ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಧ್ಯಸ್ಥಾನವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಷ್ಟು ಆಕ್ರಮಿಸಿರುವುದು ಬೇರೆ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲವೇ ಇರಬಹುದು.

ಜೆ.ಎಫ್. ಹೆರ್ಬರ್ಟ್ (1890)

8.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನಿಂದ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ :

1. ಒಂದು ಶಾಲೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕುತುಬ್ ಮಿನಾರ್ ಅನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈಗ, ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮಿನಾರ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 8.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮಿನಾರ್ನ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಳೆಯದೆಯೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಚಿತ್ರ. 8.1

2. ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗಿ ನದಿಯ ದಡದಲ್ಲಿರುವ ತನ್ನ ಮನೆಯ ಬಾಲ್ಕನಿಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾಳೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವಳು ನದಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ದಡದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಪದ ದೇವಾಲಯದ ಮೆಟ್ಟಿಲಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾದ ಹೂದಾನಿಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 8.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಯಾವ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ನದಿಯ ಅಗಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಚಿತ್ರ. 8.2

3. ಬಿಸಿ ಗಾಳಿಯ ಬಲೂನ್ ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗಿ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ ತನ್ನ ತಾಯಿಯ ಬಳಿಗೆ ಓಡಿ ಹೋಗಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳ ತಾಯಿ ಮನೆಯಿಂದ ಹೊರಗೆ ಓಡಿಬಂದು ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾಳೆ. ಈಗ ಹುಡುಗಿ ಬಲೂನ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿತ್ತು. ತಾಯಿ ಮತ್ತು ಮಗಳು ಇಬ್ಬರೂ ಅದನ್ನು ನೋಡಲು ಹೊರಗೆ ಬಂದಾಗ, ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಇನ್ನೊಂದು B ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿತ್ತು. ನೀವು $B$ ನೆಲದಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಚಿತ್ರ. 8.3

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ‘ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ’ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವ ಕೆಲವು ಗಣಿತೀಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೂರಗಳು ಅಥವಾ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ‘ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ’ ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕ್ ಪದಗಳಾದ ‘ಟ್ರೈ’ (ಮೂರು ಎಂದರ್ಥ), ‘ಗೋನ್ (ಬದಿಗಳು ಎಂದರ್ಥ) ಮತ್ತು ‘ಮೆಟ್ರಾನ್’ (ಅಳತೆ ಎಂದರ್ಥ) ಪದಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೇಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಕೆಲಸವು ಈಜಿಪ್ಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳು ಭೂಮಿಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಇಂದಿಗೂ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿದ ವಿಧಾನಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಕೆಲವು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅದರ ಲಘುಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಲಘುಕೋನಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಇತರ ಕೋನಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನಾವು $0^{\circ}$ ಮತ್ತು $90^{\circ}$ ಅಳತೆಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

8.2 ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು

ವಿಭಾಗ 8.1 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ರಚನೆಯಾಗಲು ಕಲ್ಪಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ.

ನಾವು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 8.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚಿತ್ರ. 8.4

ಇಲ್ಲಿ, $\angle CAB$ (ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಕೋನ $A$) ಒಂದು ಲಘುಕೋನವಾಗಿದೆ. ಕೋನ $A$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಿ $BC$ ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದು $\angle A$ ಅನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಕೋನ $A$ ಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. $AC$ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬದಿ $AB$ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ $\angle A$. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕೋನ $A$ ಗೆ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಕೋನ $A$ ಬದಲು $C$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಬದಿಗಳ ಸ್ಥಾನವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 8.5 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ. 8.5

ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ‘ಅನುಪಾತ’ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ನಾವು ಈಗ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $A B C$ (ಚಿತ್ರ 8.4 ನೋಡಿ) ರಲ್ಲಿ ಕೋನ $A$ ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ :

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ $\sin A, \cos A, \tan A, cosec A, \sec A$ ಮತ್ತು $\cot$ A ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಪಾತಗಳು $cosec \mathbf{A}, \sec \mathbf{A}$ ಮತ್ತು $\cot \mathbf{A}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಅನುಪಾತಗಳು $\sin A, \cos A$ ಮತ್ತು $\tan A$ ಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಅಲ್ಲದೆ, $\tan A=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{\dfrac{B C}{A C}}{\dfrac{A B}{A C}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ ಮತ್ತು $\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}$ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಲಘುಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೋನ C ಗಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನೀವು ಏಕೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ? (ಚಿತ್ರ 8.5 ನೋಡಿ)

ನಾವು ಇಂದು ಬಳಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ‘ಸೈನ್’ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೊದಲ ಬಳಕೆಯು ಆರ್ಯಭಟರು ರಚಿಸಿದ ಆರ್ಯಭಟೀಯಂ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿ.ಶ. 500 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಯಭಟರು ಅರ್ಧ-ಜ್ಯಾ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅರ್ಧ-ಜ್ಯಾ (ಹಾಫ್-ಕಾರ್ಡ್) ಗಾಗಿ ಬಳಸಿದರು, ಅದು ಕಾಲಾಂತರದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾ ಅಥವಾ ಜೀವ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಂಡಿತು. ಆರ್ಯಭಟೀಯಂ ಅನ್ನು ಅರಬ್ಬೀ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದಾಗ, ಜೀವ ಪದವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಅರಬ್ಬೀ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್‌ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದಾಗ, ಜೀವ ಪದವನ್ನು ಸೈನಸ್ ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಲಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ, ಸೈನಸ್ ಪದವು ಸೈನ್ ಎಂದೂ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟು ಯುರೋಪಿನಾದ್ಯಂತ ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಯಿತು. ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಎಡ್ಮಂಡ್ ಗುಂಟರ್ (1581-1626) ಮೊದಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತ ‘ಸಿನ್’ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು.

ಆರ್ಯಭಟ ಕ್ರಿ.ಶ. $476-550$

‘ಕೊಸೈನ್’ ಮತ್ತು ‘ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್’ ಪದಗಳ ಮೂಲವು ಬಹಳ ನಂತರದ್ದಾಗಿತ್ತು. ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಪೂರಕ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. ಆರ್ಯಭಟರು ಅದನ್ನು ಕೋಟಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆದರು. ಕೊಸೈನಸ್ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಎಡ್ಮಂಡ್ ಗುಂಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. 1674 ರಲ್ಲಿ, ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಸರ್ ಜೋನಾಸ್ ಮೂರ್ ಮೊದಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತ ‘ಕಾಸ್’ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು.

ಟಿಪ್ಪಣಿ : sin A ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ‘ಕೋನ A ಯ ಸೈನ್’ ಗಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. sin A ಎಂಬುದು ‘sin’ ಮತ್ತು A ಯ ಗುಣಲಬ್ಧವಲ್ಲ. A ಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾದ ‘sin’ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಅದೇ ರೀತಿ, cos A ಎಂಬುದು ‘cos’ ಮತ್ತು A ಯ ಗುಣಲಬ್ಧವಲ್ಲ. ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಈಗ, ನಾವು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ರ ಕರ್ಣ $AC$ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ಅನ್ನು ಅಥವಾ $AC$ ವಿಸ್ತರಿತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು $Q$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು $AB$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ $PM$ ಅನ್ನು ಮತ್ತು $A B$ ವಿಸ್ತರಿತಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ $QN$ ಅನ್ನು ಎಳೆದರೆ (ಚಿತ್ರ 8.6 ನೋಡಿ), $\triangle PAM$ ರಲ್ಲಿ $\angle A$ ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು $\triangle CAB$ ರಲ್ಲಿ $\angle A$ ನವುಗಳಿಂದ ಅಥವಾ $\triangle$ QAN ರಲ್ಲಿ $\angle A$ ನವುಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ?

ಚಿತ್ರ. 8.6

ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಮೊದಲು ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. $\triangle$ PAM ವು $\triangle CAB$ ಗೆ ಸಮರೂಪಿಯೇ? ಅಧ್ಯಾಯ 6 ರಿಂದ, AA ಸಮರೂಪತೆಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ತ್ರಿಕೋನಗಳು PAM ಮತ್ತು CAB ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮರೂಪ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಿಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{MP}{BC}$

ಇದರಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} \dfrac{MP}{AP} & =\dfrac{BC}{AC}=\sin A . \end{aligned} $

ಅದೇ ರೀತಿ, $ \begin{aligned} \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AC} & =\cos A, \dfrac{MP}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\tan A \text{ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. } \end{aligned} $

ಇದು ತ್ರಿಕೋನ $\triangle$ PAM ರಲ್ಲಿ ಕೋನ $A$ ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ತ್ರಿಕೋನ $\triangle CAB$ ರಲ್ಲಿ ಕೋನ $A$ ನವುಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, sin A (ಮತ್ತು ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳ) ಮೌಲ್ಯವು $\triangle QAN$ ರಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ನಮ್ಮ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ, ಕೋನವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಾದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ : ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು $(\sin A)^{2},(\cos A)^{2}$, ಇತ್ಯಾದಿ ಬದಲಿಗೆ $\sin ^{2} A, \cos ^{2} A$, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ $cosec A=(\sin A)^{-1} \neq \sin ^{-1} A$ (ಇದನ್ನು ಸೈನ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ A ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). $\sin ^{-1} A$ ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥವಿದೆ, ಅದನ್ನು ಉನ್ನತ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ $\theta$ (ಥೀಟಾ) ಅನ್ನು ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಲಘುಕೋನದ ಆರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಮಗೆ ಅನುಪಾತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಇತರ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೇ? ನೋಡೋಣ.

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $ABC, \sin A=\dfrac{1}{3}$ ರಲ್ಲಿ, ಆಗ ಇದರ ಅರ್ಥ $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{3}$, ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನ $A B C$ ರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು $BC$ ಮತ್ತು $AC$ ಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ $1: 3$ (ಚಿತ್ರ 8.7 ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ $BC$ $k$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $AC$ $3 k$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $k$ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕೋನ $A$ ಗಾಗಿ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಮೂರನೇ ಬದಿ $A B$ ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ? ಅಗತ್ಯವಾದ ಉದ್ದ $AB$ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ. 8.7

$ AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=(3 k)^{2}-(k)^{2}=8 k^{2}=(2 \sqrt{2} k)^{2} $

ಆದ್ದರಿಂದ,$\quad\quad\quad AB= \pm 2 \sqrt{2} k$

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $ AB=2 \sqrt{2} k \quad(\text{ AB ಏಕೆ }-2 \sqrt{2} k \text{ ಅಲ್ಲ? }) $

ಈಗ, $ \quad\quad\quad \quad \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೋನ A ಯ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣವು ಅತಿ ಉದ್ದದ ಬದಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, $\sin A$ ಅಥವಾ $\cos A$ ನ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : $\tan A=\dfrac{4}{3}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಕೋನ $A$ ನ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಮೊದಲು ಲಂಬಕೋನ $\triangle ABC$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 8.8 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ. 8.8

ಈಗ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $BC=4 k$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $AB=3 k$, ಇಲ್ಲಿ $k$ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(4 k)^{2}+(3 k)^{2}=25 k^{2} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $AC=5 k$

ಈಗ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬರೆಯಬಹುದು.

$ \begin{matrix} \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4 k}{5 k}=\dfrac{4}{5} \\ \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3 k}{5 k}=\dfrac{3}{5} \end{matrix} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{3}{4}, cosec A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{5}{4}$ ಮತ್ತು $\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : $\angle B$ ಮತ್ತು $\angle Q$ ಗಳು ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು $\sin B=\sin Q$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $\angle B=\angle Q$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಎರಡು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು $ABC$ ಮತ್ತು $PQR$ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲಿ $\sin B=\sin Q$ (ಚಿತ್ರ 8.9 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ. 8.9

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $\sin B=\dfrac{A C}{A B}$

$ \text{ ಮತ್ತು } \quad \quad \quad \quad \quad \sin Q=\dfrac{P R}{P Q} $

ಆಗ $\quad \quad \quad \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PR}{PQ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=k \text{, say } \tag{1} $$

ಈಗ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ,

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} \end{aligned} $

ಮತ್ತು $ \begin{aligned} QR & =\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}} \end{aligned} $

$\text{So,} \quad \dfrac{BC}{QR}=\dfrac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2} PQ^{2}-k^{2} PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{k \sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=k \tag{2}$

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR} $$

ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯ 6.4 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, $\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle B=\angle Q$.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : $\triangle ACB$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು $C$ ನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ $AB=29$ ಘಟಕಗಳು, $BC=21$ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು $\angle ABC=\theta$ (ಚಿತ್ರ 8.10 ನೋಡಿ). ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಚಿತ್ರ. 8.10

(i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$,

(ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$.

ಪರಿಹಾರ : $\triangle ACB$ ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} & A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}} \\ & =\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{(8)(50)}=\sqrt{400}=20 \text{ units } \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \sin \theta=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{20}{29}, \cos \theta=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{21}{29}$.

ಈಗ, (i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=(\dfrac{20}{29})^{2}+(\dfrac{21}{29})^{2}=\dfrac{20^{2}+21^{2}}{29^{2}}=\dfrac{400+441}{841}=1$,

ಮತ್ತು (ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=(\dfrac{21}{29})^{2}-(\dfrac{20}{29})^{2}=\dfrac{(21+20)(21-20)}{29^{2}}=\dfrac{41}{841}$.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $A B C$ ರಲ್ಲಿ, ಇದು $B$ ನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ, $\tan A=1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ

$2 \sin A \cos A=1$ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : $\triangle ABC, \tan A=\dfrac{BC}{AB}=1 \quad$ ರಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 8.11 ನೋಡಿ)

ಚಿತ್ರ. 8.11

ಅಂದರೆ, $ B C=A B $

$AB=BC=k$ ಆಗಿರಲಿ, ಇಲ್ಲಿ $k$ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ, $$ \begin{aligned} AC & =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} \\ & =\sqrt{(k)^{2}+(k)^{2}}=k \sqrt{2} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $ \sin A=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ ಮತ್ತು } \cos A=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad 2 \sin A \cos A=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1$, ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : $\Delta OPQ$ ರಲ್ಲಿ, ಇದು $P$ ನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ, $OP=7 cm$ ಮತ್ತು $OQ-PQ=1 cm$ (ಚಿತ್ರ 8.12 ನೋಡಿ). $\sin Q$ ಮತ್ತು $\cos Q$ ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ. 8.12

ಪರಿಹಾರ : $\triangle OPQ$ ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $

ಅಂದರೆ, $ (1+P Q)^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $(ಏಕೆ?)

ಅಂದರೆ, $ \quad 1+PQ^{2}+2 PQ=OP^{2}+PQ^{2} $

ಅಂದರೆ, $ \quad 1+2 P Q=7^{2} \quad \quad \quad \quad \text{(ಏಕೆ?)} $

ಅಂದರೆ, $ PQ=24 ~cm \text{ ಮತ್ತು } OQ=1+PQ=25 ~cm $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \sin Q=\dfrac{7}{25}$ ಮತ್ತು $\cos Q=\dfrac{24}{25}$.

8.3 ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ, ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ $30^{\circ}, 45^{\circ}$, $60^{\circ}$ ಮತ್ತು $90^{\circ}$ ಕೋನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೀರಿ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೋನಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, $0^{\circ}$ ಗಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

$45^{\circ}$ ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು

$\triangle ABC$ ರಲ್ಲಿ, ಇದು $B$ ನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಕೋನ $45^{\circ}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನವೂ ಸಹ $45^{\circ}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $\angle A=\angle C=45^{\circ}$ (ಚಿತ್ರ 8.14 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ. 8.14

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ BC=AB \quad(\text{ ಏಕೆ? }) $

ಈಗ, $BC=AB=a$ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ನಂತರ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}$,

ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad AC=a \sqrt{2}$.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅನುಪಾತಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ :

$ \begin{aligned} & \sin 45^{\circ}=\dfrac{\text{ ಕೋನ } 45^{\circ} \text{ ಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿ }}{\text{ ಕರ್ಣ }}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \