ଅଧ୍ୟାୟ 05 ବର୍ଗ ଓ ବର୍ଗମୂଳ
5.1 ପରିଚୟ
ତୁମେ ଜାଣ ଯେ ଏକ ବର୍ଗର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=$ ବାହୁ $\times$ ବାହୁ (ଯେଉଁଠାରେ ‘ବାହୁ’ ର ଅର୍ଥ ‘ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ’)। ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟି ଅଧ୍ୟୟନ କର।
| ଏକ ବର୍ଗର ବାହୁ (ସେ.ମି. ରେ) | ବର୍ଗର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $(.$ ରେ $cm^{2}$ ) |
|---|---|
| 1 | $1 \times 1=1=1^{2}$ |
| 2 | $2 \times 2=4=2^{2}$ |
| 3 | $3 \times 3=9=3^{2}$ |
| 5 | $5 \times 5=25=5^{2}$ |
| 8 | $8 \times 8=64=8^{2}$ |
| $a$ | $a \times a=a^{2}$ |
ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 4, 9, 25, 64 ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ବିଷୟରେ କ’ଣ ବିଶେଷ?
ଯେହେତୁ, 4 କୁ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ $2 \times 2=2^{2}, 9$ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ $3 \times 3=3^{2}$, ସମସ୍ତ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି ସହିତ ନିଜକୁ ଗୁଣନ କରି ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ।
$1,4,9,16,25, \ldots$ ପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା।
ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା $m$ କୁ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ $n^{2}$, ଯେଉଁଠାରେ $n$ ମଧ୍ୟ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ $m$ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା। 32 ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି?
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $5^{2}=25$ ଏବଂ $6^{2}=36$। ଯଦି 32 ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ ଏହା 5 ଏବଂ 6 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। କିନ୍ତୁ 5 ଏବଂ 6 ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ।
ତେଣୁ 32 ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କର।
| ସଂଖ୍ୟା | ବର୍ଗ |
|---|---|
| 1 | $1 \times 1=1$ |
| 2 | $2 \times 2=4$ |
| 3 | $ 3 \times 3=9$ |
| 4 | $4 \times 4=16$ |
| 5 | $ 5 \times 5 =25 $ |
| 6 | —— |
| 7 | —— |
| 8 | —— |
| 9 | —— |
| 10 | —— |
ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରୁ, ଆମେ 1 ଏବଂ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିପାରିବା କି? 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ କୌଣସି ପ୍ରାକୃତିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ବାକି ଅଛି କି?
ତୁମେ ଦେଖିବ ଯେ ବାକି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହନ୍ତି।
$1,4,9,16 \ldots$ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ।
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
1. ମଧ୍ୟରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜ
(i) 30 ଏବଂ 40 (ii) 50 ଏବଂ 60
5.2 ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଧର୍ମ
ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟି 1 ରୁ 20 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଦର୍ଶାଉଛି।
| ସଂଖ୍ୟା | ବର୍ଗ | ସଂଖ୍ୟା | ବର୍ଗ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରେ ଥିବା ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କର। ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଶେଷ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ (ଅର୍ଥାତ୍, ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ) କ’ଣ? ଏହି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା $0,1,4,5,6$ କିମ୍ବା 9 ରେ ଶେଷ ହୁଏ। ଏଥିରୁ କୌଣସିଟି 2, 3, 7 କିମ୍ବା 8 ରେ ଶେଷ ହୁଏ ନାହିଁ।
ଆମେ କହିପାରିବା କି ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା $0,1,4,5,6$ କିମ୍ବା 9 ରେ ଶେଷ ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ଅବଶ୍ୟ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ? ଏହା ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କର।
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
1. ଆମେ କହିପାରିବା କି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କି ନୁହେଁ? ଆମେ କିପରି ଜାଣିବା?
(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928
(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061
ପାଞ୍ଚଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହାକୁ ତୁମେ ସେମାନଙ୍କର ଏକକ ଅଙ୍କ ଦେଖି ସ୍ଥିର କରିପାରିବ ଯେ ସେଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହନ୍ତି।
2. ପାଞ୍ଚଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହାକୁ ତୁମେ କେବଳ ସେମାନଙ୍କର ଏକକ ଅଙ୍କ (କିମ୍ବା ଏକକ ସ୍ଥାନ) ଦେଖି ସ୍ଥିର କରିପାରିବ ନାହିଁ ଯେ ସେଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି ନୁହେଁ।
- କେତେକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅଧ୍ୟୟନ କର ଏବଂ ଉଭୟରେ ଥିବା ଏକକ ସ୍ଥାନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର।
ସାରଣୀ 1
| ସଂଖ୍ୟା | ବର୍ଗ | ସଂଖ୍ୟା | ବର୍ଗ | ସଂଖ୍ୟା | ବର୍ଗ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 | 21 | 441 |
| 2 | 4 | 12 | 144 | 22 | 484 |
| 3 | 9 | 13 | 169 | 23 | 529 |
| 4 | 16 | 14 | 196 | 24 | 576 |
| 5 | 25 | 15 | 225 | 25 | 625 |
| 6 | 36 | 16 | 256 | 30 | 900 |
| 7 | 49 | 17 | 289 | 35 | 1225 |
| 8 | 64 | 18 | 324 | 40 | 1600 |
| 9 | 81 | 19 | 361 | 45 | 2025 |
| 10 | 100 | 20 | 400 | 50 | 2500 |
ନିମ୍ନ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଅଙ୍କ 1 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
| ବର୍ଗ | ସଂଖ୍ୟା |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 81 | 9 |
| 121 | 11 |
| 361 | 19 |
| 441 | 21 |
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଅଙ୍କ 1 ରେ ଶେଷ ହେବ?
ପରବର୍ତ୍ତୀ ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହା 1 ରେ ଶେଷ ହୁଏ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସଂଗତ ସଂଖ୍ୟା।
ତୁମେ ଦେଖିବ ଯେ ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 1 କିମ୍ବା 9 ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ବର୍ଗ 1 ରେ ଶେଷ ହୁଏ।
- ଆସ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ, ବିଚାର କରିବା।
| ବର୍ଗ | ସଂଖ୍ୟା |
|---|---|
| 16 | 4 |
| 36 | 6 |
| 196 | 14 |
| 256 | 16 |
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଅଙ୍କ 6 ଥିବ। (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$
ଆମେ ଦେଖିପାରୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା 6 ରେ ଶେଷ ହୁଏ, ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ବର୍ଗ ଏହା, ତାହାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 4 କିମ୍ବା 6 ଥିବ।
ତୁମେ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗ (ସାରଣୀ 1) ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି ଅଧିକ ଏହିପରି ନିୟମ ପାଇପାରିବ କି?
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗରେ “ଏକକ ଅଙ୍କ” କ’ଣ ହେବ?
(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106
- ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କର।
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 3ଟି ଶୂନ୍ୟ ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ବର୍ଗରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଶୂନ୍ୟ ଥିବ?
ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏହାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟର ସଂଖ୍ୟା ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?
ଆମେ କହିପାରିବା କି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ କେବଳ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ୍ୟ ଥାଇପାରିବ?
- ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗ ସହିତ ସାରଣୀ 1 ଦେଖ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ କହିପାର?
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
1. ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟିର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା/ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ? କାହିଁକି?
(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980
2. ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗରେ ଶୂନ୍ୟର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ? (i) 60 (ii) 400
5.3 ଆହୁରି କିଛି ଆକର୍ଷଣୀୟ ନମୁନା
1. ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବା।
ତୁମେ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା (ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବିନ୍ଦୁ ନମୁନାଗୁଡ଼ିକୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଭାବରେ ସଜାଯାଇପାରେ) ମନେ ଅଛି କି?
| $*$ | $* *$ | |||
|---|---|---|---|---|
| * | $* *$ | * ** | ||
| $*$ | $* *$ | $* * *$ | $* * * *$ | |
| * | $* *$ | $* * *$ | $* * * *$ | $* * * * *$ |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
ଯଦି ଆମେ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାକୁ ମିଶାଇବା, ଆମେ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା, ଯେପରି
$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$
$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $
2. ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟା
ଆସ ବର୍ତ୍ତମାନ ଦେଖିବା ଯେ ଆମେ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କିଛି ଆକର୍ଷଣୀୟ ନମୁନା ପାଇପାରିବା କି ନାହିଁ।
$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା } 1(=1^2) \text{ ଏବଂ } 4(=2^2) \text{ ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା। } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା } 4(=2^2) \text{ ଏବଂ } 9(3^2) \text{ ମଧ୍ୟରେ 4ଟି ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 6ଟି ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା } 16(=4^2) \text{ ଏବଂ } 25(=5^2) \text{ ମଧ୍ୟରେ 8ଟି ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $
$1^{2}(=1)$ ଏବଂ $2^{2}(=4)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି (ଅର୍ଥାତ୍, $2 \times 1$ ) ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା 2,3 ଅଛି।
$2^{2}(=4)$ ଏବଂ $3^{2}(=9)$ ମଧ୍ୟରେ ଚାରିଟି (ଅର୍ଥାତ୍, $2 \times 2$ ) ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା $5,6,7,8$ ଅଛି।
ବର୍ତ୍ତମାନ, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$
ତେଣୁ, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$
$9(=3^{2})$ ଏବଂ $16(=4^{2})$ ମଧ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $10,11,12,13,14,15$ ଅର୍ଥାତ୍, ଛଅଟି ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟଠାରୁ 1 କମ୍।
ଆମର $\quad 4^{2}=16$ ଏବଂ $5^{2}=25$
ତେଣୁ, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$
16 $(=4^{2})$ ଏବଂ $25(=5^{2})$ ମଧ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $17,18, \ldots, 24$ ଅର୍ଥାତ୍, ଆଠଟି ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟଠାରୁ 1 କମ୍।
$7^{2}$ ଏବଂ $6^{2}$ ବିଚାର କର। ତୁମେ କହିପାରିବ କି $6^{2}$ ଏବଂ $7^{2}$ ମଧ୍ୟରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି? ଯଦି ଆମେ କୌଣସି ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $(n+1)$ ବିଚାର କରିବା, ତେବେ,
$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $
ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ $n^{2}$ ଏବଂ $(n+1)^{2}$ ମଧ୍ୟରେ $2 n$ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଯାହା ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟଠାରୁ 1 କମ୍।
ଏହିପରି, ସାଧାରଣତଃ ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ $2 n$ ଅପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $(n+1)$ ର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି। $n=5, n=6$ ଇତ୍ୟାଦି ପାଇଁ ଯାଞ୍ଚ କର ଏବଂ ଯାଞ୍ଚ କର।
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
1. $9^{2}$ ଏବଂ $10^{2}$ ମଧ୍ୟରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି? $11^{2}$ ଏବଂ $12^{2}$ ମଧ୍ୟରେ?
2. ନିମ୍ନ ଯୋଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଅବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି
(i) $100^{2}$ ଏବଂ $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ ଏବଂ $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ ଏବଂ $1001^{2}$
3. ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବା
ନିମ୍ନଲିଖିତ ବିଚାର କର
$ \begin{matrix} 1 \text{ [ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $
ତେଣୁ ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ପ୍ରଥମ $n$ ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ $n^{2}$।
ଏହାକୁ ଏକ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଦେଖିଲେ, ଆମେ କହିପାରିବା: ‘ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା, ଏହା 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କର ଯାହା ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ, ଯେପରି 2, 3, 5, 6, … ତୁମେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବ କି? ତୁମେ ଦେଖିବ ଯେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଏହି ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ। ସଂଖ୍ୟା 25 ବିଚାର କର। ଏଥିରୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ବିୟୋଗ କର $1,3,5,7,9, \ldots$
(i) $25-1=24$
(ii) $24-3=21$
(iii) $21-5=16$
(iv) $16-7=9$
(v) $9-9=0$
ଏହାର ଅର୍ଥ, $25=1+3+5+7+9$। ଆଉ, 25 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା 38 ବିଚାର କର, ଏବଂ ପୁନର୍ବାର ଉପରୋକ୍ତ ପରି କର।
(i) $38-1=37$
(ii) $37-3=34$
(iii) $34-5=29$
(iv) $29-7=22$
(v) $22-9=13$
(vi) $13-11=2$
(vii) $2-13=-11$
ଏହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ ଆମେ 38 କୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାରେ ସମର୍ଥ ନୁହେଁ
ଚେଷ୍ଟା କର ଏହିଗୁଡ଼ିକ
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କି ନୁହେଁ ଖୋଜ?
(i) 121
(ii) 55
(iii) 81
(iv) 49
(v) 69 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ। ଆଉ, 38 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ ଆମେ ମଧ୍ୟ କହିପାରିବା ଯେ ଯଦି ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟ
BETA
