ریاضیات میں شاید کوئی چیز ایسی نہیں جو مثلثیات جتنی مرکزی حیثیت رکھتی ہو۔

جے ایف ہربارٹ (1890)

8.1 تعارف

آپ نے پہلے ہی اپنی ابتدائی کلاسوں میں مثلثوں، اور خاص طور پر، قائمہ الزاویہ مثلثوں کے بارے میں پڑھا ہے۔ آئیے ہم اپنے اردگرد سے کچھ مثالیں لیں جہاں قائمہ الزاویہ مثلثوں کے بننے کا تصور کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر:

1. فرض کریں کہ ایک اسکول کے طلباء قطب مینار کی سیر کر رہے ہیں۔ اب، اگر کوئی طالب علم مینار کی چوٹی کی طرف دیکھ رہا ہے، تو ایک قائمہ الزاویہ مثلث بننے کا تصور کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ شکل 8.1 میں دکھایا گیا ہے۔ کیا طالب علم مینار کی اونچائی، بغیر اصل میں ناپے، معلوم کر سکتا ہے؟

شکل 8.1

2. فرض کریں کہ ایک لڑکی اپنے گھر کی بالکونی پر بیٹھی ہے جو دریا کے کنارے واقع ہے۔ وہ دریا کے دوسرے کنارے پر واقع ایک مندر کی سیڑھی پر رکھے گلدان کی طرف نیچے دیکھ رہی ہے۔ اس صورت حال میں ایک قائمہ الزاویہ مثلث بننے کا تصور کیا گیا ہے جیسا کہ شکل 8.2 میں دکھایا گیا ہے۔ اگر آپ جانتے ہیں کہ شخص کس اونچائی پر بیٹھا ہے، تو کیا آپ دریا کی چوڑائی معلوم کر سکتے ہیں؟

شکل 8.2

3. فرض کریں کہ ایک گرم ہوا کا غبارہ ہوا میں اڑ رہا ہے۔ ایک لڑکی نے آسمان میں غبارہ دیکھا اور اپنی ماں کو بتانے کے لیے دوڑی۔ اس کی ماں گھر سے باہر غبارہ دیکھنے کے لیے آئی۔ اب جب لڑکی نے ابتدائی طور پر غبارہ دیکھا تو وہ نقطہ A پر تھا۔ جب ماں اور بیٹی دونوں اسے دیکھنے کے لیے باہر آئیں تو وہ پہلے ہی دوسرے نقطہ B پر پہنچ چکا تھا۔ کیا آپ زمین سے $B$ کی بلندی معلوم کر سکتے ہیں؟

شکل 8.3

مندرجہ بالا تمام صورتوں میں، فاصلوں یا اونچائیوں کو کچھ ریاضیاتی تکنیکوں کے استعمال سے معلوم کیا جا سکتا ہے، جو ریاضی کی ایک شاخ جسے ‘مثلثیات’ کہتے ہیں، کے تحت آتی ہیں۔ لفظ ‘مثلثیات’ یونانی الفاظ ‘ٹرائی’ (تین کے معنی)، ‘گون’ (اضلاع کے معنی) اور ‘میٹرون’ (پیمائش کے معنی) سے ماخوذ ہے۔ درحقیقت، مثلثیات ایک مثلث کے اضلاع اور زاویوں کے درمیان تعلقات کا مطالعہ ہے۔ مثلثیات پر سب سے قدیم معلوم کام مصر اور بابل میں ریکارڈ کیا گیا تھا۔ ابتدائی ماہرین فلکیات نے ستاروں اور سیاروں کی زمین سے دوری معلوم کرنے کے لیے اس کا استعمال کیا۔ آج بھی، انجینئرنگ اور طبیعیاتی سائنسز میں استعمال ہونے والی زیادہ تر تکنیکی طور پر ترقی یافتہ طریقے مثلثیاتی تصورات پر مبنی ہیں۔

اس باب میں، ہم ایک قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کے کچھ تناسبات کا مطالعہ کریں گے اس کے تیز زاویوں کے حوالے سے، جنہیں زاویے کے مثلثیاتی تناسب کہتے ہیں۔ ہم اپنی بحث صرف تیز زاویوں تک محدود رکھیں گے۔ تاہم، ان تناسبات کو دوسرے زاویوں تک بھی بڑھایا جا سکتا ہے۔ ہم $0^{\circ}$ اور $90^{\circ}$ کی پیمائش کے زاویوں کے لیے مثلثیاتی تناسب بھی بیان کریں گے۔ ہم کچھ مخصوص زاویوں کے لیے مثلثیاتی تناسب کا حساب لگائیں گے اور ان تناسبات سے متعلق کچھ شناختیں قائم کریں گے، جنہیں مثلثیاتی شناختیں کہتے ہیں۔

8.2 مثلثیاتی تناسب

قطعہ 8.1 میں، آپ نے کچھ قائمہ الزاویہ مثلثیں دیکھی ہیں جو مختلف صورتوں میں بننے کا تصور کیا گیا تھا۔

آئیے ہم ایک قائمہ الزاویہ مثلث $ABC$ لیں جیسا کہ شکل 8.4 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 8.4

یہاں، $\angle CAB$ (یا، مختصراً، زاویہ $A$) ایک تیز زاویہ ہے۔ زاویہ $A$ کے حوالے سے ضلع $BC$ کی پوزیشن نوٹ کریں۔ یہ $\angle A$ کا سامنا کرتا ہے۔ ہم اسے زاویہ $A$ کے مقابل ضلع کہتے ہیں۔ $AC$ قائمہ الزاویہ مثلث کا وتر ہے اور ضلع $AB$ $\angle A$ کا ایک حصہ ہے۔ لہذا، ہم اسے زاویہ $A$ سے ملحقہ ضلع کہتے ہیں۔

نوٹ کریں کہ جب آپ $A$ کی جگہ زاویہ $C$ پر غور کرتے ہیں تو اضلاع کی پوزیشن بدل جاتی ہے (شکل 8.5 دیکھیں)۔

شکل 8.5

آپ نے اپنی ابتدائی کلاسوں میں ‘تناسب’ کے تصور کا مطالعہ کیا ہے۔ اب ہم ایک قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع سے متعلق کچھ مخصوص تناسب بیان کرتے ہیں، اور انہیں مثلثیاتی تناسب کہتے ہیں۔

زاویہ $A$ کے مثلثیاتی تناسب قائمہ الزاویہ مثلث $A B C$ میں (شکل 8.4 دیکھیں) مندرجہ ذیل طور پر بیان کیے جاتے ہیں:

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

مندرجہ بالا بیان کردہ تناسبات کو مختصراً $\sin A, \cos A, \tan A, cosec A, \sec A$ اور $\cot$ A کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ تناسبات $cosec \mathbf{A}, \sec \mathbf{A}$ اور $\cot \mathbf{A}$ بالترتیب، تناسبات $\sin A, \cos A$ اور $\tan A$ کے معکوس ہیں۔

نیز، مشاہدہ کریں کہ $\tan A=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{\dfrac{B C}{A C}}{\dfrac{A B}{A C}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ اور $\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}$۔

لہذا، ایک قائمہ الزاویہ مثلث میں ایک تیز زاویہ کے مثلثیاتی تناسب زاویہ اور اس کے اضلاع کی لمبائی کے درمیان تعلق کو ظاہر کرتے ہیں۔

آپ قائمہ الزاویہ مثلث میں زاویہ C کے لیے مثلثیاتی تناسب کیوں بیان نہیں کرتے؟ (شکل 8.5 دیکھیں)

آج ہمارے استعمال کے انداز میں ‘جیب’ کے تصور کا پہلا استعمال آریہ بھٹ کی تصنیف آریہ بھٹیہم میں، 500 عیسوی میں، ملتا ہے۔ آریہ بھٹ نے نصف وتر کے لیے اردھ جیا کا لفظ استعمال کیا، جو وقت گزرنے کے ساتھ مختصر ہو کر جیا یا جیو بن گیا۔ جب آریہ بھٹیہم کا عربی میں ترجمہ کیا گیا، تو لفظ جیو کو جیسا تھا ویسا ہی رکھا گیا۔ لفظ جیو کا لاطینی میں ترجمہ ہونے پر سائنوس میں ترجمہ کیا گیا، جس کا مطلب ہے خم۔ جلد ہی لفظ سائنوس، جو سائن کے طور پر بھی استعمال ہوتا تھا، پورے یورپ میں ریاضیاتی متون میں عام ہو گیا۔ فلکیات کے ایک انگریز پروفیسر ایڈمنڈ گنٹر (1581-1626) نے پہلی بار مختصر علامت ‘sin’ استعمال کی۔

آریہ بھٹ $476-550$ عیسوی

اصطلاحات ‘جیب التمام’ اور ‘ظل’ کی ابتدا بہت بعد میں ہوئی۔ جیب التمام دالہ کو تکمیلی زاویہ کی جیب کے حساب کی ضرورت سے پیدا ہوئی۔ آریہ بھٹ نے اسے کوٹی جیا کہا۔ کوسینس کا نام ایڈمنڈ گنٹر سے شروع ہوا۔ 1674 میں، انگریز ریاضی دان سر جوناس مور نے پہلی بار مختصر علامت ‘cos’ استعمال کی۔

تبصرہ: نوٹ کریں کہ علامت sin A کو ‘زاویہ A کی جیب’ کے مخفف کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ sin A، ‘sin’ اور A کا حاصل ضرب نہیں ہے۔ A سے الگ ‘sin’ کا کوئی معنی نہیں ہے۔ اسی طرح، cos A، ‘cos’ اور A کا حاصل ضرب نہیں ہے۔ دیگر مثلثیاتی تناسبات کے لیے بھی اسی طرح کی تشریحات ہیں۔

اب، اگر ہم قائمہ الزاویہ مثلث $ABC$ کے وتر $AC$ پر ایک نقطہ $P$ لیں یا $AC$ کے بڑھائے ہوئے حصے پر ایک نقطہ $Q$ لیں اور $AB$ پر عمودی $PM$ کھینچیں اور $A B$ کے بڑھائے ہوئے حصے پر عمودی $QN$ کھینچیں (شکل 8.6 دیکھیں)، تو $\triangle PAM$ میں $\angle A$ کے مثلثیاتی تناسب، $\triangle CAB$ میں $\angle A$ کے تناسب سے یا $\triangle$ QAN میں $\angle A$ کے تناسب سے کیسے مختلف ہوں گے؟

شکل 8.6

اس کا جواب دینے کے لیے، پہلے ان مثلثوں کو دیکھیں۔ کیا $\triangle$ PAM، $\triangle CAB$ کے مشابہ ہے؟ باب 6 سے، AA مشابہت معیار کو یاد کریں۔ اس معیار کا استعمال کرتے ہوئے، آپ دیکھیں گے کہ مثلث PAM اور CAB مشابہ ہیں۔ لہذا، مشابہ مثلثوں کی خاصیت کے مطابق، مثلثوں کے متناظر اضلاع متناسب ہیں۔

لہذا، ہمارے پاس ہے $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{MP}{BC}$

اس سے، ہمیں ملتا ہے

$ \begin{aligned} \dfrac{MP}{AP} & =\dfrac{BC}{AC}=\sin A . \end{aligned} $

اسی طرح، $ \begin{aligned} \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AC} & =\cos A, \dfrac{MP}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\tan A \text{ اور اسی طرح۔ } \end{aligned} $

یہ دکھاتا ہے کہ زاویہ $A$ کے مثلثیاتی تناسب $\triangle$ PAM میں، زاویہ $A$ کے تناسب $\triangle CAB$ میں مختلف نہیں ہیں۔

اسی طرح، آپ کو چیک کرنا چاہیے کہ sin A کی قدر (اور دیگر مثلثیاتی تناسبات کی بھی) $\triangle QAN$ میں بھی ایک جیسی رہتی ہے۔

ہمارے مشاہدات سے، اب یہ واضح ہے کہ کسی زاویہ کے مثلثیاتی تناسب کی قدریں مثلث کے اضلاع کی لمبائیوں کے ساتھ نہیں بدلتیں، اگر زاویہ ایک جیسا رہے۔

نوٹ: سہولت کے لیے، ہم $(\sin A)^{2},(\cos A)^{2}$ وغیرہ کی جگہ $\sin ^{2} A, \cos ^{2} A$ وغیرہ لکھ سکتے ہیں۔ لیکن $cosec A=(\sin A)^{-1} \neq \sin ^{-1} A$ (اسے سائن انورس A کہتے ہیں)۔ $\sin ^{-1} A$ کا ایک مختلف معنی ہے، جس پر اعلیٰ کلاسوں میں بحث کی جائے گی۔ دیگر مثلثیاتی تناسبات کے لیے بھی اسی طرح کے قواعد ہیں۔ کبھی کبھار، یونانی حرف $\theta$ (تھیٹا) بھی کسی زاویہ کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

ہم نے ایک تیز زاویہ کے چھ مثلثیاتی تناسب بیان کیے ہیں۔ اگر ہم کسی ایک تناسب کو جانتے ہیں، تو کیا ہم دیگر تناسبات حاصل کر سکتے ہیں؟ آئیے دیکھتے ہیں۔

اگر ایک قائمہ الزاویہ مثلث $ABC, \sin A=\dfrac{1}{3}$ میں، تو اس کا مطلب ہے کہ $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{3}$، یعنی مثلث $A B C$ کے اضلاع $BC$ اور $AC$ کی لمبائیاں تناسب $1: 3$ میں ہیں (شکل 8.7 دیکھیں)۔ لہذا اگر $BC$ برابر ہے $k$، تو $AC$ ہوگا $3 k$، جہاں $k$ کوئی مثبت عدد ہے۔ زاویہ $A$ کے لیے دیگر مثلثیاتی تناسب معلوم کرنے کے لیے، ہمیں تیسرے ضلع $A B$ کی لمبائی معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ کیا آپ کو فیثاغورث کا قاعدہ یاد ہے؟ آئیے ہم مطلوبہ لمبائی $AB$ معلوم کرنے کے لیے اسے استعمال کریں۔

شکل 8.7

$ AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=(3 k)^{2}-(k)^{2}=8 k^{2}=(2 \sqrt{2} k)^{2} $

لہذا، $\quad\quad\quad AB= \pm 2 \sqrt{2} k$

لہذا، ہمیں ملتا ہے $ AB=2 \sqrt{2} k \quad(AB کیوں -2 \sqrt{2} k نہیں ہے؟) $

اب، $ \quad\quad\quad \quad \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

اسی طرح، آپ زاویہ A کے دیگر مثلثیاتی تناسب حاصل کر سکتے ہیں۔

تبصرہ: چونکہ قائمہ الزاویہ مثلث میں وتر سب سے لمبا ضلع ہوتا ہے، اس لیے $\sin A$ یا $\cos A$ کی قدر ہمیشہ 1 سے کم ہوتی ہے (یا، خاص طور پر، 1 کے برابر)۔

آئیے ہم کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : دیا گیا ہے $\tan A=\dfrac{4}{3}$، زاویہ $A$ کے دیگر مثلثیاتی تناسب معلوم کریں۔

حل: آئیے پہلے ایک قائمہ $\triangle ABC$ بناتے ہیں (شکل 8.8 دیکھیں)۔

شکل 8.8

اب، ہم جانتے ہیں کہ $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$۔

لہذا، اگر $BC=4 k$، تو $AB=3 k$، جہاں $k$ ایک مثبت عدد ہے۔

اب، فیثاغورث قاعدہ استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(4 k)^{2}+(3 k)^{2}=25 k^{2} $

لہذا، $AC=5 k$

اب، ہم ان کی تعریفوں کا استعمال کرتے ہوئے تمام مثلثیاتی تناسب لکھ سکتے ہیں۔

$ \begin{matrix} \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4 k}{5 k}=\dfrac{4}{5} \\ \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3 k}{5 k}=\dfrac{3}{5} \end{matrix} $

لہذا، $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{3}{4}, cosec A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{5}{4}$ اور $\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$۔

مثال 2 : اگر $\angle B$ اور $\angle Q$ تیز زاویے ہیں جیسے کہ $\sin B=\sin Q$، تو ثابت کریں کہ $\angle B=\angle Q$۔

حل: آئیے ہم دو قائمہ الزاویہ مثلثیں $ABC$ اور $PQR$ لیں جہاں $\sin B=\sin Q$ (شکل 8.9 دیکھیں)۔

شکل 8.9

ہمارے پاس ہے $\sin B=\dfrac{A C}{A B}$

$ \text{ اور } \quad \quad \quad \quad \quad \sin Q=\dfrac{P R}{P Q} $

پھر $\quad \quad \quad \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PR}{PQ}$

لہذا، $$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=k \text{, say } \tag{1} $$

اب، فیثاغورث قاعدہ استعمال کرتے ہوئے،

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} \end{aligned} $

اور $ \begin{aligned} QR & =\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}} \end{aligned} $

$\text{So,} \quad \dfrac{BC}{QR}=\dfrac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2} PQ^{2}-k^{2} PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{k \sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=k \tag{2}$

(1) اور (2) سے، ہمارے پاس ہے

$$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR} $$

پھر، قاعدہ 6.4 استعمال کرتے ہوئے، $\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ اور لہذا، $\angle B=\angle Q$۔

مثال 3 : $\triangle ACB$ پر غور کریں، جو $C$ پر قائمہ الزاویہ ہے، جس میں $AB=29$ اکائیاں، $BC=21$ اکائیاں اور $\angle ABC=\theta$ (شکل 8.10 دیکھیں)۔ درج ذیل کی قدریں معلوم کریں:

شکل 8.10

(i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$،

(ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$۔

حل: $\triangle ACB$ میں، ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} & A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}} \\ & =\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{(8)(50)}=\sqrt{400}=20 \text{ اکائیاں } \end{aligned} $

لہذا، $\quad \sin \theta=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{20}{29}, \cos \theta=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{21}{29}$۔

اب، (i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=(\dfrac{20}{29})^{2}+(\dfrac{21}{29})^{2}=\dfrac{20^{2}+21^{2}}{29^{2}}=\dfrac{400+441}{841}=1$،

اور (ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=(\dfrac{21}{29})^{2}-(\dfrac{20}{29})^{2}=\dfrac{(21+20)(21-20)}{29^{2}}=\dfrac{41}{841}$۔

مثال 4 : ایک قائمہ الزاویہ مثلث $A B C$ میں، جو $B$ پر قائمہ ہے، اگر $\tan A=1$، تو تصدیق کریں کہ

$2 \sin A \cos A=1$۔

حل: $\triangle ABC, \tan A=\dfrac{BC}{AB}=1 \quad$ میں (شکل 8.11 دیکھیں)

شکل 8.11

یعنی، $ B C=A B $

فرض کریں $AB=BC=k$، جہاں $k$ ایک مثبت عدد ہے۔

اب، $$ \begin{aligned} AC & =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} \\ & =\sqrt{(k)^{2}+(k)^{2}}=k \sqrt{2} \end{aligned} $$

لہذا، $ \sin A=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ اور } \cos A=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

لہذا، $\quad 2 \sin A \cos A=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1$، جو مطلوبہ قدر ہے۔

مثال 5 : $\Delta OPQ$ میں، جو $P$ پر قائمہ ہے، $OP=7 cm$ اور $OQ-PQ=1 cm$ (شکل 8.12 دیکھیں)۔ $\sin Q$ اور $\cos Q$ کی قدریں معلوم کریں۔

شکل 8.12

حل: $\triangle OPQ$ میں، ہمارے پاس ہے

$ OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $

یعنی، $ (1+P Q)^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $(کیوں؟)

یعنی، $ \quad 1+PQ^{2}+2 PQ=OP^{2}+PQ^{2} $

یعنی، $ \quad 1+2 P Q=7^{2} \quad \quad \quad \quad \text{(کیوں؟)} $

یعنی، $ PQ=24 ~cm \text{ اور } OQ=1+PQ=25 ~cm $

لہذا، $\quad \sin Q=\dfrac{7}{25}$ اور $\cos Q=\dfrac{24}{25}$۔

8.3 کچھ مخصوص زاویوں کے مثلثیاتی تناسب

ہندسہ سے، آپ پہلے ہی $30^{\circ}, 45^{\circ}$، $60^{\circ}$ اور $90^{\circ}$ کے زاویوں کی تعمیر سے واقف ہیں۔ اس قطعہ میں، ہم ان زاویوں کے لیے مثلثیاتی تناسب کی قدریں معلوم کریں گے اور، یقیناً، $0^{\circ}$ کے لیے بھی۔

$45^{\circ}$ کے مثلثیاتی تناسب

$\triangle ABC$ میں، جو $B$ پر قائمہ ہے، اگر ایک زاویہ $45^{\circ}$ ہے، تو دوسرا زاویہ بھی $45^{\circ}$ ہے، یعنی، $\angle A=\angle C=45^{\circ}$ (شکل 8.14 دیکھیں)۔

شکل 8.14

لہذا،

$ BC=AB \quad(\text{ کیوں؟ }) $

اب، فرض کریں $BC=AB=a$۔

پھر فیثاغورث قاعدے سے، $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}$،

اور، لہذا، $\quad AC=a \sqrt{2}$۔

مثلثیاتی تناسب کی تعریفوں کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے:

$ \begin{aligned} & \sin 45^{\circ}=\dfrac{\text{ زاویہ } 45^{\circ} \text{ کے مقابل ضلع}}{\text{ وتر }}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \cos 45^{\circ}=\dfrac{\text{ زاویہ } 45^{\circ} \text{ سے ملحقہ ضلع}}{\text{ وتر }}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \tan 45^{\circ}=\dfrac{\text{ زاویہ } 45^{\circ} \text{ کے مقابل ضلع}}{\text{ زاویہ } 45^{\circ} \text{ سے ملحقہ ضلع}}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{a}=1 \end{aligned} $

نیز، $cosec 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \sec 45^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \cot 45^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 45^{\circ}}=1$۔

$30^{\circ}$ اور $60^{\circ}$ کے مثلثیاتی تناسب

آئیے اب $30^{\circ}$ اور $60^{\circ}$ کے مثلثیاتی تناسب کا حساب لگاتے ہیں۔ ایک متساوی الاضلاع مثلث $ABC$ پر غور کریں۔ چونکہ متساوی الاضلاع مثلث میں ہر زاویہ $60^{\circ}$ ہوتا ہے، لہذا، $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$۔

ضلع $BC$ پر $A$ سے عمودی $AD$ کھینچیں (شکل 8.15 دیکھیں)۔

شکل 8.15

$ \begin{aligned} \text{اب } \quad \quad \quad & \Delta ABD \cong \Delta ACD \quad(\text{ کیوں؟ }) \\ \text{لہذا، } \quad \quad \quad & BD =DC \\ \text{ اور } \quad \quad \quad & \angle BAD =\angle CAD \quad(CPCT) \end{aligned} $

اب مشاہدہ کریں کہ:

$\triangle ABD$ ایک قائمہ الزاویہ مثلث ہے، جو $D$ پر قائمہ ہے، جس میں $\angle BAD=30^{\circ}$ اور $\angle ABD=60^{\circ}$ ہے (شکل 8.15 دیکھیں)۔

جیسا کہ آپ جانتے ہیں، مثلثیاتی تناسب معلوم کرنے کے لیے، ہمیں مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں جاننے کی ضرورت ہے۔ لہذا، ہم فرض کرتے ہیں کہ $AB=2 a$۔

پھر، $ BD=\dfrac{1}{2} BC=a $

اور $ AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=(2 a)^{2}-(a)^{2}=3 a^{2}, $

لہذا، $ AD=a \sqrt{3} $

اب، ہمارے پاس ہے: $ \begin{aligned} & \sin 30^{\circ}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{a}{2 a}=\dfrac{1}{2}, \cos 30^{\circ}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2 a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \tan 30^{\circ}=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{a}{a \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} . \end{aligned} $

نیز، $\quad cosec 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}=2, \quad \sec 30^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 30^{\circ}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$$ \cot 30^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3} . $$

اسی طرح، $ \begin{aligned} \sin 60^{\circ} & =\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2 a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}, \\ \text{cosec} 60^{\circ} & =\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \sec 60^{\circ}=2 \text{ اور } \cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} . \end{aligned} $

$0^{\circ}$ اور $\mathbf{9 0}$ کے مثلثیاتی تناسب

آئیے دیکھتے ہیں کہ زاویہ $A$ کے مثلثیاتی تناسب کے ساتھ کیا ہوتا ہے، اگر اسے قائمہ الزاویہ مثلث $ABC$ میں چھوٹا اور چھوٹا کیا جائے (شکل 8.16 دیکھیں)، یہاں تک کہ یہ صفر ہو جائے۔ جیسے جیسے $\angle$ A چھوٹا ہوتا جاتا ہے، ضلع $BC$ کی لمبائی کم ہوتی جاتی ہے۔ نقطہ $C$ نقطہ $B$ کے قریب آتا جاتا ہے، اور آخرکار جب $\angle A$ بہت قریب ہو جاتا ہے $0^{\circ}, AC$ تقریباً $AB$ جیسا ہو جاتا ہے (شکل 8.17 دیکھیں)۔

شکل 8.16

شکل 8.17

جب $\angle A$ بہت قریب ہوتا ہے $0^{\circ}, BC$، تو $\sin A=\dfrac{BC}{AC}$ بہت قریب 0 ہو جاتا ہے اور لہذا $\sin A=\dfrac{BC}{AC}$ کی قدر 0 کے بہت قریب ہوتی ہے۔ نیز، جب $\angle A$ بہت قریب ہوتا ہے $0^{\circ}, AC$، تو $A B$ تقریباً $\cos A=\dfrac{A B}{A C}$ جیسا ہوتا ہے اور لہذا $\cos A=\dfrac{A B}{A C}$ کی قدر 1 کے بہت قریب ہوتی ہے۔

یہ ہمیں یہ دیکھنے میں مدد کرتا ہے کہ ہم sin A اور $\cos A$ کی قدریں کیسے بیان کر سکتے ہیں جب $A=0^{\circ}$۔ ہم بیان کرتے ہیں: $\boldsymbol{{}\operatorname { s i n }} \mathbf{0}^{\circ}=\mathbf{0}$ اور $\cos \mathbf{0}^{\circ}=\mathbf{1}$۔

ان کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے:

$\tan 0^{\circ}=\dfrac{\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}=0, \cot 0^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 0^{\circ}}$، جو بیان نہیں ہے۔ (کیوں؟)

sec $0^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 0^{\circ}}=1$ اور $cosec 0^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 0^{\circ}}$، جو پھر بیان نہیں ہے۔ (کیوں؟)

اب، آئیے دیکھتے ہیں کہ $\angle A$ کے مثلثیاتی تناسب کے ساتھ کیا ہوتا ہے، جب اسے $\triangle ABC$ میں بڑا اور بڑا کیا جاتا ہے یہاں تک کہ یہ $90^{\circ}$ ہو جاتا ہے۔ جیسے جیسے $\angle A$ بڑا ہوتا جاتا ہے، $\angle C$ چھوٹا ہوتا جاتا ہے۔ لہذا، جیسا کہ اوپر کی صورت میں، ضلع $A B$ کی لمبائی کم ہوتی جاتی ہے۔ نقطہ $A$ نقطہ $B$ کے قریب آتا جاتا ہے۔ آخرکار جب $\angle A$ بہت قریب ہوتا ہے $90^{\circ}$، تو $\angle C$ بہت قریب ہو جاتا ہے $0^{\circ}$ اور ضلع $AC$ تقریباً ضلع $BC$ کے ساتھ منطبق ہو جاتا ہے (شکل 8.18 دیکھیں)۔

شکل 8.18

جب $\angle C$ بہت قریب ہوتا ہے $0^{\circ}, \angle A$، تو $90^{\circ}$ بہت قریب ہوتا ہے $AC$، ضلع $BC$ تقریباً ضلع $A$ جیسا ہوتا ہے، اور لہذا sin $A$ 1 کے بہت قریب ہوتا ہے۔ نیز جب $\angle A$ بہت قریب ہوتا ہے $90^{\circ}$، تو $\angle C$ بہت قریب ہوتا ہے $0^{\circ}$، اور ضلع $AB$ تقریباً صفر ہوتا ہے، لہذا cos $A$ 0 کے بہت قریب ہوتا ہے۔

لہذا، ہم بیان کرتے ہیں:

$ \sin 90^{\circ}=1 \text{ اور } \cos 90^{\circ}=0 . $

اب، آپ $90^{\circ}$ کے دیگر مثلثیاتی تناسب کیوں نہیں معلوم کرتے؟

اب ہم $0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ اور $90^{\circ}$ کے تمام مثلثیاتی تناسب کی قدریں جدول 8.1 میں، فوری حوالے کے لیے، دیں گے۔

جدول 8.1

تبصرہ: اوپر دیے گئے جدول سے آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ جیسے جیسے $\angle A$ بڑھتا ہے $0^{\circ}$ سے $90^{\circ}$ تک، sin A 0 سے 1 تک بڑھتا ہے اور cos