2.1 పరిచయం

తరగతి IX లో, మీరు ఏక చరరాశిలో బహుపదులను మరియు వాటి పరిమాణాలను (డిగ్రీలు) అధ్యయనం చేసారు. గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఒకవేళ $p(x)$ అనేది $x$ లో ఒక బహుపది అయితే, $p(x)$ లో $x$ యొక్క అత్యధిక ఘాతాన్ని బహుపది $p(x)$ యొక్క పరిమాణం (డిగ్రీ) అంటారు. ఉదాహరణకు, $4 x+2$ అనేది $x$ చరరాశిలో ఒక బహుపది, దీని పరిమాణం $1,2 y^{2}-3 y+4$, $y$ చరరాశిలో ఒక బహుపది, దీని పరిమాణం $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$

అనేది $x$ చరరాశిలో ఒక బహుపది, దీని పరిమాణం 3 మరియు $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ అనేది $u$ చరరాశిలో ఒక బహుపది, దీని పరిమాణం 6. $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ వంటి సమాసాలు బహుపదులు కావు.

పరిమాణం 1 గల బహుపదిని రేఖీయ బహుపది అంటారు. ఉదాహరణకు, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$, మొదలైనవన్నీ రేఖీయ బహుపదులు. $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ వంటి బహుపదులు రేఖీయ బహుపదులు కావు.

పరిమాణం 2 గల బహుపదిని వర్గ బహుపది అంటారు. ‘quadratic’ అనే పదం ‘quadrate’ అనే పదం నుండి ఉద్భవించింది, దీని అర్థం ‘చతురస్రం’. $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ వర్గ బహుపదులకు కొన్ని ఉదాహరణలు (దీని గుణకాలు వాస్తవ సంఖ్యలు). మరింత సాధారణంగా, $x$ లోని ఏదైనా వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c$ రూపంలో ఉంటుంది, ఇక్కడ $a, b, c$ వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు $a \neq 0$. పరిమాణం 3 గల బహుపదిని ఘన బహుపది అంటారు. ఘన బహుపదికి కొన్ని ఉదాహరణలు $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$. వాస్తవానికి, ఒక ఘన బహుపది యొక్క అత్యంత సాధారణ రూపం

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

ఇక్కడ, $a, b, c, d$ వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు $a \neq 0$.

ఇప్పుడు బహుపది $p(x)=x^{2}-3 x-4$ ను పరిగణించండి. అప్పుడు, బహుపదిలో $x=2$ ను ప్రతిక్షేపించగా, మనకు $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ లభిస్తుంది. $x^{2}-3 x-4$ లో $x$ ను 2 తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన విలువ ’ -6 ‘, $x=2$ వద్ద $x^{2}-3 x-4$ యొక్క విలువ. అదేవిధంగా, $p(0)$ అనేది $x=0$ వద్ద $p(x)$ యొక్క విలువ, ఇది -4.

ఒకవేళ $p(x)$ అనేది $x$ లో ఒక బహుపది అయితే, మరియు $k$ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అయితే, $p(x)$ లో $x$ ను $k$ తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన విలువను, $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ వద్ద $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ యొక్క విలువ అంటారు, మరియు దీనిని $p(k)$ చే సూచిస్తారు.

$x=-1$ వద్ద $p(x)=x^{2}-3 x-4$ యొక్క విలువ ఎంత? మనకు ఉన్నది:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

అలాగే, $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$ అని గమనించండి.

$p(-1)=0$ మరియు $p(4)=0,-1$ కాబట్టి, 4 మరియు -1 లను వర్గ బహుపది $x^{2}-3 x-4$ యొక్క శూన్యాలు (సున్నాలు) అంటారు. మరింత సాధారణంగా, ఒక వాస్తవ సంఖ్య $k$ ను బహుపది $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ యొక్క శూన్యం (సున్నా) అంటారు, ఒకవేళ $p(k)=0$ అయితే.

రేఖీయ బహుపది యొక్క శూన్యాలను ఎలా కనుగొనాలో మీరు ఇప్పటికే తరగతి IX లో అధ్యయనం చేసారు. ఉదాహరణకు, ఒకవేళ $k$ అనేది $p(x)=2 x+3$ యొక్క ఒక శూన్యం అయితే, అప్పుడు $p(k)=0$ మనకు $2 k+3=0$ ని ఇస్తుంది, అనగా, $k=-\dfrac{3}{2}$.

సాధారణంగా, ఒకవేళ $k$ అనేది $p(x)=a x+b$ యొక్క ఒక శూన్యం అయితే, అప్పుడు $p(k)=a k+b=0$, అనగా, $k=\dfrac{-b}{a}$. కాబట్టి, రేఖీయ బహుపది $a x+b$ యొక్క శూన్యం $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$.

ఈ విధంగా, ఒక రేఖీయ బహుపది యొక్క శూన్యం దాని గుణకాలకు సంబంధించినది. ఇది ఇతర బహుపదుల విషయంలో కూడా జరుగుతుందా? ఉదాహరణకు, వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు కూడా దాని గుణకాలకు సంబంధించినవేనా?

ఈ అధ్యాయంలో, మేము ఈ ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిస్తాము. మేము బహుపదుల కోసం భాగహార నియమాన్ని (డివిజన్ ఆల్గోరిథం) కూడా అధ్యయనం చేస్తాము.

2.2 బహుపది యొక్క శూన్యాల యొక్క జ్యామితీయ అర్థం

బహుపది $p(x)$ కి ఒక వాస్తవ సంఖ్య $k$ ఒక శూన్యం అని మీకు తెలుసు, ఒకవేళ $p(k)=0$ అయితే. కానీ బహుపది యొక్క శూన్యాలు ఎందుకు ఇంత ముఖ్యమైనవి? దీనికి సమాధానం ఇవ్వడానికి, మొదట మేము రేఖీయ మరియు వర్గ బహుపదుల జ్యామితీయ నిరూపణలను మరియు వాటి శూన్యాల జ్యామితీయ అర్థాన్ని చూస్తాము.

మొదట ఒక రేఖీయ బహుపది $a x+b, a \neq 0$ ను పరిగణించండి. $y=a x+b$ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక సరళ రేఖ అని మీరు తరగతి IX లో అధ్యయనం చేసారు. ఉదాహరణకు, $y=2 x+3$ యొక్క గ్రాఫ్ $(-2,-1)$ మరియు $(2,7)$ బిందువుల గుండా వెళ్ళే ఒక సరళ రేఖ.

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

చిత్రం 2.1 నుండి, $y=2 x+3$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని $x=-1$ మరియు $x=-2$ మధ్య మధ్యలో ఖండిస్తుందని మీరు చూడవచ్చు, అనగా, $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ బిందువు వద్ద. $2 x+3$ యొక్క శూన్యం $-\dfrac{3}{2}$ అని కూడా మీకు తెలుసు. ఈ విధంగా, బహుపది $2 x+3$ యొక్క శూన్యం అనేది $y=2 x+3$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు యొక్క $x$-నిరూపకం.

చిత్రం 2.1

సాధారణంగా, ఒక రేఖీయ బహుపది $a x+b, a \neq 0$ కోసం, $y=a x+b$ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక సరళ రేఖ, ఇది $x$-అక్షాన్ని సరిగ్గా ఒక బిందువు వద్ద, అనగా, $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ వద్ద ఖండిస్తుంది. కాబట్టి, రేఖీయ బహుపది $a x+b, a \neq 0$, సరిగ్గా ఒక శూన్యాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అది $y=a x+b$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు యొక్క $x$-నిరూపకం.

ఇప్పుడు, ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యం యొక్క జ్యామితీయ అర్థాన్ని చూద్దాం. వర్గ బహుపది $x^{2}-3 x-4$ ను పరిగణించండి. $y=x^{2}-3 x-4$ యొక్క గ్రాఫ్[^0] ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం. పట్టిక 2.1 లో ఇవ్వబడినట్లుగా $x$ కు సంబంధించి కొన్ని విలువలకు సంబంధించి $y=x^{2}-3 x-4$ యొక్క కొన్ని విలువలను జాబితా చేద్దాం.

పట్టిక 2.1

పైన జాబితా చేయబడిన బిందువులను మనం గ్రాఫ్ పేపర్ పై గుర్తించి గ్రాఫ్ ను గీస్తే, అది వాస్తవానికి చిత్రం 2.2 లో ఇవ్వబడినదాని వలె కనిపిస్తుంది.

వాస్తవానికి, ఏదైనా వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ కోసం, సంబంధిత సమీకరణం $y=a x^{2}+b x+c$ యొక్క గ్రాఫ్ రెండు ఆకారాలలో ఒకటి కలిగి ఉంటుంది, ఇది $\bigcup$ వలె పైకి తెరచి ఉండేది లేదా $\bigcap$ వలె కిందికి తెరచి ఉండేది, ఇది $a>0$ లేదా $a<0$ పై ఆధారపడి ఉంటుంది. (ఈ వక్రాలను పరాబొలాలు అంటారు.)

-1 మరియు 4 లు వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు అని మీరు పట్టిక 2.1 నుండి చూడవచ్చు. అలాగే చిత్రం 2.2 నుండి, -1 మరియు 4 లు $y=x^{2}-3 x-4$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల యొక్క $x$-నిరూపకాలు అని గమనించండి. ఈ విధంగా, వర్గ బహుపది $x^{2}-3 x-4$ యొక్క శూన్యాలు $y=x^{2}-3 x-4$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల యొక్క $x$-నిరూపకాలు.

చిత్రం 2.2

ఈ వాస్తవం ఏదైనా వర్గ బహుపదికి సత్యం, అనగా, ఒక వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ యొక్క శూన్యాలు, ఖచ్చితంగా $y=a x^{2}+b x+c$ ను ప్రతిబింబించే పరాబొలా $x$-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల యొక్క $x$-నిరూపకాలు.

$y=a x^{2}+b x+c$ యొక్క గ్రాఫ్ ఆకారం గురించి మనం ఇంతకు ముందు చేసిన పరిశీలన నుండి, క్రింది మూడు సందర్భాలు జరగవచ్చు:

సందర్భం (i) : ఇక్కడ, గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని రెండు విభిన్న బిందువులు A మరియు $A^{\prime}$ వద్ద ఖండిస్తుంది.

$A$ మరియు $A^{\prime}$ ల యొక్క $x$-నిరూపకాలు ఈ సందర్భంలో వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c$ యొక్క రెండు శూన్యాలు (చిత్రం 2.3 చూడండి).

చిత్రం 2.3

సందర్భం (ii) : ఇక్కడ, గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని సరిగ్గా ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది, అనగా, రెండు ఏకీభవించే బిందువుల వద్ద. కాబట్టి, సందర్భం (i) యొక్క రెండు బిందువులు A మరియు $A^{\prime}$ ఇక్కడ ఏకీభవించి ఒక బిందువు A గా మారతాయి (చిత్రం 2.4 చూడండి).

చిత్రం 2.4

ఈ సందర్భంలో వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c$ కు A యొక్క $x$-నిరూపకం మాత్రమే ఏకైక శూన్యం.

సందర్భం (iii) : ఇక్కడ, గ్రాఫ్ పూర్తిగా $x$-అక్షం పైన లేదా పూర్తిగా $x$-అక్షం క్రింద ఉంటుంది. కాబట్టి, అది $x$-అక్షాన్ని ఏ బిందువు వద్దనూ ఖండించదు (చిత్రం 2.5 చూడండి).

చిత్రం 2.5

కాబట్టి, వర్గ బహుపది $a x^{2}+b x+c$ ఈ సందర్భంలో ఏ శూన్యాన్ని కలిగి ఉండదు.

