5.1 પ્રસ્તાવના

તમે જાણો છો કે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ બાજુ $\times$ બાજુ (જ્યાં ‘બાજુ’ નો અર્થ ‘બાજુની લંબાઈ’ છે). નીચેનું કોષ્ટક અભ્યાસ કરો.

સંખ્યાઓ 4, 9, 25, 64 અને અન્ય આવી સંખ્યાઓ વિશે શું ખાસ છે?

કારણ કે, 4 ને $2 \times 2=2^{2}, 9$ તરીકે દર્શાવી શકાય, $3 \times 3=3^{2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય, આવી બધી સંખ્યાઓને તે સંખ્યાના પોતાના સાથેના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય.

$1,4,9,16,25, \ldots$ જેવી સંખ્યાઓને વર્ગ સંખ્યાઓ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ ને $n^{2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય, જ્યાં $n$ પણ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, તો $m$ એક વર્ગ સંખ્યા છે. શું 32 એક વર્ગ સંખ્યા છે?

આપણે જાણીએ છીએ કે $5^{2}=25$ અને $6^{2}=36$. જો 32 એક વર્ગ સંખ્યા હોય, તો તે 5 અને 6 ની વચ્ચેની કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો વર્ગ હોવો જોઈએ. પરંતુ 5 અને 6 ની વચ્ચે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.

આથી 32 એ વર્ગ સંખ્યા નથી.

નીચેની સંખ્યાઓ અને તેમના વર્ગો ધ્યાનમાં લો.

ઉપરના કોષ્ટક પરથી, શું આપણે 1 અને 100 ની વચ્ચેની વર્ગ સંખ્યાઓની યાદી બનાવી શકીએ? શું 100 સુધીમાં કોઈ પ્રાકૃતિક વર્ગ સંખ્યાઓ છૂટી પડી ગઈ છે?

તમે જોશો કે બાકીની સંખ્યાઓ વર્ગ સંખ્યાઓ નથી.

સંખ્યાઓ $1,4,9,16 \ldots$ વર્ગ સંખ્યાઓ છે. આ સંખ્યાઓને પૂર્ણ વર્ગ પણ કહેવામાં આવે છે.

પ્રયાસ કરો

1. નીચેની વચ્ચેની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ શોધો.

(i) 30 અને 40 (ii) 50 અને 60

5.2 વર્ગ સંખ્યાઓના ગુણધર્મો

નીચેનું કોષ્ટક 1 થી 20 સુધીની સંખ્યાઓના વર્ગો દર્શાવે છે.

ઉપરના કોષ્ટકમાં વર્ગ સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કરો. વર્ગ સંખ્યાઓના અંતિમ અંકો (એટલે કે, એકમના સ્થાનના અંકો) શું છે? આ બધી સંખ્યાઓ એકમના સ્થાને $0,1,4,5,6$ અથવા 9 સાથે સમાપ્ત થાય છે. આમાંથી કોઈ પણ સંખ્યા એકમના સ્થાને 2, 3, 7 અથવા 8 સાથે સમાપ્ત થતી નથી.

શું આપણે કહી શકીએ કે જો કોઈ સંખ્યા $0,1,4,5,6$ અથવા 9 સાથે સમાપ્ત થાય, તો તે એક વર્ગ સંખ્યા હોવી જોઈએ? આ વિશે વિચારો.

પ્રયાસ કરો

1. શું આપણે કહી શકીએ કે નીચેની સંખ્યાઓ પૂર્ણ વર્ગ છે કે નહીં? આપણે કેવી રીતે જાણીશું?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

પાંચ સંખ્યાઓ લખો જેને તેમના એકમના અંકને જોઈને તમે નક્કી કરી શકો કે તે વર્ગ સંખ્યાઓ નથી.

2. પાંચ સંખ્યાઓ લખો જેને માત્ર તેમના એકમના અંક (અથવા એકમના સ્થાન)ને જોઈને તમે નક્કી ન કરી શકો કે તે વર્ગ સંખ્યાઓ છે કે નહીં.

• નીચેના કોષ્ટકમાં કેટલીક સંખ્યાઓ અને તેમના વર્ગોનો અભ્યાસ કરો અને બંનેમાં એકમના સ્થાનનું અવલોકન કરો.

કોષ્ટક 1

નીચેની વર્ગ સંખ્યાઓ અંક 1 સાથે સમાપ્ત થાય છે.

પ્રયાસ કરો

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ માંથી કઈ સંખ્યા અંક 1 સાથે સમાપ્ત થશે?

બે આગળની વર્ગ સંખ્યાઓ લખો જે 1 સાથે સમાપ્ત થાય અને તેમની અનુરૂપ સંખ્યાઓ.

તમે જોશો કે જો કોઈ સંખ્યાના એકમના સ્થાને 1 અથવા 9 હોય, તો તેનો વર્ગ 1 સાથે સમાપ્ત થાય છે.

• ચાલો 6 સાથે સમાપ્ત થતી વર્ગ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રયાસ કરો

નીચેની સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાના એકમના સ્થાને અંક 6 હશે. (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જ્યારે કોઈ વર્ગ સંખ્યા 6 સાથે સમાપ્ત થાય છે, ત્યારે જે સંખ્યાનો તે વર્ગ છે, તેના એકમના સ્થાને 4 અથવા 6 હશે.

શું તમે સંખ્યાઓ અને તેમના વર્ગો (કોષ્ટક 1) નું અવલોકન કરીને વધુ નિયમો શોધી શકો છો?

પ્રયાસ કરો

નીચેની સંખ્યાઓના વર્ગમાં “એકમનો અંક” શું હશે?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• નીચેની સંખ્યાઓ અને તેમના વર્ગો ધ્યાનમાં લો.

જો કોઈ સંખ્યાના અંતે 3 શૂન્ય હોય, તો તેના વર્ગમાં કેટલા શૂન્ય હશે?

સંખ્યાના અંતે શૂન્યની સંખ્યા અને તેના વર્ગના અંતે શૂન્યની સંખ્યા વિશે તમે શું નોંધો છો?

શું આપણે કહી શકીએ કે વર્ગ સંખ્યાઓના અંતે માત્ર સમ સંખ્યામાં શૂન્ય હોઈ શકે?

• કોષ્ટક 1 જુઓ જેમાં સંખ્યાઓ અને તેમના વર્ગો છે.

સમ સંખ્યાઓના વર્ગો અને વિષમ સંખ્યાઓના વર્ગો વિશે તમે શું કહી શકો?

પ્રયાસ કરો

1. નીચેની સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાનો વર્ગ એક વિષમ સંખ્યા/સમ સંખ્યા હશે? શા માટે?

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. નીચેની સંખ્યાઓના વર્ગમાં શૂન્યની સંખ્યા કેટલી હશે? (i) 60 (ii) 400

5.3 કેટલાક વધુ રસપ્રદ નમૂનાઓ

1. ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓનો સરવાળો.

શું તમને ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ (જે સંખ્યાઓના બિંદુ નમૂનાઓ ત્રિકોણ તરીકે ગોઠવી શકાય) યાદ છે?

જો આપણે બે ક્રમિક ત્રિકોણાકાર સંખ્યાઓ જોડીએ, તો આપણને એક વર્ગ સંખ્યા મળે છે, જેમ કે

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. વર્ગ સંખ્યાઓ વચ્ચેની સંખ્યાઓ

ચાલો હવે જોઈએ કે શું આપણે બે ક્રમિક વર્ગ સંખ્યાઓ વચ્ચે કેટલાક રસપ્રદ નમૂનાઓ શોધી શકીએ.

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ બે વર્ગ સંખ્યાઓ } 1(=1^2) \text{ અને } 4(=2^2) \text{ વચ્ચેની બે બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ. } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{બે વર્ગ સંખ્યાઓ } 4(=2^2) \text{ અને } 9(3^2) \text{ વચ્ચેની 4 બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ બે વર્ગ સંખ્યાઓ વચ્ચેની 6 બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{બે વર્ગ સંખ્યાઓ } 16(=4^2) \text{ અને } 25(=5^2) \text{ વચ્ચેની 8 બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ અને $2^{2}(=4)$ વચ્ચે બે (એટલે કે, $2 \times 1$ ) બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ 2,3 છે.

$2^{2}(=4)$ અને $3^{2}(=9)$ વચ્ચે ચાર (એટલે કે, $2 \times 2$ ) બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ $5,6,7,8$ છે.

હવે, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

આથી, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ અને $16(=4^{2})$ વચ્ચે સંખ્યાઓ $10,11,12,13,14,15$ છે, એટલે કે, છ બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ જે બે વર્ગોના તફાવત કરતાં 1 ઓછી છે.

આપણી પાસે $\quad 4^{2}=16$ અને $5^{2}=25$ છે

આથી, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ અને $25(=5^{2})$ વચ્ચે સંખ્યાઓ $17,18, \ldots, 24$ છે, એટલે કે, આઠ બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ જે બે વર્ગોના તફાવત કરતાં 1 ઓછી છે.

$7^{2}$ અને $6^{2}$ ધ્યાનમાં લો. શું તમે કહી શકો કે $6^{2}$ અને $7^{2}$ વચ્ચે કેટલી સંખ્યાઓ છે? જો આપણે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ અને $(n+1)$ વિશે વિચારીએ, તો,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

આપણે શોધીએ છીએ કે $n^{2}$ અને $(n+1)^{2}$ વચ્ચે $2 n$ સંખ્યાઓ છે જે બે વર્ગોના તફાવત કરતાં 1 ઓછી છે.

આમ, સામાન્ય રીતે આપણે કહી શકીએ કે સંખ્યાઓ $n$ અને $(n+1)$ ના વર્ગો વચ્ચે $2 n$ બિન-પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ છે. $n=5, n=6$ વગેરે માટે તપાસો અને ચકાસો.

પ્રયાસ કરો

1. $9^{2}$ અને $10^{2}$ વચ્ચે કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ આવેલી છે? $11^{2}$ અને $12^{2}$ વચ્ચે?

2. નીચેની સંખ્યાઓની જોડી વચ્ચે કેટલી બિન-વર્ગ સંખ્યાઓ આવેલી છે

(i) $100^{2}$ અને $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ અને $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ અને $1001^{2}$

3. વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો

નીચેનો વિચાર કરો

$ \begin{matrix} 1 \text{ [એક વિષમ સંખ્યા] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [પ્રથમ બે વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [પ્રથમ ત્રણ વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

તેથી આપણે કહી શકીએ કે પ્રથમ $n$ વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^{2}$ છે.

તેને અલગ રીતે જોતાં, આપણે કહી શકીએ: ‘જો સંખ્યા એક વર્ગ સંખ્યા છે, તો તે 1 થી શરૂ થતી ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો હોવો જોઈએ.

જે સંખ્યાઓ પૂર્ણ વર્ગ નથી, તેવી સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો, જેમ કે 2, 3, 5, 6, … શું તમે આ સંખ્યાઓને 1 થી શરૂ થતી ક્રમિક વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકો છો? તમે શોધશો કે આ સંખ્યાઓને આ રીતે દર્શાવી શકાતી નથી. સંખ્યા 25 ધ્યાનમાં લો. તેમાંથી ક્રમિક રીતે $1,3,5,7,9, \ldots$ બાદ કરો

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

આનો અર્થ છે, $25=1+3+5+7+9$. સાથે, 25 એક પૂર્ણ વર્ગ છે.

હવે બીજી સંખ્યા 38 ધ્યાનમાં લો, અને ફરીથી ઉપર મુજબ કરો.

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

આ દર્શાવે છે કે આપણે 38 ને 1 થી શરૂ થતી ક્રમિક વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં સક્ષમ નથી. સાથે, 38 એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.

તેથી આપણે એ પણ કહી શકીએ કે જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને 1 થી શરૂ થતી ક્રમિક વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી, તો તે પૂર્ણ વર્ગ નથી.

આપણે આ પરિણામનો ઉપયોગ એ શોધવા માટે કરી શકીએ કે સંખ્યા પૂર્ણ વર્ગ છે કે નહીં.

4. ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

પ્રયાસ કરો

1. નીચેનાને બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. શું તમને લાગે છે કે તેનું વિપરીત પણ સાચું છે, એટલે કે, કોઈ પણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો એ કોઈ સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ છે? તમારા જવાબને સમર્થન આપવા માટે ઉદાહરણ આપો.

5. બે ક્રમિક સમ અથવા વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

તેમજ $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

આથી, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

એ જ રીતે, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

તેથી સામાન્ય રીતે આપણે કહી શકીએ કે $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$.

6. વર્ગ સંખ્યાઓમાં કેટલાક વધુ નમૂનાઓ

સંખ્યાઓના વર્ગોનું અવલોકન કરો; $1,11,111 \ldots$ વગેરે. તેઓ એક સુંદર નમૂનો આપે છે:

બીજો રસપ્રદ નમૂનો.

પ્રયાસ કરો

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

મજા એ છે કે આવું શા માટે થાય છે તે શોધવામાં છે. હોઈ શકે છે કે આવા પ્રશ્નોની શોધ અને વિચાર કરવો તમારા માટે રસપ્રદ હોય, ભલે જવાબો કેટલાક વર્ષો પછી આવે.

ઉપરના નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ લખો.

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

પ્રયાસ કરો

શું તમે ઉપરના નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને નીચેની સંખ્યાઓના વર્ગ શોધી શકો છો?

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

કસરત 5.1

1. નીચેની સંખ્યાઓના વર્ગોનો એકમનો અંક શું હશે?

(i) 81 $\quad$ (ii) 272 $\quad$ (iii) 799 $\quad$ (iv) 3853

(v) 1234 $\quad$ (vi) 26387 $\quad$ (vii) 52698 $\quad$ (viii) 99880

(ix) 12796 $\quad$ (x) 55555

2. નીચેની સંખ્યાઓ દેખીતી રીતે પૂર્ણ વર્ગ નથી. કારણ આપો.

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928 $\quad$ (iv) 222222

(v) 64000 $\quad$ (vi) 89722 $\quad$ (vii) 222000 $\quad$ (viii) 505050

3. નીચેની સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યાઓના વર્ગ વિષમ સંખ્યાઓ હશે?

(i) 431 $\quad$ (ii) 2826 $\quad$ (iii) 7779 $\quad$ (iv) 82004

4. નીચેના નમૂનાનું અવલોકન કરો અને ખૂટતા અંકો શોધો.

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. નીચેના નમૂનાનું અવલોકન કરો અને ખૂટતી સંખ્યાઓ પૂરી કરો.

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. આપેલા નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને, ખૂટતી સંખ્યાઓ શોધો.

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

નમૂનો શોધવા માટે

ત્રીજી સંખ્યા પ્રથમ અને બીજી સંખ્યા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?

ચોથી સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?

7. સરવાળો કર્યા વિના, સરવાળો શોધો.

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) 49 ને 7 વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.

(ii) 121 ને 11 વિષમ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવો.

9. નીચેની સંખ્યાઓના વર્ગો વચ્ચે કેટલી સંખ્યાઓ આવેલી છે?

(i) 12 અને 13 $\quad$ (ii) 25 અને 26 $\quad$ (iii) 99 અને 100

5.4 સંખ્યાનો વર્ગ શોધવો

$3,4,5,6,7, \ldots$ વગેરે જેવી નાની સંખ્યાઓના વર્ગો શોધવા સરળ છે. પરંતુ શું આપણે 23 નો વર