మధ్య ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు ఉన్నాయి? $11^{2}$ మరియు $12^{2}$ మధ్య?

2. కింది జతల సంఖ్యల మధ్య ఎన్ని వర్గేతర సంఖ్యలు ఉన్నాయి

(i) $100^{2}$ మరియు $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ మరియు $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ మరియు $1001^{2}$

3. బేసి సంఖ్యలను కూడటం

కింది వాటిని పరిగణించండి

$ \begin{matrix} 1 \text{ [ఒక బేసి సంఖ్య] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [మొదటి రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తం] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [మొదటి మూడు బేసి సంఖ్యల మొత్తం] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

కాబట్టి మొదటి $n$ బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తం $n^{2}$ అని మనం చెప్పగలం.

దీనిని వేరే విధంగా చూస్తే, మనం ఇలా చెప్పగలం: ‘సంఖ్య ఒక వర్గ సంఖ్య అయితే, అది 1 నుండి ప్రారంభమయ్యే వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం కావాలి.

పరిపూర్ణ వర్గాలు కాని సంఖ్యలను పరిగణించండి, ఉదాహరణకు 2, 3, 5, 6, … ఈ సంఖ్యలను 1 నుండి ప్రారంభమయ్యే వరుస బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా వ్యక్తపరచగలరా? ఈ సంఖ్యలను ఈ రూపంలో వ్యక్తపరచలేమని మీరు కనుగొంటారు. 25 సంఖ్యను పరిగణించండి. దాని నుండి వరుసగా $1,3,5,7,9, \ldots$ తీసివేయండి

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

దీని అర్థం, $25=1+3+5+7+9$. అలాగే, 25 ఒక పరిపూర్ణ వర్గం.

ఇప్పుడు మరొక సంఖ్య 38 ని పరిగణించండి, మరలా పై విధంగా చేయండి.

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

38 ని 1 తో ప్రారంభమయ్యే వరుస బేసి సంఖ్యల

ప్రయత్నించండి

కింది ప్రతి సంఖ్య పరిపూర్ణ వర్గమా కాదా అని కనుగొనండి?

(i) 121

(ii) 55

(iii) 81

(iv) 49

(v) 69 మొత్తంగా వ్యక్తపరచలేకపోతున్నామని ఇది చూపిస్తుంది. అలాగే, 38 ఒక పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.

కాబట్టి ఒక సహజ సంఖ్యను 1 తో ప్రారంభమయ్యే వరుస బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా వ్యక్తపరచలేకపోతే, అది పరిపూర్ణ వర్గం కాదని కూడా మనం చెప్పగలం.

ఒక సంఖ్య పరిపూర్ణ వర్గమా కాదా అని కనుగొనడానికి మనం ఈ ఫలితాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

4. వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తం

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

ప్రయత్నించండి

1. కింది వాటిని రెండు వరుస పూర్ణాంకాల మొత్తంగా వ్యక్తపరచండి.

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. దీనికి విరుద్ధంగా కూడా సత్యమేనని మీరు భావిస్తున్నారా, అంటే, ఏదైనా రెండు వరుస ధన పూర్ణాంకాల మొత్తం ఒక సంఖ్య యొక్క పరిపూర్ణ వర్గమా? మీ సమాధానానికి మద్దతుగా ఉదాహరణ ఇవ్వండి.

5. రెండు వరుస సరి లేదా బేసి సహజ సంఖ్యల లబ్ధం

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

అలాగే $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

అందువల్ల, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

అదేవిధంగా, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

కాబట్టి సాధారణంగా $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$ అని మనం చెప్పగలం.

6. వర్గ సంఖ్యలలో మరికొన్ని నమూనాలు

సంఖ్యల వర్గాలను గమనించండి; $1,11,111 \ldots$ మొదలైనవి. అవి ఒక అందమైన నమూనాను ఇస్తాయి:

మరొక ఆసక్తికరమైన నమూనా.

ప్రయత్నించండి

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో కనుగొనగలిగే సరదా ఉంది. సమాధానాలు కొన్ని సంవత్సరాల తర్వాత వచ్చినా, అటువంటి ప్రశ్నలను అన్వేషించడం మరియు ఆలోచించడం మీకు ఆసక్తికరంగా ఉండవచ్చు.

పై నమూనాను ఉపయోగించి వర్గాన్ని రాయండి.

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

ప్రయత్నించండి

పై నమూనాను ఉపయోగించి కింది సంఖ్యల వర్గాన్ని మీరు కనుగొనగలరా?

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

అభ్యాసం 5.1

1. కింది సంఖ్యల వర్గాల యొక్క ఏక స్థాన అంకె ఏమిటి?

(i) 81 $\quad$ (ii) 272 $\quad$ (iii) 799 $\quad$ (iv) 3853

(v) 1234 $\quad$ (vi) 26387 $\quad$ (vii) 52698 $\quad$ (viii) 99880

(ix) 12796 $\quad$ (x) 55555

2. కింది సంఖ్యలు స్పష్టంగా పరిపూర్ణ వర్గాలు కావు. కారణం ఇవ్వండి.

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928 $\quad$ (iv) 222222

(v) 64000 $\quad$ (vi) 89722 $\quad$ (vii) 222000 $\quad$ (viii) 505050

3. కింది వాటిలో దేని వర్గాలు బేసి సంఖ్యలు అవుతాయి?

(i) 431 $\quad$ (ii) 2826 $\quad$ (iii) 7779 $\quad$ (iv) 82004

4. కింది నమూనాను గమనించి, తప్పిపోయిన అంకెలను కనుగొనండి.

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. కింది నమూనాను గమనించి, తప్పిపోయిన సంఖ్యలను సరఫరా చేయండి.

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. ఇచ్చిన నమూనాను ఉపయోగించి, తప్పిపోయిన సంఖ్యలను కనుగొనండి.

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

నమూనాను కనుగొనడానికి

మూడవ సంఖ్య మొదటి మరియు రెండవ సంఖ్యలకు ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంది?

నాల్గవ సంఖ్య మూడవ సంఖ్యకు ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంది?

7. కూడకుండా, మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) 49 ని 7 బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా వ్యక్తపరచండి.

(ii) 121 ని 11 బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా వ్యక్తపరచండి.

9. కింది సంఖ్యల వర్గాల మధ్య ఎన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయి?

(i) 12 మరియు 13 $\quad$ (ii) 25 మరియు 26 $\quad$ (iii) 99 మరియు 100

5.4 ఒక సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని కనుగొనడం

$3,4,5,6,7, \ldots$ వంటి చిన్న సంఖ్యల వర్గాలు సులభంగా కనుగొనవచ్చు. కానీ 23 యొక్క వర్గాన్ని అంత త్వరగా కనుగొనగలమా?

దీనికి సమాధానం అంత సులభం కాదు మరియు మనం 23 ని 23 తో గుణించవలసి ఉండవచ్చు.

$23 \times 23$ గుణించకుండా దీన్ని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం ఉంది.

మనకు తెలుసు

$ \begin{aligned} 23 & =20+3 \\ 23^{2} & =(20+3)^{2}=20(20+3)+3( \\ & =20^{2}+