গণিতের মাঝামাঝি অবস্থানে ত্রিকোণমিতির মতো কিছুই হয়তো নেই।

জে.এফ. হারবার্ট (১৮৯০)

৮.১ ভূমিকা

তুমি ইতিমধ্যে তোমার আগের ক্লাসে ত্রিভুজ, এবং বিশেষ করে, সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে পড়েছ। আসুন আমাদের চারপাশ থেকে কিছু উদাহরণ নিই যেখানে সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হতে পারে বলে কল্পনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ :

১. ধরা যাক একটি স্কুলের শিক্ষার্থীরা কুতুব মিনার দেখতে যাচ্ছে। এখন, যদি একজন শিক্ষার্থী মিনারের শীর্ষের দিকে তাকায়, তাহলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে বলে কল্পনা করা যায়, যেমনটি চিত্র ৮.১-এ দেখানো হয়েছে। শিক্ষার্থী কি মিনারের উচ্চতা বাস্তবে মাপ ছাড়াই বের করতে পারবে?

চিত্র ৮.১

২. ধরা যাক একটি মেয়ে নদীর তীরে অবস্থিত তার বাড়ির বারান্দায় বসে আছে। সে নদীর অপর তীরে অবস্থিত একটি মন্দিরের সিঁড়িতে রাখা একটি ফুলের টবের দিকে নিচে তাকাচ্ছে। এই পরিস্থিতিতে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে বলে কল্পনা করা যায় যেমনটি চিত্র ৮.২-এ দেখানো হয়েছে। যদি তুমি জানো যে ব্যক্তিটি কত উচ্চতায় বসে আছে, তাহলে তুমি কি নদীর প্রস্থ বের করতে পারবে?

চিত্র ৮.২

৩. ধরা যাক একটি গরম বাতাসের বেলুন বাতাসে উড়ছে। একটি মেয়ে আকাশে বেলুনটি দেখতে পায় এবং তার মাকে বলতে দৌড়ায়। তার মা বেলুনটি দেখতে বাড়ি থেকে বেরিয়ে আসেন। এখন যখন মেয়েটি প্রথমে বেলুনটি দেখতে পেয়েছিল তখন এটি A বিন্দুতে ছিল। যখন মা ও মেয়ে দুজনেই এটি দেখতে বেরিয়ে আসেন, তখন এটি ইতিমধ্যেই অন্য একটি বিন্দু B-তে চলে গেছে। তুমি কি মাটি থেকে $B$-এর উচ্চতা বের করতে পারো?

চিত্র ৮.৩

উপরে দেওয়া সব পরিস্থিতিতে, কিছু গাণিতিক কৌশল ব্যবহার করে দূরত্ব বা উচ্চতা বের করা যেতে পারে, যা ‘ত্রিকোণমিতি’ নামক গণিতের একটি শাখার অধীনে আসে। ‘ত্রিকোণমিতি’ শব্দটি গ্রীক শব্দ ‘ত্রি’ (অর্থ তিন), ‘গন’ (অর্থ বাহু) এবং ‘মেট্রন’ (অর্থ পরিমাপ) থেকে উদ্ভূত। প্রকৃতপক্ষে, ত্রিকোণমিতি হল একটি ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যকার সম্পর্কের অধ্যয়ন। ত্রিকোণমিতির উপর প্রাচীনতম পরিচিত কাজ মিশর ও ব্যাবিলনে রেকর্ড করা হয়েছিল। প্রাচীন জ্যোতির্বিদরা পৃথিবী থেকে নক্ষত্র ও গ্রহগুলির দূরত্ব বের করতে এটি ব্যবহার করতেন। আজও, প্রকৌশল ও ভৌত বিজ্ঞানে ব্যবহৃত বেশিরভাগ প্রযুক্তিগতভাবে উন্নত পদ্ধতি ত্রিকোণমিতিক ধারণার উপর ভিত্তি করে।

এই অধ্যায়ে, আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে এর বাহুগুলির কিছু অনুপাত অধ্যয়ন করব, যাকে কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয়। আমরা শুধুমাত্র সূক্ষ্মকোণের জন্য আমাদের আলোচনা সীমাবদ্ধ রাখব। তবে, এই অনুপাতগুলি অন্যান্য কোণেও বর্ধিত করা যেতে পারে। আমরা $0^{\circ}$ এবং $90^{\circ}$ পরিমাপের কোণের জন্যও ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংজ্ঞায়িত করব। আমরা কিছু নির্দিষ্ট কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত গণনা করব এবং এই অনুপাতগুলিকে জড়িত কিছু অভেদ প্রতিষ্ঠা করব, যাকে ত্রিকোণমিতিক অভেদ বলা হয়।

৮.২ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

অনুচ্ছেদ ৮.১-এ, তুমি বিভিন্ন পরিস্থিতিতে গঠিত হওয়া কল্পনা করা কিছু সমকোণী ত্রিভুজ দেখেছ।

আসুন একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ নিই যেমনটি চিত্র ৮.৪-এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ৮.৪

এখানে, $\angle CAB$ (বা সংক্ষেপে, কোণ $A$) একটি সূক্ষ্মকোণ। কোণ $A$-এর সাপেক্ষে বাহু $BC$-এর অবস্থান লক্ষ্য করো। এটি $\angle A$-এর মুখোমুখি। আমরা এটিকে কোণ $A$-এর বিপরীত বাহু বলি। $AC$ হল সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং বাহু $AB$ হল $\angle A$-এর একটি অংশ। সুতরাং, আমরা এটিকে কোণ $A$-এর সংলগ্ন বাহু বলি।

লক্ষ্য করো যে, তুমি যখন $A$-এর স্থলে কোণ $C$ বিবেচনা করো তখন বাহুগুলির অবস্থান পরিবর্তিত হয় (চিত্র ৮.৫ দেখো)।

চিত্র ৮.৫

তুমি তোমার আগের ক্লাসে ‘অনুপাত’ ধারণা পড়েছ। আমরা এখন একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলিকে জড়িত কিছু অনুপাত সংজ্ঞায়িত করব, এবং সেগুলিকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলব।

সমকোণী ত্রিভুজ $A B C$-এ কোণ $A$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয় (চিত্র ৮.৪ দেখো):

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

উপরে সংজ্ঞায়িত অনুপাতগুলি সংক্ষেপে $\sin A, \cos A, \tan A, cosec A, \sec A$ এবং $\cot$ A হিসাবে লেখা হয়। লক্ষ্য করো যে অনুপাত $cosec \mathbf{A}, \sec \mathbf{A}$ এবং $\cot \mathbf{A}$ যথাক্রমে অনুপাত $\sin A, \cos A$ এবং $\tan A$-এর ব্যস্ত অনুপাত।

এছাড়াও, লক্ষ্য করো যে $\tan A=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{\dfrac{B C}{A C}}{\dfrac{A B}{A C}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ এবং $\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}$।

সুতরাং, একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি কোণ এবং এর বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যকার সম্পর্ক প্রকাশ করে।

তুমি কেন সমকোণী ত্রিভুজে কোণ C-এর জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করছ না? (চিত্র ৮.৫ দেখো)

আমরা আজ যে অর্থে ‘সাইন’ ধারণাটি ব্যবহার করি তার প্রথম ব্যবহার ছিল আর্যাভটের রচনা আর্যাভটীয়মে, ৫০০ খ্রিস্টাব্দে। আর্যাভট অর্ধ-জ্যা-এর জন্য অর্ধ-জ্যা শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন, যা সময়ের সাথে সংক্ষিপ্ত হয়ে জ্যা বা জীভা হয়েছিল। যখন আর্যাভটীয়ম আরবিতে অনুবাদ করা হয়েছিল, তখন জীভা শব্দটি যেমন ছিল তেমনই রাখা হয়েছিল। জীভা শব্দটি সাইনাসে অনুবাদ করা হয়েছিল, যার অর্থ বক্ররেখা, যখন আরবি সংস্করণটি ল্যাটিনে অনুবাদ করা হয়েছিল। শীঘ্রই সাইনাস শব্দটি, সাইন হিসাবেও ব্যবহৃত, সমগ্র ইউরোপের গণিতের পাঠ্যপুস্তকে সাধারণ হয়ে ওঠে। জ্যোতির্বিদ্যার একজন ইংরেজ অধ্যাপক এডমুন্ড গুন্টার (১৫৮১-১৬২৬) প্রথম সংক্ষিপ্ত রূপ ‘sin’ ব্যবহার করেছিলেন।

আর্যাভট খ্রিস্টাব্দ $476-550$

‘কোসাইন’ এবং ‘ট্যানজেন্ট’ শব্দগুলির উৎপত্তি অনেক পরে হয়েছিল। কোসাইন ফাংশনটি পূরক কোণের সাইন গণনা করার প্রয়োজন থেকে উদ্ভূত হয়েছিল। আর্যাভট এটিকে কোটি-জ্যা বলেছিলেন। কোসাইনাস নামটি এডমুন্ড গুন্টারের সাথে উদ্ভূত হয়েছিল। ১৬৭৪ সালে, ইংরেজ গণিতবিদ স্যার জোনাস মুর প্রথম সংক্ষিপ্ত রূপ ‘cos’ ব্যবহার করেছিলেন।

মন্তব্য : লক্ষ্য করো যে sin A চিহ্নটি ‘কোণ A-এর সাইন’-এর সংক্ষিপ্ত রূপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। sin A হল ‘sin’ এবং A-এর গুণফল নয়। A থেকে আলাদা ‘sin’-এর কোন অর্থ নেই। একইভাবে, cos A হল ‘cos’ এবং A-এর গুণফল নয়। অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের জন্যও অনুরূপ ব্যাখ্যা প্রযোজ্য।

এখন, যদি আমরা সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$-এর অতিভুজ $AC$-এর উপর একটি বিন্দু $P$ নিই বা $AC$ বর্ধিত অংশের উপর একটি বিন্দু $Q$ নিই এবং $AB$-এর উপর লম্ব $PM$ এবং $A B$ বর্ধিত অংশের উপর লম্ব $QN$ আঁকি (চিত্র ৮.৬ দেখো), তাহলে $\triangle PAM$-এ $\angle A$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি $\triangle CAB$-এ $\angle A$-এর থেকে কিভাবে ভিন্ন হবে বা $\triangle$ QAN-এ $\angle A$-এর থেকে কিভাবে ভিন্ন হবে?

চিত্র ৮.৬

এটির উত্তর দিতে, প্রথমে এই ত্রিভুজগুলির দিকে তাকাও। $\triangle$ PAM কি $\triangle CAB$-এর সদৃশ? অধ্যায় ৬ থেকে, AA সাদৃশ্য মানদণ্ডটি মনে করো। এই মানদণ্ড ব্যবহার করে, তুমি দেখবে যে ত্রিভুজ PAM এবং CAB সদৃশ। অতএব, সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম অনুসারে, ত্রিভুজগুলির অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।

সুতরাং, আমাদের আছে $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{MP}{BC}$

এ থেকে আমরা পাই

$ \begin{aligned} \dfrac{MP}{AP} & =\dfrac{BC}{AC}=\sin A . \end{aligned} $

একইভাবে, $ \begin{aligned} \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AC} & =\cos A, \dfrac{MP}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\tan A \text{ এবং তাই। } \end{aligned} $

এটি দেখায় যে $\triangle$ PAM-এ কোণ $A$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি $\triangle CAB$-এ কোণ $A$-এর থেকে ভিন্ন নয়।

একইভাবে, তুমি যাচাই করবে যে sin A-এর মান (এবং অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলিও) $\triangle QAN$-এও একই থাকে।

আমাদের পর্যবেক্ষণ থেকে, এখন এটা স্পষ্ট যে একটি কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মান ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে পরিবর্তিত হয় না, যদি কোণটি একই থাকে।

দ্রষ্টব্য : সুবিধার জন্য, আমরা যথাক্রমে $(\sin A)^{2},(\cos A)^{2}$ ইত্যাদির স্থলে $\sin ^{2} A, \cos ^{2} A$ ইত্যাদি লিখতে পারি। কিন্তু $cosec A=(\sin A)^{-1} \neq \sin ^{-1} A$ (একে A-এর বিপরীত সাইন বলা হয়)। $\sin ^{-1} A$-এর একটি ভিন্ন অর্থ আছে, যা উচ্চতর ক্লাসে আলোচনা করা হবে। অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের জন্যও অনুরূপ প্রচলন প্রযোজ্য। কখনও কখনও, গ্রীক অক্ষর $\theta$ (থিটা) একটি কোণ বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়।

আমরা একটি সূক্ষ্মকোণের ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংজ্ঞায়িত করেছি। যদি আমরা অনুপাতগুলির যেকোনো একটি জানি, তাহলে কি আমরা অন্য অনুপাতগুলি পেতে পারি? দেখা যাক।

যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC, \sin A=\dfrac{1}{3}$-এ হয়, তাহলে এর অর্থ হল যে $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{3}$, অর্থাৎ, ত্রিভুজ $A B C$-এর বাহু $BC$ এবং $AC$-এর দৈর্ঘ্য অনুপাত $1: 3$-এ আছে (চিত্র ৮.৭ দেখো)। সুতরাং যদি $BC$ হয় $k$-এর সমান, তাহলে $AC$ হবে $3 k$, যেখানে $k$ যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা। কোণ $A$-এর জন্য অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করতে, আমাদের তৃতীয় বাহু $A B$-এর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে। তুমি কি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মনে করো? আসুন প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্য $AB$ নির্ণয় করতে এটি ব্যবহার করি।

চিত্র ৮.৭

$ AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=(3 k)^{2}-(k)^{2}=8 k^{2}=(2 \sqrt{2} k)^{2} $

অতএব,$\quad\quad\quad AB= \pm 2 \sqrt{2} k$

সুতরাং, আমরা পাই $ AB=2 \sqrt{2} k \quad(\text{ কেন } AB \text{ নয় }-2 \sqrt{2} k ?) $

এখন, $ \quad\quad\quad \quad \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

একইভাবে, তুমি কোণ A-এর অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পেতে পারো।

মন্তব্য : যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ সবচেয়ে দীর্ঘ বাহু, তাই $\sin A$ বা $\cos A$-এর মান সর্বদা ১-এর কম হয় (বা বিশেষভাবে, ১-এর সমান হয়)।

আসুন কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১ : দেওয়া আছে $\tan A=\dfrac{4}{3}$, কোণ $A$-এর অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি নির্ণয় করো।

সমাধান : আসুন প্রথমে একটি সমকোণী $\triangle ABC$ আঁকি (চিত্র ৮.৮ দেখো)।

চিত্র ৮.৮

এখন, আমরা জানি যে $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$।

অতএব, যদি $BC=4 k$ হয়, তাহলে $AB=3 k$, যেখানে $k$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(4 k)^{2}+(3 k)^{2}=25 k^{2} $

সুতরাং, $AC=5 k$

এখন, আমরা তাদের সংজ্ঞা ব্যবহার করে সব ত্রিকোণমিতিক অনুপাত লিখতে পারি।

$ \begin{matrix} \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4 k}{5 k}=\dfrac{4}{5} \\ \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3 k}{5 k}=\dfrac{3}{5} \end{matrix} $

অতএব, $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{3}{4}, cosec A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{5}{4}$ এবং $\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$।

উদাহরণ ২ : যদি $\angle B$ এবং $\angle Q$ এমন সূক্ষ্মকোণ হয় যে $\sin B=\sin Q$, তাহলে প্রমাণ করো যে $\angle B=\angle Q$।

সমাধান : আসুন দুটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ এবং $PQR$ বিবেচনা করি যেখানে $\sin B=\sin Q$ (চিত্র ৮.৯ দেখো)।

চিত্র ৮.৯

আমাদের আছে $\sin B=\dfrac{A C}{A B}$

$ \text{ এবং } \quad \quad \quad \quad \quad \sin Q=\dfrac{P R}{P Q} $

তাহলে $\quad \quad \quad \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PR}{PQ}$

অতএব, $$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=k \text{, say } \tag{1} $$

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে,

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} \end{aligned} $

এবং $ \begin{aligned} QR & =\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}} \end{aligned} $

$\text{So,} \quad \dfrac{BC}{QR}=\dfrac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2} PQ^{2}-k^{2} PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{k \sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=k \tag{2}$

(১) এবং (২) থেকে, আমাদের আছে

$$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR} $$

তারপর, উপপাদ্য ৬.৪ ব্যবহার করে, $\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ এবং অতএব, $\angle B=\angle Q$।

উদাহরণ ৩ : $\triangle ACB$ বিবেচনা করো, যা $C$-এ সমকোণী, যেখানে $AB=29$ একক, $BC=21$ একক এবং $\angle ABC=\theta$ (চিত্র ৮.১০ দেখো)। নির্ণয় করো

চিত্র ৮.১০

(i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$,

(ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$।

সমাধান : $\triangle ACB$-এ, আমাদের আছে

$ \begin{aligned} & A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}} \\ & =\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{(8)(50)}=\sqrt{400}=20 \text{ একক } \end{aligned} $

সুতরাং, $\quad \sin \theta=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{20}{29}, \cos \theta=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{21}{29}$।

এখন, (i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=(\dfrac{20}{29})^{2}+(\dfrac{21}{29})^{2}=\dfrac{20^{2}+21^{2}}{29^{2}}=\dfrac{400+441}{841}=1$,

এবং (ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=(\dfrac{21}{29})^{2}-(\dfrac{20}{29})^{2}=\dfrac{(21+20)(21-20)}{29^{2}}=\dfrac{41}{841}$।

উদাহরণ ৪ : একটি সমকোণী ত্রিভুজ $A B C$-এ, যা $B$-এ সমকোণী, যদি $\tan A=1$ হয়, তাহলে যাচাই করো যে

$2 \sin A \cos A=1$।

সমাধান : $\triangle ABC, \tan A=\dfrac{BC}{AB}=1 \quad$-এ (চিত্র ৮.১১ দেখো)

চিত্র ৮.১১

অর্থাৎ, $ B C=A B $

ধরা যাক $AB=BC=k$, যেখানে $k$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

এখন, $$ \begin{aligned} AC & =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} \\ & =\sqrt{(k)^{2}+(k)^{2}}=k \sqrt{2} \end{aligned} $$

অতএব, $ \sin A=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ এবং } \cos A=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

সুতরাং, $\quad 2 \sin A \cos A=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1$, যা প্রয়োজনীয় মান।

উদাহরণ ৫ : $\Delta OPQ$-এ, যা $P$-এ সমকোণী, $OP=7 cm$ এবং $OQ-PQ=1 cm$ (চিত্র ৮.১২ দেখো)। $\sin Q$ এবং $\cos Q$-এর মান নির্ণয় করো।

চিত্র ৮.১২

সমাধান : $\triangle OPQ$-এ, আমাদের আছে

$ OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $

অর্থাৎ, $ (1+P Q)^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $(কেন?)

অর্থাৎ, $ \quad 1+PQ^{2}+2 PQ=OP^{2}+PQ^{2} $

অর্থাৎ, $ \quad 1+2 P Q=7^{2} \quad \quad \quad \quad \text{(কেন?)} $

অর্থাৎ, $ PQ=24 ~সেমি \text{ এবং } OQ=1+PQ=25 ~সেমি $

সুতরাং, $\quad \sin Q=\dfrac{7}{25}$ এবং $\cos Q=\dfrac{24}{25}$।

৮.৩ কিছু নির্দিষ্ট কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

জ্যামিতি থেকে, তুমি ইতিমধ্যেই $30^{\circ}, 45^{\circ}$, $60^{\circ}$ এবং $90^{\circ}$ কোণ গঠনের সাথে পরিচিত। এই অনুচ্ছেদে, আমরা এই কোণগুলির জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মান বের করব এবং অবশ্যই $0^{\circ}$-এর জন্য।

$45^{\circ}$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

$\triangle ABC$-এ, যা $B$-এ সমকোণী, যদি একটি কোণ $45^{\circ}$ হয়, তাহলে অপর কোণটিও $45^{\circ}$ হয়, অর্থাৎ, $\angle A=\angle C=45^{\circ}$ (চিত্র ৮.১৪ দেখো)।

চিত্র ৮.১৪

সুতরাং,

$ BC=AB \quad(\text{ কেন? }) $

এখন, ধরা যাক $BC=AB=a$।

তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}$,

এবং, অতএব, $\quad AC=a \sqrt{2}$।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমাদের আছে:

$ \begin{aligned} & \sin 45^{\circ}=\dfrac{\text{ কোণ } 45^{\circ} \text{ এর বিপরীত বাহু}}{\text{ অতিভুজ }}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \cos 45^{\circ}=\dfrac{\text{ কোণ } 45^{\circ} \text{ এর সংলগ্ন বাহু}}{\text{ অতিভুজ }}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{a}{a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \tan 45^{\circ}=\dfrac{\text{ কোণ } 45^{\circ} \text{ এর বিপরীত বাহু}}{\text{ কোণ } 45^{\circ} \text{ এর সংলগ্ন বাহু}}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{a}=1 \end{aligned} $

এছাড়াও, $cosec 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \sec 45^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \cot 45^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 45^{\circ}}=1$।

$30^{\circ}$ এবং $60^{\circ}$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আসুন এখন $30^{\circ}$ এবং $60^{\circ}$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত গণনা করি। একটি সমবাহু ত্রিভুজ $ABC$ বিবেচনা করো। যেহেতু একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^{\circ}$, অতএব, $\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$।

$BC$ বাহুর উপর $A$ থেকে লম্ব $AD$ আঁকো (চিত্র ৮.১৫ দেখো)।

চিত্র ৮.১৫

$ \begin{aligned} \text{এখন } \quad \quad \quad & \Delta ABD \cong \Delta ACD \quad(\text{ কেন? }) \\ \text{অতএব, } \quad \quad \quad & BD =DC \\ \text{ এবং } \quad \quad \quad & \angle BAD =\angle CAD \quad(CPCT) \end{aligned} $

এখন লক্ষ্য করো:

$\triangle ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যা $D$-এ সমকোণী যেখানে $\angle BAD=30^{\circ}$ এবং $\angle ABD=60^{\circ}$ (চিত্র ৮.১৫ দেখো)।

যেমন তুমি জানো, ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বের করার জন্য, আমাদের ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য জানা প্রয়োজন। সুতরাং, ধরা যাক $AB=2 a$।

তাহলে, $ BD=\dfrac{1}{2} BC=a $

এবং $ AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=(2 a)^{2}-(a)^{2}=3 a^{2}, $

অতএব, $ AD=a \sqrt{3} $

এখন, আমাদের আছে: $ \begin{aligned} & \sin 30^{\circ}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{a}{2 a}=\dfrac{1}{2}, \cos 30^{\circ}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2 a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & \tan 30^{\circ}=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{a}{a \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} . \end{aligned} $

এছাড়াও, $\quad cosec 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 30^{\circ}}=2, \quad \sec 30^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 30^{\circ}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$$ \cot 30^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3} . $$

একইভাবে, $ \begin{aligned} \sin 60^{\circ} & =\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2 a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}, \\ \text{cosec} 60^{\circ} & =\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \sec 60^{\circ}=2 \text{ এবং } \cot 60^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} . \end{aligned} $

$0^{\circ}$ এবং $\mathbf{9 0}$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

দেখা যাক সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$-এ (চিত্র ৮.১৬ দেখো) কোণ $A$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির কী হয়, যদি এটিকে ক্রমশ ছোট করা হয়, যতক্ষণ না এটি শূন্য হয়। যত $\angle$ A ছোট হতে থাকে, বাহু $BC$-এর দৈর্ঘ্য হ্রাস পায়। বিন্দু $C$ বিন্দু $B$-এর কাছাকাছি আসে, এবং শেষ পর্যন্ত যখন $\angle A$ $0^{\circ}, AC$-এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন $AB$ প্রায় একই হয়ে যায় (চিত্র ৮.১৭ দেখো)।

চিত্র ৮.১৬

চিত্র ৮.১৭

যখন $\angle A$ $0^{\circ}, BC$-এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন $\sin A=\dfrac{BC}{AC}$ খুব কাছাকাছি ০ হয় এবং তাই $\sin A=\dfrac{BC}{AC}$-এর মান ০-এর খুব কাছাকাছি হয়। এছাড়াও, যখন $\angle A$ $0^{\circ}, AC$-এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন $A B$ প্রায় $A B$-এর মতোই হয় এবং তাই $\cos A=\dfrac{A B}{A C}$-এর মান ১-এর খুব কাছাকাছি হয়।

এটি আমাদের বুঝতে সাহায্য করে যে আমরা কীভাবে sin A এবং $\cos A$-এর মান সংজ্ঞায়িত করতে পারি যখন $A=0^{\circ}$। আমরা সংজ্ঞায়িত করি: $\boldsymbol{{}\operatorname { s i n }} \mathbf{0}^{\circ}=\mathbf{0}$ এবং $\cos \mathbf{0}^{\circ}=\mathbf{1}$।

এগুলি ব্যবহার করে, আমাদের আছে:

$\tan 0^{\circ}=\dfrac{\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}=0, \cot 0^{\circ}=\dfrac{1}{\tan 0^{\circ}}$, যা সংজ্ঞায়িত নয়। (কেন?)

sec $0^{\circ}=\dfrac{1}{\cos 0^{\circ}}=1$ এবং $cosec 0^{\circ}=\dfrac{1}{\sin 0^{\circ}}$, যা আবার সংজ্ঞায়িত নয়। (কেন?)

এখন, দেখা যাক $\triangle ABC$-এ $\angle A$-এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির কী হয়, যখন এটিকে ক্রমশ বড় করা হয় যতক্ষণ না এটি $90^{\circ}$ হয়। যত $\angle A$ বড় হতে থাকে, $\angle C$ ছোট হতে থাকে। অতএব, উপরের ক্ষেত্রের মতো, বাহু $A B$-এর দৈর্ঘ্য হ্রাস পেতে থাকে। বিন্দু $A$ বিন্দু $B$-এর কাছাকাছি আসে। শেষ পর্যন্ত যখন $\angle A$ $90^{\circ}$-এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন $\angle C$ $0^{\circ}$-এর খুব কাছাকাছি হয় এবং বাহু $AC$ প্রায় বাহু $BC$-এর সাথে মিলে যায় (চিত্র ৮.১৮ দেখো)।

চিত্র ৮.১৮

যখন $\angle C$ $0^{\circ}, \angle A$-এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন $90^{\circ}$ $90^{\circ}$-এর খুব কাছাকাছি হয়, বাহু $AC$ প্রায় বাহু $BC$-এর মতোই হয়, এবং তাই sin $A$ ১-এর খুব কাছাকাছি হয়। এছাড়াও যখন $\angle A$ $90^{\circ}$-এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন $\angle C$ $0^{\circ}$-এর খুব কাছাকাছি হয়, এবং বাহু $AB$ প্রায় শূন্য হয়, তাই cos $A$ ০-এর খুব কাছাকাছি হয়।

সুতরাং, আমরা সংজ্ঞায়িত করি:

$ \sin 90^{\circ}=1 \text{ এবং } \cos 90^{\circ}=0 . $

এখন, তুমি কেন $90^{\circ}$-এর অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি বের করছ না?

আমরা এখন $0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ এবং $90^{\circ}$-এর সব ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান সারণি ৮.১-এ দেব, সহজে উল্লেখের জন্য।

সারণি ৮.১

মন্তব্য : উপরের সারণি থেকে তুমি লক্ষ্য করতে পারো যে যত $\angle A$ $0^{\circ}$ থেকে $90^{\circ}$ পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, sin A ০ থেকে ১ পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় এবং cos A ১ থেকে ০ পর্যন্ত হ্রাস পায়।

আসুন উপরের সারণির মানগুলির ব্যবহার কিছু উদাহরণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করি।

উদাহরণ ৬ : $\triangle ABC$-এ, যা $B$-এ সমকোণী, $AB=5 ~cm$ এবং $\angle ACB=30^{\circ}$ (চিত্র ৮.১৯ দেখো)। বাহু $BC$ এবং $AC$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

চিত্র ৮.১৯

সমাধান : বাহু $BC$-এর দৈর্ঘ্য বের করতে, আমরা $BC$ এবং প্রদত্ত বাহু $A B$-কে জড়িত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটি বেছে নেব। যেহেতু $B C$ হল কোণ $C$-এর সংলগ্ন বাহু এবং $AB$ হল কোণ $C$-এর বিপরীত বাহু, অতএব

$ \dfrac{AB}{BC}=\tan C $

অর্থাৎ, $ \dfrac{5}{BC}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $

যা দেয় $ BC=5 \sqrt{3} সেমি $

বাহু AC-এর দৈর্ঘ্য বের করতে, আমরা বিবেচনা করি

$ \begin{aligned} & \sin 30^{\circ} =\dfrac{AB}{AC} \quad \quad \quad \text{(কেন?)} \\ \text{ অর্থাৎ, }\quad \quad \quad & \dfrac{1}{2} =\dfrac{5}{AC} \\ \text{ অর্থাৎ, }\quad \quad \quad & AC =10 ~সেমি \end{aligned} $

লক্ষ্য করো যে বিকল্পভাবে আমরা উপরের উদাহরণে তৃতীয় বাহু নির্ণয় করতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারতাম,

অর্থাৎ, $ A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{5^{2}+(5 \sqrt{3})^{2}} সেমি=10 সেমি . $

উদাহরণ ৭ : $\Delta PQR$-