2.1 அறிமுகம்

தரம் IX-ல், நீங்கள் ஒரு மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக் கோவைகளையும் அவற்றின் படிகளையும் படித்துள்ளீர்கள். நினைவு கூர்வோம்: $p(x)$ என்பது $x$-ல் அமைந்த ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையெனில், $p(x)$-ல் $x$-ன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு, $p(x)$ என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, $4 x+2$ என்பது $x$ என்ற மாறியில் அமைந்த படி $1,2 y^{2}-3 y+4$ கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை; $y$ என்பது $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$ என்ற மாறியில் அமைந்த படி 3 கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை; மற்றும் $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ என்பது $u$ என்ற மாறியில் அமைந்த படி 6 கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை. $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ போன்ற கோவைகள் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் அல்ல.

படி 1 கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$ போன்றவை அனைத்தும் நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவைகள். $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ போன்ற பல்லுறுப்புக் கோவைகள் நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் அல்ல.

படி 2 கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும். ‘இருபடி’ (quadratic) என்ற பெயர் ‘quadrate’ (சதுரம்) என்ற சொல்லிலிருந்து பெறப்பட்டது. $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ ஆகியவை இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் (அவற்றின் கெழுக்கள் மெய்யெண்கள்). பொதுவாக, $x$-ல் அமைந்த ஏதேனும் ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x^{2}+b x+c$ என்ற வடிவில் இருக்கும்; இங்கு $a, b, c$ ஆகியவை மெய்யெண்கள் மற்றும் $a \neq 0$. படி 3 கொண்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும். முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$. உண்மையில், ஒரு முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பொதுவான வடிவம்

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

இங்கு, $a, b, c, d$ ஆகியவை மெய்யெண்கள் மற்றும் $a \neq 0$.

இப்போது $p(x)=x^{2}-3 x-4$ என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கருதுவோம். பல்லுறுப்புக் கோவையில் $x=2$ எனப் பிரதியிட, நமக்கு $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ கிடைக்கிறது. $x^{2}-3 x-4$-ல் $x$-க்குப் பதிலாக 2-ஐப் பிரதியிடுவதன் மூலம் கிடைக்கும் ‘-6’ எனும் மதிப்பு, $x=2$-ல் $x^{2}-3 x-4$-ன் மதிப்பு ஆகும். இதேபோல், $p(0)$ என்பது $x=0$-ல் $p(x)$-ன் மதிப்பு ஆகும், அதாவது -4.

$p(x)$ என்பது $x$-ல் அமைந்த ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகவும், $k$ என்பது ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண்ணாகவும் இருந்தால், $p(x)$-ல் $x$-க்குப் பதிலாக $k$-ஐப் பிரதியிடுவதன் மூலம் கிடைக்கும் மதிப்பு, $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$-ல் $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$-ன் மதிப்பு எனப்படும், மேலும் அது $p(k)$ எனக் குறிக்கப்படும்.

$x=-1$-ல் $p(x)=x^{2}-3 x-4$-ன் மதிப்பு என்ன? நம்மிடம்:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

மேலும், $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$ என்பதைக் கவனிக்கவும்.

$p(-1)=0$ மற்றும் $p(4)=0,-1$ என்பதால், -1 மற்றும் 4 ஆகியவை இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{2}-3 x-4$-ன் பூச்சியங்கள் எனப்படும். பொதுவாக, ஒரு மெய்யெண் $k$ என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$-ன் பூச்சியம் எனக் கூறப்படும், $p(k)=0$ எனில்.

ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களைக் கண்டறியும் முறையை நீங்கள் ஏற்கனவே தரம் IX-ல் படித்துள்ளீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, $k$ என்பது $p(x)=2 x+3$-ன் ஒரு பூச்சியமாக இருந்தால், $p(k)=0$ நமக்கு $2 k+3=0$-ஐத் தருகிறது, அதாவது $k=-\dfrac{3}{2}$.

பொதுவாக, $k$ என்பது $p(x)=a x+b$-ன் ஒரு பூச்சியமாக இருந்தால், $p(k)=a k+b=0$, அதாவது $k=\dfrac{-b}{a}$. எனவே, நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x+b$-ன் பூச்சியம் $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$ ஆகும்.

இவ்வாறு, ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம் அதன் கெழுக்களுடன் தொடர்புடையது. மற்ற பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் விஷயத்திலும் இது நடக்குமா? எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களும் அதன் கெழுக்களுடன் தொடர்புடையதா?

இந்த அத்தியாயத்தில், இந்தக் கேள்விகளுக்கு விடை காண முயல்வோம். பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கான வகுத்தல் படிமுறையையும் (division algorithm) படிப்போம்.

2.2 பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களின் வடிவியல் பொருள்

ஒரு மெய்யெண் $k$ என்பது பல்லுறுப்புக் கோவை $p(x)$-ன் பூச்சியம் எனில் $p(k)=0$ என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். ஆனால் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்கள் ஏன் மிக முக்கியமானவை? இதற்கு விடை காண, முதலில் நேரியல் மற்றும் இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவங்களையும், அவற்றின் பூச்சியங்களின் வடிவியல் பொருளையும் பார்ப்போம்.

முதலில் ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x+b, a \neq 0$-ஐக் கருதுவோம். $y=a x+b$-ன் வரைபடம் ஒரு நேர்க்கோடு என்பதை நீங்கள் தரம் IX-ல் படித்துள்ளீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, $y=2 x+3$-ன் வரைபடம் $(-2,-1)$ மற்றும் $(2,7)$ ஆகிய புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

படம் 2.1-லிருந்து, $y=2 x+3$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை $x=-1$ மற்றும் $x=-2$ ஆகியவற்றுக்கு இடையே, அதாவது $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டுவதை நீங்கள் காணலாம். $2 x+3$-ன் பூச்சியம் $-\dfrac{3}{2}$ என்பதும் உங்களுக்குத் தெரியும். இவ்வாறு, பல்லுறுப்புக் கோவை $2 x+3$-ன் பூச்சியம் என்பது, $y=2 x+3$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் புள்ளியின் $x$-அச்சுத் தொலைவு ஆகும்.

படம் 2.1

பொதுவாக, ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x+b, a \neq 0$-க்கு, $y=a x+b$-ன் வரைபடம் ஒரு நேர்க்கோடாகும், அது $x$-அச்சைச் சரியாக ஒரு புள்ளியில், அதாவது $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டுகிறது. எனவே, நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x+b, a \neq 0$-க்கு சரியாக ஒரு பூச்சியம் உள்ளது, அதாவது $y=a x+b$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் புள்ளியின் $x$-அச்சுத் தொலைவு.

இப்போது, ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியத்தின் வடிவியல் பொருளைப் பார்ப்போம். இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{2}-3 x-4$-ஐக் கருதுவோம். $y=x^{2}-3 x-4$-ன் வரைபடம்[^0] எப்படி இருக்கும் என்று பார்ப்போம். $x$-க்கான சில மதிப்புகளுக்கு $y=x^{2}-3 x-4$-ன் சில மதிப்புகளை அட்டவணை 2.1-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி பட்டியலிடுவோம்.

அட்டவணை 2.1

மேலே பட்டியலிடப்பட்ட புள்ளிகளை ஒரு வரைபடத் தாளில் குறித்து வரைபடத்தை வரைந்தால், அது உண்மையில் படம் 2.2-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதைப் போல இருக்கும்.

உண்மையில், ஏதேனும் ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$-க்கு, அதனுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு $y=a x^{2}+b x+c$-ன் வரைபடம் $\bigcup$ போல மேல்நோக்கித் திறந்திருக்கும் அல்லது $\bigcap$ போல கீழ்நோக்கித் திறந்திருக்கும், இவ்வாறு இரண்டு வடிவங்களில் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும்; இது $a>0$ அல்லது $a<0$ என்பதைப் பொறுத்தது. (இந்த வளைகோடுகள் பரவளையங்கள் எனப்படும்.)

அட்டவணை 2.1-லிருந்து, -1 மற்றும் 4 ஆகியவை இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்கள் என்பதை நீங்கள் காணலாம். மேலும் படம் 2.2-லிருந்து, -1 மற்றும் 4 ஆகியவை $y=x^{2}-3 x-4$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகள் என்பதைக் கவனிக்கவும். இவ்வாறு, இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{2}-3 x-4$-ன் பூச்சியங்கள் என்பது $y=x^{2}-3 x-4$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகள் ஆகும்.

படம் 2.2

இந்த உண்மை எந்த இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைக்கும் பொருந்தும், அதாவது, ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$-ன் பூச்சியங்கள், $y=a x^{2}+b x+c$-ஐக் குறிக்கும் பரவளையம் $x$-அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகளே ஆகும்.

$y=a x^{2}+b x+c$-ன் வரைபடத்தின் வடிவம் குறித்த நமது முந்தைய கவனிப்பிலிருந்து, பின்வரும் மூன்று நிலைகள் ஏற்படலாம்:

நிலை (i) : இங்கு, வரைபடம் $x$-அச்சை A மற்றும் $A^{\prime}$ என்ற இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

இந்த நிலையில், இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x^{2}+b x+c$-ன் இரண்டு பூச்சியங்கள் $A$ மற்றும் $A^{\prime}$ ஆகியவற்றின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகளே ஆகும் (படம் 2.3-ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 2.3

நிலை (ii) : இங்கு, வரைபடம் $x$-அச்சைச் சரியாக ஒரு புள்ளியில், அதாவது இரண்டு ஒன்றுபட்ட புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே, நிலை (i)-ல் உள்ள A மற்றும் $A^{\prime}$ என்ற இரண்டு புள்ளிகள் இங்கு ஒன்றிணைந்து A என்ற ஒரு புள்ளியாக மாறுகின்றன (படம் 2.4-ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 2.4

இந்த நிலையில், இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x^{2}+b x+c$-க்கு A-ன் $x$-அச்சுத் தொலைவு மட்டுமே பூச்சியமாகும்.

நிலை (iii) : இங்கு, வரைபடம் முழுவதுமாக $x$-அச்சுக்கு மேலே அல்லது முழுவதுமாக $x$-அச்சுக்குக் கீழே இருக்கும். எனவே, அது $x$-அச்சை எந்தப் புள்ளியிலும் வெட்டாது (படம் 2.5-ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 2.5

எனவே, இந்த நிலையில் இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x^{2}+b x+c$-க்கு பூச்சியங்கள் இல்லை.

இவ்வாறு, ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு வடிவியல் ரீதியாக இரண்டு வெவ்வேறான பூச்சியங்கள் அல்லது இரண்டு சமமான பூச்சியங்கள் (அதாவது ஒரு பூச்சியம்) அல்லது பூச்சியங்கள் இல்லாமல் இருக்கலாம் என்பதை நீங்கள் காணலாம். இதன் பொருள், படி 2 கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு அதிகபட்சம் இரண்டு பூச்சியங்கள் இருக்க முடியும்.

இப்போது, ஒரு முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களின் வடிவியல் பொருள் என்னவாக இருக்கும் என்று நீங்கள் எதிர்பார்க்கிறீர்கள்? அதைக் கண்டுபிடிப்போம். முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{3}-4 x$-ஐக் கருதுவோம். $y=x^{3}-4 x$-ன் வரைபடம் எப்படி இருக்கும் என்று பார்க்க, அட்டவணை 2.2-ல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி $x$-க்கான சில மதிப்புகளுக்கு $y$-ன் சில மதிப்புகளைப் பட்டியலிடுவோம்.

அட்டவணை 2.2

அட்டவணையிலுள்ள புள்ளிகளை ஒரு வரைபடத் தாளில் குறித்து வரைபடத்தை வரைந்தால், $y=x^{3}-4 x$-ன் வரைபடம் உண்மையில் படம் 2.6-ல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதைப் போல இருக்கும் என்பதைக் காண்கிறோம்.

மேலே உள்ள அட்டவணையிலிருந்து, $-2,0$ மற்றும் 2 ஆகியவை முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{3}-4 x$-ன் பூச்சியங்கள் என்பதைக் காண்கிறோம். $-2,0$ மற்றும் 2 ஆகியவை, உண்மையில், $y=x^{3}-4 x$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் ஒரே புள்ளிகளின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகள் என்பதைக் கவனிக்கவும். வளைகோடு $x$-அச்சை இந்த 3 புள்ளிகளில் மட்டுமே சந்திப்பதால், அவற்றின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகளே பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரே பூச்சியங்களாகும்.

இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம். முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் $x^{3}$ மற்றும் $x^{3}-x^{2}$-ஐக் கருதுவோம். $y=x^{3}$ மற்றும் $y=x^{3}-x^{2}$ ஆகியவற்றின் வரைபடங்களை முறையே படம் 2.7 மற்றும் படம் 2.8-ல் வரைகிறோம்.

படம் 2.6

படம் 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

படம் 2.8

0 என்பது பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{3}$-ன் ஒரே பூச்சியம் என்பதைக் கவனிக்கவும். மேலும், படம் 2.7-லிருந்து, 0 என்பது $y=x^{3}$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் ஒரே புள்ளியின் $x$-அச்சுத் தொலைவு என்பதைக் காணலாம். இதேபோல், $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ மற்றும் 1 ஆகியவை பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{3}-x^{2}$-ன் ஒரே பூச்சியங்கள் என்பதால், படம் 2.8-லிருந்து, இந்த மதிப்புகள் $y=x^{3}-x^{2}$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை வெட்டும் ஒரே புள்ளிகளின் $x$-அச்சுத் தொலைவுகள் ஆகும்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, எந்த முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவைக்கும் அதிகபட்சம் 3 பூச்சியங்கள் இருக்க முடியும் என்பதைக் காண்கிறோம். வேறுவிதமாகச் சொன்னால், படி 3 கொண்ட எந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவைக்கும் அதிகபட்சம் மூன்று பூச்சியங்கள் இருக்க முடியும்.

குறிப்பு : பொதுவாக, படி $n$ கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை $p(x)$-க்கு, $y=p(x)$-ன் வரைபடம் $x$-அச்சை அதிகபட்சம் $n$ புள்ளிகளில் வெட்டும். எனவே, படி $n$ கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை $p(x)$-க்கு அதிகபட்சம் $n$ பூச்சியங்கள் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படம் 2.9-ல் உள்ள வரைபடங்களைப் பாருங்கள். ஒவ்வொன்றும் $y=p(x)$-ன் வரைபடம் ஆகும்; இங்கு $p(x)$ என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை. ஒவ்வொரு வரைபடத்திற்கும், $p(x)$-ன் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

படம் 2.9

தீர்வு :

(i) பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 1, ஏனெனில் வரைபடம் $x$-அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே வெட்டுகிறது.

(ii) பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 2, ஏனெனில் வரைபடம் $x$-அச்சை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

(iii) பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 3. (ஏன்?)

(iv) பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 1. (ஏன்?)

(v) பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 1. (ஏன்?)

(vi) பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 4. (ஏன்?)

2.3 பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களுக்கும் கெழுக்களுக்கும் இடையேயான தொடர்பு

நேரியல் பல்லுறுப்புக் கோவை $a x+b$-ன் பூச்சியம் $-\dfrac{b}{a}$ என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே பார்த்துள்ளீர்கள். இப்போது நாம் 2.1 பிரிவில் எழுப்பப்பட்ட கேள்வியான, இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களுக்கும் கெழுக்களுக்கும் இடையேயான தொடர்பு குறித்து விடை காண முயல்வோம். இதற்காக, ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையான $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$-ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். தரம் IX-ல், நடுப்பகுதியைப் பிரித்தல் மூலம் இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தும் முறையை நீங்கள் கற்றுள்ளீர்கள். எனவே, இங்கு நாம் நடுப்பகுதியான ‘$-8 x^{\text{’ }}$‘ஐ இரண்டு உறுப்புகளின் கூடுதலாகப் பிரிக்க வேண்டும், அவற்றின் பெருக்கற்பலன் $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$ ஆகும். எனவே, நாம் எழுதுவோம்

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

எனவே, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$-ன் மதிப்பு $x-1=0$ அல்லது $x-3=0$ எனும் போது பூச்சியமாகும், அதாவது $x=1$ அல்லது $x=3$ எனும் போது. எனவே, $2 x^{2}-8 x+6$-ன் பூச்சியங்கள் 1 மற்றும் 3 ஆகும். கவனிக்கவும்:

$ \begin{aligned} & \text{ அதன் பூச்சியங்களின் கூடுதல் }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -ன் கெழு })}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }} \\ & \text{ அதன் பூச்சியங்களின் பெருக்கற்பலன் }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ மாறிலி உறுப்பு }}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }} \end{aligned} $

இன்னும் ஒரு இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவையான $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$-ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். நடுப்பகுதியைப் பிரித்தல் முறையின்படி,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

எனவே, $3 x^{2}+5 x-2$-ன் மதிப்பு $3 x-1=0$ அல்லது $x+2=0$ எனும் போது பூச்சியமாகும், அதாவது $x=\dfrac{1}{3}$ அல்லது $x=-2$ எனும் போது. எனவே, $3 x^{2}+5 x-2$-ன் பூச்சியங்கள் $\dfrac{1}{3}$ மற்றும் -2 ஆகும். கவனிக்கவும்:

$ \begin{aligned} & \text{ அதன் பூச்சியங்களின் கூடுதல் }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -ன் கெழு })}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }} \\ & \text{ அதன் பூச்சியங்களின் பெருக்கற்பலன் }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ மாறிலி உறுப்பு }}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }} \end{aligned} $

பொதுவாக, $\alpha$[^1] மற்றும் $\beta$[^1] ஆகியவை இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$-ன் பூச்சியங்களாக இருந்தால், $x-\alpha$ மற்றும் $x-\beta$ ஆகியவை $p(x)$-ன் காரணிகள் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும். எனவே,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ இங்கு } k \text{ ஒரு மாறிலி } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

\missing

இருபுறங்களிலும் உள்ள $x^{2}, x$ மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளின் கெழுக்களை ஒப்பிட,

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ மற்றும் } c=k \alpha \beta . \\ \text {இதிலிருந்து கிடைப்பது}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ அதாவது, } \\ & \text{ பூச்சியங்களின் கூடுதல் }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -ன் கெழு })}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }}, \\ & \text{ பூச்சியங்களின் பெருக்கற்பலன் }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ மாறிலி உறுப்பு }}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }} . \end{aligned} $

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{2}+7 x+10$-ன் பூச்சியங்களைக் கண்டறிந்து, பூச்சியங்களுக்கும் கெழுக்களுக்கும் இடையேயான தொடர்பைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு : நம்மிடம்

$ x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5) $

எனவே, $x^{2}+7 x+10$-ன் மதிப்பு $x+2=0$ அல்லது $x+5=0$ எனும் போது பூச்சியமாகும், அதாவது $x=-2$ அல்லது $x=-5$ எனும் போது. எனவே, $x^{2}+7 x+10$-ன் பூச்சியங்கள் -2 மற்றும் -5 ஆகும். இப்போது,

$ \begin{aligned} \text{ பூச்சியங்களின் கூடுதல் } & =-2+(-5)=-(7)=\dfrac{-(7)}{1}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ -ன் கெழு })}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }}, \\ \text{ பூச்சியங்களின் பெருக்கற்பலன் } & =(-2) \times(-5)=10=\dfrac{10}{1}=\dfrac{\text{ மாறிலி உறுப்பு }}{\text{ } x^{2} \text{ -ன் கெழு }} . \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 3 : பல்லுறுப்புக் கோவை $x^{2}-3$-ன் பூச்சியங்களைக் கண்டறிந்து, பூச்சியங்களுக்கும் கெழுக்களுக்கும் இடையேயான தொடர்பைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு : $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ என்ற முற்றொருமையை நினைவுகூரவும். அதைப் பயன்படுத்தி நாம் எழுதலாம்:

$ x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $

எனவே, $x^{2}-3$-ன் மதிப்பு $x=\sqrt{3}$ அல்லது $x=-\sqrt{3}$ எனும் போது பூ