5.1 परिचय

आप जानते हैं कि एक वर्ग का क्षेत्रफल $=$ भुजा $\times$ भुजा (जहाँ ‘भुजा’ का अर्थ ‘एक भुजा की लंबाई’ है)। निम्नलिखित सारणी का अध्ययन कीजिए।

संख्याओं 4, 9, 25, 64 और अन्य ऐसी संख्याओं में क्या विशेष है?

चूँकि, 4 को $2 \times 2=2^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, 9 को $3 \times 3=3^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, सभी ऐसी संख्याओं को स्वयं के साथ गुणा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$1,4,9,16,25, \ldots$ जैसी ऐसी संख्याओं को वर्ग संख्याएँ कहा जाता है।

सामान्यतः, यदि कोई प्राकृत संख्या $m$ को $n^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $n$ भी एक प्राकृत संख्या है, तो $m$ एक वर्ग संख्या है। क्या 32 एक वर्ग संख्या है?

हम जानते हैं कि $5^{2}=25$ और $6^{2}=36$। यदि 32 एक वर्ग संख्या है, तो यह 5 और 6 के बीच की किसी प्राकृत संख्या का वर्ग होना चाहिए। लेकिन 5 और 6 के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है।

इसलिए 32 एक वर्ग संख्या नहीं है।

निम्नलिखित संख्याओं और उनके वर्गों पर विचार कीजिए।

उपरोक्त सारणी से, क्या हम 1 और 100 के बीच की वर्ग संख्याओं की सूची बना सकते हैं? क्या 100 तक की कोई प्राकृत वर्ग संख्या छूट गई है?

आप पाएंगे कि बाकी की संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

संख्याएँ $1,4,9,16 \ldots$ वर्ग संख्याएँ हैं। इन संख्याओं को पूर्ण वर्ग भी कहा जाता है।

इन्हें आज़माइए

1. 30 और 40 के बीच

(i) 30 और 40 (ii) 50 और 60

के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

5.2 वर्ग संख्याओं के गुणधर्म

निम्नलिखित सारणी 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्ग दिखाती है।

ऊपर दी गई सारणी में वर्ग संख्याओं का अध्ययन कीजिए। वर्ग संख्याओं के अंतिम अंक (अर्थात् इकाई के स्थान के अंक) क्या हैं? ये सभी संख्याएँ इकाई के स्थान पर $0,1,4,5,6$ या 9 के साथ समाप्त होती हैं। इनमें से कोई भी संख्या इकाई के स्थान पर 2, 3, 7 या 8 के साथ समाप्त नहीं होती।

क्या हम कह सकते हैं कि यदि कोई संख्या $0,1,4,5,6$ या 9 पर समाप्त होती है, तो वह अवश्य ही वर्ग संख्या होगी? इस पर सोचिए।

इन्हें आज़माइए

1. क्या हम कह सकते हैं कि निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? हमें यह कैसे पता चलेगा?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिन्हें उनके इकाई के अंक को देखकर आप तय कर सकें कि वे वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

2. पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिन्हें केवल इकाई के अंक (या इकाई के स्थान) को देखकर यह तय नहीं किया जा सकता कि वे वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं।

• निम्नलिखित कुछ संख्याओं और उनके वर्गों की सारणी का अध्ययन करें और दोनों में इकाई का स्थान देखें।

सारणी 1

निम्नलिखित वर्ग संख्याएँ अंक 1 पर समाप्त होती हैं।

इन्हें आज़माएँ

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ में से कौन-सा अंक 1 पर समाप्त होगा?

अगली दो वर्ग संख्याएँ लिखें जो 1 पर समाप्त हों और उनकी संगत संख्याएँ।

आप देखेंगे कि यदि किसी संख्या के इकाई के स्थान पर 1 या 9 है, तो उसका वर्ग 1 पर समाप्त होता है।

• आइए 6 पर समाप्त होने वाली वर्ग संख्याओं पर विचार करें।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित में से किन संख्याओं के इकाई के स्थान पर अंक 6 होगा। (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

हम देख सकते हैं कि जब कोई वर्ग संख्या 6 पर समाप्त होती है, तो जिस संख्या का वर्ग है, उसके इकाई के स्थान पर या तो 4 या 6 होगा।

क्या आप संख्याओं और उनके वर्गों (सारणी 1) को देखकर और ऐसे नियम खोज सकते हैं?

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग में “एक का अंक” क्या होगा?

(i) 1234
(ii) 26387
(iii) 52698
(iv) 99880
(v) 21222
(vi) 9106

• निम्नलिखित संख्याओं और उनके वर्गों पर विचार करें।

यदि किसी संख्या के अंत में 3 शून्य हों, तो उसके वर्ग में कितने शून्य होंगे?

आपको संख्या के अंत में शून्यों की संख्या और उसके वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या के बारे में क्या दिखाई देता है?

क्या हम कह सकते हैं कि वर्ग संख्याओं के अंत में केवल सम संख्या में शून्य हो सकते हैं?

• तालिका 1 को देखें जिसमें संख्याएँ और उनके वर्ग दिए गए हैं।

सम संख्याओं के वर्गों और विषम संख्याओं के वर्गों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

इन्हें आज़माएँ

1. निम्नलिखित में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या/सम संख्या होगा? क्यों?

(i) 727 $\quad$
(ii) 158 $\quad$
(iii) 269 $\quad$
(iv) 1980

2. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग में शून्यों की संख्या क्या होगी?
(i) 60
(ii) 400

5.3 कुछ और रोचक पैटर्न

1. त्रिभुजीय संख्याओं को जोड़ना।

क्या आपको त्रिभुजीय संख्याएँ याद हैं (वे संख्याएँ जिनके बिंदु चित्र त्रिभुज के रूप में व्यवस्थित किए जा सकते हैं)?

यदि हम दो क्रमागत त्रिभुजीय संख्याओं को मिलाएँ, तो हमें एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है, जैसे

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. वर्ग संख्याओं के बीच की संख्याएँ

आइए अब देखें कि क्या हम दो क्रमागत वर्ग संख्याओं के बीच कोई रोचक प्रतिरूप पा सकते हैं।

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ दो वर्ग संख्याओं } 1(=1^2) \text{ और } 4(=2^2) \text{ के बीच दो गैर-वर्ग संख्याएँ हैं।} & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{दो वर्ग संख्याओं } 4(=2^2) \text{ और } 9(3^2) \text{ के बीच 4 गैर-वर्ग संख्याएँ हैं} & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ दो वर्ग संख्याओं के बीच 6 गैर-वर्ग संख्याएँ हैं} & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{दो वर्ग संख्याओं } 16(=4^2) \text{ और } 25(=5^2) \text{ के बीच 8 गैर-वर्ग संख्याएँ हैं} & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ और $2^{2}(=4)$ के बीच दो (अर्थात् $2 \times 1$ ) गैर-वर्ग संख्याएँ 2,3 हैं।

$2^{2}(=4)$ और $3^{2}(=9)$ के बीच चार (अर्थात् $2 \times 2$ ) गैर-वर्ग संख्याएँ $5,6,7,8$ हैं।

अब, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

इसलिए, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ और $16(=4^{2})$ के बीच संख्याएँ $10,11,12,13,14,15$ हैं, अर्थात् छह गैर-वर्ग संख्याएँ, जो दो वर्गों के अंतर से 1 कम है।

हमारे पास $\quad 4^{2}=16$ और $5^{2}=25$

इसलिए, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ और $25(=5^{2})$ के बीच संख्याएँ $17,18, \ldots, 24$ हैं, अर्थात् आठ गैर-वर्ग संख्याएँ, जो दो वर्गों के अंतर से 1 कम हैं।

$7^{2}$ और $6^{2}$ पर विचार करें। क्या आप बता सकते हैं कि $6^{2}$ और $7^{2}$ के बीच कितनी संख्याएँ हैं? यदि हम किसी प्राकृत संख्या $n$ और $(n+1)$ के बारे में सोचें, तो,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

हम पाते हैं कि $n^{2}$ और $(n+1)^{2}$ के बीच $2 n$ संख्याएँ होती हैं जो दो वर्गों के अंतर से 1 कम होती हैं।

इस प्रकार, सामान्य रूप से हम कह सकते हैं कि संख्याओं $n$ और $(n+1)$ के वर्गों के बीच $2 n$ गैर-पूर्ण वर्ग संख्याएँ होती हैं। $n=5$, $n=6$ आदि के लिए जाँच करें और सत्यापित करें।

इन्हें आज़माएँ

1. $9^{2}$ और $10^{2}$ के बीच कितनी प्राकृत संख्याएँ हैं? $11^{2}$ और $12^{2}$ के बीच?

2. निम्नलिखित संख्या युगलों के बीच कितनी गैर-वर्ग संख्याएँ हैं

(i) $100^{2}$ और $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ और $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ और $1001^{2}$

3. विषम संख्याओं को जोड़ना

निम्नलिखित पर विचार करें

$ \begin{matrix} 1 \text{ [एक विषम संख्या] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [पहली दो विषम संख्याओं का योग] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [पहली तीन विषम संख्याओं का योग] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

इसलिए हम कह सकते हैं कि पहली $n$ विषम प्राकृत संख्याओं का योग $n^{2}$ होता है।

इसे दूसरे तरीके से देखते हुए, हम कह सकते हैं: ‘यदि कोई संख्या वर्ग संख्या है, तो उसे 1 से शुरू होकर लगातार आने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में होना चाहिए।

उन संख्याओं पर विचार करें जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, मान लीजिए 2, 3, 5, 6, … क्या आप इन संख्याओं को 1 से शुरू होकर लगातार आने वाली विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं? आप पाएँगे कि इन संख्याओं को इस रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। संख्या 25 पर विचार करें। इसमें से क्रमशः $1,3,5,7,9, \ldots$ घटाएँ

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

इसका अर्थ है, $25=1+3+5+7+9$। साथ ही, 25 एक पूर्ण वर्ग है।

अब एक अन्य संख्या 38 पर विचार करें, और फिर से उपरोक्त अनुसार करें।

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

यह दर्शाता है कि हम 38 को 1 से प्रारंभ होने वाले क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर पा रहे हैं।

इन्हें आजमाएँ

ज्ञात करें कि निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या एक पूर्ण वर्ग है या नहीं?

(i) 121

(ii) 55

(iii) 81

(iv) 49

(v) 69

इसलिए हम यह भी कह सकते हैं कि यदि कोई प्राकृत संख्या 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती, तो वह पूर्ण वर्ग नहीं है।

हम यह परिणाम यह ज्ञात करने के लिए उपयोग कर सकते हैं कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।

4. क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

इन्हें आजमाएँ

1. निम्नलिखित को दो क्रमागत पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त करें।

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. क्या आप सोचते हैं कि इसका विलोम भी सत्य है, अर्थात् क्या किसी भी दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग किसी संख्या का पूर्ण वर्ग होता है? अपने उत्तर का समर्थन करने के लिए उदाहरण दीजिए।

5. दो क्रमागत सम या विषम प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

साथ ही $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

इसलिए, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

इसी प्रकार, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

इसलिए सामान्य रूप से हम कह सकते हैं कि $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$।

6. वर्ग संख्याओं में कुछ और प्रतिरूप

संख्याओं के वर्गों को देखें; $1,11,111 \ldots$ आदि। वे एक सुंदर प्रतिरूप देते हैं:

एक और रोचक प्रतिरूप।

इन्हें आज़माइए

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \ 67^{2} & =4489 \ 667^{2} & =444889 \ 6667^{2} & =44448889 \ 66667^{2} & =4444488889 \ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

मज़ा इस बात में है कि हम यह जान सकें कि ऐसा क्यों होता है। हो सकता है कि आपके लिए ऐसे प्रश्नों को खोजना और सोचना रोचक हो, भले ही उत्तर कुछ वर्षों बाद मिलें।

उपरोक्त प्रतिरूप का उपयोग करके वर्ग लिखिए।

(i) (111111^{2})

(ii) (1111111^{2})

इन्हें आज़माइए

क्या आप ऊपर के पैटर्न का उपयोग करके निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग निकाल सकते हैं?

(i) (6666667^{2}) (\quad) (ii) (66666667^{2})

व्यायाम 5.1

1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों की इकाई अंक क्या होगा?

(i) 81 (\quad) (ii) 272 (\quad) (iii) 799 (\quad) (iv) 3853

(v) 1234 (\quad) (vi) 26387 (\quad) (vii) 52698 (\quad) (viii) 99880

(ix) 12796 (\quad) (x) 55555

2. निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं हैं। कारण बताइए।

(i) 1057 (\quad) (ii) 23453 (\quad) (iii) 7928 (\quad) (iv) 222222

(v) 64000 (\quad) (vi) 89722 (\quad) (vii) 222000 (\quad) (viii) 505050

3. निम्नलिखित में से किसके वर्ग विषम संख्याएँ होंगे?

(i) 431 (\quad) (ii) 2826 (\quad) (iii) 7779 (\quad) (iv) 82004

4. निम्नलिखित पैटर्न को देखें और लापता अंक ज्ञात करें।

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. निम्नलिखित पैटर्न को देखें और लापता संख्याएँ भरें।

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. दिए गए पैटर्न का उपयोग करके लापता संख्याएँ ज्ञात करें।

(1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2})

(2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2})

(3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2})

(4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2})

(5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2})

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

पैटर्न खोजने के लिए

तीसरी संख्या पहली और दूसरी संख्या से संबंधित है। कैसे?

चौथी संख्या तीसरी संख्या से संबंधित है। कैसे?

7. जोड़े बिना, योग ज्ञात कीजिए।

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

9. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के बीच कितनी संख्याएँ होती हैं?

(i) 12 और 13 $\quad$ (ii) 25 और 26 $\quad$ (iii) 99 और 100

5.4 किसी संख्या का वर्ग निकालना

छोटी संख्याओं जैसे $3,4,5,6,7, \ldots$ आदि के वर्ग निकालना आसान होता है। लेकिन क्या हम 23 का वर्ग इतनी जल्दी निकाल सकते हैं?

उत्तर इतना आसान नहीं है और हमें 23 को 23 से गुणा करना पड़ सकता है।

इसे निकालने का एक तरीका है बिना $23 \times 23$ गुणा किए।

हम जानते हैं

$ \begin{aligned} 23 & =20+3 \\ 23^{2} & =(20+3)^{2}=20(20+3)+3( \\ & =20^{2}+20 \times 3+3 \times 20+3^{2} \\ & =400+60+60+9=529 \end{aligned} $

$ \text{ इसलिए } \quad 23^{2}=(20+3)^{2}=20(20+3)+3(20+3) $

उदाहरण 1 : निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग बिना वास्तविक गुणा किए निकालिए। (i) 39 (ii) 42

हल: (i) $39^{2}=(30+9)^{2}=30(30+9)+9(30+9)$

$ \begin{aligned} & =30^{2}+30 \times 9+9 \times 30+9^{2} \\ & =900+270+270+81=1521 \end{aligned} $

(ii) $42^{2}=(40+2)^{2}=40(40+2)+2(40+2)$

$=40^{2}+40 \times 2+2 \times 40+2^{2}$

$=1600+80+80+4=1764$

5.4.1 वर्गों में अन्य पैटर्न

निम्नलिखित पैटर्न पर विचार कीजिए:

$25^{2}=625=(2 \times 3)$ सौ +25

$35^{2}=1225=(3 \times 4)$ सौ +25

$75^{2}=5625=(7 \times 8)$ सौ +25

$125^{2}=15625=(12 \times 13)$ सौ +25

अब क्या आप 95 का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं?

इन्हें आज़माइए

एक ऐसी संख्या पर विचार करें जिसका इकाई अंक 5 हो, अर्थात् $a 5$

$ \begin{aligned} (a 5)^{2} & =(10 a+5)^{2} \ & =10 a(10 a+5)+5(10 a+5) \ & =100 a^{2}+50 a+50 a+25 \ & =100 a(a+1)+25 \ & =a(a+1) \text{ सौ }+25 \end{aligned} $

निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए जिनके इकाई के स्थान पर 5 है।

(i) 15 $\quad$ (ii) 95 $\quad$ (iii) 105 $\quad$ (iv) 205

5.4.2 पाइथागोरियन त्रिक

निम्नलिखित पर विचार कीजिए

$ 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2} $

संख्याओं का संग्रह 3, 4 और 5 को पाइथागोरियन त्रिक के रूप में जाना जाता है। 6, 8, 10 भी एक पाइथागोरियन त्रिक है, क्योंकि

$ 6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2} $

फिर, देखिए कि

$5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$। संख्याएँ 5, 12, 13 एक और ऐसा ही त्रिक बनाती हैं।

क्या आप और ऐसे त्रिक ज्ञात कर सकते हैं?

किसी भी प्राकृत संख्या $m>1$ के लिए, हमारे पास $(2 m)^{2}+(m^{2}-1)^{2}=(m^{2}+1)^{2}$ है। इसलिए, $2 m$, $m^{2}-1$ और $m^{2}+1$ एक पाइथागोरियन त्रिक बनाते हैं।

इस रूप का उपयोग करके कुछ और पाइथागोरियन त्रिक ज्ञात करने का प्रयास करें।

उदाहरण 2 : एक पाइथागोरियन त्रिक लिखिए जिसका सबसे छोटा सदस्य 8 है।

हल: हम सामान्य रूप $2 m, m^{2}-1, m^{2}+1$ का उपयोग करके पाइथागोरियन त्रिक प्राप्त कर सकते हैं।

आइए पहले लें

$ \begin{aligned} m^{2}-1 & =8 \ \text{इसलिए, } & m^{2} & =8+1=9 \ m & =3 \ 2 m & =6 \text{ और } m^{2}+1=10 \end{aligned} $

इसलिए,

त्रिक इस प्रकार है $6,8,10$। परंतु 8 इसका सबसे छोटा सदस्य नहीं है।

तो, आइए प्रयास करें

तब $2 m=8$

हमें प्राप्त होता है $m=4$

और $ \begin{aligned} & m^{2}-1=16-1=15 \\ & m^{2}+1=16+1=17 \end{aligned} $

त्रिक है $8,15,17$ जिसमें 8 सबसे छोटा सदस्य है।

उदाहरण 3 : एक पाइथागोरस त्रिक खोजिए जिसमें एक सदस्य 12 हो।

हल: यदि हम लें $\quad m^{2}-1=12$

तब, $ m^{2}=12+1=13 $

तब $m$ का मान पूर्णांक नहीं होगा।

इसलिए, हम $m^{2}+1=12$ लेने का प्रयास करते हैं। पुनः $m^{2}=11$ भी $m$ के लिए पूर्णांक मान नहीं देगा।

इसलिए, आइए लें $ 2 m=12 $

तब $ m=6 $

इस प्रकार, $\quad m^{2}-1=36-1=35$ और $m^{2}+1=36+1=37$

अतः अभीष्ट त्रिक है $12,35,37$।

टिप्पणी: सभी पाइथागोरस त्रिक इस रूप से प्राप्त नहीं किए जा सकते। उदाहरण के लिए एक अन्य त्रिक 5, 12, 13 में भी 12 एक सदस्य है।

प्रश्नावली 5.2

1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए।

(i) 32 $\quad$ (ii) 35 $\quad$ (iii) 86 $\quad$ (iv) 93 $\quad$

(v) 71 $\quad$ (vi) 46

2. एक पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य हो।

(i) 6 $\quad$ (ii) 14 $\quad$ (iii) 16 $\quad$ (iv) 18

5.5 वर्गमूल

निम्नलिखित परिस्थितियों का अध्ययन कीजिए।

(a) एक वर्ग का क्षेत्रफल $144 cm^{2}$ है। वर्ग की भुजा क्या हो सकती है?

हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल $=$ भुजा $^{2}$

यदि हम भुजा की लंबाई ’ $a$ ’ मान लें, तो $144=a^{2}$

भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए यह आवश्यक है कि वह संख्या खोजी जाए जिसका वर्ग 144 है।

(b) $8 cm$ भुजा वाले वर्ग का विकर्ण कितनी लंबाई का होगा (आकृति 5.1)?

क्या हम इसे हल करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं?

हमारे पास है,

अर्थात्,

$ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $

$ \text{ या } \quad 128=AC^{2} $

AC प्राप्त करने के लिए हमें उस संख्या के बारे में सोचना होगा जिसका वर्ग 128 है।

चित्र 5.1

(c) एक समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा की लंबाई क्रमशः 5 cm और 3 cm है (चित्र 5.2)।

क्या आप तीसरी भुजा ज्ञात कर सकते हैं?

माना तीसरी भुजा की लंबाई x cm है।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर

$ \begin{aligned} 5^{2} & =x^{2}+3^{2} \\ 25-9 & =x^{2} \\ 16 & =x^{2} \end{aligned} $

फिर, x ज्ञात करने के लिए हमें वह संख्या चाहिए जिसका वर्ग 16 है।

चित्र 5.2

उपरोक्त सभी स्थितियों में, हमें वह संख्या ज्ञात करनी होती है जिसका वर्ग दिया हुआ है। ज्ञात वर्ग वाली संख्या को खोजने को वर्गमूल ज्ञात करना कहा जाता है।

5.5.1 वर्गमूल ज्ञात करना

योग का प्रतिलोम (विपरीत) संक्रिया घटाना है और गुणा का प्रतिलोम संक्रिया भाग है। इसी प्रकार, वर्गमूल ज्ञात करना वर्ग का प्रतिलोम संक्रिया है।

हमारे पास है,

$ \begin{aligned} & 1^{2}=1, \text{ इसलिए } 1 \text{ का वर्गमूल } 1 \text{ है} \ & 2^{2}=4, \text{ इसलिए } 4 \text{ का वर्गमूल } 2 \text{ है} \ & 3^{2}=9, \text{ इसलिए } 9 \text{ का वर्गमूल } 3 \text{ है} \end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

चूँकि $\quad 9^{2}=81$ और $\quad(-9)^{2}=81$ हम कहते हैं कि 81 के वर्गमूल 9 और -9 हैं।

(i) $11^{2}=121$. 121 का वर्गमूल क्या है?

(ii) $14^{2}=196$. 196 का वर्गमूल क्या है?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

$(-1)^{2}=1$. क्या -1, 1 का वर्गमूल है?

$(-2)^{2}=4$. क्या -2, 4 का वर्गमूल है?

$(-9)^{2}=81$. क्या -9, 81 का वर्गमूल है?

उपर्युक्त से आप कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या के दो पूर्णांक वर्गमूल होते हैं। इस अध्याय में हम प्राकृत संख्या के केवल धनात्मक वर्गमूल पर विचार करेंगे।

संख्या का धनात्मक वर्गमूल प्रतीक $\sqrt{ }$ द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए: $\sqrt{4}=2$ (न कि -2) ; $\quad \sqrt{9}=3$ (न कि -3) आदि।

5.5.2 बार-बार घटाकर वर्गमूल ज्ञात करना

क्या आपको याद है कि पहले $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $n^{2}$ होता है? अर्थात्, प्रत्येक वर्ग संख्या को 1 से शुरू होकर क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\sqrt{81}$ पर विचार करें। तब,

(i) $81-1=80$ $\quad$ (ii) $80-3=77$ $\quad$ (iii) $77-5=72$ $\quad$ (iv) $72-7=65$ $\quad$ (v) $65-9=56$

(vi) $56-11=45$ $\quad$ (vii) $45-13=32$ $\quad$ (viii) $32-15=17$ $\quad$ (ix) $17-17=0$

इन्हें आज़माएँ

1 से शुरू होकर विषम संख्याओं को बार-बार घटाकर, निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं, ज्ञात कीजिए। यदि संख्या पूर्ण वर्ग है तो उसका वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

(i) 121

(ii) 55

(iii) 36

(iv) 49

(v) 90

81 से हमने 1 से शुरू होकर क्रमागत विषम संख्याएँ घटाईं और $9^{\text{वें }}$ चरण में 0 प्राप्त किया।

इसलिए $\sqrt{81}=9$।

क्या आप इस विधि से 729 का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं? हाँ, लेकिन यह समय लेने वाला होगा। आइए इसे एक सरल तरीके से खोजने का प्रयास करें।

5.5.3 अभाज्य गुणनफल द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना

निम्नलिखित संख्याओं और उनके वर्गों के अभाज्य गुणनफल पर विचार करें।

6 के अभाज्य गुणनफल में 2 कितनी बार आता है? एक बार।
36 के अभाज्य गुणनफल में 2 कितनी बार आता है? दो बार।
इसी प्रकार, 6 और 36 में 3 की उपस्थिति, 8 और 64 में 2 की उपस्थिति आदि को देखिए।

आप पाएँगे कि किसी संख्या के वर्ग के अभाज्य गुणनफल में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड उतनी ही बार आता है, जितनी बार वह संख्या के अभाज्य गुणनफल में आता है, उससे दुगनी बार। आइए इसका उपयोग करके किसी दिए गए वर्ग संख्या, मान लीजिए 324, का वर्गमूल निकालें।

हम जानते हैं कि 324 का अभाज्य गुणनफल है

$ 324=2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 $

अभाज्य गुणनखंडों को जोड़कर हम पाते हैं

$ 324=\underline{2 \times 2} \times \underline{3 \times 3} \times \underline{3 \times 3}=2^{2} \times 3^{2} \times 3^{2}=(2 \times 3 \times 3)^{2} $

इसलिए, $\quad \sqrt{324}=2 \times 3 \times 3=18$

इसी प्रकार क्या आप 256 का वर्गमूल निकाल सकते हैं? 256 का अभाज्य गुणनफल है

$ 256=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

अभाज्य गुणनखंडों को जोड़कर हम पाते हैं,

$ 256=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2}=(2 \times 2 \times 2 \times 2)^{2} $

अतः, $\sqrt{256}=2 \times 2 \times 2 \times 2=16$

क्या 48 एक पूर्ण वर्ग है?

हम जानते हैं $\quad 48=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times 3$

चूँकि सभी गुणनखंड जोड़ों में नहीं हैं, इसलिए 48 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

मान लीजिए हमें 48 का सबसे छोटा गुणज्ञात करना है जो एक पूर्ण वर्ग हो, हमें कैसे आगे बढ़ना चाहिए? 48 के अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बनाते समय हम देखते हैं कि 3 एकमात्र गुणनखंड है जिसका जोड़ा नहीं है। इसलिए जोड़ा पूरा करने के लिए हमें 3 से गुणा करना होगा।

इसलिए $\quad 48 \times 3=144$ एक पूर्ण वर्ग है।

क्या आप बता सकते हैं कि 48 को किस संख्या से भाग दें ताकि एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो?

गुणनखंड 3 जोड़े में नहीं है, इसलिए यदि हम 48 को 3 से विभाजित करें तो हमें $48 \div 3=16=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2}$ मिलता है और यह संख्या 16 भी एक पूर्ण वर्ग है।

उदाहरण 4 : 6400 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल: लिखें $6400=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{5 \times 5}$

इसलिए $\sqrt{6400}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5=80$

उदाहरण 5 : क्या 90 एक पूर्ण वर्ग है?

हल: हमारे पास $90=2 \times 3 \times 3 \times 5$

अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 जोड़े में नहीं आते हैं। इसलिए, 90 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

यह भी देखा जा सकता है कि 90 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, क्योंकि इसमें केवल एक शून्य है।

उदाहरण 6 : क्या 2352 एक पूर्ण वर्ग है? यदि नहीं, तो 2352 का सबसे छोटा गुणज्ञात कीजिए जो एक पूर्ण वर्ग हो। नई संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल: हमारे पास $2352=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times 3 \times \underline{7 \times 7}$

चूँकि अभाज्य गुणनखंड 3 का कोई जोड़ा नहीं है, 2352 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

यदि 3 का एक जोड़ा हो जाता है तो संख्या पूर्ण वर्ग बन जाएगी। इसलिए, हम 2352 को 3 से गुणा करते हैं,

$ 2352 \times 3=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{3 \times 3} \times \underline{7 \times 7} $

अब प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एक जोड़े में है। इसलिए, $2352 \times 3=7056$ एक पूर्ण वर्ग है। इस प्रकार अभीष्ट न्यूनतम गुणज 2352 का 7056 है जो एक पूर्ण वर्ग है।

और,

$ \sqrt{7056}=2 \times 2 \times 3 \times 7=84 $

उदाहरण 7 : वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 9408 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण वर्ग हो। भागफल का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल: हमारे पास, $9408=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times 3 \times \underline{7 \times 7}$

यदि हम 9408 को गुणनखंड 3 से भाग दें, तो

$9408 \div 3=3136=\underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{2 \times 2} \times \underline{7 \times 7}$ जो एक पूर्ण वर्ग है। (क्यों?) इसलिए, अभीष्ट न्यूनतम संख्या 3 है।

और,

$ \sqrt{3136}=2 \times 2 \times 2 \times 7=56 \text{।} $

उदाहरण 8: वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 6, 9 और 15 में से प्रत्येक से विभाज्य है।

हल: इसे दो चरणों में करना होगा। पहले सबसे छोटा समापवर्त्य ज्ञात कीजिए और फिर आवश्यक वर्ग संख्या खोजिए। वह न्यूनतम संख्या जो 6, 9 और 15 में से प्रत्येक से विभाज्य है, उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 6, 9 और 15 का LCM $2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$ है।

90 का अभाज्य गुणनफल $90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5$ है।

हम देखते हैं कि अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 जोड़ों में नहीं हैं। इसलिए 90 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

एक पूर्ण वर्ग पाने के लिए, 90 के प्रत्येक गुणनखंड का जोड़ा बनना चाहिए। इसलिए हमें 2 और 5 का जोड़ा बनाना होगा। अतः 90 को $2 \times 5$, अर्थात् 10 से गुणा करना होगा। अतः अभीष्ट वर्ग संख्या $90 \times 10 = 900$ है।

अभ्यास 5.3

1. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या के वर्गमूल के संभावित ‘इकाई’ अंक क्या हो सकते हैं?

(i) 9801 $\quad$ (ii) 99856 $\quad$ (iii) 998001 $\quad$ (iv) 657666025

2. बिना कोई गणना किए, वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो निश्चित रूप से पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

(i) 153 $\quad$ (ii) 257 $\quad$ (iii) 408 $\quad$ (iv) 441

3. 100 और 169 के वर्गमूल बार-बार घटाने की विधि से ज्ञात कीजिए।

4. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल अभाज्य गुणनफल विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) 729 $\quad$ (ii) 400 $\quad$ (iii) 1764 $\quad$ (iv) 4096

(v) 7744 $\quad$ (vi) 9604 $\quad$ (vii) 5929 $\quad$ (viii) 9216

(ix) 529 $\quad$ (x) 8100

5. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे उसे गुणा किया जाए ताकि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो। साथ ही प्राप्त वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 252 $\quad$ (ii) 180 $\quad$ (iii) 1008

(iv) 2028 $\quad$ (v) 1458 $\quad$ (vi) 768 $\quad$

6. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे उसे भाग दिया जाए ताकि एक पूर्ण वर्ड संख्या प्राप्त हो। साथ ही प्राप्त वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 252 $\quad$ (ii) 2925 $\quad$ (iii) 396

(iv) 2645 $\quad$ (v) 2800 $\quad$ (vi) 1620

7. एक स्कूल की कक्षा VIII के विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राष्ट्रीय राहत कोष में कुल मिलाकर ₹ 2401 दान किए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने रुपये दान किए जितनी कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या है। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

8. 2025 पौधों को एक बगीचे में इस प्रकार लगाया जाना है कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों जितनी पंक्तियों की संख्या है। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

9. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाज्य हो।

10. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 8, 15 और 20 प्रत्येक से विभाज्य हो।

5.5.4 भाग विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना

जब संख्याएँ बड़ी होती हैं, तब यहाँ तक कि अभाज्य गुणनफल विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना भी लंबा और कठिन हो जाता है। इस समस्या को दूर करने के लिए हम लंब भाग विधि का प्रयोग करते हैं।

इसके लिए हमें वर्गमूल में अंकों की संख्या निर्धारित करनी होती है।

निम्नलिखित सारणी देखिए:

तो, हम क्या कह सकते हैं कि यदि कोई पूर्ण वर्ग 3-अंकीय या 4-अंकीय है, तो उसके वर्गमूल में अंकों की संख्या कितनी होगी? हम कह सकते हैं कि, यदि कोई पूर्ण वर्ग 3-अंकीय या 4-अंकीय है, तो उसका वर्गमूल 2-अंकीय होगा।

क्या आप बता सकते हैं कि 5-अंकीय या 6-अंकीय पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में अंकों की संख्या कितनी होगी?

सबसे छोटी 3-अंकीय पूर्ण वर्ग संख्या 100 है जो 10 का वर्ग है और सबसे बड़ी 3-अंकीय पूर्ण वर्ग संख्या 961 है जो 31 का वर्ग है। सबसे छोटी 4-अंकीय वर्ग संख्या 1024 है जो 32 का वर्ग है और सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 9801 है जो 99 का वर्ग है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

क्या हम कह सकते हैं कि यदि कोई पूर्ण वर्ग $n$-अंकीय है, तो उसका वर्गमूल $\frac{n}{2}$ अंकों का होगा यदि $n$ सम है या $\frac{(n+1)}{2}$ अंकों का यदि $n$ विषम है?

किसी संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या का उपयोग निम्नलिखित विधि में उपयोगी है:

• 529 का वर्गमूल निकालने के लिए निम्नलिखित चरणों पर विचार कीजिए।

क्या आप इस संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं?

चरण 1 इकाई के स्थान पर अंक से शुरू कर प्रत्येक अंक युग्म पर एक बार लगाएं। यदि अंकों की संख्या विषम है, तो बायाँ सबसे अकेला अंक भी एक बार प्राप्त करेगा।

इस प्रकार हमारे पास, $\overline{5} \overline{29}$ है।

चरण 2 वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग अति-बायाँ बार वाली संख्या से कम या बराबर हो $(2^{2}<5<3^{2})$। इस संख्या को भाजक तथा अति-बायाँ बार वाली संख्या को भाज्य (यहाँ 5) मानें। भाग करें और शेष प्राप्त करें (इस स्थिति में 1)।

चरण 3 अगले बार के अंतर्गत आने वाली संख्या (यहाँ 29) को शेष के दायीं ओर नीचे लाएं। इस प्रकार नया भाज्य 129 है।

चरण 4 भागफल को दोगुना करें और इसे अपने दाईं ओर एक खाली स्थान के साथ दर्ज करें।

चरण 5 खाली स्थान को भरने के लिए सबसे बड़ी संभावित अंक का अनुमान लगाएं जो भागफल में नया अंक भी बनेगा, इस प्रकार कि जब नया भाजक नए भागफल से गुणा किया जाए तो गुणनफल भाज्य से कम या बराबर हो।

इस स्थिति में $42 \times 2=84$।

चूँकि $43 \times 3=129$ इसलिए हम नया अंक 3 चुनते हैं। शेषफल प्राप्त करें।

चरण 6 चूँकि शेषफल 0 है और दी गई संख्या में कोई अंक नहीं बचा है, इसलिए, $\sqrt{529}=23$।

• अब $\sqrt{4096}$ पर विचार करें

चरण 1 एक के अंक से शुरू कर प्रत्येक अंक युग्म पर एक बार लगाएं। ($\overline{40} \overline{96})$।

चरण 2 सबसे बड़ी संख्या खोजें जिसका वर्ग बाईं ओर सबसे बार वाली संख्या से कम या बराबर हो $(6^{2}<40<7^{2})$। इस संख्या को भाजक और बाईं ओर सबसे बार वाली संख्या को भाज्य मानें। भाग करें और शेषफल प्राप्त करें यानी इस स्थिति में 4।

चरण 3 अगले बार (यानी 96) वाली संख्या को शेषफल के दाईं ओर ले आएं। नया भाज्य 496 है।

चरण 4 भागफल को दोगुना करें और इसे अपने दाईं ओर एक खाली स्थान के साथ दर्ज करें।

चरण 5 खाली स्थान को भरने के लिए सबसे बड़ी संभावित अंक का अनुमान लगाएं जो भागफल में नया अंक भी बनेगा इस प्रकार कि जब नया अंक नए भागफल से गुणा किया जाए तो गुणनफल भाज्य से कम या बराबर हो। इस स्थिति में हम देखते हैं कि $124 \times 4=496$।

इसलिए भागफल में नया अंक 4 है। शेषफल प्राप्त करें।

चरण 6 चूँकि शेषफल 0 है और कोई बार नहीं बचा है, इसलिए, $\sqrt{4096}=64$।

संख्या का अनुमान लगाना

हम पूर्ण वर्ग संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए बारों का उपयोग करते हैं।

$ \sqrt{\overline{529}}=23 \quad \text{ और } \quad \sqrt{\overline{40} \overline{96}}=64 $

दोनों संख्याओं 529 और 4096 में दो बार हैं और उनके वर्गमूल में अंकों की संख्या 2 है। क्या आप बता सकते हैं कि 14400 के वर्गमूल में अंकों की संख्या कितनी है?

बार लगाने पर हमें $\overline{1} \overline{44} \overline{00}$ मिलता है। चूँकि 3 बार हैं, वर्गमूल 3 अंकों का होगा।

इन्हें आजमाएँ

वर्गमूल की गणना किए बिना, निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(i) 25600 $\quad$ (ii) 100000000 $\quad$ (iii) 36864

उदाहरण 9 : का वर्गमूल ज्ञात कीजिए :

(i) 729

(ii) 1296

हल:

(i)

(ii)

उदाहरण 10 : वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 5607 में से घटाया जाए ताकि एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। साथ ही पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

हल: आइए $\sqrt{5607}$ को लंबी विभाजन विधि से निकालने का प्रयास करें। हमें शेषफल 131 प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि $74^{2}$, 5607 से 131 कम है।

इसका अर्थ है कि यदि हम संख्या में से शेषफल घटा दें, तो हमें एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है।

इसलिए, अभीष्ट पूर्ण वर्फ $5607-131=5476$ है। और, $\sqrt{5476}=74$।

उदाहरण 11: वह सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो एक पूर्ण वर्ग हो।

हल: 4-अंकों की सबसे बड़ी संख्या $=9999$। हम $\sqrt{9999}$ लंबी विभाजन विधि से निकालते हैं। शेषफल 198 है। यह दर्शाता है कि $99^{2}$, 9999 से 198 कम है।

इसका अर्थ है कि यदि हम संख्या में से शेषफल घटा दें, तो हमें एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है।

इसलिए, अभीष्ट पूर्ण वर्ग $9999-198=9801$ है।

और, $\sqrt{9801}=99$

उदाहरण 12: वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 1300 में जोड़ा जाए ताकि एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। साथ ही पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

हल: हम $\sqrt{1300}$ लंबी विभाजन विधि से निकालते हैं। शेषफल 4 है।

यह दर्शाता है कि $36^{2}<1300$।

अगली पूर्ण वर्ग संख्या $37^{2}=1369$ है।

इसलिए, जोड़ी जाने वाली संख्या है $37^{2}-1300=1369-1300=69$।

5.6 दशमलव के वर्गमूल

$\sqrt{17.64}$ पर विचार करें

चरण 1 किसी दशमलव संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए हम पूर्णांक भाग (अर्थात् 17) पर सामान्य तरीके से बार लगाते हैं। और दशमलव भाग पर

(अर्थात् 64) पर हर दो अंकों के युग्म पर बार लगाते हैं, पहले दशमलव स्थान से शुरू करते हुए। सामान्य रूप से आगे बढ़ें। हमें मिलता है $\overline{17} \cdot \overline{64}$।

चरण 2

अब इसी तरह आगे बढ़ें। सबसे बाईं ओर का बार 17 पर है और $4^{2}<17<5^{2}$। इस संख्या को भाजक के रूप में लें और सबसे बाईं ओर के बार के नीचे की संख्या को भाज्य के रूप में लें, अर्थात् 17। भाग करें और शेष प्राप्त करें।

चरण 3 शेष 1 है। अगले बार (अर्थात् 64) के नीचे की संख्या को इस शेष के दाईं ओर लिखें, ताकि 164 प्राप्त हो।

चरण 4 भाजक को दोगुना करें और उसके दाईं ओर खाली स्थान के साथ दर्ज करें। चूँकि 64 दशमलव भाग है, इसलिए भागफल में दशमलव बिंदु लगाएँ।

हम जानते हैं $82 \times 2=164$, इसलिए नया अंक 2 है। भाग करें और शेष प्राप्त करें।

चरण 6 चूँकि शेषफल 0 है और कोई बार नहीं बचा है, इसलिए (\sqrt{17.64}=4.2)।

उदाहरण 13 : 12.25 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल:

किस दिशा में बढ़ें

एक संख्या 176.341 पर विचार कीजिए। पूर्णांक भाग और दशमलव भाग दोनों पर बार लगाइए। दशमलव भाग पर बार लगाने का तरीका पूर्णांक भाग से किस प्रकार भिन्न है? ध्यान दीजिए 176 के लिए हम दशमलव के निकट इकाई स्थान से प्रारंभ करते हैं और बाईं ओर बढ़ते हैं। पहली बार 76 पर है और दूसरी बार 1 पर है। .341 के लिए, हम दशमलव से प्रारंभ करते हैं और दाईं ओर बढ़ते हैं। पहली बार 34 पर है और दूसरी बार के लिए हम 1 के बाद 0 लगाते हैं और (\overline{.34} \overline{10}) बनाते हैं।

उदाहरण 14 : एक वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल (2304 m^{2}) है। वर्गाकार प्लॉट की भुजा ज्ञात कीजिए।

हल: वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल (=2304 m^{2})

इसलिए, $\quad$ वर्गाकार प्लॉट की भुजा $=\sqrt{2304} m$

हम पाते हैं, $\quad \sqrt{2304}=48$

इस प्रकार, वर्गाकार प्लॉट की भुजा $48 m$ है।

उदाहरण 15 : एक स्कूल में 2401 विद्यार्थी हैं। पी.टी. शिक्षक चाहता है कि वे पंक्तियों और स्तंभों में खड़े हों ताकि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो। पंक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए पंक्तियों की संख्या $x$ है। तो, स्तंभों की संख्या $=x$

इसलिए, विद्यार्थियों की संख्या $=x \times x=x^{2}$

इस प्रकार, $x^{2}=2401$ देता है $x=\sqrt{2401}=49$

पंक्तियों की संख्या $=49$ है।

प्रश्नावली 5.4

1. विभाजन विधि से निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

(i) 2304 $\quad$ (ii) 4489 $\quad$ (iii) 3481 $\quad$ (iv) 529

(v) 3249 $\quad$ (vi) 1369 $\quad$ (vii) 5776 $\quad$ (viii) 7921

(ix) 576 $\quad$ (x) 1024 $\quad$ (xi) 3136 $\quad$ (xii) 900

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए (बिना कोई गणना किए)।

(i) 64 $\quad$ (ii) 144 $\quad$ (iii) 4489 $\quad$ (iv) 27225

(v) 390625

3. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

(i) 2.56 $\quad$ (ii) 7.29 $\quad$ (iii) 51.84 $\quad$ (iv) 42.25

(v) 31.36

4. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या में से वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे घटाने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। साथ ही प्राप्त पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 402 $\quad$ (ii) 1989 $\quad$ (iii) 3250 $\quad$ (iv) 825

(v) 4000

5. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या में वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे जोड़ने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। साथ ही प्राप्त पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 525 $\quad$ (ii) 1750 $\quad$ (iii) 252 $\quad$ (iv) 1825

(v) 6412

6. एक वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल $441 m^{2}$ है।

7. एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में, $\angle B=90^{\circ}$।

(a) यदि $AB=6 cm, BC=8 cm$, तो $AC$ ज्ञात कीजिए

(b) यदि $AC=13 cm, BC=5 cm$, तो $AB$ ज्ञात कीजिए

8. एक माली के पास 1000 पौधे हैं। वह इन्हें इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या समान रहें। इसके लिए उसे और कितने न्यूनतम पौधों की आवश्यकता है।

9. एक विद्यालय में 500 बच्चे हैं। एक पी.टी. अभ्यास के लिए उन्हें इस प्रकार खड़ा होना है कि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो। इस व्यवस्था में कितने बच्चे बच जाएंगे।

हमने क्या चर्चा की है?

1. यदि एक प्राकृतिक संख्या $m$ को $n^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $n$ भी एक प्राकृतिक संख्या है, तो $m$ एक वर्ग संख्या है।

2. सभी वर्ग संख्याएं इकाई के स्थान पर $0,1,4,5,6$ या 9 से समाप्त होती हैं।

3. वर्ग संख्याओं के अंत में शून्य की संख्या सम होती है।

4. वर्गमूल वर्ग का व्युत्क्रम संक्रिया है।

5. एक पूर्ण वर्ग संख्या के दो पूर्णांत वर्गमूल होते हैं।