గణితశాస్త్రం యొక్క మధ్యస్థ స్థానాన్ని త్రికోణమితి వలె ఆక్రమించినది మరొకటి లేకపోవచ్చు.

జె.ఎఫ్. హెర్బార్ట్ (1890)

8.1 పరిచయం

మీరు ఇప్పటికే మీ మునుపటి తరగతులలో త్రిభుజాలు మరియు ప్రత్యేకంగా లంబకోణ త్రిభుజాల గురించి అధ్యయనం చేసారు. మన చుట్టుపక్కల నుండి లంబకోణ త్రిభుజాలు ఊహించబడే కొన్ని ఉదాహరణలను తీసుకుందాం. ఉదాహరణకు :

1. ఒక పాఠశాల విద్యార్థులు కుతుబ్ మినార్ ను సందర్శిస్తున్నారని అనుకుందాం. ఇప్పుడు, ఒక విద్యార్థి మినార్ పైభాగాన్ని చూస్తున్నట్లయితే, ఫిగ్ 8.1లో చూపినట్లుగా ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుందని ఊహించవచ్చు. విద్యార్థి మినార్ ఎత్తును వాస్తవంగా కొలవకుండా కనుగొనగలడా?

ఫిగ్. 8.1

2. ఒక అమ్మాయి నది ఒడ్డున ఉన్న తన ఇంటి బాల్కనీలో కూర్చొని ఉందని అనుకుందాం. ఆమె సమీపంలో ఉన్న మరొక నది ఒడ్డున ఉన్న ఒక ఆలయం మెట్లపై ఉంచబడిన పూలకుండీని చూస్తోంది. ఈ పరిస్థితిలో ఫిగ్ 8.2లో చూపినట్లుగా ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ఊహించబడుతుంది. వ్యక్తి ఏ ఎత్తులో కూర్చొని ఉందో మీకు తెలిస్తే, మీరు నది వెడల్పును కనుగొనగలరా?

ఫిగ్. 8.2

3. ఒక హాట్ ఎయిర్ బెలూన్ గాలిలో ఎగురుతోందని అనుకుందాం. ఒక అమ్మాయి ఆకాశంలో బెలూన్ ను చూసి దాని గురించి తన తల్లికి చెప్పడానికి పరుగెడుతుంది. ఆమె తల్లి బెలూన్ ను చూడటానికి ఇంటి నుండి బయటకు వస్తుంది. ఇప్పుడు అమ్మాయి మొదట బెలూన్ ను చూసినప్పుడు అది A బిందువు వద్ద ఉంది. తల్లి మరియు కుమార్తె ఇద్దరూ దాన్ని చూడటానికి బయటకు వచ్చినప్పుడు, అది ఇప్పటికే మరొక బిందువు B కి ప్రయాణించింది. మీరు $B$ యొక్క భూమి నుండి ఎత్తును కనుగొనగలరా?

ఫిగ్. 8.3

పైన ఇవ్వబడిన అన్ని పరిస్థితులలో, దూరాలు లేదా ఎత్తులను కొన్ని గణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు, ఇవి ‘త్రికోణమితి’ అనే గణిత శాఖలోకి వస్తాయి. ‘త్రికోణమితి’ అనే పదం గ్రీకు పదాలైన ‘ట్రై’ (మూడు అని అర్థం), ‘గోన్’ (భుజాలు అని అర్థం) మరియు ‘మెట్రాన్’ (కొలత అని అర్థం) నుండి ఉద్భవించింది. వాస్తవానికి, త్రికోణమితి అనేది త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాల అధ్యయనం. త్రికోణమితిపై తొలి తెలిసిన పని ఈజిప్ట్ మరియు బాబిలోన్లలో నమోదు చేయబడింది. ప్రారంభ ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు భూమి నుండి నక్షత్రాలు మరియు గ్రహాల దూరాలను కనుగొనడానికి దీనిని ఉపయోగించారు. నేడు కూడా, ఇంజనీరింగ్ మరియు భౌతిక శాస్త్రాలలో ఉపయోగించే చాలా సాంకేతికంగా అధునాతన పద్ధతులు త్రికోణమితి భావనలపై ఆధారపడి ఉన్నాయి.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క తీవ్ర కోణాలకు సంబంధించి దాని భుజాల కొన్ని నిష్పత్తులను అధ్యయనం చేస్తాము, వీటిని కోణం యొక్క త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు అంటారు. మన చర్చను తీవ్ర కోణాలకు మాత్రమే పరిమితం చేస్తాము. అయితే, ఈ నిష్పత్తులను ఇతర కోణాలకు కూడా విస్తరించవచ్చు. మనం $0^{\circ}$ మరియు $90^{\circ}$ కొలత గల కోణాలకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను కూడా నిర్వచిస్తాము. మనం కొన్ని నిర్దిష్ట కోణాలకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను లెక్కిస్తాము మరియు ఈ నిష్పత్తులను కలిగి ఉన్న కొన్ని గుర్తింపులను స్థాపిస్తాము, వీటిని త్రికోణమితీయ గుర్తింపులు అంటారు.

8.2 త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు

సెక్షన్ 8.1లో, మీరు వివిధ పరిస్థితులలో ఏర్పడిన లంబకోణ త్రిభుజాలను చూశారు.

మనం ఫిగ్ 8.4లో చూపినట్లుగా ఒక లంబకోణ త్రిభుజం $ABC$ ను తీసుకుందాం.

ఫిగ్. 8.4

ఇక్కడ, $\angle CAB$ (లేదా, సంక్షిప్తంగా, కోణం $A$) ఒక తీవ్ర కోణం. కోణం $A$కి సంబంధించి భుజం $BC$ యొక్క స్థానాన్ని గమనించండి. ఇది $\angle A$ను ఎదుర్కొంటుంది. మనం దానిని కోణం $A$కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం అంటాము. $AC$ లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం మరియు భుజం $AB$ $\angle A$లో ఒక భాగం. కాబట్టి, మనం దానిని కోణం $A$కి ఆసన్న భుజం అంటాము.

$A$ స్థానంలో కోణం $C$ని పరిగణించినప్పుడు భుజాల స్థానం మారుతుందని గమనించండి (ఫిగ్ 8.5 చూడండి).

ఫిగ్. 8.5

మీరు మీ మునుపటి తరగతులలో ‘నిష్పత్తి’ భావనను అధ్యయనం చేసారు. మనం ఇప్పుడు లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాలను కలిగి ఉన్న కొన్ని నిష్పత్తులను నిర్వచిస్తాము మరియు వాటిని త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు అని పిలుస్తాము.

లంబకోణ త్రిభుజం $A B C$లోని కోణం $A$ యొక్క త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు (ఫిగ్ 8.4 చూడండి) ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడ్డాయి:

$$ \begin{aligned} \text{sine of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{BC}{AC}\\ \text{cosine of } \angle A=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ hypotenuse }}=\dfrac{AB}{AC}\end{aligned} $$

$$\text{tangent of }\angle A=\dfrac{\text{ side opposite to angle } A}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{BC}{AB}$$

$$\text{cosecant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ sine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AC}{BC}$$

$$\text{secant of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ cosine of } \angle A}=\dfrac{\text{ hypotenuse }}{\text{ side adjacent to angle } A}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\text{ cotangent of }\angle A=\dfrac{1}{\text{ tangent of } \angle A}=\dfrac{\text{ side adjacent to angle } A}{\text{ side opposite to angle } A}=\dfrac{AB}{BC}$$

పైన నిర్వచించబడిన నిష్పత్తులు వరుసగా $\sin A, \cos A, \tan A, cosec A, \sec A$ మరియు $\cot$ A గా సంక్షిప్తీకరించబడ్డాయి. $cosec \mathbf{A}, \sec \mathbf{A}$ మరియు $\cot \mathbf{A}$ నిష్పత్తులు వరుసగా $\sin A, \cos A$ మరియు $\tan A$ నిష్పత్తుల పరస్పరాలు అని గమనించండి.

అలాగే, $\tan A=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{\dfrac{B C}{A C}}{\dfrac{A B}{A C}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ మరియు $\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}$ అని గమనించండి.

కాబట్టి, లంబకోణ త్రిభుజంలోని తీవ్ర కోణం యొక్క త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు కోణం మరియు దాని భుజాల పొడవు మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తాయి.

లంబకోణ త్రిభుజంలో C కోణం కోసం త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను నిర్వచించడానికి మీరు ఎందుకు ప్రయత్నించరు? (ఫిగ్ 8.5 చూడండి)

ఈ రోజు మనం ఉపయోగించే విధంగా ‘సైన్’ యొక్క ఆలోచన యొక్క మొదటి ఉపయోగం ఆర్యభటుడి ఆర్యభటీయంలో, క్రీ.శ. 500లో ఉంది. ఆర్యభటుడు అర్ధ-జ్యా అనే పదాన్ని అర్ధ-తీగ కోసం ఉపయోగించాడు, ఇది కాలక్రమేణా జ్యా లేదా జీవా గా సంక్షిప్తీకరించబడింది. ఆర్యభటీయం అరబిక్ భాషలోకి అనువదించబడినప్పుడు, జీవా అనే పదం అలాగే ఉంచబడింది. అరబిక్ వెర్షన్ లాటిన్ భాషలోకి అనువదించబడినప్పుడు, జీవా అనే పదం సైనస్ గా అనువదించబడింది, దీని అర్థం వక్రరేఖ. త్వరలో, సైనస్ అనే పదం, సైన్ గా కూడా ఉపయోగించబడింది, ఐరోపాలోని గణిత గ్రంథాలలో సాధారణమైంది. ఖగోళ శాస్త్రం యొక్క ఇంగ్లీష్ ప్రొఫెసర్ ఎడ్మండ్ గుంటర్ (1581-1626), మొదటి సారి సంక్షిప్త సంజ్ఞ ‘sin’ ను ఉపయోగించాడు.

ఆర్యభటుడు క్రీ.శ. $476-550$

‘కొసైన్’ మరియు ‘టాంజెంట్’ పదాల మూలం చాలా తరువాత ఉంది. కొసైన్ ఫంక్షన్ పూరక కోణం యొక్క సైన్ ను గణించాల్సిన అవసరం నుండి ఉద్భవించింది. ఆర్యభట్ట దీనిని కోటిజ్య అని పిలిచాడు. కొసైనస్ అనే పేరు ఎడ్మండ్ గుంటర్ నుండి ఉద్భవించింది. 1674లో, ఇంగ్లీష్ గణిత శాస్త్రవేత్త సర్ జోనాస్ మూర్ మొదటి సారి సంక్షిప్త సంజ్ఞ ‘cos’ ను ఉపయోగించాడు.

గమనిక : sin A అనే చిహ్నం ‘కోణం A యొక్క సైన్’ కోసం సంక్షిప్త రూపంగా ఉపయోగించబడుతుందని గమనించండి. sin A అనేది ‘sin’ మరియు A యొక్క గుణకారం కాదు. A నుండి వేరు చేయబడిన ‘sin’ కు ఎటువంటి అర్థం లేదు. అదేవిధంగా, cos A అనేది ‘cos’ మరియు A యొక్క గుణకారం కాదు. ఇతర త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులకు కూడా ఇలాంటి అర్థాలు వర్తిస్తాయి.

ఇప్పుడు, మనం లంబకోణ త్రిభుజం $ABC$ యొక్క కర్ణం $AC$ పై ఒక బిందువు $P$ ను లేదా $AC$ పొడిగించబడిన భుజంపై ఒక బిందువు $Q$ ను తీసుకుంటే మరియు $AB$ కు లంబంగా $PM$ ను మరియు $A B$ పొడిగించబడిన భుజానికి లంబంగా $QN$ ను గీస్తే (ఫిగ్ 8.6 చూడండి), $\triangle PAM$ లోని $\angle A$ యొక్క త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు $\triangle CAB$ లోని $\angle A$ నుండి లేదా $\triangle$ QAN లోని $\angle A$ నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి?

ఫిగ్. 8.6

దీనికి సమాధానం ఇవ్వడానికి, ముందుగా ఈ త్రిభుజాలను చూడండి. $\triangle$ PAM అనేది $\triangle CAB$ కు సమానంగా ఉందా? అధ్యాయం 6 నుండి, AA సారూప్యత ప్రమాణాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి. ఈ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి, త్రిభుజాలు PAM మరియు CAB సమానంగా ఉన్నాయని మీరు చూస్తారు. కాబట్టి, సమాన త్రిభుజాల లక్షణం ప్రకారం, త్రిభుజాల సంబంధిత భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

కాబట్టి, మనకు $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{MP}{BC}$ ఉంది

దీని నుండి, మనం కనుగొంటాము

$ \begin{aligned} \dfrac{MP}{AP} & =\dfrac{BC}{AC}=\sin A . \end{aligned} $

అదేవిధంగా, $ \begin{aligned} \dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AC} & =\cos A, \dfrac{MP}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\tan A \text{ and so on. } \end{aligned} $

ఇది $\triangle$ PAM లోని కోణం $A$ యొక్క త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు $\triangle CAB$ లోని కోణం $A$ నుండి భిన్నంగా లేవని చూపిస్తుంది.

అదే విధంగా, sin A యొక్క విలువ (మరియు ఇతర త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు కూడా) $\triangle QAN$ లో కూడా అలాగే ఉంటుందని మీరు తనిఖీ చేయాలి.

మన పరిశీలనల నుండి, కోణం యొక్క త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల విలువలు త్రిభుజం భుజాల పొడవులతో మారవని ఇప్పుడు స్పష్టంగా ఉంది, కోణం అలాగే ఉంటే.

గమనిక : సౌలభ్యం కోసం, మనం $(\sin A)^{2},(\cos A)^{2}$, మొదలైన వాటి స్థానంలో వరుసగా $\sin ^{2} A, \cos ^{2} A$, మొదలైన వాటిని వ్రాయవచ్చు. కానీ $cosec A=(\sin A)^{-1} \neq \sin ^{-1} A$ (దీనిని సైన్ ఇన్వర్స్ A అంటారు). $\sin ^{-1} A$ కు వేరే అర్థం ఉంది, దీనిని ఉన్నత తరగతులలో చర్చిస్తారు. ఇతర త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులకు కూడా ఇలాంటి సంప్రదాయాలు వర్తిస్తాయి. కొన్నిసార్లు, గ్రీకు అక్షరం $\theta$ (థీటా) కూడా ఒక కోణాన్ని సూచించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

మనం తీవ్ర కోణం యొక్క ఆరు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను నిర్వచించాము. నిష్పత్తులలో ఏదైనా ఒకటి మనకు తెలిస్తే, మనం ఇతర నిష్పత్తులను పొందగలమా? చూద్దాం.

లంబకోణ త్రిభుజం $ABC, \sin A=\dfrac{1}{3}$లో ఉంటే, అప్పుడు ఇది $\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{3}$ అని అర్థం, అనగా, త్రిభుజం $A B C$ యొక్క భుజాలు $BC$ మరియు $AC$ యొక్క పొడవులు $1: 3$ నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి (ఫిగ్ 8.7 చూడండి). కాబట్టి $BC$ $k$కి సమానమైతే, అప్పుడు $AC$ $3 k$ అవుతుంది, ఇక్కడ $k$ ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య. కోణం $A$ కోసం ఇతర త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను నిర్ణయించడానికి, మనం మూడవ భుజం $A B$ యొక్క పొడవును కనుగొనాలి. మీరు పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుకు తెస్తున్నారా? అవసరమైన పొడవు $AB$ని నిర్ణయించడానికి దాన్ని ఉపయోగించుకుందాం.

ఫిగ్. 8.7

$ AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=(3 k)^{2}-(k)^{2}=8 k^{2}=(2 \sqrt{2} k)^{2} $

అందువలన,$\quad\quad\quad AB= \pm 2 \sqrt{2} k$

కాబట్టి, మనకు లభిస్తుంది $ AB=2 \sqrt{2} k \quad(\text{ AB ఎందుకు }-2 \sqrt{2} k \text{ కాదు? }) $

ఇప్పుడు, $ \quad\quad\quad \quad \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2 \sqrt{2} k}{3 k}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} $

అదేవిధంగా, మీరు కోణం A యొక్క ఇతర త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను పొందవచ్చు.

గమనిక : లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం అతి పొడవైన భుజం కాబట్టి, $\sin A$ లేదా $\cos A$ యొక్క విలువ ఎల్లప్పుడూ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది (లేదా, ప్రత్యేకంగా, 1 కి సమానం).

కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : $\tan A=\dfrac{4}{3}$ ఇవ్వబడింది, కోణం $A$ యొక్క ఇతర త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను కనుగొనండి.

సాధన : ముందుగా మనం ఒక లంబకోణ $\triangle ABC$ ను గీద్దాం (ఫిగ్ 8.8 చూడండి).

ఫిగ్. 8.8

ఇప్పుడు, మనకు తెలుసు $\tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$.

కాబట్టి, $BC=4 k$ అయితే, అప్పుడు $AB=3 k$, ఇక్కడ $k$ ఒక ధనాత్మక సంఖ్య.

ఇప్పుడు, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మనకు ఉంది

$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=(4 k)^{2}+(3 k)^{2}=25 k^{2} $

కాబట్టి, $AC=5 k$

ఇప్పుడు, మనం వాటి నిర్వచనాలను ఉపయోగించి అన్ని త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను వ్రాయవచ్చు.

$ \begin{matrix} \sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4 k}{5 k}=\dfrac{4}{5} \\ \cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3 k}{5 k}=\dfrac{3}{5} \end{matrix} $

అందువలన, $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{3}{4}, cosec A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{5}{4}$ మరియు $\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{5}{3}$.

ఉదాహరణ 2 : $\angle B$ మరియు $\angle Q$ తీవ్ర కోణాలు అయి $\sin B=\sin Q$ అయితే, అప్పుడు $\angle B=\angle Q$ అని నిరూపించండి.

సాధన : రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు $ABC$ మరియు $PQR$ ను పరిగణించండి, ఇక్కడ $\sin B=\sin Q$ (ఫిగ్ 8.9 చూడండి).

ఫిగ్. 8.9

మనకు ఉంది $\sin B=\dfrac{A C}{A B}$

$ \text{ and } \quad \quad \quad \quad \quad \sin Q=\dfrac{P R}{P Q} $

అప్పుడు $\quad \quad \quad \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{PR}{PQ}$

అందువలన, $$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=k \text{, say } \tag{1} $$

ఇప్పుడు, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి,

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} \end{aligned} $

మరియు $ \begin{aligned} QR & =\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}} \end{aligned} $

$\text{So,} \quad \dfrac{BC}{QR}=\dfrac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2} PQ^{2}-k^{2} PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=\dfrac{k \sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}{\sqrt{PQ^{2}-PR^{2}}}=k \tag{2}$

(1) మరియు (2) నుండి, మనకు ఉంది

$$ \dfrac{AC}{PR}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR} $$

అప్పుడు, సిద్ధాంతం 6.4 ని ఉపయోగించి, $\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ మరియు అందువలన, $\angle B=\angle Q$.

ఉదాహరణ 3 : $\triangle ACB$ ను పరిగణించండి, $C$ వద్ద లంబకోణం, ఇందులో $AB=29$ యూనిట్లు, $BC=21$ యూనిట్లు మరియు $\angle ABC=\theta$ (ఫిగ్ 8.10 చూడండి). క్రింది వాటి విలువలను నిర్ణయించండి:

ఫిగ్. 8.10

(i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$,

(ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$.

సాధన : $\triangle ACB$ లో, మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} & A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}} \\ & =\sqrt{(29-21)(29+21)}=\sqrt{(8)(50)}=\sqrt{400}=20 \text{ units } \end{aligned} $

కాబట్టి, $\quad \sin \theta=\dfrac{A C}{A B}=\dfrac{20}{29}, \cos \theta=\dfrac{B C}{A B}=\dfrac{21}{29}$.

ఇప్పుడు, (i) $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=(\dfrac{20}{29})^{2}+(\dfrac{21}{29})^{2}=\dfrac{20^{2}+21^{2}}{29^{2}}=\dfrac{400+441}{841}=1$,

మరియు (ii) $\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta=(\dfrac{21}{29})^{2}-(\dfrac{20}{29})^{2}=\dfrac{(21+20)(21-20)}{29^{2}}=\dfrac{41}{841}$.

ఉదాహరణ 4 : లంబకోణ త్రిభుజం $A B C$ లో, $B$ వద్ద లంబకోణం, $\tan A=1$ అయితే, అప్పుడు దీనిని ధృవీకరించండి:

$2 \sin A \cos A=1$.

సాధన : $\triangle ABC, \tan A=\dfrac{BC}{AB}=1 \quad$ లో (ఫిగ్ 8.11 చూడండి)

ఫిగ్. 8.11

అనగా, $ B C=A B $

$AB=BC=k$ అనుకుందాం, ఇక్కడ $k$ ఒక ధనాత్మక సంఖ్య.

ఇప్పుడు, $$ \begin{aligned} AC & =\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} \\ & =\sqrt{(k)^{2}+(k)^{2}}=k \sqrt{2} \end{aligned} $$

అందువలన, $ \sin A=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ and } \cos A=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

కాబట్టి, $\quad 2 \sin A \cos A=2(\dfrac{1}{\sqrt{2}})(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=1$, ఇది అవసరమైన విలువ.

ఉదాహరణ 5 : $\Delta OPQ$ లో, $P$ వద్ద లంబకోణం, $OP=7 cm$ మరియు $OQ-PQ=1 cm$ (ఫిగ్ 8.12 చూడండి). $\sin Q$ మరియు $\cos Q$ విలువలను నిర్ణయించండి.

ఫిగ్. 8.12

సాధన : $\triangle OPQ$ లో, మనకు ఉంది

$ OQ^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $

అనగా, $ (1+P Q)^{2}=OP^{2}+PQ^{2} $(ఎందుకు?)

అనగా, $ \quad 1+PQ^{2}+2 PQ=OP^{2}+PQ^{2} $

అనగా, $ \quad 1+2 P Q=7^{2} \quad \quad \quad \quad \text{(ఎందుకు?)} $

అనగా, $ PQ=24 ~cm \text{ and } OQ=1+PQ=25 ~cm $

కాబట్టి, $\quad \sin Q=\dfrac{7}{25}$ మరియు $\cos Q=\dfrac{24}{25}$.

8.3 కొన్ని నిర్దిష్ట కోణాల త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు

జ్యామితి నుండి, మీరు ఇప్పటికే $30^{\circ}, 45^{\circ}$, $60^{\circ}$ మరియు $90^{\circ}$ కోణాల నిర్మాణంతో పరిచయం ఉన్నారు. ఈ విభాగంలో, మనం ఈ కోణాలకు మరియు వాస్తవానికి $0^{\circ}$ కోసం త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల విలువలను కనుగొ