2.1 परिचय

कक्षा IX में, आपने एक चर वाले बहुपद और उनकी घातों का अध्ययन किया है। याद कीजिए कि यदि $p(x)$, $x$ में एक बहुपद है, तो $p(x)$ में $x$ की उच्चतम घात को बहुपद $p(x)$ की घात कहते हैं। उदाहरण के लिए, $4 x+2$ चर $x$ में एक बहुपद है जिसकी घात $1,2 y^{2}-3 y+4$ है, $y$ चर $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$ में एक बहुपद है जिसकी घात 3 है और $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ चर $u$ में एक बहुपद है जिसकी घात 6 है। $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ आदि जैसे व्यंजक बहुपद नहीं हैं।

घात 1 वाले बहुपद को एक रैखिक बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$, आदि सभी रैखिक बहुपद हैं। $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$, आदि जैसे बहुपद रैखिक बहुपद नहीं हैं।

घात 2 वाले बहुपद को एक द्विघात बहुपद कहते हैं। ‘द्विघात’ नाम ‘वर्ग’ (quadrate) शब्द से लिया गया है, जिसका अर्थ ‘वर्ग’ होता है। $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ द्विघात बहुपदों के कुछ उदाहरण हैं (जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं)। अधिक सामान्यतः, $x$ में कोई भी द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ के रूप का होता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$। घात 3 वाले बहुपद को एक घन बहुपद कहते हैं। एक घन बहुपद के कुछ उदाहरण $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$ हैं। वास्तव में, एक घन बहुपद का सबसे सामान्य रूप है

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

जहाँ, $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$।

अब बहुपद $p(x)=x^{2}-3 x-4$ पर विचार कीजिए। फिर, बहुपद में $x=2$ रखने पर, हमें $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ प्राप्त होता है। ’ -6 ’ यह मान, जो $x^{2}-3 x-4$ में $x$ को 2 से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है, $x=2$ पर $x^{2}-3 x-4$ का मान है। इसी प्रकार, $p(0)$, $x=0$ पर $p(x)$ का मान है, जो -4 है।

यदि $p(x)$, $x$ में एक बहुपद है, और यदि $k$ कोई वास्तविक संख्या है, तो $p(x)$ में $x$ को $k$ से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त मान को $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ पर $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ का मान कहते हैं, और इसे $p(k)$ से निरूपित करते हैं।

$x=-1$ पर $p(x)=x^{2}-3 x-4$ का मान क्या है? हमारे पास है:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

साथ ही, ध्यान दीजिए कि $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$।

चूँकि $p(-1)=0$ और $p(4)=0,-1$, 4 द्विघात बहुपद $x^{2}-3 x-4$ के शून्यक कहलाते हैं। अधिक सामान्यतः, एक वास्तविक संख्या $k$ को बहुपद $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ का एक शून्यक कहा जाता है, यदि $p(k)=0$।

आपने कक्षा IX में पहले ही पढ़ लिया है कि एक रैखिक बहुपद के शून्यक कैसे ज्ञात किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $k$, $p(x)=2 x+3$ का एक शून्यक है, तो $p(k)=0$ हमें $2 k+3=0$ देता है, अर्थात, $k=-\dfrac{3}{2}$।

सामान्यतः, यदि $k$, $p(x)=a x+b$ का एक शून्यक है, तो $p(k)=a k+b=0$, अर्थात, $k=\dfrac{-b}{a}$। इसलिए, रैखिक बहुपद $a x+b$ का शून्यक $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$ है।

इस प्रकार, एक रैखिक बहुपद का शून्यक उसके गुणांकों से संबंधित है। क्या यह अन्य बहुपदों के मामले में भी होता है? उदाहरण के लिए, क्या एक द्विघात बहुपद के शून्यक भी उसके गुणांकों से संबंधित होते हैं?

इस अध्याय में, हम इन प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास करेंगे। हम बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का भी अध्ययन करेंगे।

2.2 बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

आप जानते हैं कि एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का एक शून्यक है यदि $p(k)=0$। लेकिन एक बहुपद के शून्यक इतने महत्वपूर्ण क्यों हैं? इसका उत्तर देने के लिए, पहले हम रैखिक और द्विघात बहुपदों के ज्यामितीय निरूपण और उनके शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ को देखेंगे।

पहले एक रैखिक बहुपद $a x+b, a \neq 0$ पर विचार कीजिए। आपने कक्षा IX में पढ़ा है कि $y=a x+b$ का आलेख एक सरल रेखा होता है। उदाहरण के लिए, $y=2 x+3$ का आलेख एक सरल रेखा है जो बिंदुओं $(-2,-1)$ और $(2,7)$ से होकर गुजरती है।

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

चित्र 2.1 से, आप देख सकते हैं कि $y=2 x+3$ का आलेख $x$-अक्ष को $x=-1$ और $x=-2$ के बीच में, अर्थात बिंदु $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है। आप यह भी जानते हैं कि $2 x+3$ का शून्यक $-\dfrac{3}{2}$ है। इस प्रकार, बहुपद $2 x+3$ का शून्यक उस बिंदु का $x$-निर्देशांक है जहाँ $y=2 x+3$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

चित्र 2.1

सामान्यतः, एक रैखिक बहुपद $a x+b, a \neq 0$ के लिए, $y=a x+b$ का आलेख एक सरल रेखा होती है जो $x$-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर, अर्थात $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती है। इसलिए, रैखिक बहुपद $a x+b, a \neq 0$ का ठीक एक शून्यक होता है, अर्थात उस बिंदु का $x$-निर्देशांक जहाँ $y=a x+b$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

अब, आइए एक द्विघात बहुपद के शून्यक के ज्यामितीय अर्थ को देखें। द्विघात बहुपद $x^{2}-3 x-4$ पर विचार कीजिए। आइए देखें कि $y=x^{2}-3 x-4$ का आलेख[^0] कैसा दिखता है। आइए $x$ के लिए कुछ मानों के संगत $y=x^{2}-3 x-4$ के कुछ मानों को सारणी 2.1 में दिए अनुसार सूचीबद्ध करें।

सारणी 2.1

यदि हम उपरोक्त सूचीबद्ध बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करें और आलेख खींचें, तो यह वास्तव में चित्र 2.2 में दिए गए आलेख जैसा दिखेगा।

वास्तव में, किसी भी द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ के लिए, संगत समीकरण $y=a x^{2}+b x+c$ का आलेख दो आकृतियों में से एक होता है, या तो $\bigcup$ की तरह ऊपर की ओर खुला या $\bigcap$ की तरह नीचे की ओर खुला, यह इस पर निर्भर करता है कि $a>0$ या $a<0$। (इन वक्रों को परवलय कहते हैं।)

आप सारणी 2.1 से देख सकते हैं कि -1 और 4 द्विघात बहुपद के शून्यक हैं। चित्र 2.2 से यह भी ध्यान दीजिए कि -1 और 4 उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं जहाँ $y=x^{2}-3 x-4$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, द्विघात बहुपद $x^{2}-3 x-4$ के शून्यक उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं जहाँ $y=x^{2}-3 x-4$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

चित्र 2.2

यह तथ्य किसी भी द्विघात बहुपद के लिए सत्य है, अर्थात, एक द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ के शून्यक ठीक उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं जहाँ $y=a x^{2}+b x+c$ को निरूपित करने वाला परवलय $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

$y=a x^{2}+b x+c$ के आलेख की आकृति के बारे में हमारी पहले की टिप्पणी से, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ हो सकती हैं:

स्थिति (i) : यहाँ, आलेख $x$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं A और $A^{\prime}$ पर काटता है।

$A$ और $A^{\prime}$ के $x$-निर्देशांक इस स्थिति में द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ के दो शून्यक हैं (चित्र 2.3 देखिए)।

चित्र 2.3

स्थिति (ii) : यहाँ, आलेख $x$-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर, अर्थात दो संपाती बिंदुओं पर काटता है। इसलिए, स्थिति (i) के दो बिंदु A और $A^{\prime}$ यहाँ संपाती होकर एक बिंदु A बन जाते हैं (चित्र 2.4 देखिए)।

चित्र 2.4

A का $x$-निर्देशांक इस स्थिति में द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ का एकमात्र शून्यक है।

स्थिति (iii) : यहाँ, आलेख या तो पूरी तरह से $x$-अक्ष के ऊपर होता है या पूरी तरह से $x$-अक्ष के नीचे होता है। इसलिए, यह $x$-अक्ष को किसी भी बिंदु पर नहीं काटता (चित्र 2.5 देखिए)।

चित्र 2.5

इसलिए, द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ का इस स्थिति में कोई शून्यक नहीं है।

इस प्रकार, आप ज्यामितीय रूप से देख सकते हैं कि एक द्विघात बहुपद के या तो दो भिन्न शून्यक हो सकते हैं या दो समान शून्यक (अर्थात एक शून्यक) हो सकते हैं, या कोई शून्यक नहीं हो सकता। इसका अर्थ यह भी है कि घात 2 के बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं।

अब, आप एक घन बहुपद के शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ के बारे में क्या अपेक्षा करते हैं? आइए जानें। घन बहुपद $x^{3}-4 x$ पर विचार कीजिए। यह देखने के लिए कि $y=x^{3}-4 x$ का आलेख कैसा दिखता है, आइए $x$ के लिए कुछ मानों के संगत $y$ के कुछ मानों को सारणी 2.2 में दर्शाए अनुसार सूचीबद्ध करें।

सारणी 2.2

सारणी के बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करने और आलेख खींचने पर, हम देखते हैं कि $y=x^{3}-4 x$ का आलेख वास्तव में चित्र 2.6 में दिए गए आलेख जैसा दिखता है।

हम उपरोक्त सारणी से देखते हैं कि $-2,0$ और 2 घन बहुपद $x^{3}-4 x$ के शून्यक हैं। ध्यान दीजिए कि $-2,0$ और 2, वास्तव में, उन एकमात्र बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं जहाँ $y=x^{3}-4 x$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि वक्र $x$-अक्ष को केवल इन्हीं 3 बिंदुओं पर मिलता है, उनके $x$-निर्देशांक बहुपद के एकमात्र शून्यक हैं।

आइए कुछ और उदाहरण लेते हैं। घन बहुपद $x^{3}$ और $x^{3}-x^{2}$ पर विचार कीजिए। हम $y=x^{3}$ और $y=x^{3}-x^{2}$ के आलेख क्रमशः चित्र 2.7 और चित्र 2.8 में खींचते हैं।

चित्र 2.6

चित्र 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

चित्र 2.8

ध्यान दीजिए कि 0 बहुपद $x^{3}$ का एकमात्र शून्यक है। साथ ही, चित्र 2.7 से, आप देख सकते हैं कि 0 उस एकमात्र बिंदु का $x$-निर्देशांक है जहाँ $y=x^{3}$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। इसी प्रकार, चूँकि $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ और 1 बहुपद $x^{3}-x^{2}$ के एकमात्र शून्यक हैं। साथ ही, चित्र 2.8 से, ये मान उन एकमात्र बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं जहाँ $y=x^{3}-x^{2}$ का आलेख $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

उपरोक्त उदाहरणों से, हम देखते हैं कि किसी भी घन बहुपद के अधिकतम 3 शून्यक हो सकते हैं। दूसरे शब्दों में, घात 3 के किसी भी बहुपद के अधिकतम तीन शून्यक हो सकते हैं।

टिप्पणी: सामान्यतः, घात $n$ वाले दिए गए बहुपद $p(x)$ के लिए, $y=p(x)$ का आलेख $x$-अक्ष को अधिकतम $n$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। इसलिए, घात $n$ वाले बहुपद $p(x)$ के अधिकतम $n$ शून्यक होते हैं।

उदाहरण 1 : नीचे चित्र 2.9 में दिए गए आलेखों को देखिए। प्रत्येक $y=p(x)$ का आलेख है, जहाँ $p(x)$ एक बहुपद है। प्रत्येक आलेख के लिए, $p(x)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

चित्र 2.9

हल :

(i) शून्यकों की संख्या 1 है क्योंकि आलेख $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(ii) शून्यकों की संख्या 2 है क्योंकि आलेख $x$-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(iii) शून्यकों की संख्या 3 है। (क्यों?)

(iv) शून्यकों की संख्या 1 है। (क्यों?)

(v) शून्यकों की संख्या 1 है। (क्यों?)

(vi) शून्यकों की संख्या 4 है। (क्यों?)

2.3 बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध

आप पहले ही देख चुके हैं कि एक रैखिक बहुपद $a x+b$ का शून्यक $-\dfrac{b}{a}$ है। अब हम खंड 2.1 में उठाए गए प्रश्न के उत्तर देने का प्रयास करेंगे जो एक द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के बारे में है। इसके लिए, आइए एक द्विघात बहुपद लें, मान लीजिए $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$। कक्षा IX में, आपने मध्य पद को विभक्त करके द्विघात बहुपदों के गुणनखंड करना सीखा है। इसलिए, यहाँ हमें मध्य पद ’ $-8 x^{\text{’ }}$ को दो पदों के योग के रूप में विभक्त करने की आवश्यकता है, जिनका गुणनफल $6 \times 2 x^{2}=12 x^{2}$ हो। इसलिए, हम लिखते हैं

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-8 x+6 & =2 x^{2}-6 x-2 x+6=2 x(x-3)-2(x-3) \\ & =(2 x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3) \end{aligned} $

इसलिए, $p(x)=2 x^{2}-8 x+6$ का मान शून्य होता है जब $x-1=0$ या $x-3=0$, अर्थात जब $x=1$ या $x=3$। इसलिए, $2 x^{2}-8 x+6$ के शून्यक 1 और 3 हैं। ध्यान दीजिए कि:

$ \begin{aligned} & \text{ इसके शून्यकों का योग }=1+3=4=\dfrac{-(-8)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ का गुणांक })}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} \\ & \text{ इसके शून्यकों का गुणनफल }=1 \times 3=3=\dfrac{6}{2}=\dfrac{\text{ अचर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} \end{aligned} $

आइए एक और द्विघात बहुपद लें, मान लीजिए, $p(x)=3 x^{2}+5 x-2$। मध्य पद को विभक्त करने की विधि से,

$ \begin{aligned} 3 x^{2}+5 x-2 & =3 x^{2}+6 x-x-2=3 x(x+2)-1(x+2) \\ & =(3 x-1)(x+2) \end{aligned} $

अतः, $3 x^{2}+5 x-2$ का मान शून्य होता है जब या तो $3 x-1=0$ या $x+2=0$, अर्थात जब $x=\dfrac{1}{3}$ या $x=-2$। इसलिए, $3 x^{2}+5 x-2$ के शून्यक $\dfrac{1}{3}$ और -2 हैं। ध्यान दीजिए कि:

$ \begin{aligned} & \text{ इसके शून्यकों का योग }=\dfrac{1}{3}+(-2)=\dfrac{-5}{3}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ का गुणांक })}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} \\ & \text{ इसके शून्यकों का गुणनफल }=\dfrac{1}{3} \times(-2)=\dfrac{-2}{3}=\dfrac{\text{ अचर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} \end{aligned} $

सामान्यतः, यदि $\alpha$[^1] और $\beta$[^1] द्विघात बहुपद $p(x)=a x^{2}+b x+c$, $a \neq 0$ के शून्यक हैं, तो आप जानते हैं कि $x-\alpha$ और $x-\beta$, $p(x)$ के गुणनखंड हैं। इसलिए,

$ \begin{aligned} a x^{2}+b x+c & =k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ जहाँ } k \text{ एक अचर है } \\ & =k[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta] \\ & =k x^{2}-k(\alpha+\beta) x+k \alpha \beta \end{aligned} $

\missing

$x^{2}, x$ और अचर पदों के गुणांकों की दोनों ओर तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} a=k, b & =-k(\alpha+\beta) \text{ और } c=k \alpha \beta . \\ \text {इससे प्राप्त होता है}\qquad \boldsymbol{{}\alpha}+\boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{-\boldsymbol{{}b}}{\boldsymbol{{}a}}, \\ \boldsymbol{{}\alpha} \boldsymbol{{}\beta} & =\dfrac{\boldsymbol{{}c}}{\boldsymbol{{}a}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ अर्थात, } \\ & \text{ शून्यकों का योग }=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ का गुणांक })}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }}, \\ & \text{ शून्यकों का गुणनफल }=\alpha \beta=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\text{ अचर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} . \end{aligned} $

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2 : द्विघात बहुपद $x^{2}+7 x+10$ के शून्यक ज्ञात कीजिए, और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित कीजिए।

हल : हमारे पास है

$ x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5) $

इसलिए, $x^{2}+7 x+10$ का मान शून्य होता है जब $x+2=0$ या $x+5=0$, अर्थात जब $x=-2$ या $x=-5$। अतः, $x^{2}+7 x+10$ के शून्यक -2 और -5 हैं। अब,

$ \begin{aligned} \text{ शून्यकों का योग } & =-2+(-5)=-(7)=\dfrac{-(7)}{1}=\dfrac{-(\text{ } x \text{ का गुणांक })}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }}, \\ \text{ शून्यकों का गुणनफल } & =(-2) \times(-5)=10=\dfrac{10}{1}=\dfrac{\text{ अचर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} . \end{aligned} $

उदाहरण 3 : बहुपद $x^{2}-3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित कीजिए।

हल : सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ को याद कीजिए। इसका उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

$ x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) $

इसलिए, $x^{2}-3$ का मान शून्य होता है जब $x=\sqrt{3}$ या $x=-\sqrt{3}$।

अतः, $x^{2}-3$ के शून्यक $\sqrt{3}$ और $-\sqrt{3}$ हैं।

अब,

$ \begin{aligned} \text{ शून्यकों का योग } & =\sqrt{3}-\sqrt{3}=0=\dfrac{-(\text{ } x \text{ का गुणांक })}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }}, \\ \text{ शून्यकों का गुणनफल } & =(\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{\text{ अचर पद }}{\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक }} \text{. } \end{aligned} $

उदाहरण 4 : एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।

हल : मान लीजिए द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ है, और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमारे पास है

$ \alpha+\beta=-3=\dfrac{-b}{a} \text{, } $

$ \text{और}\qquad \alpha \beta=2=\dfrac{c}{a} . $

यदि $a=1$, तो $b=3$ और $c=2$।

इसलिए, एक द्विघात बहुपद जो दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है, वह $x^{2}+3 x+2$ है।

आप जाँच सकते हैं कि इन शर्तों को संतुष्ट करने वाला कोई अन्य द्विघात बहुपद $k(x^{2}+3 x+2)$ के रूप का होगा, जहाँ $k$ वास्तविक है।

आइए अब घन बहुपदों पर विचार करें। क्या आपको लगता है कि एक घन बहुपद के शून्यकों और उसके गुणांकों के बीच भी एक समान संबंध होता है?

आइए $p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ पर विचार करें।

आप जाँच सकते हैं कि $p(x)=0$, $x=4,-2, \dfrac{1}{2}$ के लिए होता है। चूँकि $p(x)$ के अधिकतम तीन शून्यक हो सकते हैं, ये $2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ के शून्यक हैं। अब,

$ \begin{matrix} \text{ शून्यकों का योग }=4+(-2)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{-(-5)}{2}=\dfrac{-(\text{ } x^{2} \text{ का गुणांक })}{\text{ } x^{3} \text{ का गुणांक }}, \\ \text{ शून्यकों का गुणनफल }=4 \times(-2) \times \dfrac{1}{2}=-4=\dfrac{-8}{2}=\dfrac{- \text{ अचर पद }}{\text{ } x^{3} \text{ का गुणांक }} . \end{matrix} $

हालाँकि, यहाँ एक और संबंध है। शून्यकों के गुणनफलों के योग पर विचार कीजिए जब उन्हें दो-दो करके लिया जाता है। हमारे पास है

$ \begin{aligned} &\{4 \times(-2)\}+\left\{(-2) \times \dfrac{1}{2}\right\}+\left\{\dfrac{1}{2} \times 4\right\} \\ &=-8-1+2=-7=\dfrac{-14}{2}=\dfrac{ \text { } x \text{ का गुणांक } }{ \text { } x^{3} \text{ का गुणांक } } \end{aligned} $

सामान्यतः, यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि $\alpha, \beta, \gamma$ घन बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ के शून्यक हैं, तो

$ \begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma & =\dfrac{-b}{a}, \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha & =\dfrac{c}{a}, \\ \alpha \beta \gamma & =\dfrac{-d}{a} . \end{aligned} $

आइए एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 5 : सत्यापित कीजिए कि $3,-1,-\dfrac{1}{3}$ घन बहुपद $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ के शून्यक हैं, और फिर शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित कीजिए।

हल : दिए गए बहुपद की $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & a=3, b=-5, c=-11, d=-3 . \text{ आगे } \\ & p(3)=3 \times 3^{3}-(5 \times 3^{2})-(11 \times 3)-3=81-45-33-3=0, \\ & p(-1)=3 \times(-1)^{3}-5 \times(-1)^{2}-