२.१ परिचय

इयत्ता नववी मध्ये, तुम्ही एका चलातील बहुपदी आणि त्यांच्या घातांकांचा अभ्यास केला आहे. आठवा की जर $p(x)$ हे $x$ मधील बहुपदी असेल, तर $p(x)$ मधील $x$ चा सर्वोच्च घात हा बहुपदी $p(x)$ चा घातांक म्हणून ओळखला जातो. उदाहरणार्थ, $4 x+2$ हे $x$ या चलातील $1,2 y^{2}-3 y+4$ घाताचे बहुपदी आहे. $y$ हे $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$ घाताचे बहुपदी आहे.

$x$ हे ३ घाताचे बहुपदी आहे आणि $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ हे $u$ या चलातील ६ घाताचे बहुपदी आहे. $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ यासारखी राशी बहुपदी नाहीत.

१ घाताच्या बहुपदीला रेखीय बहुपदी म्हणतात. उदाहरणार्थ, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$ इत्यादी सर्व रेखीय बहुपदी आहेत. $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ यासारखी बहुपदी रेखीय बहुपदी नाहीत.

२ घाताच्या बहुपदीला द्विघाती बहुपदी म्हणतात. ‘द्विघाती’ हा शब्द ‘चौरस’ या अर्थाच्या ‘quadrate’ या शब्दापासून तयार झाला आहे. $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ ही द्विघाती बहुपदींची काही उदाहरणे आहेत (ज्यांचे सहगुणक वास्तव संख्या आहेत). अधिक सामान्यपणे, $x$ मधील कोणतीही द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c$ या स्वरूपात असते, जिथे $a, b, c$ वास्तव संख्या आहेत आणि $a \neq 0$. ३ घाताच्या बहुपदीला घन बहुपदी म्हणतात. घन बहुपदीची काही उदाहरणे $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$ आहेत. खरेतर, घन बहुपदीचे सर्वात सामान्य स्वरूप आहे

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

जिथे, $a, b, c, d$ वास्तव संख्या आहेत आणि $a \neq 0$.

आता $p(x)=x^{2}-3 x-4$ या बहुपदीचा विचार करू. मग, बहुपदी मध्ये $x=2$ ठेवल्यास, आपल्याला $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ मिळते. $x^{2}-3 x-4$ मध्ये $x$ च्या जागी २ ठेवल्याने मिळणारी ‘-६’ ही किंमत, $x=2$ वर $x^{2}-3 x-4$ ची किंमत आहे. त्याचप्रमाणे, $x=0$ वर $p(x)$ ची किंमत $p(0)$ आहे, जी -४ आहे.

जर $p(x)$ हे $x$ मधील बहुपदी असेल, आणि जर $k$ ही कोणतीही वास्तव संख्या असेल, तर $p(x)$ मध्ये $x$ च्या जागी $k$ ठेवल्याने मिळणाऱ्या किमतीला, $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ वर $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ची किंमत म्हणतात, आणि ती $p(k)$ ने दर्शविली जाते.

$x=-1$ वर $p(x)=x^{2}-3 x-4$ ची किंमत काय आहे? आपल्याकडे आहे:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

तसेच, लक्षात घ्या की $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$.

$p(-1)=0$ आणि $p(4)=0,-1$ असल्यामुळे, ४ ला द्विघाती बहुपदी $x^{2}-3 x-4$ चे शून्यस्थान म्हणतात. अधिक सामान्यपणे, एक वास्तव संख्या $k$ ला बहुपदी $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ चे शून्यस्थान म्हटले जाते, जर $p(k)=0$.

इयत्ता नववी मध्ये तुम्ही आधीच अभ्यास केला आहे की, रेखीय बहुपदीचे शून्यस्थान कसे शोधायचे. उदाहरणार्थ, जर $k$ हे $p(x)=2 x+3$ चे शून्यस्थान असेल, तर $p(k)=0$ आपल्याला $2 k+3=0$ देते, म्हणजेच, $k=-\dfrac{3}{2}$.

सामान्यतः, जर $k$ हे $p(x)=a x+b$ चे शून्यस्थान असेल, तर $p(k)=a k+b=0$, म्हणजेच, $k=\dfrac{-b}{a}$. म्हणून, रेखीय बहुपदी $a x+b$ चे शून्यस्थान $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$ आहे.

अशाप्रकारे, रेखीय बहुपदीचे शून्यस्थान त्याच्या सहगुणकांशी संबंधित आहे. इतर बहुपदींच्या बाबतीत हे घडते का? उदाहरणार्थ, द्विघाती बहुपदीचे शून्यस्थान देखील त्याच्या सहगुणकांशी संबंधित आहे का?

या प्रकरणात, आपण या प्रश्नांची उत्तरे शोधण्याचा प्रयत्न करू. आपण बहुपदींसाठी भागाकार कलन (डिव्हिजन अल्गोरिदम) देखील अभ्यासू.

२.२ बहुपदीच्या शून्यस्थानांचा भौमितिक अर्थ

तुम्हाला माहित आहे की एक वास्तव संख्या $k$ ही बहुपदी $p(x)$ चे शून्यस्थान आहे जर $p(k)=0$. पण बहुपदीची शून्यस्थाने इतकी महत्त्वाची का आहेत? याचे उत्तर देण्यासाठी, प्रथम आपण रेखीय आणि द्विघाती बहुपदींचे भौमितिक निरूपण आणि त्यांच्या शून्यस्थानांचा भौमितिक अर्थ पाहू.

प्रथम एक रेखीय बहुपदी $a x+b, a \neq 0$ विचारात घ्या. इयत्ता नववी मध्ये तुम्ही अभ्यास केला आहे की $y=a x+b$ चा आलेख एक सरळ रेषा असतो. उदाहरणार्थ, $y=2 x+3$ चा आलेख $(-2,-1)$ आणि $(2,7)$ या बिंदूंमधून जाणारी सरळ रेषा आहे.

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

आकृती २.१ वरून, तुम्ही पाहू शकता की $y=2 x+3$ चा आलेख $x$-अक्षाला $x=-1$ आणि $x=-2$ च्या मध्ये, म्हणजेच $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ या बिंदूवर छेदतो. तुम्हाला हे देखील माहित आहे की $2 x+3$ चे शून्यस्थान $-\dfrac{3}{2}$ आहे. अशाप्रकारे, बहुपदी $2 x+3$ चे शून्यस्थान हे $x$-निर्देशक आहे ज्या बिंदूवर $y=2 x+3$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो.

आकृती २.१

सामान्यतः, एका रेखीय बहुपदी $a x+b, a \neq 0$ साठी, $y=a x+b$ चा आलेख एक सरळ रेषा असतो जी $x$-अक्षाला नक्की एका बिंदूवर, म्हणजेच $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ येथे छेदते. म्हणून, रेखीय बहुपदी $a x+b, a \neq 0$ ला नक्की एक शून्यस्थान असते, म्हणजेच $x$-निर्देशक ज्या बिंदूवर $y=a x+b$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो.

आता, द्विघाती बहुपदीच्या शून्यस्थानाचा भौमितिक अर्थ शोधूया. $x^{2}-3 x-4$ या द्विघाती बहुपदीचा विचार करू. $y=x^{2}-3 x-4$ चा आलेख कसा दिसतो ते पाहू. $x$ साठी काही किमती घेऊन त्यांशी संबंधित $y=x^{2}-3 x-4$ च्या काही किमती सारणी २.१ मध्ये दिल्याप्रमाणे यादी करू.

सारणी २.१

वरील यादीतील बिंदू जर आपण ग्राफ पेपरवर दाखवून आलेख काढला, तर तो प्रत्यक्षात आकृती २.२ मध्ये दिल्याप्रमाणे दिसेल.

खरेतर, कोणत्याही द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ साठी, संबंधित समीकरण $y=a x^{2}+b x+c$ चा आलेख $\bigcup$ सारखा वर किंवा $\bigcap$ सारखा खाली उघडलेल्या दोन आकारांपैकी एक असतो, हे $a>0$ किंवा $a<0$ यावर अवलंबून असते. (या वक्रांना परवलय म्हणतात.)

तुम्ही सारणी २.१ वरून पाहू शकता की -१ आणि ४ ही द्विघाती बहुपदीची शून्यस्थाने आहेत. तसेच आकृती २.२ वरून लक्षात घ्या की -१ आणि ४ हे $x$-निर्देशक आहेत ज्या बिंदूंवर $y=x^{2}-3 x-4$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो. अशाप्रकारे, द्विघाती बहुपदी $x^{2}-3 x-4$ ची शून्यस्थाने ही $x$-निर्देशक आहेत ज्या बिंदूंवर $y=x^{2}-3 x-4$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो.

आकृती २.२

हा तथ्य कोणत्याही द्विघाती बहुपदीसाठी सत्य आहे, म्हणजेच, द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ची शून्यस्थाने, नक्कीच $x$-निर्देशक आहेत ज्या बिंदूंवर $y=a x^{2}+b x+c$ चे प्रतिनिधित्व करणारे परवलय $x$-अक्षाला छेदते.

$y=a x^{2}+b x+c$ च्या आलेखाच्या आकाराबद्दल आपल्या पूर्वीच्या निरीक्षणावरून, पुढील तीन प्रकरणे घडू शकतात:

प्रकरण (i) : येथे, आलेख $x$-अक्षाला दोन वेगळ्या बिंदू A आणि $A^{\prime}$ येथे छेदतो.

$A$ आणि $A^{\prime}$ चे $x$-निर्देशक ही या प्रकरणात द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c$ ची दोन शून्यस्थाने आहेत (आकृती २.३ पहा).

आकृती २.३

प्रकरण (ii) : येथे, आलेख $x$-अक्षाला नक्की एका बिंदूवर, म्हणजेच दोन एकत्र आलेल्या बिंदूंवर छेदतो. म्हणून, प्रकरण (i) मधील दोन बिंदू A आणि $A^{\prime}$ येथे एकत्र येऊन एक बिंदू A बनतात (आकृती २.४ पहा).

आकृती २.४

A चा $x$-निर्देशक हे या प्रकरणात द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c$ चे एकमेव शून्यस्थान आहे.

प्रकरण (iii) : येथे, आलेख एकतर $x$-अक्षाच्या पूर्णपणे वर किंवा $x$-अक्षाच्या पूर्णपणे खाली असतो. म्हणून, तो $x$-अक्षाला कोणत्याही बिंदूवर छेदत नाही (आकृती २.५ पहा).

आकृती २.५

म्हणून, द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c$ ला या प्रकरणात कोणतेही शून्यस्थान नसते.

अशाप्रकारे, तुम्ही भौमितिकदृष्ट्या पाहू शकता की द्विघाती बहुपदीला एकतर दोन वेगळी शून्यस्थाने किंवा दोन समान शून्यस्थाने (म्हणजेच एक शून्यस्थान), किंवा कोणतेही शून्यस्थान नसू शकते. याचा अर्थ असा की २ घाताच्या बहुपदीला जास्तीत जास्त दोन शून्यस्थाने असू शकतात.

आता, घन बहुपदीच्या शून्यस्थानांचा भौमितिक अर्थ काय असेल अशी तुमची अपेक्षा आहे? चला ते शोधूया. $x^{3}-4 x$ या घन बहुपदीचा विचार करू. $y=x^{3}-4 x$ चा आलेख कसा दिसतो ते पाहण्यासाठी, $x$ साठी काही किमती घेऊन त्यांशी संबंधित $y$ च्या काही किमती सारणी २.२ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे यादी करू.

सारणी २.२

सारणीतील बिंदू ग्राफ पेपरवर दाखवून आलेख काढल्यास, आपल्याला असे दिसते की $y=x^{3}-4 x$ चा आलेख प्रत्यक्षात आकृती २.६ मध्ये दिल्याप्रमाणे दिसतो.

वरील सारणीवरून आपल्याला दिसते की $-2,0$ आणि २ ही घन बहुपदी $x^{3}-4 x$ ची शून्यस्थाने आहेत. लक्षात घ्या की $-2,0$ आणि २ हे, खरेतर, $x$-निर्देशक आहेत ज्या एकमेव बिंदूंवर $y=x^{3}-4 x$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो. वक्र केवळ या ३ बिंदूंवर $x$-अक्षाला भेटत असल्याने, त्यांचे $x$-निर्देशक ही बहुपदीची एकमेव शून्यस्थाने आहेत.

आणखी काही उदाहरणे घेऊ. $x^{3}$ आणि $x^{3}-x^{2}$ या घन बहुपदींचा विचार करू. आपण $y=x^{3}$ आणि $y=x^{3}-x^{2}$ चे आलेख अनुक्रमे आकृती २.७ आणि आकृती २.८ मध्ये काढू.

आकृती २.६

आकृती २.७ https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

आकृती २.८

लक्षात घ्या की ० हे बहुपदी $x^{3}$ चे एकमेव शून्यस्थान आहे. तसेच, आकृती २.७ वरून, तुम्ही पाहू शकता की ० हा $x$-निर्देशक आहे ज्या एकमेव बिंदूवर $y=x^{3}$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो. त्याचप्रमाणे, $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ आणि १ ही बहुपदी $x^{3}-x^{2}$ ची एकमेव शून्यस्थाने आहेत. तसेच, आकृती २.८ वरून, ही मूल्ये $x$-निर्देशक आहेत ज्या एकमेव बिंदूंवर $y=x^{3}-x^{2}$ चा आलेख $x$-अक्षाला छेदतो.

वरील उदाहरणांवरून, आपल्याला असे दिसते की कोणत्याही घन बहुपदीसाठी जास्तीत जास्त ३ शून्यस्थाने असू शकतात. दुसऱ्या शब्दांत, ३ घाताच्या कोणत्याही बहुपदीला जास्तीत जास्त तीन शून्यस्थाने असू शकतात.

शेरा : सामान्यतः, $p(x)$ घाताची $n$ बहुपदी दिली असता, $y=p(x)$ चा आलेख $x$-अक्षाला जास्तीत जास्त $n$ बिंदूंवर छेदतो. म्हणून, $n$ घाताच्या $p(x)$ बहुपदीला जास्तीत जास्त $n$ शून्यस्थाने असतात.

उदाहरण १ : खाली आकृती २.९ मध्ये दिलेले आलेख पहा. प्रत्येक आलेख $y=p(x)$ चा आहे, जिथे $p(x)$ ही बहुपदी आहे. प्रत्येक आलेखासाठी, $p(x)$ च्या शून्यस्थानांची संख्या शोधा.

आकृती २.९

उकल :

(i) शून्यस्थानांची संख्या १ आहे कारण आलेख $x$-अक्षाला फक्त एकाच बिंदूवर छेदतो.

(ii) शून्यस्थानांची संख्या २ आहे कारण आलेख $x$-अक्षाला दोन बिंदूंवर छेदतो.

(iii) शून्यस्थानांची संख्या ३ आहे. (का?)

(iv) शून्यस्थानांची संख्या १ आहे. (का?)

(v) शून्यस्थानांची संख्या १ आहे. (का?)

(vi) शून्यस्थानांची संख्या ४ आहे. (का?)

२.३ बहुपदीच्या शून्यस्थाने आणि सहगुणक यांच्यातील संबंध

तुम्ही आधीच पाहिले आहे की रेखीय बहुपदी $a x+b$ चे शून्यस्थान $-\dfrac{b}{a}$ आहे. आता आपण २.१ मध्ये उपस्थित केलेल्या प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करू, की द्विघाती बहुपदीच्या शून्यस्थाने आणि सहगुणक यांच्यातील संबंध काय आहे. यासाठी, एक द्विघाती बहुपदी घेऊ, समजा $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$. इयत्ता नववी मध्ये तुम्ही मध्यम पद पाडून द्विघाती बहुपदींचे अवयव पाडणे शिकलात. म्हणून, येथे आपल्याला मध्यम पद ‘$-8 x^{\text{’ }}$’ चे दोन पदांची बेरीज अशा प्रकारे पाडायचे आहे, की त्यांचा गुणाकार $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$ होईल. म्हणून, आपण लिहू

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

म्हणून, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ ची किंमत शून्य असते जेव्हा $x-1=0$ किंवा $x-3=0$, म्हणजेच जेव्हा $x=1$ किंवा $x=3$. म्हणून, $2 x^{2}-8 x+6$ ची शून्यस्थाने १ आणि ३ आहेत. लक्षात घ्या:

$ \begin{aligned} & \text{ शून्यस्थानांची बेरीज }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ चा सहगुणक })}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} \\ & \text{ शून्यस्थानांचा गुणाकार }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ स्थिर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} \end{aligned} $

आणखी एक द्विघाती बहुपदी घेऊ, समजा, $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$. मध्यम पद पाडण्याच्या पद्धतीने,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

म्हणून, $3 x^{2}+5 x-2$ ची किंमत शून्य असते जेव्हा एकतर $3 x-1=0$ किंवा $x+2=0$, म्हणजेच जेव्हा $x=\dfrac{1}{3}$ किंवा $x=-2$. म्हणून, $3 x^{2}+5 x-2$ ची शून्यस्थाने $\dfrac{1}{3}$ आणि -२ आहेत. लक्षात घ्या:

$ \begin{aligned} & \text{ शून्यस्थानांची बेरीज }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ चा सहगुणक })}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} \\ & \text{ शून्यस्थानांचा गुणाकार }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ स्थिर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} \end{aligned} $

सामान्यतः, जर $\alpha$[^1] आणि $\beta$[^1] ही द्विघाती बहुपदी $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$ ची शून्यस्थाने असतील, तर तुम्हाला माहित आहे की $x-\alpha$ आणि $x-\beta$ हे $p(x)$ चे अवयव आहेत. म्हणून,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ जिथे } k \text{ हा स्थिरांक आहे } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

\missing

$x^{2}, x$ चे सहगुणक आणि स्थिर पद यांची दोन्ही बाजूंनी तुलना केल्यास, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ आणि } c=k \alpha \beta . \\ \text {यावरून}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ म्हणजेच, } \\ & \text{ शून्यस्थानांची बेरीज }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ चा सहगुणक })}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }}, \\ & \text{ शून्यस्थानांचा गुणाकार }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ स्थिर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} . \end{aligned} $

चला काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण २ : द्विघाती बहुपदी $x^{2}+7 x+10$ ची शून्यस्थाने शोधा, आणि शून्यस्थाने आणि सहगुणक यांच्यातील संबंध तपासा.

उकल : आपल्याकडे आहे

$ x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5) $

म्हणून, $x^{2}+7 x+10$ ची किंमत शून्य असते जेव्हा $x+2=0$ किंवा $x+5=0$, म्हणजेच जेव्हा $x=-2$ किंवा $x=-5$. म्हणून, $x^{2}+7 x+10$ ची शून्यस्थाने -२ आणि -५ आहेत. आता,

$ \begin{aligned} \text{ शून्यस्थानांची बेरीज } & =-2+(-5)=-(7)=\dfrac{-(7)}{1}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ चा सहगुणक })}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }}, \\ \text{ शून्यस्थानांचा गुणाकार } & =(-2) \times(-5)=10=\dfrac{10}{1}=\dfrac{\text{ स्थिर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} . \end{aligned} $

उदाहरण ३ : बहुपदी $x^{2}-3$ ची शून्यस्थाने शोधा आणि शून्यस्थाने आणि सहगुणक यांच्यातील संबंध तपासा.

उकल : $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ ही ओळख आठवा. ती वापरून, आपण लिहू शकतो:

$ x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $

म्हणून, $x^{2}-3$ ची किंमत शून्य असते जेव्हा $x=\sqrt{3}$ किंवा $x=-\sqrt{3}$.

म्हणून, $x^{2}-3$ ची शून्यस्थाने $\sqrt{3}$ आणि $-\sqrt{3}$ आहेत.

आता,

$ \begin{aligned} \text{ शून्यस्थानांची बेरीज } & =\sqrt{3}-\sqrt{3}=0=\dfrac{-(\text{ } x \text{ चा सहगुणक })}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }}, \\ \text{ शून्यस्थानांचा गुणाकार } & =(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{\text{ स्थिर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक }} \text{. } \end{aligned} $

उदाहरण ४ : एक अशी द्विघाती बहुपदी शोधा, जिच्या शून्यस्थानांची बेरीज -३ आणि गुणाकार २ आहे.

उकल : द्विघाती बहुपदी $a x^{2}+b x+c$ असू द्या, आणि तिची शून्यस्थाने $\alpha$ आणि $\beta$ असू द्या. आपल्याकडे आहे

$ \alpha+\beta=-3=\dfrac{-b}{a} \text{, } $

$ \text{आणि}\qquad \alpha \beta=2=\dfrac{c}{a} . $

जर $a=1$, तर $b=3$ आणि $c=2$.

म्हणून, दिलेल्या अटी पूर्ण करणारी एक द्विघाती बहुपदी $x^{2}+3 x+2$ आहे.

तुम्ही तपासू शकता की या अटी पूर्ण करणारी इतर कोणतीही द्विघाती बहुपदी $k(x^{2}+3 x+2)$ या स्वरूपात असेल, जिथे $k$ वास्तव आहे.

आता घन बहुपदींकडे पाहू. तुम्हाला असे वाटते का की घन बहुपदीच्या शून्यस्थाने आणि त्याच्या सहगुणकांमध्ये समान संबंध असतो?

$p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ चा विचार करू.

तुम्ही तपासू शकता की $x=4,-2, \dfrac{1}{2}$ साठी $p(x)=0$. $p(x)$ ला जास्तीत जास्त तीन शून्यस्थाने असू शकत असल्याने, हीच $2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ ची शून्यस्थाने आहेत. आता,

$ \begin{matrix} \text{ शून्यस्थानांची बेरीज }=4+(-2)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{-(-5)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x^{2} \text{ चा सहगुणक })}{\text{ } x^{3} \text{ चा सहगुणक }}, \\ \text{ शून्यस्थानांचा गुणाकार }=4 \times(-2) \times \dfrac{1}{2}=-4=\dfrac