கணிதத்தின் நடுநிலையைப் பிடித்திருக்கும் ஒன்று முக்கோணவியல் என்று சொன்னால் அது மிகையாகாது.

ஜே.எஃப். ஹெர்பார்ட் (1890)

8.1 அறிமுகம்

நீங்கள் ஏற்கனவே முக்கோணங்களைப் பற்றியும், குறிப்பாக செங்கோண முக்கோணங்களைப் பற்றியும், உங்களது முந்தைய வகுப்புகளில் படித்துள்ளீர்கள். நமது சுற்றுச்சூழலில் இருந்து சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம், அங்கு செங்கோண முக்கோணங்கள் உருவாக்கப்படுவதாக கற்பனை செய்யலாம். உதாரணமாக:

1. ஒரு பள்ளியின் மாணவர்கள் குதுப் மினாரைப் பார்க்கச் செல்கிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இப்போது, ஒரு மாணவர் மினாரின் உச்சியைப் பார்க்கிறார் என்றால், ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உருவாக்கப்படுவதாக கற்பனை செய்யலாம், படம் 8.1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. மாணவர் மினாரின் உயரத்தை, உண்மையில் அளவிடாமல், கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

படம். 8.1

2. ஒரு பெண் ஆற்றின் கரையில் அமைந்துள்ள தனது வீட்டின் பால்கனியில் அமர்ந்திருக்கிறாள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவள் ஆற்றின் மறுகரையில் அருகிலுள்ள கோவிலின் படிக்கட்டில் வைக்கப்பட்டுள்ள ஒரு பூந்தொட்டியைக் கீழே பார்க்கிறாள். இந்த நிலையில் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உருவாக்கப்படுவதாக கற்பனை செய்யப்படுகிறது, படம்.8.2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. நபர் எந்த உயரத்தில் அமர்ந்திருக்கிறார் என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்தால், நீங்கள் ஆற்றின் அகலத்தைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

படம். 8.2

3. ஒரு வெப்ப காற்று பலூன் வானில் பறக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு பெண் தற்செயலாக வானில் பலூனைக் கண்டு, அதைத் தன் அம்மாவிடம் சொல்ல ஓடுகிறாள். அவளது அம்மா வீட்டை விட்டு வெளியே ஓடி பலூனைப் பார்க்கிறாள். இப்போது பெண் முதலில் பலூனைக் கண்டபோது அது புள்ளி A இல் இருந்தது. அம்மாவும் மகளும் அதைப் பார்க்க வெளியே வந்தபோது, அது ஏற்கனவே மற்றொரு புள்ளி B க்கு பயணித்துவிட்டது. $B$ இன் தரையிலிருந்து உயரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

படம். 8.3

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து சூழ்நிலைகளிலும், ‘முக்கோணவியல்’ என்று அழைக்கப்படும் கணிதத்தின் ஒரு கிளையின் கீழ் வரும் சில கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி தூரங்கள் அல்லது உயரங்களைக் கண்டறியலாம். ‘முக்கோணவியல்’ என்ற சொல் கிரேக்க சொற்களான ‘ட்ரை’ (மூன்று என்று பொருள்), ‘கோன்’ (பக்கங்கள் என்று பொருள்) மற்றும் ‘மெட்ரான்’ (அளவு என்று பொருள்) ஆகியவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டது. உண்மையில், முக்கோணவியல் என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவுகளைப் பற்றிய ஆய்வாகும். முக்கோணவியல் குறித்த மிகப் பழமையான அறியப்பட்ட பணி எகிப்து மற்றும் பாபிலோனில் பதிவு செய்யப்பட்டது. ஆரம்பகால வானியலாளர்கள் நட்சத்திரங்கள் மற்றும் கிரகங்களின் தூரங்களை பூமியிலிருந்து கண்டுபிடிக்க இதைப் பயன்படுத்தினர். இன்றும் கூட, பொறியியல் மற்றும் இயற்பியல் அறிவியல்களில் பயன்படுத்தப்படும் பெரும்பாலான தொழில்நுட்ப ரீதியாக மேம்பட்ட முறைகள் முக்கோணவியல் கருத்துகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை.

இந்த அத்தியாயத்தில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் குறுங்கோணங்களைப் பொறுத்து அதன் பக்கங்களின் சில விகிதங்களைப் படிப்போம், அவை கோணத்தின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நமது விவாதத்தை குறுங்கோணங்களுக்கு மட்டுமே வரம்புபடுத்துவோம். இருப்பினும், இந்த விகிதங்களை மற்ற கோணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். $0^{\circ}$ மற்றும் $90^{\circ}$ அளவு கொண்ட கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் வரையறுப்போம். சில குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் கணக்கிட்டு, இந்த விகிதங்களை உள்ளடக்கிய சில அடையாளங்களை நிறுவுவோம், அவை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

8.2 முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

பிரிவு 8.1 இல், வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் உருவாக்கப்படும் செங்கோண முக்கோணங்களை நீங்கள் பார்த்துள்ளீர்கள்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம் $ABC$ படம் 8.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

படம். 8.4

இங்கே, $\angle CAB$ (அல்லது, சுருக்கமாக, கோணம் $A$) ஒரு குறுங்கோணம். கோணம் $A$ ஐப் பொறுத்து பக்கம் $BC$ இன் நிலையைக் கவனியுங்கள். அது $\angle A$ ஐ எதிர்கொள்கிறது. அதை கோணம் $A$ க்கு எதிர் பக்கம் என்று அழைக்கிறோம். $AC$ என்பது செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் மற்றும் பக்கம் $AB$ என்பது $\angle A$ இன் ஒரு பகுதியாகும். எனவே, அதை கோணம் $A$ க்கு அருகில் உள்ள பக்கம் என்று அழைக்கிறோம்.

கோணம் $A$ க்கு பதிலாக கோணம் $C$ ஐக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, பக்கங்களின் நிலை மாறுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள் (படம் 8.5 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 8.5

உங்கள் முந்தைய வகுப்புகளில் ‘விகிதம்’ என்ற கருத்தை நீங்கள் படித்துள்ளீர்கள். இப்போது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களை உள்ளடக்கிய சில விகிதங்களை வரையறுத்து, அவற்றை முக்கோணவியல் விகிதங்கள் என்று அழைக்கிறோம்.

செங்கோண முக்கோணம் $A B C$ இல் உள்ள கோணம் $A$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன (படம் 8.4 ஐப் பார்க்கவும்):

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

மேலே வரையறுக்கப்பட்ட விகிதங்கள் சுருக்கமாக $\sin A, \cos A, \tan A, cosec A, \sec A$ மற்றும் $\cot$ A எனக் குறிக்கப்படுகின்றன. $cosec \mathbf{A}, \sec \mathbf{A}$ மற்றும் $\cot \mathbf{A}$ ஆகிய விகிதங்கள் முறையே $\sin A, \cos A$ மற்றும் $\tan A$ ஆகிய விகிதங்களின் தலைகீழிகள் என்பதைக் கவனியுங்கள்.

மேலும், $\tan A=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{\dfrac{B C}{A C}}{\dfrac{A B}{A C}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ மற்றும் $\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}$ என்பதையும் கவனியுங்கள்.

எனவே, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு குறுங்கோணத்தின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள், கோணத்திற்கும் அதன் பக்கங்களின் நீளத்திற்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்துகின்றன.

செங்கோண முக்கோணத்தில் C கோணத்திற்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களை வரையறுக்க நீங்கள் ஏன் முயற்சிக்கக்கூடாது? (படம் 8.5 ஐப் பார்க்கவும்)

இன்று நாம் பயன்படுத்தும் விதத்தில் ‘சைன்’ என்ற கருத்தின் முதல் பயன்பாடு கி.பி. 500 இல் ஆரியபட்டரின் ஆரியபட்டியம் என்ற படைப்பில் இருந்தது. ஆரியபட்டர் அர்த்த-ஜ்யா என்ற சொல்லை அரை நாண்க்கு பயன்படுத்தினார், அது காலப்போக்கில் ஜ்யா அல்லது ஜீவா என சுருக்கப்பட்டது. ஆரியபட்டியம் அரபு மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டபோது, ஜீவா என்ற சொல் அப்படியே வைக்கப்பட்டது. அரபு பதிப்பு லத்தீனில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டபோது, ஜீவா என்ற சொல் சைனஸ் என மொழிபெயர்க்கப்பட்டது, அதற்கு வளைவு என்று பொருள். விரைவில் சைனஸ் என்ற சொல், சைன் என்றும் பயன்படுத்தப்பட்டது, ஐரோப்பா முழுவதும் கணித நூல்களில் பொதுவானதாக மாறியது. வானியல் பேராசிரியர் எட்மண்ட் குண்டர் (1581-1626) முதலில் சுருக்கப்பட்ட குறியீடான ‘sin’ ஐப் பயன்படுத்தினார்.

ஆரியபட்டர் கி.பி. $476-550$

‘கோசைன்’ மற்றும் ‘டேன்ஜென்ட்’ ஆகிய சொற்களின் தோற்றம் மிகவும் பிற்காலத்தில் இருந்தது. கோசைன் சார்பு நிரப்புக் கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிட வேண்டிய தேவையிலிருந்து எழுந்தது. ஆரியபட்டர் அதை கோட்டிஜ்யா என்று அழைத்தார். கோசைனஸ் என்ற பெயர் எட்மண்ட் குண்டரிடமிருந்து தோன்றியது. 1674 இல், ஆங்கில கணிதவியலாளர் சர் ஜோனாஸ் மூர் முதலில் சுருக்கப்பட்ட குறியீடான ‘cos’ ஐப் பயன்படுத்தினார்.

குறிப்பு : sin A என்ற குறியீடானது ‘கோணம் A இன் சைன்’ என்பதற்கான சுருக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். sin A என்பது ‘sin’ மற்றும் A இன் பெருக்கல் அல்ல. A இலிருந்து பிரிக்கப்பட்ட ‘sin’ க்கு எந்தப் பொருளும் இல்லை. இதேபோல், cos A என்பது ‘cos’ மற்றும் A இன் பெருக்கல் அல்ல. மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கும் இதே போன்ற விளக்கங்கள் பொருந்தும்.

இப்போது, செங்கோண முக்கோணம் $ABC$ இன் கர்ணம் $AC$ இல் ஒரு புள்ளி $P$ ஐ அல்லது $AC$ நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கத்தில் ஒரு புள்ளி $Q$ ஐ எடுத்து, $AB$ க்கு செங்குத்தாக $PM$ ஐ வரைந்து, $A B$ நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக $QN$ ஐ வரைந்தால் (படம் 8.6 ஐப் பார்க்கவும்), $\triangle PAM$ இல் உள்ள $\angle A$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் $\triangle CAB$ இல் உள்ள $\angle A$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்களிலிருந்து அல்லது $\triangle$ QAN இல் உள்ள $\angle A$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்களிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடும்?

படம். 8.6

இதற்கு பதிலளிக்க, முதலில் இந்த முக்கோணங்களைப் பாருங்கள். $\triangle$ PAM என்பது $\triangle CAB$ க்கு ஒத்ததா? அத்தியாயம் 6 இலிருந்து, AA ஒற்றுமை அளவுகோலை நினைவுகூருங்கள். இந்த அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி, முக்கோணங்கள் PAM மற்றும் CAB ஒத்தவை என்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள். எனவே, ஒத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்கும்.

எனவே, நம்மிடம் உள்ளது $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{MP}{BC}$

இதிலிருந்து, நாம் காண்கிறோம்

$ \begin{aligned} \dfrac{MP}{AP} & =\dfrac{BC}{AC}=\sin A . \end{aligned} $

இதேபோல், $ \begin{aligned} \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AC} & =\cos A, \dfrac{MP}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\tan A \text{ மற்றும் பல. } \end{aligned} $

இது $\triangle$ PAM இல் உள்ள கோணம் $A$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்கள் $\triangle CAB$ இல் உள்ள கோணம் $A$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்களிலிருந்து வேறுபடவில்லை என்பதைக் காட்டுகிறது.

அதே வழியில், $\triangle QAN$ இல் sin A இன் மதிப்பு (மற்றும் மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களும்) அப்படியே இருக்கும் என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்.

எங்கள் கவனிப்புகளிலிருந்து, கோணம் மாறாமல் இருந்தால், ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் விகிதங்களின் மதிப்புகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்துடன் மாறாது என்பது இப்போது தெளிவாகிறது.

குறிப்பு : வசதிக்காக, $(\sin A)^{2},(\cos A)^{2}$ போன்றவற்றுக்குப் பதிலாக $\sin ^{2} A, \cos ^{2} A$ போன்றவற்றை எழுதலாம். ஆனால் $cosec A=(\sin A)^{-1} \neq \sin ^{-1} A$ (இது சைன் இன்வர்ஸ் A என்று அழைக்கப்படுகிறது). $\sin ^{-1} A$ க்கு வேறுபட்ட பொருள் உள்ளது, அது உயர் வகுப்புகளில் விவாதிக்கப்படும். மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களுக்கும் இதே போன்ற மரபுகள் பொருந்தும். சில நேரங்களில், கிரேக்க எழுத்தான $\theta$ (தீட்டா) ஒரு கோணத்தைக் குறிக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு குறுங்கோணத்தின் ஆறு முக்கோணவியல் விகிதங்களை நாங்கள் வரையறுத்துள்ளோம். விகிதங்களில் ஏதேனும் ஒன்று நமக்குத் தெரிந்தால், மற்ற விகிதங்களைப் பெற முடியுமா? பார்ப்போம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் $ABC, \sin A=\dfrac{1}{3}$ இல் இருந்தால், இதன் பொருள் $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{3}$, அதாவது, முக்கோணம் $A B C$ இன் பக்கங்கள் $BC$ மற்றும் $AC$ இன் நீளங்கள் $1: 3$ என்ற விகிதத்தில் உள்ளன (படம் 8.7 ஐப் பார்க்கவும்). எனவே $BC$ என்பது $k$ க்கு சமமாக இருந்தால், $AC$ ஆனது $3 k$ ஆக இருக்கும், இங்கு $k$ என்பது ஏதேனும் ஒரு நேர்மறை எண்ணாகும். கோணம் $A$ க்கான மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களைத் தீர்மானிக்க, மூன்றாவது பக்கம் $A B$ இன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பித்தகோரஸ் தேற்றத்தை நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்களா? தேவையான நீளம் $AB$ ஐத் தீர்மானிக்க அதைப் பயன்படுத்துவோம்.

படம். 8.7

$ AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=(3 k)^{2}-(k)^{2}=8 k^{2}=(2 \sqrt{2} k)^{2} $

எனவே, $\quad\quad\quad AB= \pm 2 \sqrt{2} k$

எனவே, நாம் பெறுகிறோம் $ AB=2 \sqrt{2} k \quad(\text{ AB ஏன் }-2 \sqrt{2} k \text{ இல்லை? }) $

இப்போது, $ \quad\quad\quad \quad \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

இதேபோல், கோணம் A இன் மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் நீங்கள் பெறலாம்.

குறிப்பு : ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணமே மிக நீளமான பக்கமாக இருப்பதால், $\sin A$ அல்லது $\cos A$ இன் மதிப்பு எப்போதும் 1 க்கும் குறைவாக இருக்கும் (அல்லது, குறிப்பாக, 1 க்கு சமமாக இருக்கும்).

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : $\tan A=\dfrac{4}{3}$ கொடுக்கப்பட்டால், கோணம் $A$ இன் மற்ற முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : முதலில் ஒரு செங்கோண $\triangle ABC$ வரைவோம் (படம் 8.8 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 8.8

இப்போது, நமக்குத் தெரியும் $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$.

எனவே, $BC=4 k$ எனில், $AB=3 k$, இங்கு $k$ என்பது ஒரு நேர்மறை எண்ணாகும்.

இப்போது, பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் உள்ளது

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(4 k)^{2}+(3 k)^{2}=25 k^{2} $

எனவே, $AC=5 k$

இப்போது, அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் அவற்றின் வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்.

$ \begin{matrix} \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4 k}{5 k}=\dfrac{4}{5} \\ \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3 k}{5 k}=\dfrac{3}{5} \end{matrix} $

எனவே, $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{3}{4}, cosec A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{5}{4}$ மற்றும் $\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$.

எடுத்துக்காட்டு 2 : $\angle B$ மற்றும் $\angle Q$ ஆகியவை குறுங்கோணங்களாக இருந்து $\sin B=\sin Q$ எனில், $\angle B=\angle Q$ என நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு : இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம் $ABC$ மற்றும் $PQR$, இங்கு $\sin B=\sin Q$ (படம் 8.9 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 8.9

நம்மிடம் உள்ளது $\sin B=\dfrac{A C}{A B}$

$ \text{ மற்றும் } \quad \quad \quad \quad \quad \sin Q=\dfrac{P R}{P Q} $

பிறகு $\quad \quad \quad \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PR}{PQ}$

எனவே, $$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=k \text{, say } \tag{1} $$

இப்போது, பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} \end{aligned} $

மற்றும் $ \begin{aligned} QR & =\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}} \end{aligned} $

$\text{So,} \quad \dfrac{BC}{QR}=\dfrac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2} PQ^{2}-k^{2} PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{k \sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=k \tag{2}$

(1) மற்றும் (2) இலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது

$$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR} $$

பின்னர், தேற்றம் 6.4 ஐப் பயன்படுத்தி, $\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ மற்றும் எனவே, $\angle B=\angle Q$.

எடுத்துக்காட்டு 3 : $\triangle ACB$ ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள், இது $C$ இல் செங்கோணமாக உள்ளது, இதில் $AB=29$ அலகுகள், $BC=21$ அலகுகள் மற்றும் $\angle ABC=\theta$ (படம் 8.10 ஐப் பார்க்கவும்). பின்வருவனவற்றின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்:

படம். 8.10

(i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$,

(ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$.

தீர்வு : $\triangle ACB$ இல், நம்மிடம் உள்ளது

$ \begin{aligned} & A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}} \\ & =\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{(8)(50)}=\sqrt{400}=20 \text{ அலகுகள் } \end{aligned} $

எனவே, $\quad \sin \theta=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{20}{29}, \cos \theta=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{21}{29}$.

இப்போது, (i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=(\dfrac{20}{29})^{2}+(\dfrac{21}{29})^{2}=\dfrac{20^{2}+21^{2}}{29^{2}}=\dfrac{400+441}{841}=1$,

மற்றும் (ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=(\dfrac{21}{29})^{2}-(\dfrac{20}{29})^{2}=\dfrac{(21+20)(21-20)}{29^{2}}=\dfrac{41}{841}$.

எடுத்துக்காட்டு 4 : ஒரு செங்கோண முக்கோணம் $A B C$ இல், $B$ இல் செங்கோணமாக இருந்து $\tan A=1$ எனில், பின்வருவதைச் சரிபார்க்கவும்

$2 \sin A \cos A=1$.

தீர்வு : $\triangle ABC, \tan A=\dfrac{BC}{AB}=1 \quad$ இல் (படம் 8.11 ஐப் பார்க்கவும்)

படம். 8.11

அதாவது, $ B C=A B $

$AB=BC=k$ என்க, இங்கு $k$ என்பது ஒரு நேர்மறை எண்ணாகும்.

இப்போது, $$ \begin{aligned} AC & =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} \\ & =\sqrt{(k)^{2}+(k)^{2}}=k \sqrt{2} \end{aligned} $$

எனவே, $ \sin A=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ மற்றும் } \cos A=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

எனவே, $\quad 2 \sin A \cos A=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1$, இது தேவையான மதிப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 5 : $\Delta OPQ$ இல், $P$ இல் செங்கோணமாக இருந்து $OP=7 cm$ மற்றும் $OQ-PQ=1 cm$ (படம் 8.12 ஐப் பார்க்கவும்). $\sin Q$ மற்றும் $\cos Q$ இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும்.

படம். 8.12

தீர்வு : $\triangle OPQ$ இல், நம்மிடம் உள்ளது

$ OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $

அதாவது, $ (1+P Q)^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $(ஏன்?)

அதாவது, $ \quad 1+PQ^{2}+2 PQ=OP^{2}+PQ^{2} $

அதாவது, $ \quad 1+2 P Q=7^{2} \quad \quad \quad \quad \text{(ஏன்?)} $

அதாவது, $ PQ=24 ~செ.மீ \text{ மற்றும் } OQ=1+PQ=25 ~செ.மீ $

எனவே, $\quad \sin Q=\dfrac{7}{25}$ மற்றும் $\cos Q=\dfrac{24}{25}$.

8.3 சில குறிப்பிட்ட கோணங்களின் முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

வடிவியலில் இருந்து, $30^{\circ}, 45^{\circ}$, $60^{\circ}$ மற்றும் $90^{\circ}$ கோணங்களின் கட்டுமானம் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்திருக்கும். இந்தப் பிரிவில், இந்தக் கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் விகிதங்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிவோம், மேலும், நிச்சயமாக, $0^{\circ}$ க்கும்.

$45^{\circ}$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

$\triangle ABC$ இல், $B$ இல் செங்கோணமாக இருந்து, ஒரு கோணம் $45^{\circ}$ எனில், மற்ற கோணமும் $45^{\circ}$ ஆகும், அதாவது, $\angle A=\angle C=45^{\circ}$ (படம் 8.14 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 8.14

எனவே,

$ BC=AB \quad(\text{ ஏன்? }) $

இப்போது, $BC=AB=a$ என வைத்துக்கொள்வோம்.

பின்னர் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின்படி, $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}$,

மற்றும், எனவே, $\quad AC=a \sqrt{2}$.

முக்கோணவியல் விகிதங்களின் வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் உள்ளது:

$ \begin{aligned} & \sin 45^{\circ}=\dfrac{\text{ கோணம் } 45^{\circ} \text{ க்கு எதிர் பக்கம் }}{\text{ கர்ணம் }}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \cos 45^{\circ}=\dfrac{\text{ கோணம் } 45^{\circ} \text{ க்கு அருகில் உள்ள பக்கம் }}{\text{ கர்ணம் }}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \tan 45^{\circ}=\dfrac{\text{ கோணம் } 45^{\circ} \text{ க்கு எதிர் பக்கம் }}{\text{ கோணம் } 45^{\circ} \text{ க்கு அருகில் உள்ள பக்கம் }}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{a}=1 \end{aligned} $

மேலும், $cosec 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \sec 45^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \cot 45^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 45^{\circ}}=1$.

$30^{\circ}$ மற்றும் $60^{\circ}$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்கள்

இப்போது $30^{\circ}$ மற்றும் $60^{\circ}$ இன் முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் கணக்கிடுவோம். ஒரு சமபக்க முக்கோணம் $ABC$ ஐக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் ஒவ்வொரு கோணமும் $60^{\circ}$ ஆக இருப்பதால், எனவே, $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$.

பக்கம் $BC$ க்கு $A$ இலிருந்து செங்குத்தாக $AD$ ஐ வரையவும் (படம் 8.15 ஐப் பார்க்கவும்).

படம். 8.15

$ \begin{aligned} \text{இப்போது } \quad \quad \quad & \Delta ABD \cong \Delta ACD \quad(\text{ ஏன்? }) \\ \text{எனவே, } \quad \quad \quad & BD =DC \\ \text{ மற்றும் } \quad \quad \quad & \angle BAD =\angle CAD \quad(CPCT) \end{aligned} $

இப்போது கவனியுங்கள்:

$\triangle ABD$ என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும், இது $D$ இல் செங்கோணமாக உள்ளது, இதில் $\angle BAD=30^{\circ}$ மற்றும் $\angle ABD=60^{\circ}$ (படம் 8.15 ஐப் பார்க்கவும்).

உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் கண்டறிய, முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, $AB=2 a$ என வைத்துக்கொள்வோம்.

பிறகு, $ BD=\dfrac{1}{2} BC=a $

மற்றும் $ AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=(2 a)^{2}-(a)^{2}=3 a^{2}, $

எனவே, $ AD=a \sqrt{3} $

இப்போது, நம்மிடம் உள்ளது: $ \begin{aligned} & \sin 30^{\circ}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{a}{2 a}=\dfrac{1}{2}, \cos 30^{\circ}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2 a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \tan 30^{\circ}=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{a}{a \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} . \end{aligned} $

மேலும், $\quad cosec 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}=2, \quad \sec 30^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 30^{\circ}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$$ \cot 30^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3} . $$

இதேபோல், $ \begin{aligned} \sin 60^{\circ} & =\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2 a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}, \\ \text{cosec} 60^{\circ} & =\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \sec