2.1 ആമുഖം

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു ചരത്തിലുള്ള ബഹുപദങ്ങളും അവയുടെ ഡിഗ്രികളും പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഓർക്കുക, $p(x)$ എന്നത് $x$ എന്ന ചരത്തിലുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണെങ്കിൽ, $p(x)$ എന്നതിൽ $x$ ന്റെ ഉയർന്ന ശക്തിയെ $p(x)$ എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $4 x+2$ എന്നത് $x$ എന്ന ചരത്തിലുള്ള ഡിഗ്രി $1,2 y^{2}-3 y+4$ ഉള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്. $y$ എന്നത് ഡിഗ്രി $2,5 x^{3}-4 x^{2}+x-\sqrt{2}$ ഉള്ള ചരം $x$ ലുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്. $7 u^{6}-\dfrac{3}{2} u^{4}+4 u^{2}+u-8$ എന്നത് ചരം $u$ ലുള്ള ഡിഗ്രി 6 ഉള്ള ഒരു ബഹുപദമാണ്. $\dfrac{1}{x-1}, \sqrt{x}+2, \dfrac{1}{x^{2}+2 x+3}$ തുടങ്ങിയ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ബഹുപദങ്ങളല്ല.

ഡിഗ്രി 1 ഉള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ ഒരു രേഖീയ ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $2 x-3$, $\sqrt{3} x+5, y+\sqrt{2}, x-\dfrac{2}{11}, 3 z+4, \dfrac{2}{3} u+1$ തുടങ്ങിയവയെല്ലാം രേഖീയ ബഹുപദങ്ങളാണ്. $2 x+5-x^{2}, x^{3}+1$ തുടങ്ങിയ ബഹുപദങ്ങൾ രേഖീയ ബഹുപദങ്ങളല്ല.

ഡിഗ്രി 2 ഉള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ‘ക്വാഡ്രാറ്റിക്’ എന്ന പേര് ‘ക്വാഡ്രേറ്റ്’ എന്ന വാക്കിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, അതിനർത്ഥം ‘സ്ക്വയർ’ എന്നാണ്. $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2,2-x^{2}+\sqrt{3} x, \dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5, \sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v, 4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ എന്നിവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങളാണ് (അവയുടെ കോഫിഷ്യന്റുകൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്). കൂടുതൽ പൊതുവായി, $x$ എന്ന ചരത്തിലുള്ള ഏതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദവും $a x^{2}+b x+c$ എന്ന രൂപത്തിലാണ്, ഇവിടെ $a, b, c$ എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, $a \neq 0$. ഡിഗ്രി 3 ഉള്ള ഒരു ബഹുപദത്തെ ക്യൂബിക് ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ക്യൂബിക് ബഹുപദത്തിന്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ $2-x^{3}, x^{3}, \sqrt{2} x^{3}, 3-x^{2}+x^{3}, 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$ ആണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു ക്യൂബിക് ബഹുപദത്തിന്റെ ഏറ്റവും പൊതുവായ രൂപം

$ a x^{3}+b x^{2}+c x+d, $

ആണ്, ഇവിടെ, $a, b, c, d$ എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, $a \neq 0$.

ഇനി $p(x)=x^{2}-3 x-4$ എന്ന ബഹുപദം പരിഗണിക്കുക. $x=2$ എന്നത് ബഹുപദത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$ ലഭിക്കുന്നു. $x^{2}-3 x-4$ എന്നതിൽ $x$ ന് പകരം 2 വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ’ -6 ’ എന്ന മൂല്യം, $x=2$ എന്നതിൽ $x^{2}-3 x-4$ ന്റെ മൂല്യമാണ്. അതുപോലെ, $p(0)$ എന്നത് $x=0$ എന്നതിൽ $p(x)$ ന്റെ മൂല്യമാണ്, അത് -4 ആണ്.

$p(x)$ എന്നത് $x$ എന്ന ചരത്തിലുള്ള ഒരു ബഹുപദമാണെങ്കിൽ, $k$ എന്നത് ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $p(x)$ എന്നതിൽ $x$ ന് പകരം $k$ വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന മൂല്യത്തെ, $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ എന്നതിൽ $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ന്റെ മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനെ $p(k)$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

$x=-1$ എന്നതിൽ $p(x)=x^{2}-3 x-4$ ന്റെ മൂല്യം എന്താണ്? നമുക്കുള്ളത്:

$ p(-1)=(-1)^{2}-{3 \times(-1)}-4=0 $

കൂടാതെ, $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

$p(-1)=0$ ഉം $p(4)=0,-1$ ഉം ആയതിനാൽ, 4 ഉം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $x^{2}-3 x-4$ ന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. കൂടുതൽ പൊതുവായി, ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $k$ എന്നത് ഒരു ബഹുപദമായ $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ ന്റെ ഒരു പൂജ്യം ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, $p(k)=0$ ആണെങ്കിൽ.

ഒരു രേഖീയ ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, $k$ എന്നത് $p(x)=2 x+3$ ന്റെ ഒരു പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, $p(k)=0$ നമുക്ക് $2 k+3=0$ നൽകുന്നു, അതായത്, $k=-\dfrac{3}{2}$.

പൊതുവായി, $k$ എന്നത് $p(x)=a x+b$ ന്റെ ഒരു പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, $p(k)=a k+b=0$, അതായത്, $k=\dfrac{-b}{a}$. അതിനാൽ, രേഖീയ ബഹുപദമായ $a x+b$ ന്റെ പൂജ്യം $\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{ Constant term })}{\text{ Coefficient of } x}$ ആണ്.

അങ്ങനെ, ഒരു രേഖീയ ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യം അതിന്റെ കോഫിഷ്യന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. മറ്റ് ബഹുപദങ്ങളുടെ കാര്യത്തിലും ഇത് സംഭവിക്കുമോ? ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങളും അതിന്റെ കോഫിഷ്യന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുണ്ടോ?

ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും. ബഹുപദങ്ങൾക്കുള്ള ഡിവിഷൻ അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ പഠിക്കും.

2.2 ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

$p(x)$ എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ ഒരു പൂജ്യം ആണ് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $k$ എന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, $p(k)=0$ ആണെങ്കിൽ. എന്നാൽ ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത്ര പ്രധാനമായത്? ഇതിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ആദ്യം രേഖീയ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ പ്രതിനിധാനങ്ങളും അവയുടെ പൂജ്യങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥവും നോക്കാം.

ആദ്യം ഒരു രേഖീയ ബഹുപദമായ $a x+b, a \neq 0$ പരിഗണിക്കുക. $y=a x+b$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, $y=2 x+3$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $(-2,-1)$, $(2,7)$ എന്നീ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ്.

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y=2 x+3 & -1 & 7 \\ \hline \end{array} $

ചിത്രം 2.1 ൽ നിന്ന്, $y=2 x+3$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ $x=-1$, $x=-2$ എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ, അതായത്, $(-\dfrac{3}{2}, 0)$ എന്ന പോയിന്റിൽ ഛേദിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. $2 x+3$ ന്റെ പൂജ്യം $-\dfrac{3}{2}$ ആണെന്നും നിങ്ങൾക്കറിയാം. അങ്ങനെ, ബഹുപദമായ $2 x+3$ ന്റെ പൂജ്യം, $y=2 x+3$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ $x$-കോർഡിനേറ്റ് ആണ്.

ചിത്രം 2.1

പൊതുവായി, ഒരു രേഖീയ ബഹുപദമായ $a x+b, a \neq 0$ എന്നതിന്, $y=a x+b$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയാണ്, അത് $x$-അക്ഷത്തെ കൃത്യമായി ഒരു പോയിന്റിൽ, അതായത്, $(\dfrac{-b}{a}, 0)$ എന്നതിൽ ഛേദിക്കുന്നു. അതിനാൽ, രേഖീയ ബഹുപദമായ $a x+b, a \neq 0$, കൃത്യമായി ഒരു പൂജ്യം മാത്രമുണ്ട്, അതായത്, $y=a x+b$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ $x$-കോർഡിനേറ്റ്.

ഇനി, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം നോക്കാം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $x^{2}-3 x-4$ പരിഗണിക്കുക. $y=x^{2}-3 x-4$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ്[^0] എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നോക്കാം. $x$ എന്നതിന് കുറച്ച് മൂല്യങ്ങൾക്കനുസൃതമായി $y=x^{2}-3 x-4$ ന്റെ കുറച്ച് മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക 2.1 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതുപോലെ ലിസ്റ്റുചെയ്യാം.

പട്ടിക 2.1

മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്ത പോയിന്റുകൾ ഒരു ഗ്രാഫ് പേപ്പറിൽ സ്ഥാനത്തുവച്ച് ഗ്രാഫ് വരച്ചാൽ, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചിത്രം 2.2 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതുപോലെ കാണപ്പെടും.

വാസ്തവത്തിൽ, ഏതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദത്തിനും $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$, അനുയോജ്യമായ സമവാക്യമായ $y=a x^{2}+b x+c$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫിന് രണ്ട് ആകൃതികളിൽ ഒന്ന് ഉണ്ട്, ഒന്നുകിൽ $\bigcup$ പോലെ മുകളിലേക്ക് തുറന്നതോ അല്ലെങ്കിൽ $\bigcap$ പോലെ താഴേക്ക് തുറന്നതോ, $a>0$ അല്ലെങ്കിൽ $a<0$ ആയതിനെ ആശ്രയിച്ച്. (ഈ വക്രങ്ങളെ പരാബോളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.)

പട്ടിക 2.1 ൽ നിന്ന് -1 ഉം 4 ഉം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ചിത്രം 2.2 ൽ നിന്നും -1 ഉം 4 ഉം $y=x^{2}-3 x-4$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റുകളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. അങ്ങനെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $x^{2}-3 x-4$ ന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ, $y=x^{2}-3 x-4$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റുകളാണ്.

ചിത്രം 2.2

ഈ വസ്തുത ഏതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദത്തിനും ശരിയാണ്, അതായത്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ, $y=a x^{2}+b x+c$ എന്നതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പരാബോള $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ കൃത്യമായ $x$-കോർഡിനേറ്റുകളാണ്.

$y=a x^{2}+b x+c$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ആകൃതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഞങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് കേസുകൾ സംഭവിക്കാം:

കേസ് (i) : ഇവിടെ, ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ A, $A^{\prime}$ എന്നീ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ ഛേദിക്കുന്നു.

$A$, $A^{\prime}$ എന്നിവയുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ കേസിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $a x^{2}+b x+c$ ന്റെ രണ്ട് പൂജ്യങ്ങളാണ് (ചിത്രം 2.3 കാണുക).

ചിത്രം 2.3

കേസ് (ii) : ഇവിടെ, ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ കൃത്യമായി ഒരു പോയിന്റിൽ, അതായത്, രണ്ട് യാദൃശ്ചിക പോയിന്റുകളിൽ ഛേദിക്കുന്നു. അതിനാൽ, കേസ് (i) ലെ A, $A^{\prime}$ എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഇവിടെ ഒന്നിച്ചുചേർന്ന് ഒരു പോയിന്റ് A ആയി മാറുന്നു (ചിത്രം 2.4 കാണുക).

ചിത്രം 2.4

A യുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റ് ഈ കേസിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $a x^{2}+b x+c$ ന്റെ ഏക പൂജ്യം മാത്രമാണ്.

കേസ് (iii) : ഇവിടെ, ഗ്രാഫ് ഒന്നുകിൽ പൂർണ്ണമായും $x$-അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ് അല്ലെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും $x$-അക്ഷത്തിന് താഴെയാണ്. അതിനാൽ, അത് $x$-അക്ഷത്തെ ഒരു പോയിന്റിലും ഛേദിക്കുന്നില്ല (ചിത്രം 2.5 കാണുക).

ചിത്രം 2.5

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദമായ $a x^{2}+b x+c$ ഈ കേസിൽ പൂജ്യങ്ങളില്ല.

അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ബഹുപദത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പൂജ്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് തുല്യ പൂജ്യങ്ങൾ (അതായത്, ഒരു പൂജ്യം), അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യങ്ങളില്ല എന്നിവ ജ്യാമിതീയമായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഇതിനർത്ഥം ഡിഗ്രി 2 ഉള്ള ഒരു ബഹുപദത്തിന് പരമാവധി രണ്ട് പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമെന്നാണ്.

ഇനി, ഒരു ക്യൂബിക് ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ക്യൂബിക് ബഹുപദമായ $x^{3}-4 x$ പരിഗണിക്കുക. $y=x^{3}-4 x$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് കാണാൻ, $x$ എന്നതിന് കുറച്ച് മൂല്യങ്ങൾക്കനുസൃതമായി $y$ ന്റെ കുറച്ച് മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക 2.2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ലിസ്റ്റുചെയ്യാം.

പട്ടിക 2.2

പട്ടികയിലെ പോയിന്റുകൾ ഒരു ഗ്രാഫ് പേപ്പറിൽ സ്ഥാനത്തുവച്ച് ഗ്രാഫ് വരച്ചാൽ, $y=x^{3}-4 x$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചിത്രം 2.6 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നതായി നമുക്ക് കാണാം.

മുകളിലെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് $-2,0$, 2 എന്നിവ ക്യൂബിക് ബഹുപദമായ $x^{3}-4 x$ ന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. $-2,0$, 2 എന്നിവ, വാസ്തവത്തിൽ, $y=x^{3}-4 x$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന ഏക പോയിന്റുകളുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റുകളാണ്. വക്രം $x$-അക്ഷത്തെ ഈ 3 പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ കണ്ടുമുട്ടുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, അവയുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമാണ് ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ.

കുറച്ച് കൂടി ഉദാഹരണങ്ങൾ എടുക്കാം. ക്യൂബിക് ബഹുപദങ്ങളായ $x^{3}$, $x^{3}-x^{2}$ എന്നിവ പരിഗണിക്കുക. $y=x^{3}$, $y=x^{3}-x^{2}$ എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ ചിത്രം 2.7, ചിത്രം 2.8 എന്നിവയിൽ യഥാക്രമം വരയ്ക്കുന്നു.

ചിത്രം 2.6

ചിത്രം 2.7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05-NCERT.png

ചിത്രം 2.8

$x^{3}$ എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ ഏക പൂജ്യം 0 ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. കൂടാതെ, ചിത്രം 2.7 ൽ നിന്ന്, 0 എന്നത് $y=x^{3}$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന ഏക പോയിന്റിന്റെ $x$-കോർഡിനേറ്റ് ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതുപോലെ, $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$, 1 എന്നിവ ബഹുപദമായ $x^{3}-x^{2}$ ന്റെ ഏക പൂജ്യങ്ങളാണ്. കൂടാതെ, ചിത്രം 2.8 ൽ നിന്ന്, ഈ മൂല്യങ്ങൾ $y=x^{3}-x^{2}$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഛേദിക്കുന്ന ഏക പോയിന്റുകളുടെ $x$-കോർഡിനേറ്റുകളാണ്.

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഏതൊരു ക്യൂബിക് ബഹുപദത്തിനും പരമാവധി 3 പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡിഗ്രി 3 ഉള്ള ഏതൊരു ബഹുപദത്തിനും പരമാവധി മൂന്ന് പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

ശ്രദ്ധിക്കുക : പൊതുവായി, ഡിഗ്രി $n$ ഉള്ള ഒരു ബഹുപദം $p(x)$ നൽകിയാൽ, $y=p(x)$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ പരമാവധി $n$ പോയിന്റുകളിൽ ഛേദിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഡിഗ്രി $n$ ഉള്ള ഒരു ബഹുപദമായ $p(x)$ ന് പരമാവധി $n$ പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

ഉദാഹരണം 1 : താഴെയുള്ള ചിത്രം 2.9 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുകൾ നോക്കുക. ഓരോന്നും $y=p(x)$ എന്നതിന്റെ ഗ്രാഫാണ്, ഇവിടെ $p(x)$ ഒരു ബഹുപദമാണ്. ഓരോ ഗ്രാഫിനും, $p(x)$ ന്റെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രം 2.9

പരിഹാരം :

(i) ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ ഒരു പോയിന്റിൽ മാത്രമേ ഛേദിക്കുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം 1 ആണ്.

(ii) ഗ്രാഫ് $x$-അക്ഷത്തെ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ ഛേദിക്കുന്നതിനാൽ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം 2 ആണ്.

(iii) പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം 3 ആണ്. (എന്തുകൊണ്ട്?)

(iv) പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം 1 ആണ്. (എന്തുകൊണ്ട്?)

(v) പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം 1 ആണ്. (എന്തുകൊണ്ട്?)

(vi) പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം 4 ആണ്. (എന്തുകൊണ്ട്?)

2.3 ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങളും കോഫിഷ്യന്റുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ഒരു രേഖീയ ബഹുപദമായ $a x+b$ ന്റെ പൂജ്യം $-\dfrac{b}{a}$ ആണെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക