કદાચ ગણિતમાં ત્રિકોણમિતિ જેટલું મધ્યસ્થ સ્થાન બીજું કશું નથી.

જે.એફ. હર્બાર્ટ (૧૮૯૦)

૮.૧ પ્રસ્તાવના

તમે તમારા અગાઉના વર્ગોમાં ત્રિકોણો અને ખાસ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણો વિશે અભ્યાસ કર્યો છે. ચાલો આપણી આસપાસથી કેટલાક ઉદાહરણો લઈએ જ્યાં કાટકોણ ત્રિકોણોની કલ્પના કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

૧. ધારો કે એક શાળાના વિદ્યાર્થીઓ કુતુબ મિનારની મુલાકાતે જાય છે. હવે, જો એક વિદ્યાર્થી મિનારની ટોચ તરફ જોઈ રહ્યો હોય, તો આકૃતિ ૮.૧ માં બતાવ્યા પ્રમાણે એક કાટકોણ ત્રિકોણની કલ્પના કરી શકાય છે. શું વિદ્યાર્થી વાસ્તવિક માપ વિના મિનારની ઊંચાઈ શોધી શકે?

આકૃતિ ૮.૧

૨. ધારો કે એક છોકરી નદીના કાંઠે આવેલા તેના ઘરના બાલ્કનીમાં બેઠી છે. તે નદીના બીજા કાંઠે આવેલા મંદિરની સીડી પર મૂકેલા ફૂલના ગમલા તરફ નીચે જોઈ રહી છે. આકૃતિ ૮.૨ માં બતાવ્યા પ્રમાણે આ પરિસ્થિતિમાં એક કાટકોણ ત્રિકોણની કલ્પના કરી શકાય છે. જો તમે જાણો કે વ્યક્તિ કેટલી ઊંચાઈએ બેઠી છે, તો શું તમે નદીની પહોળાઈ શોધી શકો?

આકૃતિ ૮.૨

૩. ધારો કે એક હોટ એર બેલૂન હવામાં ઉડી રહ્યું છે. એક છોકરી આકાશમાં બેલૂન જુએ છે અને તેની માતાને કહેવા દોડે છે. તેની માતા બેલૂન જોવા માટે ઘરની બહાર આવે છે. હવે જ્યારે છોકરીએ પ્રથમવાર બેલૂન જોયું ત્યારે તે બિંદુ A પર હતું. જ્યારે માતા અને પુત્રી બંને તેને જોવા બહાર આવ્યાં, ત્યારે તે બીજા બિંદુ B પર પહોંચી ગયું હતું. શું તમે જમીનથી $B$ ની ઊંચાઈ શોધી શકો?

આકૃતિ ૮.૩

ઉપર આપેલી તમામ પરિસ્થિતિઓમાં, અંતર અથવા ઊંચાઈ કેટલીક ગાણિતિક તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જે ‘ત્રિકોણમિતિ’ નામના ગણિતની એક શાખા હેઠળ આવે છે. ‘ત્રિકોણમિતિ’ શબ્દ ગ્રીક શબ્દો ‘ત્રિ’ (ત્રણનો અર્થ), ‘ગોન’ (બાજુઓનો અર્થ) અને ‘મેટ્રોન’ (માપનો અર્થ) પરથી ઉતરી આવ્યો છે. હકીકતમાં, ત્રિકોણમિતિ એ ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધોનો અભ્યાસ છે. ત્રિકોણમિતિ પરનું સૌથી પ્રાચીન જાણીતું કાર્ય ઇજિપ્ત અને બેબિલોનમાં રેકોર્ડ કરવામાં આવ્યું હતું. પ્રારંભિક ખગોળશાસ્ત્રીઓએ પૃથ્વીથી તારાઓ અને ગ્રહોનું અંતર શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો. આજે પણ, ઇજનેરી અને ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં વપરાતી મોટાભાગની તકનીકી રીતે અદ્યતન પદ્ધતિઓ ત્રિકોણમિતિના ખ્યાલો પર આધારિત છે.

આ પ્રકરણમાં, આપણે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના કેટલાક ગુણોત્તરનો તેના લઘુકોણોના સંદર્ભમાં અભ્યાસ કરીશું, જેને ખૂણાના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર કહેવાય છે. આપણે આપણી ચર્ચા ફક્ત લઘુકોણો સુધી મર્યાદિત રાખીશું. જો કે, આ ગુણોત્તર અન્ય ખૂણાઓ માટે પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે. આપણે $0^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ માપના ખૂણાઓ માટે પણ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરને વ્યાખ્યાયિત કરીશું. આપણે કેટલાક ચોક્કસ ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરની ગણતરી કરીશું અને આ ગુણોત્તરો સાથે સંકળાયેલી કેટલીક ઓળખ સ્થાપિત કરીશું, જેને ત્રિકોણમિતીય ઓળખ કહેવાય છે.

૮.૨ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર

વિભાગ ૮.૧ માં, તમે જોયું છે કે વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં કાટકોણ ત્રિકોણોની કલ્પના કરવામાં આવી છે.

ચાલો આકૃતિ ૮.૪ માં બતાવ્યા પ્રમાણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ લઈએ.

આકૃતિ ૮.૪

અહીં, $\angle CAB$ (અથવા, સંક્ષેપમાં, ખૂણો $A$) એક લઘુકોણ છે. ખૂણો $A$ ના સંદર્ભમાં બાજુ $BC$ ની સ્થિતિ નોંધો. તે $\angle A$ તરફ છે. આપણે તેને ખૂણો $A$ ની સામેની બાજુ કહીએ છીએ. $AC$ કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે અને બાજુ $AB$ એ $\angle A$ નો એક ભાગ છે. તેથી, આપણે તેને ખૂણો $A$ ની સંલગ્ન બાજુ કહીએ છીએ.

નોંધ કરો કે જ્યારે તમે $A$ ને બદલે ખૂણો $C$ ધ્યાનમાં લો છો, ત્યારે બાજુઓની સ્થિતિ બદલાય છે (આકૃતિ ૮.૫ જુઓ).

આકૃતિ ૮.૫

તમે તમારા અગાઉના વર્ગોમાં ‘ગુણોત્તર’ ની સંકલ્પનાનો અભ્યાસ કર્યો છે. હવે આપણે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ સાથે સંકળાયેલા કેટલાક ગુણોત્તરોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેમને ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર કહીએ છીએ.

કાટકોણ ત્રિકોણ $A B C$ માં ખૂણો $A$ ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર (આકૃતિ ૮.૪ જુઓ) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરેલા ગુણોત્તરોને સંક્ષેપમાં $\sin A, \cos A, \tan A, cosec A, \sec A$ અને $\cot$ A તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે ગુણોત્તર $cosec \mathbf{A}, \sec \mathbf{A}$ અને $\cot \mathbf{A}$ અનુક્રમે, ગુણોત્તર $\sin A, \cos A$ અને $\tan A$ ના વ્યસ્ત છે.

ઉપરાંત, નોંધ કરો કે $\tan A=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{\dfrac{B C}{A C}}{\dfrac{A B}{A C}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ અને $\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}$.

તેથી, કાટકોણ ત્રિકોણમાં લઘુકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો ખૂણા અને તેની બાજુઓની લંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.

તમે કાટકોણ ત્રિકોણમાં ખૂણો C માટે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કેમ નથી કરતા? (આકૃતિ ૮.૫ જુઓ)

આજે આપણે જે રીતે ‘સાઈન’ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે રીતે ‘સાઈન’ ના ખ્યાલનો પ્રથમ ઉપયોગ આર્યભટ્ટ દ્વારા ઈ.સ. ૫૦૦ માં રચિત આર્યભટીયમમાં થયો હતો. આર્યભટ્ટે અર્ધ-જ્યા માટે અર્ધ-જ્યા શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જે સમય જતાં જ્યા અથવા જીવા સુધી ટૂંકો થયો હતો. જ્યારે આર્યભટીયમનું અરબીમાં અનુવાદ કરવામાં આવ્યું ત્યારે જીવા શબ્દને તેના મૂળ સ્વરૂપમાં જ રાખવામાં આવ્યો. જ્યારે અરબી સંસ્કરણનું લેટિનમાં અનુવાદ કરવામાં આવ્યું ત્યારે જીવા શબ્દનું સાઈનસમાં અનુવાદ કરવામાં આવ્યું, જેનો અર્થ વક્ર થાય છે. ટૂંક સમયમાં, સાઈનસ શબ્દ, જે સાઈન તરીકે પણ વપરાતો હતો, સમગ્ર યુરોપમાં ગાણિતિક ગ્રંથોમાં સામાન્ય બની ગયો. ખગોળશાસ્ત્રના એક અંગ્રેજ પ્રોફેસર એડમંડ ગન્ટર (૧૫૮૧-૧૬૨૬) દ્વારા પ્રથમવાર સંક્ષિપ્ત સંકેત ‘sin’ નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

આર્યભટ્ટ ઈ.સ. $476-550$

‘કોસાઈન’ અને ‘ટેન્જેન્ટ’ શબ્દોની ઉત્પત્તિ ઘણી પછી થઈ. કોસાઈન ફંક્શન પૂરક ખૂણાના સાઈનની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાતમાંથી ઉદ્ભવ્યું હતું. આર્યભટ્ટે તેને કોટિજ્યા કહ્યું હતું. કોસાઈનસ નામ એડમંડ ગન્ટર સાથે ઉદ્ભવ્યું હતું. ૧૬૭૪ માં, અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી સર જોનાસ મૂરે પ્રથમવાર સંક્ષિપ્ત સંકેત ‘cos’ નો ઉપયોગ કર્યો હતો.

ટિપ્પણી: નોંધ કરો કે ચિહ્ન sin A નો ઉપયોગ ‘ખૂણો A નો સાઈન’ માટે સંક્ષેપ તરીકે થાય છે. sin A એ ‘sin’ અને A નો ગુણાકાર નથી. A થી અલગ થયેલ ‘sin’ નો કોઈ અર્થ નથી. તે જ રીતે, cos A એ ‘cos’ અને A નો ગુણાકાર નથી. અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો માટે પણ સમાન અર્થઘટન થાય છે.

હવે, જો આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ ના કર્ણ $AC$ પર એક બિંદુ $P$ લઈએ અથવા $AC$ ના વિસ્તૃત ભાગ પર એક બિંદુ $Q$ લઈએ અને $AB$ પર લંબ $PM$ દોરીએ અને $A B$ ના વિસ્તૃત ભાગ પર લંબ $QN$ દોરીએ (આકૃતિ ૮.૬ જુઓ), તો $\triangle PAM$ માં $\angle A$ ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો $\triangle CAB$ માં $\angle A$ ના ગુણોત્તરોથી અથવા $\triangle$ QAN માં $\angle A$ ના ગુણોત્તરોથી કેવી રીતે અલગ હશે?

આકૃતિ ૮.૬

આનો જવાબ આપવા માટે, પ્રથમ આ ત્રિકોણો જુઓ. શું $\triangle$ PAM એ $\triangle CAB$ ને સમરૂપ છે? પ્રકરણ ૬ માંથી, AA સમરૂપતા માપદંડ યાદ કરો. આ માપદંડનો ઉપયોગ કરીને, તમે જોશો કે ત્રિકોણ PAM અને CAB સમરૂપ છે. તેથી, સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ દ્વારા, ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણસર છે.

તેથી, આપણી પાસે $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{MP}{BC}$

આમાંથી, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} \dfrac{MP}{AP} & =\dfrac{BC}{AC}=\sin A . \end{aligned} $

તે જ રીતે, $ \begin{aligned} \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AC} & =\cos A, \dfrac{MP}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\tan A \text{ and so on. } \end{aligned} $

આ દર્શાવે છે કે $\triangle$ PAM માં ખૂણો $A$ ના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો $\triangle CAB$ માં ખૂણો $A$ ના ગુણોત્તરોથી અલગ નથી.

તે જ રીતે, તમારે તપાસ કરવી જોઈએ કે sin A (અને અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો) નું મૂલ્ય $\triangle QAN$ માં પણ સમાન રહે છે.

આપણા અવલોકનો પરથી, હવે સ્પષ્ટ છે કે જો ખૂણો સમાન રહે, તો ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ સાથે ખૂણાના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોના મૂલ્યો બદલાતા નથી.

નોંધ: સગવડ માટે, આપણે $(\sin A)^{2},(\cos A)^{2}$, વગેરેને બદલે $\sin ^{2} A, \cos ^{2} A$, વગેરે લખી શકીએ છીએ. પરંતુ $cosec A=(\sin A)^{-1} \neq \sin ^{-1} A$ (તેને સાઈન ઇન્વર્સ A કહેવાય છે). $\sin ^{-1} A$ નો અલગ અર્થ છે, જેની ચર્ચા ઉચ્ચ વર્ગોમાં કરવામાં આવશે. સમાન પ્રથા અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો માટે પણ લાગુ પડે છે. કેટલીકવાર, ગ્રીક અક્ષર $\theta$ (થીટા) નો ઉપયોગ ખૂણો દર્શાવવા માટે પણ થાય છે.

આપણે લઘુકોણના છ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોને વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે. જો આપણે કોઈ એક ગુણોત્તર જાણીએ, તો શું આપણે અન્ય ગુણોત્તરો મેળવી શકીએ? ચાલો જોઈએ.

જો કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC, \sin A=\dfrac{1}{3}$ માં, તો આનો અર્થ એ થાય છે કે $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{3}$, એટલે કે, ત્રિકોણ $A B C$ ની બાજુઓ $BC$ અને $AC$ ની લંબાઈઓ $1: 3$ ના ગુણોત્તરમાં છે (આકૃતિ ૮.૭ જુઓ). તેથી જો $BC$ એ $k$ બરાબર હોય, તો $AC$ એ $3 k$ હશે, જ્યાં $k$ કોઈ પણ ધન સંખ્યા છે. ખૂણો $A$ માટે અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો નક્કી કરવા માટે, આપણે ત્રીજી બાજુ $A B$ ની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. શું તમને પાયથાગોરસનો પ્રમેય યાદ છે? ચાલો જરૂરી લંબાઈ $AB$ નક્કી કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરીએ.

આકૃતિ ૮.૭

$ AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=(3 k)^{2}-(k)^{2}=8 k^{2}=(2 \sqrt{2} k)^{2} $

તેથી, $\quad\quad\quad AB= \pm 2 \sqrt{2} k$

તેથી, આપણને મળે છે $ AB=2 \sqrt{2} k \quad(\text{ AB શા માટે }-2 \sqrt{2} k \text{ નથી? }) $

હવે, $ \quad\quad\quad \quad \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

તે જ રીતે, તમે ખૂણો A ના અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો મેળવી શકો છો.

ટિપ્પણી: કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ સૌથી લાંબી બાજુ હોય છે, $\sin A$ અથવા $\cos A$ નું મૂલ્ય હંમેશા ૧ કરતા ઓછું હોય છે (અથવા, ખાસ કરીને, ૧ બરાબર).

ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ ૧ : $\tan A=\dfrac{4}{3}$ આપેલ છે, ખૂણો $A$ ના અન્ય ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધો.

ઉકેલ: ચાલો પહેલા એક કાટકોણ $\triangle ABC$ દોરીએ (આકૃતિ ૮.૮ જુઓ).

આકૃતિ ૮.૮

હવે, આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$.

તેથી, જો $BC=4 k$, તો $AB=3 k$, જ્યાં $k$ એક ધન સંખ્યા છે.

હવે, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(4 k)^{2}+(3 k)^{2}=25 k^{2} $

તેથી, $AC=5 k$

હવે, આપણે તેમની વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને તમામ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો લખી શકીએ છીએ.

$ \begin{matrix} \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4 k}{5 k}=\dfrac{4}{5} \\ \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3 k}{5 k}=\dfrac{3}{5} \end{matrix} $

તેથી, $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{3}{4}, cosec A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{5}{4}$ અને $\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$.

ઉદાહરણ ૨ : જો $\angle B$ અને $\angle Q$ એવા લઘુકોણો હોય કે $\sin B=\sin Q$, તો સાબિત કરો કે $\angle B=\angle Q$.

ઉકેલ: ચાલો આપણે બે કાટકોણ ત્રિકોણો $ABC$ અને $PQR$ ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં $\sin B=\sin Q$ (આકૃતિ ૮.૯ જુઓ).

આકૃતિ ૮.૯

આપણી પાસે $\sin B=\dfrac{A C}{A B}$

$ \text{ and } \quad \quad \quad \quad \quad \sin Q=\dfrac{P R}{P Q} $

પછી $\quad \quad \quad \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PR}{PQ}$

તેથી, $$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=k \text{, say } \tag{1} $$

હવે, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} \end{aligned} $

અને $ \begin{aligned} QR & =\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}} \end{aligned} $

$\text{So,} \quad \dfrac{BC}{QR}=\dfrac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2} PQ^{2}-k^{2} PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{k \sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=k \tag{2}$

(૧) અને (૨) માંથી, આપણી પાસે છે

$$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR} $$

પછી, પ્રમેય ૬.૪ નો ઉપયોગ કરીને, $\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ અને તેથી, $\angle B=\angle Q$.

ઉદાહરણ ૩ : $\triangle ACB$ ને ધ્યાનમાં લો, જે $C$ પર કાટકોણ છે, જેમાં $AB=29$ એકમ, $BC=21$ એકમ અને $\angle ABC=\theta$ (આકૃતિ ૮.૧૦ જુઓ). નીચેનાના મૂલ્યો નક્કી કરો:

આકૃતિ ૮.૧૦

(i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$,

(ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$.

ઉકેલ: $\triangle ACB$ માં, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} & A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}} \\ & =\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{(8)(50)}=\sqrt{400}=20 \text{ units } \end{aligned} $

તેથી, $\quad \sin \theta=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{20}{29}, \cos \theta=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{21}{29}$.

હવે, (i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=(\dfrac{20}{29})^{2}+(\dfrac{21}{29})^{2}=\dfrac{20^{2}+21^{2}}{29^{2}}=\dfrac{400+441}{841}=1$,

અને (ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=(\dfrac{21}{29})^{2}-(\dfrac{20}{29})^{2}=\dfrac{(21+20)(21-20)}{29^{2}}=\dfrac{41}{841}$.

ઉદાહરણ ૪ : એક કાટકોણ ત્રિકોણ $A B C$ માં, જે $B$ પર કાટકોણ છે, જો $\tan A=1$, તો ચકાસો કે

$2 \sin A \cos A=1$.

ઉકેલ: $\triangle ABC, \tan A=\dfrac{BC}{AB}=1 \quad$ માં (આકૃતિ ૮.૧૧ જુઓ)

આકૃતિ ૮.૧૧

એટલે કે, $ B C=A B $

ધારો કે $AB=BC=k$, જ્યાં $k$ એક ધન સંખ્યા છે.

હવે, $$ \begin{aligned} AC & =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} \\ & =\sqrt{(k)^{2}+(k)^{2}}=k \sqrt{2} \end{aligned} $$

તેથી, $ \sin A=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ and } \cos A=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

તેથી, $\quad 2 \sin A \cos A=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1$, જે જરૂરી મૂલ્ય છે.

ઉદાહરણ ૫ : $\Delta OPQ$ માં, જે $P$ પર કાટકોણ છે, $OP=7 cm$ અને $OQ-PQ=1 cm$ (આકૃતિ ૮.૧૨ જુઓ). $\sin Q$ અને $\cos Q$ ના મૂલ્યો નક્કી કરો.

આકૃતિ ૮.૧૨

ઉકેલ: $\triangle OPQ$ માં, આપણી પાસે છે

$ OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $

એટલે કે, $ (1+P Q)^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $(શા માટે?)

એટલે કે, $ \quad 1+PQ^{2}+2 PQ=OP^{2}+PQ^{2} $

એટલે કે, $ \quad 1+2 P Q=7^{2} \quad \quad \quad \quad \text{(શા માટે?)} $

એટલે કે, $ PQ=24 ~cm \text{ and } OQ=1+PQ=25 ~cm $

તેથી, $\quad \sin Q=\dfrac{7}{25}$ અને $\cos Q=\dfrac{24}{25}$.

૮.૩ કેટલાક ચોક્કસ ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર