5.1 प्रस्तावना

तुम्हाला माहित आहे की चौरसाचे क्षेत्रफळ $=$ बाजू $\times$ बाजू (जिथे ‘बाजू’ म्हणजे ‘बाजूची लांबी’). खालील सारणीचा अभ्यास करा.

4, 9, 25, 64 आणि अशा इतर संख्यांमध्ये काय विशेष आहे?

कारण, 4 हे $2 \times 2=2^{2}, 9$ म्हणून व्यक्त करता येते, 9 हे $3 \times 3=3^{2}$ म्हणून व्यक्त करता येते, अशा सर्व संख्यांना त्या संख्येचा स्वतःशी गुणाकार म्हणून व्यक्त करता येते.

$1,4,9,16,25, \ldots$ सारख्या संख्यांना वर्ग संख्या म्हणतात.

सर्वसाधारणपणे, जर एखादी नैसर्गिक संख्या $m$ ही $n^{2}$ अशी व्यक्त करता येते, जिथे $n$ ही देखील एक नैसर्गिक संख्या आहे, तर $m$ ही एक वर्ग संख्या आहे. 32 ही वर्ग संख्या आहे का?

आपल्याला माहित आहे की $5^{2}=25$ आणि $6^{2}=36$. जर 32 ही वर्ग संख्या असेल, तर ती 5 आणि 6 यांच्यामधील एखाद्या नैसर्गिक संख्येचा वर्ग असली पाहिजे. परंतु 5 आणि 6 यांच्यामध्ये कोणतीही नैसर्गिक संख्या नाही.

म्हणून 32 ही वर्ग संख्या नाही.

खालील संख्या आणि त्यांचे वर्ग पाहा.

वरील सारणीवरून, आपण 1 ते 100 यांच्यामधील वर्ग संख्या यादी करू शकतो का? 100 पर्यंत काही नैसर्गिक वर्ग संख्या राहिलेल्या आहेत का?

तुम्हाला असे आढळेल की उर्वरित संख्या वर्ग संख्या नाहीत.

$1,4,9,16 \ldots$ या संख्या वर्ग संख्या आहेत. या संख्यांना परिपूर्ण वर्ग असेही म्हणतात.

प्रयत्न करा

1. खालील दरम्यानच्या परिपूर्ण वर्ग संख्या शोधा.

(i) 30 आणि 40 (ii) 50 आणि 60

5.2 वर्ग संख्यांचे गुणधर्म

खालील सारणी 1 ते 20 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग दर्शवते.

वरील सारणीतील वर्ग संख्यांचा अभ्यास करा. वर्ग संख्यांचे शेवटचे अंक (म्हणजे एकक स्थानातील अंक) काय आहेत? या सर्व संख्या एकक स्थानी $0,1,4,5,6$ किंवा 9 ने संपतात. यापैकी कोणतीही संख्या एकक स्थानी 2, 3, 7 किंवा 8 ने संपत नाही.

आपण असे म्हणू शकतो का की जर एखादी संख्या $0,1,4,5,6$ किंवा 9 ने संपली, तर ती वर्ग संख्या असली पाहिजे? याचा विचार करा.

प्रयत्न करा

1. खालील संख्या परिपूर्ण वर्ग आहेत का नाही हे आपण म्हणू शकतो का? आपल्याला ते कसे कळेल?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

अशा पाच संख्या लिहा ज्या तुम्ही त्यांचे एकक अंक पाहून ठरवू शकता की त्या वर्ग संख्या नाहीत.

2. अशा पाच संख्या लिहा ज्या तुम्ही फक्त त्यांचे एकक अंक (किंवा एकक स्थान) पाहून ठरवू शकत नाही की त्या वर्ग संख्या आहेत की नाहीत.

• खालील काही संख्या आणि त्यांचे वर्ग यांची सारणी अभ्यासा आणि दोन्हीमधील एकक स्थान पाहा.

सारणी 1

खालील वर्ग संख्या अंक 1 ने संपतात.

प्रयत्न करा

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ यापैकी कोणती संख्या अंक 1 ने संपेल?

1 ने संपणाऱ्या पुढील दोन वर्ग संख्या आणि त्यांच्या संबंधित संख्या लिहा.

तुम्हाला असे दिसेल की जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी 1 किंवा 9 असेल, तर तिचा वर्ग 1 ने संपतो.

• आता 6 ने संपणाऱ्या वर्ग संख्यांचा विचार करूया.

प्रयत्न करा

खालीलपैकी कोणत्या संख्येच्या एकक स्थानी अंक 6 असेल. (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

आपण पाहू शकतो की जेव्हा एखादी वर्ग संख्या 6 ने संपते, तेव्हा ज्या संख्येचा तो वर्ग आहे, त्या संख्येच्या एकक स्थानी एकतर 4 किंवा 6 असेल.

तुम्ही संख्या आणि त्यांचे वर्ग (सारणी 1) निरीक्षण करून असे आणखी नियम शोधू शकता का?

प्रयत्न करा

खालील संख्यांच्या वर्गात “एकक अंक” काय असेल?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• खालील संख्या आणि त्यांचे वर्ग पाहा.

जर एखाद्या संख्येच्या शेवटी 3 शून्य असतील, तर तिच्या वर्गात किती शून्य असतील?

तुम्ही संख्येच्या शेवटी असलेल्या शून्यांची संख्या आणि तिच्या वर्गाच्या शेवटी असलेल्या शून्यांच्या संख्येबद्दल काय लक्षात घेता?

आपण असे म्हणू शकतो की वर्ग संख्यांच्या शेवटी फक्त सम संख्येत शून्य असू शकतात का?

• संख्या आणि त्यांचे वर्ग असलेली सारणी 1 पाहा.

सम संख्यांचे वर्ग आणि विषम संख्यांचे वर्ग याबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

प्रयत्न करा

1. खालीलपैकी कोणत्या संख्येचा वर्ग विषम संख्या/सम संख्या असेल? का?

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. खालील संख्यांच्या वर्गात किती शून्य असतील? (i) 60 (ii) 400

5.3 आणखी काही मनोरंजक नमुने

1. त्रिकोणी संख्या मिळवणे.

तुम्हाला त्रिकोणी संख्या (अशा संख्या ज्यांचे बिंदू रचना त्रिकोण म्हणून मांडता येते) आठवतात का?

जर आपण दोन सलग त्रिकोणी संख्या एकत्र केल्या, तर आपल्याला एक वर्ग संख्या मिळते, जसे की

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. वर्ग संख्यांमधील संख्या

आता आपण दोन सलग वर्ग संख्यांमध्ये काही मनोरंजक नमुना आहे का ते पाहूया.

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ दोन वर्ग संख्या } 1(=1^2) \text{ आणि } 4(=2^2) \text{ यांच्यामध्ये दोन न वर्ग संख्या. } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{दोन वर्ग संख्या } 4(=2^2) \text{ आणि } 9(3^2) \text{ यांच्यामध्ये 4 न वर्ग संख्या } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ दोन वर्ग संख्या } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \text{ यांच्यामध्ये 6 न वर्ग संख्या } \\ \text{दोन वर्ग संख्या } 16(=4^2) \text{ आणि } 25(=5^2) \text{ यांच्यामध्ये 8 न वर्ग संख्या } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ आणि $2^{2}(=4)$ यांच्यामध्ये दोन (म्हणजे, $2 \times 1$ ) न वर्ग संख्या 2,3 आहेत.

$2^{2}(=4)$ आणि $3^{2}(=9)$ यांच्यामध्ये चार (म्हणजे, $2 \times 2$ ) न वर्ग संख्या $5,6,7,8$ आहेत.

आता, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

म्हणून, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ आणि $16(=4^{2})$ यांच्यामध्ये संख्या $10,11,12,13,14,15$ आहेत, म्हणजे, सहा न वर्ग संख्या ज्या दोन वर्गांच्या फरकापेक्षा 1 ने कमी आहेत.

आपल्याकडे $\quad 4^{2}=16$ आणि $5^{2}=25$ आहे

म्हणून, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ आणि $25(=5^{2})$ यांच्यामध्ये संख्या $17,18, \ldots, 24$ आहेत, म्हणजे, आठ न वर्ग संख्या ज्या दोन वर्गांच्या फरकापेक्षा 1 ने कमी आहेत.

$7^{2}$ आणि $6^{2}$ विचारात घ्या. $6^{2}$ आणि $7^{2}$ यांच्यामध्ये किती संख्या आहेत हे तुम्ही म्हणू शकता का? जर आपण कोणतीही नैसर्गिक संख्या $n$ आणि $(n+1)$ विचारात घेतली, तर,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

आपल्याला असे आढळते की $n^{2}$ आणि $(n+1)^{2}$ यांच्यामध्ये $2 n$ संख्या आहेत ज्या दोन वर्गांच्या फरकापेक्षा 1 ने कमी आहेत.

अशाप्रकारे, सर्वसाधारणपणे आपण असे म्हणू शकतो की $2 n$ न परिपूर्ण वर्ग संख्या $n$ आणि $(n+1)$ या संख्यांच्या वर्गांमध्ये असतात. $n=5, n=6$ इत्यादीसाठी तपासा आणि सत्यापित करा.

प्रयत्न करा

1. $9^{2}$ आणि $10^{2}$ यांच्यामध्ये किती नैसर्गिक संख्या आहेत? $11^{2}$ आणि $12^{2}$ यांच्यामध्ये?

2. खालील संख्यांच्या जोड्यांमध्ये किती न वर्ग संख्या आहेत

(i) $100^{2}$ आणि $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ आणि $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ आणि $1001^{2}$

3. विषम संख्या मिळवणे

खालील गोष्टी विचारात घ्या

$ \begin{matrix} 1 \text{ [एक विषम संख्या] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [पहिल्या दोन विषम संख्यांची बेरीज] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [पहिल्या तीन विषम संख्यांची बेरीज] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की पहिल्या $n$ विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज $n^{2}$ आहे.

त्याकडे वेगळ्या पद्धतीने पाहिल्यास, आपण असे म्हणू शकतो: ‘जर संख्या वर्ग संख्या असेल, तर ती 1 पासून सुरू होणाऱ्या सलग विषम संख्यांची बेरीज असली पाहिजे.

ज्या संख्या परिपूर्ण वर्ग नाहीत, अशा 2, 3, 5, 6, … या संख्यांचा विचार करा. तुम्ही या संख्यांना 1 पासून सुरू होणाऱ्या सलग विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करू शकता का? तुम्हाला असे आढळेल की या संख्यांना अशा प्रकारे व्यक्त करता येत नाही. 25 या संख्येचा विचार करा. त्यातून सलग $1,3,5,7,9, \ldots$ वजा करा

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

याचा अर्थ, $25=1+3+5+7+9$. तसेच, 25 हा एक परिपूर्ण वर्ग आहे.

आता दुसरी संख्या 38 विचारात घ्या, आणि वरीलप्रमाणे करा.

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

हे दर्शवते की आपण 38 ला 1 पासून सुरू होणाऱ्या

प्रयत्न करा

खालीलपैकी प्रत्येक संख्या परिपूर्ण वर्ग आहे की नाही ते शोधा?

(i) 121

(ii) 55

(iii) 81

(iv) 49

(v) 69 सलग विषम संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करू शकत नाही. तसेच, 38 हा परिपूर्ण वर्ग नाही.

म्हणून आपण असेही म्हणू शकतो की जर एखादी नैसर्गिक संख्या 1 पासून सुरू होणाऱ्या सलग विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करता येत नसेल, तर ती परिपूर्ण वर्ग नाही.

एखादी संख्या परिपूर्ण वर्ग आहे की नाही हे शोधण्यासाठी आपण हा निकाल वापरू शकतो.

4. सलग नैसर्गिक संख्यांची बेरीज

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

प्रयत्न करा

1. खालील गोष्टी दोन सलग पूर्णांकांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा.

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. तुम्हाला असे वाटते का की उलटही सत्य आहे, म्हणजे, कोणत्याही दोन सलग धन पूर्णांकांची बेरीज ही एखाद्या संख्येचा परिपूर्ण वर्ग आहे? तुमचे उत्तर समर्थन देण्यासाठी उदाहरण द्या.

5. दोन सलग सम किंवा विषम नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

तसेच $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

म्हणून, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

त्याचप्रमाणे, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

म्हणून सर्वसाधारणपणे आपण असे म्हणू शकतो की $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$.

6. वर्ग संख्यांमधील आणखी काही नमुने

संख्यांचे वर्ग; $1,11,111 \ldots$ इत्यादी निरीक्षण करा. ते एक सुंदर नमुना देतात:

आणखी एक मनोरंजक नमुना.

प्रयत्न करा

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

या गोष्टी का घडतात हे शोधण्यात मजा आहे. अशा प्रश्नांचा शोध घेणे आणि विचार करणे तुमच्यासाठी मनोरंजक असू शकते जरी उत्तरे काही वर्षांनंतर येत असली तरीही.

वरील नमुना वापरून वर्ग लिहा.

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

प्रयत्न करा

तुम्ही वरील नमुना वापरून खालील संख्यांचा वर्ग शोधू शकता का?

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

उदाहरणे 5.1

1. खालील संख्यांच्या वर्गांचा एकक अंक काय असेल?

(i) 81 $\quad$ (ii) 272 $\quad$ (iii) 799 $\quad$ (iv) 3853

(v) 1234 $\quad$ (vi) 26387 $\quad$ (vii) 52698 $\quad$ (viii) 99880

(ix) 12796 $\quad$ (x) 55555

2. खालील संख्या स्पष्टपणे परिपूर्ण वर्ग नाहीत. कारण द्या.

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928 $\quad$ (iv) 222222

(v) 64000 $\quad$ (vi) 89722 $\quad$ (vii) 222000 $\quad$ (viii) 505050

3. खालीलपैकी कोणत्या संख्यांचे वर्ग विषम संख्या असतील?

(i) 431 $\quad$ (ii) 2826 $\quad$ (iii) 7779 $\quad$ (iv) 82004

4. खालील नमुना पाहा आणि गहाळ अंक शोधा.

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. खालील नमुना पाहा आणि गहाळ संख्या पुरवा.

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. दिलेला नमुना वापरून, गहाळ संख्या शोधा.

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

नमुना शोधण्यासाठी

तिसरी संख्या पहिल्या आणि दुसऱ्या संख्येशी संबंधित आहे. कसे?

चौथी संख्या तिसऱ्या संख्येशी संबंधित आहे. कसे?

7. बेरीज न करता, बेरीज शोधा.

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) 49 ही 7 विषम संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा.

(ii) 121 ही 11 विषम संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा.

9. खालील संख्यांच्या वर्गांमध्ये किती संख्या आहेत?

(i) 12 आणि 13 $\quad$ (ii) 25 आणि 26 $\quad$ (iii) 99 आणि 100

5.4 संख्येचा वर्ग शोधणे

$3,4,5,6,7, \ldots$ इत्यादी लहान संख्यांचे वर्ग शोधणे सोपे आहे. परंतु आपण 23 चा वर्ग इतक्या लवकर शोधू शकतो का?

उत्तर इतके सोपे नाही आणि आपल्याला 23 चा 23 ने गुणाकार करावा लागू शकतो.

$23 \times 23$ न गुणाकारता हे शोधण्याचा एक मार्ग आहे.

आपल्याला माहित आहे

$ \begin{aligned} 23 & =20+3 \\ 23^{2} & =(20+3)^{2}=20(20+3)+3( \\ & =20^{2}+20 \times 3+3 \times 20+3^{2} \\ & =400+60+60+9=529 \end{aligned} $

$ \text{ म्हणून } \quad 23^{2}=(20+3)^{2}=20(20+3)+3(20+3) $

उदाहरण 1 : वास्तविक गुणाकार न करता खालील संख्यांचे वर्ग शोधा. (i) 39 (ii) 42

उत्तर: (i) $39^{2}=(30+9)^{2}=30(30+9)+9(30+9)$

$ \begin{aligned} & =30^{2}+30 \times 9+9 \times 30+9^{2} \\ & =900+270+270+81=1521 \end{aligned} $

(ii) $42^{2}=(40+2)^{2}=40(40+2)+2(40+2)$

$=40^{2}+40 \times 2+2 \times 40+2^{2}$

$=1600+80+80+4=1764$

5.4.1 वर्गांमधील इतर नमुने

खालील नमुन्याचा विचार करा:

$25^{2}=625=(2 \times 3)$ शतक +25

$35^{2}=1225=(3 \times 4)$ शतक +25

$75^{2}=5625=(7 \times 8)$ शतक +25

$125^{2}=15625=(12 \times 13)$ शतक +25

आता तुम्ही 95 चा वर्ग शोधू शकता का?

प्रयत्न करा

एकक स्थानी 5 असलेली संख्या विचारात घ्या, म्हणजे, $a 5$

$ \begin{aligned} (a 5)^{2} & =(10 a+5)^{2} \\ & =10 a(10 a+5)+5(10 a+5) \\ & =100 a^{2}+50 a+50 a+25 \\ & =100 a(a+1)+25 \\ & =a(a+1) \text{ शतक }+25 \end{aligned} $

एकक स्थानी 5 असलेल्या खालील संख्यांचे वर्ग शोधा.

(i) 15 $\quad$ (ii) 95 $\quad$ (iii) 105 $\quad$ (iv) 205

5.4.2 पायथागोरस त्रिकूट

खालील गोष्टी विचारात घ्या

$ 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2} $

3, 4 आणि 5 या संख्यांच्या संग्रहाला पायथागोरस त्रिकूट म्हणतात. 6, 8, 10 हे देखील एक पायथागोरस त्रिकूट आहे, कारण

$ 6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2} $

पुन्हा, लक्षात घ्या की

$5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$. 5, 12, 13 या संख्या दुसरे असे त्रिकूट बनवतात.

तुम्ही असे आणखी त्रिकूट शोधू शकता का?

कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी $m>1$, आपल्याकडे $(2 m)^{2}+(m^{2}-1)^{2}=(m^{2}+1)^{2}$ आहे. म्हणून, $2 m$, $m^{2}-1$ आणि $m^{2}+1$ हे पायथागोरस त्रिकूट बनवते.

या स्वरूपाचा वापर करून आणखी काही पायथागोरस त्रिकूट शोधण्याचा प्रयत्न करा.

उदाहरण 2 : एक पायथागोरस त्रिकूट लिहा ज्याचा सर्वात लहान सदस्य 8 आहे.

उत्तर: आपण सामान्य स्वरूप $2 m, m^{2}-1, m^{2}+1$ वापरून पायथागोरस त्रिकूट मिळवू शकतो.

आधी घेऊ

$ \begin{aligned} m^{2}-1 & =8 \\ \text{म्हणून, } & m^{2} & =8+1=9 \\ m & =3 \\ 2 m & =6 \text{ आणि } m^{2}+1=10 \end{aligned} $

म्हणून,

म्हणून,

त्रिकूट अशाप्रकारे $6,8,10$ आहे. परंतु 8 हा यातील सर्वात लहान सदस्य नाही.

म्हणून, चला प्रयत्न करूया

मग $2 m=8$

आपल्याला मिळते $m=4$

आणि $ \begin{aligned} & m^{2}-1=16-1=15 \\ & m^{2}+1=16+1=17 \end{aligned} $

त्रिकूट $8,15,17$ आहे ज्यामध्ये 8 हा सर्वात लहान सदस्य आहे.

उदाहरण 3 : एक पायथागोरस त्रिकूट शोधा ज्यामध्ये एक सदस्य 12 आहे.

उत्तर: जर आपण $\quad m^{2}-1=12$ घेतले

मग, $ m^{2}=12+1=13 $

मग $m$ चे मूल्य पूर्णांक होणार नाही.

म्हणून, आपण $m^{2}+1=12$ घेण्याचा प्रयत्न करू. पुन्हा $m^{2}=11$ हे $m$ साठी पूर्णांक मूल्य देण