కాబట్టి, మీరు జ్యామితీయంగా చూడగలరు, ఒక వర్గ బహుపది రెండు విభిన్న శూన్యాలను లేదా రెండు సమాన శూన్యాలను (అనగా, ఒక శూన్యం), లేదా శూన్యం లేకుండా కలిగి ఉండవచ్చు. ఇది పరిమాణం 2 గల బహుపది గరిష్టంగా రెండు శూన్యాలను కలిగి ఉంటుందని కూడా అర్థం.

ఇప్పుడు, ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల జ్యామితీయ అర్థం ఏమిటో మీరు ఊహిస్తున్నారు? దాన్ని కనుగొందాం. ఘన బహుపది $x^{3}-4 x$ ను పరిగణించండి. $y=x^{3}-4 x$ యొక్క గ్రాఫ్ ఎలా ఉంటుందో చూడటానికి, పట్టిక 2.2 లో చూపినట్లుగా $x$ కు సంబంధించి కొన్ని విలువలకు సంబంధించి $y$ యొక్క కొన్ని విలువలను జాబితా చేద్దాం.

పట్టిక 2.2

పట్టిక యొక్క బిందువులను గ్రాఫ్ పేపర్ పై గుర్తించి గ్రాఫ్ ను గీస్తే, $y=x^{3}-4 x$ యొక్క గ్రాఫ్ వాస్తవానికి చిత్రం 2.6 లో ఇవ్వబడినదాని వలె కనిపిస్తుంది.

పై పట్టిక నుండి $-2,0$ మరియు 2 లు ఘన బహుపది $x^{3}-4 x$ యొక్క శూన్యాలు అని మనం చూస్తాము. $-2,0$ మరియు 2 లు, వాస్తవానికి, $y=x^{3}-4 x$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే ఏకైక బిందువుల యొక్క $x$-నిరూపకాలు అని గమనించండి. వక్రం $x$-అక్షాన్ని ఈ 3 బిందువుల వద్ద మాత్రమే కలుస్తుంది కాబట్టి, వాటి $x$-నిరూపకాలు బహుపది యొక్క ఏకైక శూన్యాలు.

మరికొన్ని ఉదాహరణలు తీసుకుందాం. ఘన బహుపదులు $x^{3}$ మరియు $x^{3}-x^{2}$ లను పరిగణించండి. మేము $y=x^{3}$ మరియు $y=x^{3}-x^{2}$ ల గ్రాఫ్ లను వరుసగా చిత్రం 2.7 మరియు చిత్రం 2.8 లో గీస్తాము.

చిత్రం 2.6

చిత్రం 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

చిత్రం 2.8

0 అనేది బహుపది $x^{3}$ యొక్క ఏకైక శూన్యం అని గమనించండి. అలాగే, చిత్రం 2.7 నుండి, 0 అనేది $y=x^{3}$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే ఏకైక బిందువు యొక్క $x$-నిరూపకం అని మీరు చూడవచ్చు. అదేవిధంగా, $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ మరియు 1 లు బహుపది $x^{3}-x^{2}$ యొక్క ఏకైక శూన్యాలు కాబట్టి. అలాగే, చిత్రం 2.8 నుండి, ఈ విలువలు $y=x^{3}-x^{2}$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఖండించే ఏకైక బిందువుల యొక్క $x$-నిరూపకాలు.

పై ఉదాహరణల నుండి, ఏదైనా ఘన బహుపదికి గరిష్టంగా 3 శూన్యాలు ఉంటాయని మనం చూస్తాము. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పరిమాణం 3 గల ఏదైనా బహుపది గరిష్టంగా మూడు శూన్యాలను కలిగి ఉంటుంది.

గమనిక : సాధారణంగా, పరిమాణం $n$ గల బహుపది $p(x)$ ఇవ్వబడితే, $y=p(x)$ యొక్క గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని గరిష్టంగా $n$ బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది. కాబట్టి, పరిమాణం $n$ గల బహుపది $p(x)$ గరిష్టంగా $n$ శూన్యాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1 : క్రింద చిత్రం 2.9 లో ఇవ్వబడిన గ్రాఫ్ లను చూడండి. ప్రతి ఒక్కటి $y=p(x)$ యొక్క గ్రాఫ్, ఇక్కడ $p(x)$ ఒక బహుపది. గ్రాఫ్ లలో ప్రతి ఒక్కటి కోసం, $p(x)$ యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి.

చిత్రం 2.9

సాధన :

(i) శూన్యాల సంఖ్య 1, ఎందుకంటే గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద మాత్రమే ఖండిస్తుంది.

(ii) శూన్యాల సంఖ్య 2, ఎందుకంటే గ్రాఫ్ $x$-అక్షాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.

(iii) శూన్యాల సంఖ్య 3. (ఎందుకు?)

(iv) శూన్యాల సంఖ్య 1. (ఎందుకు?)

(v) శూన్యాల సంఖ్య 1. (ఎందుకు?)

(vi) శూన్యాల సంఖ్య 4. (ఎందుకు?)

2.3 బహుపది యొక్క శూన్యాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధం

రేఖీయ బహుపది $a x+b$ యొక్క శూన్యం $-\dfrac{b}{a}$ అని మీరు ఇప్పటికే చూసారు. ఇప్పుడు మేము ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధం గురించి విభాగం 2.1 లో ఎత్తిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిస్తాము. దీని కోసం, ఒక వర్గ బహుపదిని తీసుకుందాం, అది $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ అనుకోండి. తరగతి IX లో, మధ్య పదాన్ని విడగొట్టడం ద్వారా వర్గ బహుపదులను కారణాంకాలుగా విభజించడం మీరు నేర్చుకున్నారు. కాబట్టి, ఇక్కడ మనం మధ్య పదం ’ $-8 x^{\text{’ }}$ ను రెండు పదాల మొత్తంగా విడగొట్టాలి, వాటి లబ్ధం $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$. కాబట్టి, మనం వ్రాస్తాము

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

కాబట్టి, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ యొక్క విలువ సున్నా అవుతుంది ఎప్పుడైతే $x-1=0$ లేదా $x-3=0$, అనగా, ఎప్పుడైతే $x=1$ లేదా $x=3$. కాబట్టి, $2 x^{2}-8 x+6$ యొక్క శూన్యాలు 1 మరియు 3. గమనించండి:

$ \begin{aligned} & \text{ దాని శూన్యాల మొత్తం }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ యొక్క గుణకం })}{\text{ } x^{2} \text{ యొక్క గుణకం }} \\ & \text{ దాని శూన్యాల లబ్ధం }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ స్థిర పదం }}{\text{ } x^{2} \text{ యొక్క గుణకం }} \end{aligned} $

మరో వర్గ బహుపదిని తీసుకుందాం, అది $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$ అనుకోండి. మధ్య పదాన్ని విడగొట్టే పద్ధతి ద్వారా,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

అందువల్ల, $3 x^{2}+5 x-2$ యొక్క విలువ సున్నా అవుతుంది ఎప్పుడైతే $3 x-1=0$ లేదా $x+2=0$, అనగా, ఎప్పుడైతే $x=\dfrac{1}{3}$ లేదా $x=-2$. కాబట్టి, $3 x^{2}+5 x-2$ యొక్క శూన్యాలు $\dfrac{1}{3}$ మరియు -2. గమనించండి:

$ \begin{aligned} & \text{ దాని శూన్యాల మొత్తం }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ యొక్క గుణకం })}{\text{ } x^{2} \text{ యొక్క గుణకం }} \\ & \text{ దాని శూన్యాల లబ్ధం }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ స్థిర పదం }}{\text{ } x^{2} \text{ యొక్క గుణకం }} \end{aligned} $

సాధారణంగా, ఒకవేళ $\alpha$[^1] మరియు $\beta$[^1] లు వర్గ బహుపది $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$ యొక్క శూన్యాలు అయితే, అప్పుడు $x-\alpha$ మరియు $x-\beta$ లు $p(x)$ యొక్క కారణాంకాలు అని మీకు తెలుసు. కాబట్టి,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ ఇక్కడ } k \text{ ఒక స్థిరాంకం } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned}