2.1 ಪರಿಚಯ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಏಕ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನೆನಪಿಡಿ, $p(x)$ ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, $x$ ನಲ್ಲಿ $x$ ನ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತವನ್ನು $p(x)$ ಬಹುಪದದ ಘಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $4 x+2$ ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ಮತ್ತು ಘಾತ $1,2 y^{2}-3 y+4$ ಆಗಿದೆ. $y$ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಘಾತ $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$ ಆಗಿದೆ.

$x$ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಘಾತ 3 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಘಾತ 6 ಆಗಿದೆ. $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ ಮುಂತಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲ.

ಘಾತ 1 ಇರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಲ್ಲವೂ ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$, ಇತ್ಯಾದಿ ಬಹುಪದಗಳು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲ.

ಘಾತ 2 ಇರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ವರ್ಗ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ‘ವರ್ಗ’ ಎಂಬ ಪದವು ‘ಚೌಕ’ ಎಂಬ ಅರ್ಥ ನೀಡುವ ‘ಕ್ವಾಡ್ರೇಟ್’ ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ ಕೆಲವು ವರ್ಗ ಬಹುಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ (ಇವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವರ್ಗ ಬಹುಪದವು $x$ ನಲ್ಲಿ $a x^{2}+b x+c$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a, b, c$ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $a \neq 0$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತ 3 ಇರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಘನ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನ ಬಹುಪದದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$ ಆಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಘನ ಬಹುಪದದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

ಇಲ್ಲಿ, $a, b, c, d$ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $a \neq 0$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ $p(x)=x^{2}-3 x-4$ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ, ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ $x=2$ ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. $x^{2}-3 x-4$ ನಲ್ಲಿ $x$ ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ’ -6 ’ ಮೌಲ್ಯವು $x^{2}-3 x-4$ ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು $x=2$ ನಲ್ಲಿ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, $p(0)$ ಯು $p(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು $x=0$ ನಲ್ಲಿ -4 ಆಗಿದೆ.

$p(x)$ ಯು $x$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು $k$ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $p(x)$ ನಲ್ಲಿ $x$ ನ್ನು $k$ ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ನ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ ನಲ್ಲಿ $p(k)$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$p(x)=x^{2}-3 x-4$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $x=-1$ ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು? ನಮಗೆ ಇದೆ:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

ಅಲ್ಲದೆ, $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

$p(-1)=0$ ಮತ್ತು $p(4)=0,-1$ ಮತ್ತು 4 ಗಳು ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $x^{2}-3 x-4$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $k$ ಯು ಒಂದು ಬಹುಪದ $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ನ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, $p(k)=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ.

ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $k$ ಯು $p(x)=2 x+3$ ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $p(k)=0$ ನಮಗೆ $2 k+3=0$ ನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $k=-\dfrac{3}{2}$.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $k$ ಯು $p(x)=a x+b$ ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $p(k)=a k+b=0$, ಅಂದರೆ, $k=\dfrac{-b}{a}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದ $a x+b$ ನ ಶೂನ್ಯವು $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$ ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದು ಇತರ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳು ಕೂಡ ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಯೇ?

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬಹುಪದಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಭಜನಾ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಕೂಡ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

2.2 ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $k$ ಯು ಬಹುಪದ $p(x)$ ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ $p(k)=0$ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳು ಏಕೆ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿವೆ? ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಬಹುಪದಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಶೂನ್ಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದ $a x+b, a \neq 0$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $y=a x+b$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $y=2 x+3$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು $(-2,-1)$ ಮತ್ತು $(2,7)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

ಚಿತ್ರ 2.1 ರಿಂದ, ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, $y=2 x+3$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು $x=-1$ ಮತ್ತು $x=-2$ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ. $2 x+3$ ನ ಶೂನ್ಯವು $-\dfrac{3}{2}$ ಎಂದು ಕೂಡ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಹುಪದ $2 x+3$ ನ ಶೂನ್ಯವು $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=2 x+3$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.1

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದ $a x+b, a \neq 0$ ಗಾಗಿ, $y=a x+b$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $(\dfrac{-b}{a}, 0)$. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದ $a x+b, a \neq 0$, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=a x+b$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $x^{2}-3 x-4$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $y=x^{2}-3 x-4$ ನ ಗ್ರಾಫ್[^0] ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. $x$ ಗಾಗಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ $y=x^{2}-3 x-4$ ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 2.1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಿದಂತೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2.1

ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೇಖಿಸಿದರೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಿತ್ರ 2.2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ಗಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣ $y=a x^{2}+b x+c$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎರಡು ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡೂ $\bigcup$ ನಂತೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ತೆರೆದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ $\bigcap$ ನಂತೆ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ತೆರೆದಿರಬಹುದು, ಇದು $a>0$ ಅಥವಾ $a<0$ ಆಗಿರುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರವಲಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.)

ಕೋಷ್ಟಕ 2.1 ರಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, -1 ಮತ್ತು 4 ಗಳು ವರ್ಗ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಚಿತ್ರ 2.2 ರಿಂದ ಕೂಡ ಗಮನಿಸಿ, -1 ಮತ್ತು 4 ಗಳು $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=x^{2}-3 x-4$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $x^{2}-3 x-4$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳು $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=x^{2}-3 x-4$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.2

ಈ ಸತ್ಯವು ಯಾವುದೇ ವರ್ಗ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=a x^{2}+b x+c$ ನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪರವಲಯವು $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

$y=a x^{2}+b x+c$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ನ ಆಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಮುಂಚಿನ ವೀಕ್ಷಣೆಯಿಂದ, ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು:

ಪ್ರಕರಣ (i) : ಇಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾದ A ಮತ್ತು $A^{\prime}$ ನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.

$x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $A$ ಮತ್ತು $A^{\prime}$ ಗಳು ಈ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $a x^{2}+b x+c$ ನ ಎರಡು ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 2.3 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 2.3

ಪ್ರಕರಣ (ii) : ಇಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಕರಣ (i) ನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದ A ಮತ್ತು $A^{\prime}$ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2.4 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 2.4

A ಯ $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಈ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $a x^{2}+b x+c$ ಗಾಗಿ ಏಕೈಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಕರಣ (iii) : ಇಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ $x$-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 2.5 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 2.5

ಆದ್ದರಿಂದ, ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $a x^{2}+b x+c$ ಈ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಎರಡು ಸಮಾನ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಶೂನ್ಯ) ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಘಾತ 2 ಇರುವ ಬಹುಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಈಗ, ಘನ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವು ಏನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೀರಿ? ನೋಡೋಣ. ಘನ ಬಹುಪದ $x^{3}-4 x$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $y=x^{3}-4 x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, $x$ ಗಾಗಿ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ $y$ ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 2.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2.2

ಕೋಷ್ಟಕದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೇಖಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, $y=x^{3}-4 x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಿತ್ರ 2.6 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, $-2,0$ ಮತ್ತು 2 ಗಳು ಘನ ಬಹುಪದ $x^{3}-4 x$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಗಮನಿಸಿ, $-2,0$ ಮತ್ತು 2 ಗಳು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=x^{3}-4 x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಏಕೈಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯು $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಈ 3 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭೇಟಿ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬಹುಪದದ ಏಕೈಕ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಘನ ಬಹುಪದಗಳಾದ $x^{3}$ ಮತ್ತು $x^{3}-x^{2}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು $y=x^{3}$ ಮತ್ತು $y=x^{3}-x^{2}$ ಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಚಿತ್ರ 2.7 ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 2.8 ರಲ್ಲಿ ರೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 2.6

ಚಿತ್ರ 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

ಚಿತ್ರ 2.8

$x^{3}$ ಬಹುಪದದ ಏಕೈಕ ಶೂನ್ಯವು 0 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಚಿತ್ರ 2.7 ರಿಂದ ಕೂಡ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, 0 ಯು $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=x^{3}$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಏಕೈಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ ಮತ್ತು 1 ಗಳು ಬಹುಪದ $x^{3}-x^{2}$ ನ ಏಕೈಕ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಚಿತ್ರ 2.8 ರಿಂದ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು $x$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $y=x^{3}-x^{2}$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಏಕೈಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ, ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಯಾವುದೇ ಘನ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ 3 ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಘಾತ 3 ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಘಾತ $n$ ಇರುವ ಬಹುಪದ $p(x)$ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟರೆ, $y=p(x)$ ನ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ $n$ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಘಾತ $n$ ಇರುವ ಬಹುಪದ $p(x)$ ಗರಿಷ್ಠ $n$ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಚಿತ್ರ 2.9 ರಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಫ್ ಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $y=p(x)$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $p(x)$ ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಗಾಗಿ, $p(x)$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 2.9

ಪರಿಹಾರ :

(i) ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

(ii) ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫ್ $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

(iii) ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆಗಿದೆ. (ಏಕೆ?)

(iv) ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಆಗಿದೆ. (ಏಕೆ?)

(v) ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಆಗಿದೆ. (ಏಕೆ?)

(vi) ಶೂನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಆಗಿದೆ. (ಏಕೆ?)

2.3 ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದ $a x+b$ ನ ಶೂನ್ಯವು $-\dfrac{b}{a}$ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಈಗ ನಾವು ವರ್ಗ ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ವಿಭಾಗ 2.1 ರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$. ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮಧ್ಯದ ಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಧ್ಯದ ಪದ ’ $-8 x^{\text{’ }}$ ಅನ್ನು ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ ನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, $x-1=0$ ಅಥವಾ $x-3=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $x=1$ ಅಥವಾ $x=3$ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $2 x^{2}-8 x+6$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿವೆ. ಗಮನಿಸಿ:

$ \begin{aligned} & \text{ ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ })}{\text{ } x^{2} \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ }} \\ & \text{ ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಪದ }}{\text{ } x^{2} \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ }} \end{aligned} $

ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$. ಮಧ್ಯದ ಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $3 x^{2}+5 x-2$ ನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, $3 x-1=0$ ಅಥವಾ $x+2=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $x=\dfrac{1}{3}$ ಅಥವಾ $x=-2$ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $3 x^{2}+5 x-2$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳು $\dfrac{1}{3}$ ಮತ್ತು -2 ಆಗಿವೆ. ಗಮನಿಸಿ:

$ \begin{aligned} & \text{ ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ })}{\text{ } x^{2} \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ }} \\ & \text{ ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಪದ }}{\text{ } x^{2} \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ }} \end{aligned} $

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $\alpha$[^1] ಮತ್ತು $\beta$[^1] ಗಳು ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, $x-\alpha$ ಮತ್ತು $x-\beta$ ಗಳು $p(x)$ ನ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ ಇಲ್ಲಿ } k \text{ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

\missing

$x^{2}, x$ ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಪದಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ ಮತ್ತು } c=k \alpha \beta . \\ \text {ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ ಅಂದರೆ, } \\ & \text{ ಶೂನ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ })}{\text{ } x^{2} \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ }}, \\ & \text{ ಶೂನ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಪದ }}{\text{ } x^{2} \text{ ನ ಗುಣಾಂಕ }} . \end{aligned} $

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $x^{2}+7 x+10$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ,