২.১ পৰিচয়

নৱম শ্ৰেণীত, আপুনি এটা চলকৰ বহুপদ ৰাশি আৰু সেইবোৰৰ মাত্ৰা সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰিছিল। মনত পেলাওক যে যদি $p(x)$ হৈছে $x$ ৰ এটা বহুপদ ৰাশি, তেন্তে $p(x)$ ৰ $x$ ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাতটোক বহুপদ ৰাশি $p(x)$ ৰ মাত্ৰা বোলে। উদাহৰণস্বৰূপে, $4 x+2$ হৈছে চলক $x$ ৰ এটা বহুপদ ৰাশি যাৰ মাত্ৰা $1,2 y^{2}-3 y+4$, $y$ চলকৰ এটা বহুপদ ৰাশি যাৰ মাত্ৰা $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$।

$x$ চলকৰ এটা বহুপদ ৰাশি যাৰ মাত্ৰা 3 আৰু $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ হৈছে চলক $u$ ৰ এটা বহুপদ ৰাশি যাৰ মাত্ৰা 6। $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ আদি ৰাশিবোৰ বহুপদ ৰাশি নহয়।

মাত্ৰা 1 ৰ বহুপদ ৰাশিক এটা ৰৈখিক বহুপদ বোলে। উদাহৰণস্বৰূপে, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$ আদি সকলোবোৰ ৰৈখিক বহুপদ। $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ আদি বহুপদবোৰ ৰৈখিক বহুপদ নহয়।

মাত্ৰা 2 ৰ বহুপদ ৰাশিক এটা দ্বিঘাত বহুপদ বোলে। ‘quadratic’ নামটো ‘quadrate’ শব্দৰ পৰা আহৰণ কৰা হৈছে, যাৰ অৰ্থ ‘বৰ্গ’। $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ হৈছে কিছুমান দ্বিঘাত বহুপদৰ উদাহৰণ (যাৰ সহগবোৰ বাস্তৱ সংখ্যা)। সাধাৰণতে, $x$ ৰ যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ আকৃতি $a x^{2}+b x+c$, য’ত $a, b, c$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a \neq 0$। মাত্ৰা 3 ৰ বহুপদ ৰাশিক এটা ত্ৰিঘাত বহুপদ বোলে। কিছুমান ত্ৰিঘাত বহুপদৰ উদাহৰণ হ’ল $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$। প্ৰকৃততে, এটা ত্ৰিঘাত বহুপদৰ সাধাৰণ আকৃতি হ’ল

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

য’ত, $a, b, c, d$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a \neq 0$।

এতিয়া $p(x)=x^{2}-3 x-4$ বহুপদটো বিবেচনা কৰা হ’ল। তেতিয়া, বহুপদটোত $x=2$ বহুৱাই আমি $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ পাম। ’ -6 ’ এই মানটো, $x^{2}-3 x-4$ ত $x$ ক 2 ৰে সলনি কৰি পোৱা, হৈছে $x^{2}-3 x-4$ ৰ $x=2$ ত মান। একেদৰে, $p(0)$ হৈছে $p(x)$ ৰ $x=0$ ত মান, যিটো -4।

যদি $p(x)$ হৈছে $x$ ৰ এটা বহুপদ ৰাশি, আৰু যদি $k$ যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা, তেন্তে $p(x)$ ত $x$ ক $k$ ৰে সলনি কৰি পোৱা মানটোক $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ৰ $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ ত মান বোলে, আৰু ইয়াক $p(k)$ ৰে সূচোৱা হয়।

$p(x)=x^{2}-3 x-4$ ৰ $x=-1$ ত মান কিমান? আমি পাইছো :

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

লক্ষ্য কৰক যে $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$।

যিহেতু $p(-1)=0$ আৰু $p(4)=0,-1$, গতিকে 4 আৰু -1 ক দ্বিঘাত বহুপদ $x^{2}-3 x-4$ ৰ শূন্য বোলে। সাধাৰণতে, এটা বাস্তৱ সংখ্যা $k$ ক বহুপদ $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ৰ এটা শূন্য বুলি কোৱা হয়, যদি $p(k)=0$।

আপুনি ইতিমধ্যে নৱম শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰিছে যে কেনেকৈ এটা ৰৈখিক বহুপদৰ শূন্য উলিয়াব লাগে। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি $k$ হৈছে $p(x)=2 x+3$ ৰ এটা শূন্য, তেন্তে $p(k)=0$ ৰ পৰা আমি $2 k+3=0$ পাম, অৰ্থাৎ $k=-\dfrac{3}{2}$।

সাধাৰণতে, যদি $k$ হৈছে $p(x)=a x+b$ ৰ এটা শূন্য, তেন্তে $p(k)=a k+b=0$, অৰ্থাৎ $k=\dfrac{-b}{a}$। গতিকে, ৰৈখিক বহুপদ $a x+b$ ৰ শূন্য হ’ল $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$।

এইদৰে, এটা ৰৈখিক বহুপদৰ শূন্য ইয়াৰ সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। আন বহুপদৰ ক্ষেত্ৰতো এইটোৱে হয়নে? উদাহৰণস্বৰূপে, এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্যবোৰো ইয়াৰ সহগবোৰৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নেকি?

এই অধ্যায়ত, আমি এই প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ দিবলৈ চেষ্টা কৰিম। আমি বহুপদৰ বাবে ভাগফল নিৰ্ণয়ৰ এলগৰিদমটোও অধ্যয়ন কৰিম।

২.২ বহুপদৰ শূন্যৰ জ্যামিতিক অৰ্থ

আপুনি জানে যে এটা বাস্তৱ সংখ্যা $k$ হৈছে বহুপদ $p(x)$ ৰ এটা শূন্য যদি $p(k)=0$। কিন্তু বহুপদৰ শূন্যবোৰ ইমান গুৰুত্বপূৰ্ণ কিয়? ইয়াৰ উত্তৰ দিবলৈ, প্ৰথমে আমি ৰৈখিক আৰু দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ জ্যামিতিক উপস্থাপন আৰু সেইবোৰৰ শূন্যৰ জ্যামিতিক অৰ্থ চাম।

প্ৰথমে এটা ৰৈখিক বহুপদ $a x+b, a \neq 0$ বিবেচনা কৰা হ’ল। আপুনি নৱম শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰিছিল যে $y=a x+b$ ৰ লেখডাল এটা সৰল ৰেখা। উদাহৰণস্বৰূপে, $y=2 x+3$ ৰ লেখডাল হৈছে $(-2,-1)$ আৰু $(2,7)$ বিন্দুবোৰৰ মাজেৰে পাৰ হোৱা এটা সৰল ৰেখা।

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

চিত্ৰ 2.1 ৰ পৰা, আপুনি দেখিব পাৰে যে $y=2 x+3$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক $x=-1$ আৰু $x=-2$ ৰ মাজৰ মাজবিন্দুত, অৰ্থাৎ $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ বিন্দুত ছেদ কৰে। আপুনি ইয়াও জানে যে $2 x+3$ ৰ শূন্য হৈছে $-\dfrac{3}{2}$। এইদৰে, বহুপদ $2 x+3$ ৰ শূন্য হৈছে সেই বিন্দুটোৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=2 x+3$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে।

চিত্ৰ 2.1

সাধাৰণতে, এটা ৰৈখিক বহুপদ $a x+b, a \neq 0$ ৰ বাবে, $y=a x+b$ ৰ লেখডাল হৈছে এটা সৰল ৰেখা যিয়ে $x$-অক্ষক ঠিক এটা বিন্দুত, অৰ্থাৎ $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ ত ছেদ কৰে। গতিকে, ৰৈখিক বহুপদ $a x+b, a \neq 0$ ৰ ঠিক এটা শূন্য আছে, অৰ্থাৎ সেই বিন্দুটোৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=a x+b$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে।

এতিয়া, এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্যৰ জ্যামিতিক অৰ্থ বিচাৰি চাওঁ। দ্বিঘাত বহুপদ $x^{2}-3 x-4$ বিবেচনা কৰা হ’ল। $y=x^{2}-3 x-4$ ৰ লেখডাল[^0] কেনেকুৱা চাওঁ আহক। তালিকা 2.1 ত দিয়া অনুসৰি $x$ ৰ বাবে কেইটামান মানৰ সৈতে সংগতি ৰাখি $y=x^{2}-3 x-4$ ৰ কেইটামান মানৰ তালিকা এখন কৰা হ’ল।

তালিকা 2.1

যদি আমি ওপৰত তালিকাভুক্ত বিন্দুবোৰ এখন গ্ৰাফ কাগজত স্থানাংকিত কৰোঁ আৰু লেখডাল অংকন কৰোঁ, তেন্তে ই প্ৰকৃততে চিত্ৰ 2.2 ত দিয়া ধৰণৰ হ’ব।

প্ৰকৃততে, যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ৰ বাবে, সংগত সমীকৰণ $y=a x^{2}+b x+c$ ৰ লেখডালৰ দুটা আকৃতিৰ ভিতৰত এটা হয় – হয় $\bigcup$ ৰ দৰে ওপৰলৈ খোলা নাইবা $\bigcap$ ৰ দৰে তললৈ খোলা, ই $a>0$ নে $a<0$ তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। (এই বক্ৰবোৰক পেৰাব’লা বোলে।)

আপুনি তালিকা 2.1 ৰ পৰা দেখিব পাৰে যে -1 আৰু 4 হৈছে দ্বিঘাত বহুপদটোৰ শূন্য। চিত্ৰ 2.2 ৰ পৰাও লক্ষ্য কৰক যে -1 আৰু 4 হৈছে সেই বিন্দুবোৰৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=x^{2}-3 x-4$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে। এইদৰে, দ্বিঘাত বহুপদ $x^{2}-3 x-4$ ৰ শূন্যবোৰ হৈছে সেই বিন্দুবোৰৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=x^{2}-3 x-4$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে।

চিত্ৰ 2.2

এই সত্য যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ বাবে সত্য, অৰ্থাৎ এটা দ্বিঘাত বহুপদ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ৰ শূন্যবোৰ হৈছে ঠিক সেই বিন্দুবোৰৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=a x^{2}+b x+c$ ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা পেৰাব’লাডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে।

$y=a x^{2}+b x+c$ ৰ লেখডালৰ আকৃতি সম্পৰ্কে আগৰ আমাৰ লক্ষণৰ পৰা, তলৰ তিনিটা ক্ষেত্ৰ সম্ভৱ :

ক্ষেত্ৰ (i) : ইয়াত, লেখডালে $x$-অক্ষক A আৰু $A^{\prime}$ দুটা পৃথক বিন্দুত কাটে।

$A$ আৰু $A^{\prime}$ ৰ $x$-নিৰ্দেশাংকবোৰ হৈছে এই ক্ষেত্ৰত দ্বিঘাত বহুপদ $a x^{2}+b x+c$ ৰ দুটা শূন্য (চিত্ৰ 2.3 চাওক)।

চিত্ৰ 2.3

ক্ষেত্ৰ (ii) : ইয়াত, লেখডালে $x$-অক্ষক ঠিক এটা বিন্দুত, অৰ্থাৎ দুটা একে বিন্দুত কাটে। গতিকে, ক্ষেত্ৰ (i) ৰ A আৰু $A^{\prime}$ দুটা বিন্দু ইয়াত একেলগ হৈ এটা বিন্দু A হয় (চিত্ৰ 2.4 চাওক)।

চিত্ৰ 2.4

A ৰ $x$-নিৰ্দেশাংকটোৱেই হৈছে এই ক্ষেত্ৰত দ্বিঘাত বহুপদ $a x^{2}+b x+c$ ৰ একমাত্ৰ শূন্য।

ক্ষেত্ৰ (iii) : ইয়াত, লেখডালটো হয় সম্পূৰ্ণৰূপে $x$-অক্ষৰ ওপৰত নাইবা সম্পূৰ্ণৰূপে $x$-অক্ষৰ তলত থাকে। গতিকে, ইয়ে $x$-অক্ষক কোনো বিন্দুত কাটা নাই (চিত্ৰ 2.5 চাওক)।

চিত্ৰ 2.5

গতিকে, দ্বিঘাত বহুপদ $a x^{2}+b x+c$ ৰ এই ক্ষেত্ৰত কোনো শূন্য নাই।

এইদৰে, আপুনি জ্যামিতিকভাৱে দেখিব পাৰে যে এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ হয় দুটা পৃথক শূন্য নাইবা দুটা সমান শূন্য (অৰ্থাৎ এটা শূন্য), নাইবা কোনো শূন্য নাথাকিব পাৰে। ইয়াৰ অৰ্থ এয়াও যে মাত্ৰা 2 ৰ বহুপদ এটাৰ বেছিৰে পৰা দুটা শূন্য থাকিব পাৰে।

এতিয়া, এটা ত্ৰিঘাত বহুপদৰ শূন্যৰ জ্যামিতিক অৰ্থ কি হ’ব বুলি আপুনি আশা কৰে? আহক চাওঁ। ত্ৰিঘাত বহুপদ $x^{3}-4 x$ বিবেচনা কৰা হ’ল। $y=x^{3}-4 x$ ৰ লেখডাল কেনেকুৱা চাবলৈ, তালিকা 2.2 ত দেখুওৱাৰ দৰে $x$ ৰ বাবে কেইটামান মানৰ সৈতে সংগতি ৰাখি $y$ ৰ কেইটামান মানৰ তালিকা এখন কৰা হ’ল।

তালিকা 2.2

তালিকাৰ বিন্দুবোৰ এখন গ্ৰাফ কাগজত স্থানাংকিত কৰি লেখডাল অংকন কৰি, আমি দেখো যে $y=x^{3}-4 x$ ৰ লেখডাল প্ৰকৃততে চিত্ৰ 2.6 ত দিয়া ধৰণৰ।

ওপৰৰ তালিকাৰ পৰা আমি দেখো যে $-2,0$ আৰু 2 হৈছে ত্ৰিঘাত বহুপদ $x^{3}-4 x$ ৰ শূন্য। লক্ষ্য কৰক যে $-2,0$ আৰু 2 হৈছে প্ৰকৃততে সেই একমাত্ৰ বিন্দুবোৰৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=x^{3}-4 x$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে। যিহেতু বক্ৰডালে $x$-অক্ষক কেৱল এই 3টা বিন্দুত লগ পায়, গতিকে সেইবোৰৰ $x$-নিৰ্দেশাংকবোৰেই হৈছে বহুপদটোৰ একমাত্ৰ শূন্য।

আহক আৰু কেইটামান উদাহৰণ লওঁ। ত্ৰিঘাত বহুপদ $x^{3}$ আৰু $x^{3}-x^{2}$ বিবেচনা কৰা হ’ল। আমি $y=x^{3}$ আৰু $y=x^{3}-x^{2}$ ৰ লেখডাল ক্ৰমে চিত্ৰ 2.7 আৰু চিত্ৰ 2.8 ত অংকন কৰিছোঁ।

চিত্ৰ 2.6

চিত্ৰ 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

চিত্ৰ 2.8

লক্ষ্য কৰক যে 0 হৈছে বহুপদ $x^{3}$ ৰ একমাত্ৰ শূন্য। চিত্ৰ 2.7 ৰ পৰাও আপুনি দেখিব পাৰে যে 0 হৈছে সেই একমাত্ৰ বিন্দুটোৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=x^{3}$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে। একেদৰে, যিহেতু $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ আৰু 1 হৈছে বহুপদ $x^{3}-x^{2}$ ৰ একমাত্ৰ শূন্য। চিত্ৰ 2.8 ৰ পৰাও, এই মানবোৰ হৈছে সেই একমাত্ৰ বিন্দুবোৰৰ $x$-নিৰ্দেশাংক য’ত $y=x^{3}-x^{2}$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক ছেদ কৰে।

ওপৰৰ উদাহৰণবোৰৰ পৰা, আমি দেখো যে যিকোনো ত্ৰিঘাত বহুপদৰ বাবে বেছিৰে পৰা 3টা শূন্য থাকিব পাৰে। অন্য কথাত, মাত্ৰা 3 ৰ যিকোনো বহুপদৰ বেছিৰে পৰা তিনিটা শূন্য থাকিব পাৰে।

টোকা : সাধাৰণতে, মাত্ৰা $n$ ৰ এটা বহুপদ $p(x)$ দিয়া থাকিলে, $y=p(x)$ ৰ লেখডালে $x$-অক্ষক বেছিৰে পৰা $n$টা বিন্দুত ছেদ কৰে। গতিকে, মাত্ৰা $n$ ৰ বহুপদ $p(x)$ ৰ বেছিৰে পৰা $n$টা শূন্য থাকে।

উদাহৰণ 1 : তলৰ চিত্ৰ 2.9 ত দিয়া লেখডালবোৰ চাওক। প্ৰতিটোৱেই $y=p(x)$ ৰ লেখ, য’ত $p(x)$ এটা বহুপদ। প্ৰতিটো লেখৰ বাবে, $p(x)$ ৰ শূন্যৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰক।

চিত্ৰ 2.9

সমাধান :

(i) শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল 1 কাৰণ লেখডালে $x$-অক্ষক কেৱল এটা বিন্দুত ছেদ কৰে।

(ii) শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল 2 কাৰণ লেখডালে $x$-অক্ষক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে।

(iii) শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল 3। (কিয়?)

(iv) শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল 1। (কিয়?)

(v) শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল 1। (কিয়?)

(vi) শূন্যৰ সংখ্যা হ’ল 4। (কিয়?)

২.৩ বহুপদৰ শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক

আপুনি ইতিমধ্যে দেখিছে যে ৰৈখিক বহুপদ $a x+b$ ৰ শূন্য হ’ল $-\dfrac{b}{a}$। আমি এতিয়া ২.১ অনুচ্ছেদত উত্থাপিত প্ৰশ্নটোৰ উত্তৰ দিবলৈ চেষ্টা কৰিম, যিটো আছিল দ্বিঘাত বহুপদ এটাৰ শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সম্পৰ্কে। ইয়াৰ বাবে, আহক এটা দ্বিঘাত বহুপদ লওঁ, যেনে $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$। নৱম শ্ৰেণীত, আপুনি মধ্যম পদটো ভাঙি দ্বিঘাত বহুপদবোৰ উৎপাদকত পৰিণত কৰিবলৈ শিকিছিল। গতিকে, ইয়াত আমাক মধ্যম পদ ‘$-8 x^{\text{’ }}$’ ক দুটা পদৰ যোগফল হিচাপে ভাঙিব লাগিব, যাৰ গুণফল $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$। গতিকে, আমি লিখোঁ

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

গতিকে, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ ৰ মান শূন্য হয় যেতিয়া $x-1=0$ বা $x-3=0$, অৰ্থাৎ যেতিয়া $x=1$ বা $x=3$। গতিকে, $2 x^{2}-8 x+6$ ৰ শূন্যবোৰ হ’ল 1 আৰু 3। লক্ষ্য কৰক :

$ \begin{aligned} & \text{ ইয়াৰ শূন্যৰ যোগফল }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ৰ সহগ })}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} \\ & \text{ ইয়াৰ শূন্যৰ গুণফল }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ ধ্ৰুৱ পদ }}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} \end{aligned} $

আহক আৰু এটা দ্বিঘাত বহুপদ লওঁ, যেনে, $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$। মধ্যম পদ ভাঙি প্ৰণালীৰে,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

গতিকে, $3 x^{2}+5 x-2$ ৰ মান শূন্য হয় যেতিয়া হয় $3 x-1=0$ বা $x+2=0$, অৰ্থাৎ যেতিয়া $x=\dfrac{1}{3}$ বা $x=-2$। গতিকে, $3 x^{2}+5 x-2$ ৰ শূন্যবোৰ হ’ল $\dfrac{1}{3}$ আৰু -2। লক্ষ্য কৰক :

$ \begin{aligned} & \text{ ইয়াৰ শূন্যৰ যোগফল }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ৰ সহগ })}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} \\ & \text{ ইয়াৰ শূন্যৰ গুণফল }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ ধ্ৰুৱ পদ }}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} \end{aligned} $

সাধাৰণতে, যদি $\alpha$[^1] আৰু $\beta$[^1] হৈছে দ্বিঘাত বহুপদ $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$ ৰ শূন্য, তেন্তে আপুনি জানে যে $x-\alpha$ আৰু $x-\beta$ হৈছে $p(x)$ ৰ উৎপাদক। গতিকে,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ য’ত } k \text{ এটা ধ্ৰুৱক } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

\missing

$x^{2}, x$ আৰু ধ্ৰুৱ পদবোৰৰ সহগ দুয়োপক্ষত তুলনা কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ আৰু } c=k \alpha \beta . \\ \text {ইয়ে দিয়ে}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ অৰ্থাৎ, } \\ & \text{ শূন্যৰ যোগফল }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ৰ সহগ })}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }}, \\ & \text{ শূন্যৰ গুণফল }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ ধ্ৰুৱ পদ }}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} . \end{aligned} $

আহক কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ 2 : দ্বিঘাত বহুপদ $x^{2}+7 x+10$ ৰ শূন্যবোৰ নিৰ্ণয় কৰক, আৰু শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰক।

সমাধান : আমি পাইছো

$ x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5) $

গতিকে, $x^{2}+7 x+10$ ৰ মান শূন্য হয় যেতিয়া $x+2=0$ বা $x+5=0$, অৰ্থাৎ যেতিয়া $x=-2$ বা $x=-5$। গতিকে, $x^{2}+7 x+10$ ৰ শূন্যবোৰ হ’ল -2 আৰু -5। এতিয়া,

$ \begin{aligned} \text{ শূন্যৰ যোগফল } & =-2+(-5)=-(7)=\dfrac{-(7)}{1}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ৰ সহগ })}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }}, \\ \text{ শূন্যৰ গুণফল } & =(-2) \times(-5)=10=\dfrac{10}{1}=\dfrac{\text{ ধ্ৰুৱ পদ }}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} . \end{aligned} $

উদাহৰণ 3 : বহুপদ $x^{2}-3$ ৰ শূন্যবোৰ নিৰ্ণয় কৰক আৰু শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰক।

সমাধান : $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ সূত্ৰটো মনত পেলাওক। ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি আমি লিখিব পাৰোঁ :

$ x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $

গতিকে, $x^{2}-3$ ৰ মান শূন্য হয় যেতিয়া $x=\sqrt{3}$ বা $x=-\sqrt{3}$।

গতিকে, $x^{2}-3$ ৰ শূন্যবোৰ হ’ল $\sqrt{3}$ আৰু $-\sqrt{3}$।

এতিয়া,

$ \begin{aligned} \text{ শূন্যৰ যোগফল } & =\sqrt{3}-\sqrt{3}=0=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ৰ সহগ })}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }}, \\ \text{ শূন্যৰ গুণফল } & =(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{\text{ ধ্ৰুৱ পদ }}{\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ }} \text{. } \end{aligned} $

উদাহৰণ 4 : এটা দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰক, যাৰ শূন্যৰ যোগফল আৰু গুণফল ক্ৰমে -3 আৰু 2।

সমাধান : দ্বিঘাত বহুপদটো $a x^{2}+b x+c$ হ’ব দিয়া, আৰু ইয়াৰ শূন্যবোৰ $\alpha$ আৰু $\beta$ হ’ব দিয়া। আমি পাইছো

$ \alpha+\beta=-3=\dfrac{-b}{a} \text{, } $

$ \text{আৰু}\qquad \alpha \beta=2=\dfrac{c}{a} . $

যদি $a=1$, তেন্তে $b=3$ আৰু $c=2$।

গতিকে, দিয়া চৰ্তবোৰ পূৰণ কৰা এটা দ্বিঘাত বহুপদ হ’ল $x^{2}+3 x+2$।

আপুনি পৰীক্ষা কৰিব পাৰে যে এই চৰ্তবোৰ পূৰণ কৰা অন্য যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদ $k(x^{2}+3 x+2)$ ৰ আকৃতিৰ হ’ব, য’ত $k$ বাস্তৱ।

এতিয়া আহক ত্ৰিঘাত বহুপদলৈ চাওঁ। আপুনি ভাবে নেকি যে ত্ৰিঘাত বহুপদ এটাৰ শূন্য আৰু ইয়াৰ সহগৰ মাজতো একে ধৰণৰ সম্পৰ্ক থাকে?

$p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ বিবেচনা কৰা হ’ল।

আপুনি পৰীক্ষা কৰিব পাৰে যে $x=4,-2, \dfrac{1}{2}$ ৰ বাবে $p(x)=0$। যিহেতু $p(x)$ ৰ বেছিৰে পৰা তিনিটা শূন্য থাকিব পাৰে, সেয়েহে এইবোৰেই হৈছে $2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ ৰ শূন্য। এতিয়া,

$ \begin{matrix} \text{ শূন্যৰ যোগফল }=4+(-2)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{-(-5)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x^{2} \text{ ৰ সহগ })}{\text{ } x^{3} \text{ ৰ সহগ }}, \\ \text{ শূন্যৰ গুণফল }=4 \times(-2) \times \dfrac{1}{2}=-4=\dfrac{-8}{2}=\dfrac{- \text{ ধ্ৰুৱ পদ }}{\text{ } x^{3} \text{ ৰ সহগ }} . \end{matrix} $

তথাপিও, ইয়াত আৰু এটা সম্পৰ্ক আছে। শূন্যবোৰৰ দুটাকৈ লৈ গুণফলৰ যোগফলটো বিবেচনা কৰক। আমি পাইছো

$ \begin{aligned} &\{4 \times(-2)\}+\left\{(-2) \times \dfrac{1}{2}\right\}+\left\{\dfrac{1}{2} \times 4\right\} \\ &=-8-1+2=-7=\dfrac{-14}{2}=\dfrac{ \text { } x \text{ ৰ সহগ } }{ \text { } x^{3} \text{ ৰ সহগ } } \end{aligned} $

সাধাৰণতে, প্ৰমাণ কৰিব পাৰি যে যদি $\alpha, \beta, \gamma$ হৈছে ত্ৰিঘাত বহুপদ $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ৰ শূন্য, তেন্তে

$ \begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma & =\dfrac{-b}{a}, \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha & =\dfrac{c}{a}, \\ \alpha \beta \gamma & =\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $

আহক এটা উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ 5 : পৰীক্ষা কৰক যে $3,-1,-\dfrac{1}{3}$ হৈছে ত্ৰিঘাত বহুপদ $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ ৰ শূন্য, আৰু তাৰ পিছত শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰক।

সমাধান : দিয়া বহুপদটোক $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ৰ সৈতে তুলনা কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} & a=3, b=-5, c=-11, d=-3 . \text{ তাৰোপৰি } \\ & p(3)=3 \times 3^{3}-(5 \times 3^{2})-(11 \times 3)-3=81-45-33-3=0, \\ & p(-1)=3 \times(-1)^{3}-5 \times(-1)^{2}-11 \times(-1)-3=-3-5+11-3=0, \\ & p(-\dfrac{1}{3})=3 \times(-\dfrac{1}{3})^{3}-5 \times(-\dfrac{1}{3})^{2}-11 \times(-\dfrac{1}{3})-3