5.1 পৰিচয়

তুমি জানা যে বৰ্গৰ কালি $=$ বাহু $\times$ বাহু (ইয়াত ‘বাহু’ৰ অৰ্থ হৈছে ‘বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য’)। তলৰ তালিকাখন অধ্যয়ন কৰা।

৪, ৯, ২৫, ৬৪ আৰু আন এনেধৰণৰ সংখ্যাবোৰৰ বিশেষত্ব কি?

কাৰণ, ৪ ক $2 \times 2=2^{2}, 9$ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, ৯ ক $3 \times 3=3^{2}$ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, সকলো এনেধৰণৰ সংখ্যাক সংখ্যাটোৰে নিজৰে পূৰণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

$1,4,9,16,25, \ldots$ আদি সংখ্যাবোৰক বৰ্গ সংখ্যা বুলি জনা যায়।

সাধাৰণতে, যদি এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা $m$ ক $n^{2}$ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $n$ এটাও স্বাভাৱিক সংখ্যা, তেন্তে $m$ এটা বৰ্গ সংখ্যা। ৩২ এটা বৰ্গ সংখ্যা নেকি?

আমি জানো যে $5^{2}=25$ আৰু $6^{2}=36$। যদি ৩২ এটা বৰ্গ সংখ্যা হয়, তেন্তে ই ৫ আৰু ৬ ৰ মাজৰ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গ হ’ব লাগিব। কিন্তু ৫ আৰু ৬ ৰ মাজত কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা নাই।

গতিকে ৩২ এটা বৰ্গ সংখ্যা নহয়।

তলৰ সংখ্যাবোৰ আৰু সেইবোৰৰ বৰ্গবোৰ বিবেচনা কৰা।

ওপৰৰ তালিকাখনৰ পৰা, আমি ১ আৰু ১০০ ৰ মাজৰ বৰ্গ সংখ্যাবোৰৰ তালিকা কৰিব পাৰোনে? ১০০ লৈকে কোনো স্বাভাৱিক বৰ্গ সংখ্যা বাদ পৰি থাকিল নেকি?

তুমি দেখিবা যে বাকী সংখ্যাবোৰ বৰ্গ সংখ্যা নহয়।

$1,4,9,16 \ldots$ সংখ্যাবোৰ বৰ্গ সংখ্যা। এই সংখ্যাবোৰক পূৰ্ণ বৰ্গও বোলা হয়।

চেষ্টা কৰা

1. তলৰ মাজৰ পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাবোৰ উলিওৱা

(i) ৩০ আৰু ৪০ ৰ মাজত (ii) ৫০ আৰু ৬০ ৰ মাজত

5.2 বৰ্গ সংখ্যাৰ ধৰ্ম

তলৰ তালিকাখনে ১ ৰ পৰা ২০ লৈ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ দেখুৱাইছে।

ওপৰৰ তালিকাৰ বৰ্গ সংখ্যাবোৰ অধ্যয়ন কৰা। বৰ্গ সংখ্যাবোৰৰ শেষৰ অংকবোৰ (অৰ্থাৎ এককৰ স্থানৰ অংক) কি কি? এই সংখ্যাবোৰৰ সকলোৱে এককৰ স্থানত $0,1,4,5,6$ বা ৯ ৰে শেষ হয়। এইবোৰৰ কোনোৱেই এককৰ স্থানত ২, ৩, ৭ বা ৮ ৰে শেষ নহয়।

আমি ক’ব পাৰোনে যে যদি এটা সংখ্যা $0,1,4,5,6$ বা ৯ ৰে শেষ হয়, তেন্তে ই এটা বৰ্গ সংখ্যা হ’ব লাগিব? এই বিষয়ে চিন্তা কৰা।

চেষ্টা কৰা

1. তলৰ সংখ্যাবোৰ পূৰ্ণ বৰ্গ নেকি আমি ক’ব পাৰোনে? আমি কেনেকৈ জানিম?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

পাঁচটা সংখ্যা লিখা যিবোৰৰ এককৰ অংক চাই তুমি সিদ্ধান্ত ল’ব পাৰা যে সেইবোৰ বৰ্গ সংখ্যা নহয়।

2. পাঁচটা সংখ্যা লিখা যিবোৰৰ এককৰ অংক (বা এককৰ স্থান) চাই তুমি সিদ্ধান্ত ল’ব নোৱাৰা যে সেইবোৰ বৰ্গ সংখ্যা নে নহয়।

• কিছুমান সংখ্যা আৰু সেইবোৰৰ বৰ্গৰ তলৰ তালিকাখন অধ্যয়ন কৰা আৰু দুয়োটাতে এককৰ স্থান লক্ষ্য কৰা।

তালিকা ১

তলৰ বৰ্গ সংখ্যাবোৰে ১ অংকৰে শেষ হয়।

চেষ্টা কৰা

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ ৰ কোনটোৱে ১ অংকৰে শেষ হ’ব?

১ ৰে শেষ হোৱা পৰৱৰ্তী দুটা বৰ্গ সংখ্যা আৰু সেইবোৰৰ অনুক্ৰমে সংখ্যা লিখা।

তুমি দেখিবা যে যদি এটা সংখ্যাৰ এককৰ স্থানত ১ বা ৯ থাকে, তেন্তে ইয়াৰ বৰ্গ ১ ৰে শেষ হয়।

• ৬ ৰে শেষ হোৱা বৰ্গ সংখ্যাবোৰ বিবেচনা কৰোঁ আহা।

চেষ্টা কৰা

তলৰ সংখ্যাবোৰৰ কোনটোৰ এককৰ স্থানত ৬ অংক থাকিব। (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

আমি দেখিব পাৰোঁ যে যেতিয়া এটা বৰ্গ সংখ্যা ৬ ৰে শেষ হয়, যি সংখ্যাৰ বৰ্গ ইয়াক, তাৰ এককৰ স্থানত ৪ বা ৬ থাকিব।

তুমি সংখ্যা আৰু সেইবোৰৰ বৰ্গ (তালিকা ১) লক্ষ্য কৰি আৰু অধিক নিয়ম বিচাৰি পাব পাৰানে?

চেষ্টা কৰা

তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গত “এককৰ অংক"টো কি হ’ব?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• তলৰ সংখ্যাবোৰ আৰু সেইবোৰৰ বৰ্গবোৰ বিবেচনা কৰা।

যদি এটা সংখ্যাৰ শেষত ৩টা শূন্য থাকে, ইয়াৰ বৰ্গত কিমানটা শূন্য থাকিব?

তুমি সংখ্যাটোৰ শেষৰ শূন্যৰ সংখ্যা আৰু ইয়াৰ বৰ্গৰ শেষৰ শূন্যৰ সংখ্যাৰ বিষয়ে কি লক্ষ্য কৰা?

আমি ক’ব পাৰোনে যে বৰ্গ সংখ্যাবোৰৰ শেষত মাত্ৰ জোড় সংখ্যক শূন্য থাকিব পাৰে?

• সংখ্যা আৰু সেইবোৰৰ বৰ্গৰ তালিকা ১ চোৱা।

জোড় সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ আৰু বিজোড় সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ বিষয়ে তুমি কি ক’ব পাৰা?

চেষ্টা কৰা

1. তলৰ সংখ্যাবোৰৰ কোনটোৰ বৰ্গ এটা বিজোড় সংখ্যা/জোড় সংখ্যা হ’ব? কিয়?

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গত শূন্যৰ সংখ্যা কিমান হ’ব? (i) 60 (ii) 400

5.3 আৰু কিছুমান আকৰ্ষণীয় নমুনা

1. ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা যোগ কৰা।

তুমি ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা (যিবোৰৰ বিন্দু নমুনা ত্ৰিভুজ হিচাপে সজাব পাৰি) মনত পেলাইছানে?

যদি আমি দুটা ক্ৰমিক ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা একত্ৰিত কৰোঁ, আমি এটা বৰ্গ সংখ্যা পাওঁ, যেনে

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. বৰ্গ সংখ্যাৰ মাজৰ সংখ্যা

এতিয়া আহা আমি দুটা ক্ৰমিক বৰ্গ সংখ্যাৰ মাজত কিছুমান আকৰ্ষণীয় নমুনা পাব পাৰোনে চাওঁ।

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ দুটা বৰ্গ সংখ্যা } 1(=1^2) \text{ আৰু } 4(=2^2) \text{ ৰ মাজৰ দুটা অ-বৰ্গ সংখ্যা। } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{দুটা বৰ্গ সংখ্যা } 4(=2^2) \text{ আৰু } 9(3^2) \text{ ৰ মাজৰ ৪টা অ-বৰ্গ সংখ্যা } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ দুটা বৰ্গ সংখ্যাৰ মাজৰ ৬টা অ-বৰ্গ সংখ্যা } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{দুটা বৰ্গ সংখ্যা } 16(=4^2) \text{ আৰু } 25(=5^2) \text{ ৰ মাজৰ ৮টা অ-বৰ্গ সংখ্যা } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ আৰু $2^{2}(=4)$ ৰ মাজত দুটা (অৰ্থাৎ $2 \times 1$) অ-বৰ্গ সংখ্যা ২,৩ আছে।

$2^{2}(=4)$ আৰু $3^{2}(=9)$ ৰ মাজত চাৰিটা (অৰ্থাৎ $2 \times 2$) অ-বৰ্গ সংখ্যা $5,6,7,8$ আছে।

এতিয়া, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

গতিকে, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ আৰু $16(=4^{2})$ ৰ মাজৰ সংখ্যাবোৰ হৈছে $10,11,12,13,14,15$, অৰ্থাৎ ছয়টা অ-বৰ্গ সংখ্যা যি দুটা বৰ্গৰ পাৰ্থক্যতকৈ ১ কম।

আমাৰ আছে $\quad 4^{2}=16$ আৰু $5^{2}=25$

গতিকে, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

১৬ $(=4^{2})$ আৰু $25(=5^{2})$ ৰ মাজৰ সংখ্যাবোৰ হৈছে $17,18, \ldots, 24$, অৰ্থাৎ আঠটা অ-বৰ্গ সংখ্যা যি দুটা বৰ্গৰ পাৰ্থক্যতকৈ ১ কম।

$7^{2}$ আৰু $6^{2}$ বিবেচনা কৰা। তুমি ক’ব পাৰানে $6^{2}$ আৰু $7^{2}$ ৰ মাজত কিমানটা সংখ্যা আছে? যদি আমি যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ আৰু $(n+1)$ বিবেচনা কৰোঁ, তেন্তে,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

আমি দেখোঁ যে $n^{2}$ আৰু $(n+1)^{2}$ ৰ মাজত $2 n$ সংখ্যা আছে যি দুটা বৰ্গৰ পাৰ্থক্যতকৈ ১ কম।

এইদৰে, সাধাৰণতে আমি ক’ব পাৰোঁ যে $2 n$ সংখ্যক অ-পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা $n$ আৰু $(n+1)$ সংখ্যাৰ বৰ্গবোৰৰ মাজত থাকে। $n=5, n=6$ আদিৰ বাবে পৰীক্ষা কৰা আৰু যাচি চোৱা।

চেষ্টা কৰা

1. $9^{2}$ আৰু $10^{2}$ ৰ মাজত কিমানটা স্বাভাৱিক সংখ্যা থাকে? $11^{2}$ আৰু $12^{2}$ ৰ মাজত?

2. তলৰ সংখ্যাৰ জোড়াবোৰৰ মাজত কিমানটা অ-বৰ্গ সংখ্যা থাকে

(i) $100^{2}$ আৰু $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ আৰু $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ আৰু $1001^{2}$

3. বিজোড় সংখ্যা যোগ কৰা

তলৰবোৰ বিবেচনা কৰা

$ \begin{matrix} 1 \text{ [এটা বিজোড় সংখ্যা] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [প্ৰথম দুটা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [প্ৰথম তিনিটা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

গতিকে আমি ক’ব পাৰোঁ যে প্ৰথম $n$ সংখ্যক বিজোড় স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল হৈছে $n^{2}$।

ইয়াক বেলেগ ধৰণেৰে চালে, আমি ক’ব পাৰোঁ: ‘যদি সংখ্যাটো এটা বৰ্গ সংখ্যা হয়, ই ১ ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা ক্ৰমিক বিজোড় সংখ্যাবোৰৰ যোগফল হ’ব লাগিব।

যিবোৰ সংখ্যা পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়, যেনে ২, ৩, ৫, ৬, … সেইবোৰ বিবেচনা কৰা। তুমি এই সংখ্যাবোৰক ১ ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা ক্ৰমিক বিজোড় স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰানে? তুমি দেখিবা যে এই সংখ্যাবোৰক এই ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। ২৫ সংখ্যাটো বিবেচনা কৰা। ক্ৰমে ইয়াৰ পৰা $1,3,5,7,9, \ldots$ বিয়োগ কৰা

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

ইয়াৰ অৰ্থ, $25=1+3+5+7+9$। আৰু, ২৫ এটা পূৰ্ণ বৰ্গ।

এতিয়া আন এটা সংখ্যা ৩৮ বিবেচনা কৰা, আৰু ওপৰৰ দৰে কৰা।

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

ইয়াই দেখুৱায় যে আমি ৩৮ ক ১ ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা ক্ৰমিক বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পৰা নাই। আৰু, ৩৮ এটা পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।

গতিকে আমি এনেকৈও ক’ব পাৰোঁ যে যদি এটা স্বাভাৱিক সংখ্যাক ১ ৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা ক্ৰমিক বিজোড় স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি, তেন্তে ই এটা পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।

সংখ্যাটো পূৰ্ণ বৰ্গ নে নহয় বিচাৰিবলৈ আমি এই ফলাফল ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ।

4. ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

চেষ্টা কৰা

1. তলৰবোৰক দুটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. তুমি ভাবানে যে ইয়াৰ বিপৰীতটোও সত্য, অৰ্থাৎ, যিকোনো দুটা ক্ৰমিক ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল এটা সংখ্যাৰ পূৰ্ণ বৰ্গ হয়? তোমাৰ উত্তৰ সমৰ্থন কৰিবলৈ উদাহৰণ দিয়া।

5. দুটা ক্ৰমিক জোড় বা বিজোড় স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পূৰণফল

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

আৰু $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

গতিকে, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

একেদৰে, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

গতিকে সাধাৰণতে আমি ক’ব পাৰোঁ যে $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$।

6. বৰ্গ সংখ্যাত আৰু কিছুমান নমুনা

সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গবোৰ লক্ষ্য কৰা; $1,11,111 \ldots$ আদি। ইহঁতে এটা ধুনীয়া নমুনা দিয়ে:

আন এটা আকৰ্ষণীয় নমুনা।

চেষ্টা কৰা

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

আনন্দটো হৈছে ই কিয় হয় সেইটো বিচাৰি উলিওৱাত। সম্ভৱতঃ তোমাৰ বাবে এনেধৰণৰ প্ৰশ্নবোৰ অন্বেষণ কৰি চিন্তা কৰাটো আকৰ্ষণীয় হ’ব যদিও উত্তৰবোৰ কেইবাবছৰ পিছতহে আহে।

ওপৰৰ নমুনা ব্যৱহাৰ কৰি বৰ্গটো লিখা।

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

চেষ্টা কৰা

ওপৰৰ নমুনা ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ উলিয়াব পাৰানে?

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

অনুশীলনী 5.1

1. তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ এককৰ অংকটো কি হ’ব?

(i) 81 $\quad$ (ii) 272 $\quad$ (iii) 799 $\quad$ (iv) 3853

(v) 1234 $\quad$ (vi) 26387 $\quad$ (vii) 52698 $\quad$ (viii) 99880

(ix) 12796 $\quad$ (x) 55555

2. তলৰ সংখ্যাবোৰ স্পষ্টতেই পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়। কাৰণ দিয়া।

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928 $\quad$ (iv) 222222

(v) 64000 $\quad$ (vi) 89722 $\quad$ (vii) 222000 $\quad$ (viii) 505050

3. তলৰ কোনবোৰৰ বৰ্গ বিজোড় সংখ্যা হ’ব?

(i) 431 $\quad$ (ii) 2826 $\quad$ (iii) 7779 $\quad$ (iv) 82004

4. তলৰ নমুনাটো লক্ষ্য কৰা আৰু হেৰুৱা অংকবোৰ উলিওৱা।

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. তলৰ নমুনাটো লক্ষ্য কৰা আৰু হেৰুৱা সংখ্যাবোৰ যোগান ধৰা।

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. দিয়া নমুনা ব্যৱহাৰ কৰি, হেৰুৱা সংখ্যাবোৰ উলিওৱা।

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

নমুনা বিচাৰিবলৈ

তৃতীয় সংখ্যাটো প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় সংখ্যাৰ সৈতে জড়িত। কেনেকৈ?

চতুৰ্থ সংখ্যাটো তৃতীয় সংখ্যাৰ সৈতে জড়িত। কেনেকৈ?

7. যোগ নকৰাকৈ, যোগফল উলিওৱা।

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) ৪৯ ক ৭টা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।

(ii) ১২১ ক ১১টা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।

9. তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গৰ মাজত কিমানটা সংখ্যা থাকে?

(i) 12 আৰু 13 $\quad$ (ii) 25 আৰু 26 $\quad$ (iii) 99 আৰু 100

5.4 এটা সংখ্যাৰ বৰ্গ উলিওৱা

$3,4,5,6,7, \ldots$ আদি সৰু সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ সহজে উলিয়াব পাৰি। কিন্তু আমি ২৩ ৰ বৰ্গ ইমান সোনকালে উলিয়াব পাৰোনে?

উত্তৰটো ইমান সহজ নহয় আৰু আমাক ২৩ ক ২৩ ৰে পূৰণ কৰিবলৈ হ’ব পাৰে।

$23 \times 23$ পূৰণ নকৰাকৈ ইয়াক বিচাৰিবলৈ এটা উপায় আছে।

আমি জানো

$ \begin{aligned} 23 & =20+3 \\ 23^{2} & =(20+3)^{2}=20(20+3)+3( \\ & =20^{2}+20 \times 3+3 \times 20+3^{2} \\ & =400+60+60+9=529 \end{aligned} $

$ \text{ গতিকে } \quad 23^{2}=(20+3)^{2}=20(20+3)+3(20+3) $

উদাহৰণ ১ : প্ৰকৃত পূৰণ নকৰাকৈ তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ উলিওৱা। (i) 39 (ii) 42

সমাধান: (i) $39^{2}=(30+9)^{2}=30(30+9)+9(30+9)$

$ \begin{aligned} & =30^{2}+30 \times 9+9 \times 30+9^{2} \\ & =900+270+270+81=1521 \end{aligned} $

(ii) $42^{2}=(40+2)^{2}=40(40+2)+2(40+2)$

$=40^{2}+40 \times 2+2 \times 40+2^{2}$

$=1600+80+80+4=1764$

5.4.1 বৰ্গত আন নমুনা

তলৰ নমুনাটো বিবেচনা কৰা:

$25^{2}=625=(2 \times 3)$ শতক +২৫

$35^{2}=1225=(3 \times 4)$ শতক +২৫

$75^{2}=5625=(7 \times 8)$ শতক +২৫

$125^{2}=15625=(12 \times 13)$ শতক +২৫

এতিয়া তুমি ৯৫ ৰ বৰ্গ উলিয়াব পাৰানে?

চেষ্টা কৰা

এটা সংখ্যা বিবেচনা কৰা যাৰ এককৰ অংক ৫, অৰ্থাৎ $a 5$

$ \begin{aligned} (a 5)^{2} & =(10 a+5)^{2} \\ & =10 a(10 a+5)+5(10 a+5) \\ & =100 a^{2}+50 a+50 a+25 \\ & =100 a(a+1)+25 \\ & =a(a+1) \text{ শত }+25 \end{aligned} $

এককৰ স্থানত ৫ থকা তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ উলিওৱা।

(i) 15 $\quad$ (ii) 95 $\quad$ (iii) 105 $\quad$ (iv) 205

5.4.2 পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী

তলৰবোৰ বিবেচনা কৰা

$ 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2} $

৩, ৪ আৰু ৫ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহটো পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী হিচাপে জনা যায়। ৬, ৮, ১০ ও এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী, কাৰণ

$ 6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2} $

আকৌ, লক্ষ্য কৰা যে

$5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$। ৫, ১২, ১৩ সংখ্যাবোৰে আন এনে ত্ৰয়ী গঠন কৰে।

তুমি আৰু এনেধৰণৰ ত্ৰয়ী বিচাৰি পাব পাৰানে?

যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা $m>1$ৰ বাবে, আমাৰ আছে $(2 m)^{2}+(m^{2}-1)^{2}=(m^{2}+1)^{2}$। গতিকে, $2 m$, $m^{2}-1$ আৰু $m^{2}+1$ এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী গঠন কৰে।

এই ৰূপ ব্যৱহাৰ কৰি আৰু কিছুমান পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী বিচাৰিবলৈ চেষ্টা কৰা।

উদাহৰণ ২ : এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী লিখা যাৰ সৰুতম সদস্য হৈছে ৮।

সমাধান: আমি সাধাৰণ ৰূপ $2 m, m^{2}-1, m^{2}+1$ ব্যৱহাৰ কৰি পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী পাব পাৰোঁ।

আহক প্ৰথমে লওঁ

$ \begin{aligned} m^{2}-1 & =8 \\ \text{গতিকে, } & m^{2} & =8+1=9 \\ m & =3 \\ 2 m & =6 \text{ আৰু } m^{2}+1=10 \end{aligned} $

গতিকে,

অতএব,

ত্ৰয়ীটো এতিয়া $6,8,10$। কিন্তু ৮ ইয়াৰ সৰুতম সদস্য নহয়।

গতিকে, আহক চেষ্টা কৰোঁ

তেন্তে $2 m=8$

আমি পাওঁ $m=4$

আৰু $ \begin{aligned} & m^{2}-1=16-1=15 \\ & m^{2}+1=16+1=17 \end{aligned} $

ত্ৰয়ীটো হৈছে $8,15,17$ য’ত ৮ সৰুতম সদস্য।

উদাহৰণ ৩ : এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী উলিওৱা য’ত এটা সদস্য হৈছে ১২।

সমাধান: যদি আমি $\quad m^{2}-1=12$ লওঁ

তেন্তে, $ m^{2}=12+1=13 $

তেন্তে $m$ ৰ মানটো এটা অখণ্ড সংখ্যা নহ’ব।

গতিকে, আমি $m^{2}+1=12$ ল’বলৈ চেষ্টা কৰোঁ। আকৌ $m^{2}=11$ ৰ বাবে $m$ ক অখণ্ড মান নিদিব।

গতিকে, আহক লওঁ $ 2 m=12 $

তেন্তে $ m=6 $

এইদৰে, $\quad m^{2}-1=36-1=35$ আৰু $m^{2}+1=36+1=37$

অতএব, প্ৰয়োজনীয় ত্ৰয়ীটো হৈছে $12,35,37$।

টোকা: সকলো পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী এই ৰূপ ব্যৱহাৰ কৰি নোপোৱাবও পাৰে। উদাহৰণস্বৰূপে আন এটা ত্ৰয়ী ৫, ১২, ১৩ ৰো ১২ এটা সদস্য হিচাপে আছে।

অনুশীলনী 5.2

1. তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ উলিওৱা।

(i) 32 $\quad$ (ii) 35 $\quad$ (iii) 86 $\quad$ (iv) 93 $\quad$

(v) 71 $\quad$ (vi) 46

2. এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী লিখা যাৰ এটা সদস্য হৈছে।

(i) 6 $\quad$ (ii) 14 $\quad$ (iii)