4.1 تعارف

باب 2 میں، آپ نے مختلف قسم کے کثیرالرقعیات کا مطالعہ کیا ہے۔ ایک قسم $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ کی صورت کا مربعی کثیر رقمی تھا۔ جب ہم اس کثیر رقمی کو صفر کے برابر کرتے ہیں، تو ہمیں ایک مربعی مساوات ملتی ہے۔ مربعی مساوات اس وقت سامنے آتی ہیں جب ہم بہت سے حقیقی زندگی کے حالات سے نمٹتے ہیں۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایک خیراتی ٹرسٹ 300 مربع میٹر کے قالین رقبے والی ایک عبادت گاہ تعمیر کرنے کا فیصلہ کرتی ہے جس کی لمبائی اس کی چوڑائی سے دوگنا سے ایک میٹر زیادہ ہے۔ ہال کی لمبائی اور چوڑائی کیا ہونی چاہیے؟ فرض کریں کہ ہال کی چوڑائی $x$ میٹر ہے۔ پھر، اس کی لمبائی $(2 x+1)$ میٹر ہونی چاہیے۔ ہم اس معلومات کو تصویری طور پر دکھا سکتے ہیں جیسا کہ شکل 4.1 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 4.1

$ \text{اب، ہال کا رقبہ }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (دی گئی)

$ \text{لہذا،}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

لہذا، ہال کی چوڑائی کو مساوات $2 x^{2}+x-300=0$ کو پورا کرنا چاہیے جو کہ ایک مربعی مساوات ہے۔

بہت سے لوگوں کا خیال ہے کہ بابلی مربعی مساواتوں کو حل کرنے والے پہلے لوگ تھے۔ مثال کے طور پر، وہ جانتے تھے کہ کسی دیے گئے مثبت مجموعے اور دیے گئے مثبت حاصل ضرب کے ساتھ دو مثبت اعداد کیسے تلاش کیے جائیں، اور یہ مسئلہ $x^{2}-p x+q=0$ کی شکل کی مربعی مساوات کو حل کرنے کے برابر ہے۔ یونانی ریاضی دان یوکلڈ نے لمبائیوں کو تلاش کرنے کے لیے ایک ہندسی طریقہ تیار کیا، جو ہماری موجودہ دور کی اصطلاحات میں، مربعی مساواتوں کے حل ہیں۔ مربعی مساواتوں کو حل کرنا، عام شکل میں، اکثر قدیم ہندوستانی ریاضی دانوں کی طرف منسوب کیا جاتا ہے۔ درحقیقت، برہماگپت (598-665 عیسوی) نے $a x^{2}+b x=c$ کی شکل کی مربعی مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک واضح فارمولا دیا۔ بعد میں،

شری دھر اچاریہ (1025 عیسوی) نے مربع مکمل کرنے کے طریقے سے مربعی مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک فارمولا اخذ کیا، جو اب مربعی فارمولے کے نام سے جانا جاتا ہے (جیسا کہ بھاسکر دوم نے نقل کیا ہے)۔ ایک عرب ریاضی دان الخوارزمی (تقریباً 800 عیسوی) نے بھی مختلف قسم کی مربعی مساواتوں کا مطالعہ کیا۔ ابراہیم بار حییا ہا-ناسی نے اپنی کتاب ‘لبر ایمباڈورم’ میں جو 1145 عیسوی میں یورپ میں شائع ہوئی، مختلف مربعی مساواتوں کے مکمل حل دیے۔

اس باب میں، آپ مربعی مساواتوں اور ان کی جڑیں تلاش کرنے کے مختلف طریقوں کا مطالعہ کریں گے۔ آپ روزمرہ زندگی کے حالات میں مربعی مساواتوں کے کچھ اطلاقات بھی دیکھیں گے۔

4.2 مربعی مساوات

متغیر $x$ میں ایک مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل کی ایک مساوات ہے، جہاں $a, b, c$ حقیقی اعداد ہیں، $a \neq 0$۔ مثال کے طور پر، $2 x^{2}+x-300=0$ ایک مربعی مساوات ہے۔ اسی طرح، $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ اور $1-x^{2}+300=0$ بھی مربعی مساوات ہیں۔

درحقیقت، $p(x)=0$ کی شکل کی کوئی بھی مساوات، جہاں $p(x)$ درجہ 2 کا ایک کثیر رقمی ہے، ایک مربعی مساوات ہے۔ لیکن جب ہم $p(x)$ کی شرائط کو ان کے درجوں کے اترتے ہوئے ترتیب میں لکھتے ہیں، تو ہمیں مساوات کی معیاری شکل ملتی ہے۔ یعنی، $a x^{2}+b x+c=0$، $a \neq 0$ کو مربعی مساوات کی معیاری شکل کہا جاتا ہے۔

مربعی مساوات ہمارے اردگرد کی دنیا میں اور ریاضی کے مختلف شعبوں میں کئی حالات میں پیدا ہوتی ہیں۔ آئیے ہم چند مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : مندرجہ ذیل حالات کو ریاضیاتی طور پر پیش کریں:

(i) جان اور جیونتی کے پاس مجموعی طور پر 45 گولے ہیں۔ ان دونوں کے 5-5 گولے ضائع ہو گئے، اور اب ان کے پاس موجود گولوں کی تعداد کا حاصل ضرب 124 ہے۔ ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ شروع میں ان کے پاس کتنے گولے تھے۔

(ii) ایک کاٹیج انڈسٹری ایک دن میں کچھ مخصوص تعداد کے کھلونے تیار کرتی ہے۔ ہر کھلونے کی پیداواری لاگت (روپے میں) 55 مائنس اس دن میں تیار ہونے والے کھلونوں کی تعداد پائی گئی۔ ایک خاص دن، پیداوار کی کل لاگت ₹ 750 تھی۔ ہم اس دن تیار ہونے والے کھلونوں کی تعداد معلوم کرنا چاہتے ہیں۔

حل :

(i) مان لیں کہ جان کے پاس گولوں کی تعداد $x$ تھی۔

پھر جیونتی کے پاس گولوں کی تعداد $=45-x$ تھی (کیوں؟)۔

جب جان کے 5 گولے ضائع ہو گئے تو اس کے پاس بچے ہوئے گولوں کی تعداد $=x-5$

جب جیونتی کے 5 گولے ضائع ہو گئے تو اس کے پاس بچے ہوئے گولوں کی تعداد $=45-x-5$

$$ =40-x $$

لہذا، ان کا حاصل ضرب $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

لہذا، $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (دیے گئے کہ حاصل ضرب $=124$)

یعنی، $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

یعنی، $\quad x^{2}-45 x+324=0$

لہذا، جان کے پاس گولوں کی تعداد، مربعی مساوات کو پورا کرتی ہے

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

جو مسئلے کی ریاضیاتی طور پر مطلوبہ نمائندگی ہے۔

(ii) مان لیں کہ اس دن تیار ہونے والے کھلونوں کی تعداد $x$ ہے۔

لہذا، اس دن ہر کھلونے کی پیداواری لاگت (روپے میں) $=55-x$

لہذا، اس دن پیداوار کی کل لاگت (روپے میں) $=x(55-x)$

لہذا، $ \quad \quad x(55-x)=750$

یعنی، $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

یعنی، $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

یعنی، $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

لہذا، اس دن تیار ہونے والے کھلونوں کی تعداد مربعی مساوات کو پورا کرتی ہے

$ x^{2}-55 x+750=0 $

جو مسئلے کی ریاضیاتی طور پر مطلوبہ نمائندگی ہے۔

مثال 2 : چیک کریں کہ کیا مندرجہ ذیل مربعی مساوات ہیں:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

حل :

(i) بائیں ہاتھ کی طرف $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

لہذا، $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ کو دوبارہ اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

یہ $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل میں ہے۔

لہذا، دی گئی مساوات ایک مربعی مساوات ہے۔

(ii) چونکہ $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ اور $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$

لہذا، $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

یعنی، $ \quad \quad x+12=0 $

یہ $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل میں نہیں ہے۔

لہذا، دی گئی مساوات مربعی مساوات نہیں ہے۔

(iii) یہاں، $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{لہذا، } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ کو دوبارہ اس طرح لکھا جا سکتا ہے } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

لہذا، ہمیں ملتا ہے $x^{2}+3 x-1=0$

یہ $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل میں ہے۔

لہذا، دی گئی مساوات ایک مربعی مساوات ہے۔

(iv) یہاں، $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

لہذا، $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ کو دوبارہ اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {یعنی،} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ یا، } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

یہ $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل میں ہے۔

لہذا، دی گئی مساوات ایک مربعی مساوات ہے۔

تبصرہ : ہوشیار رہیں! اوپر (ii) میں، دی گئی مساوات ایک مربعی مساوات لگتی ہے، لیکن یہ مربعی مساوات نہیں ہے۔

اوپر (iv) میں، دی گئی مساوات ایک تکونی مساوات (درجہ 3 کی مساوات) لگتی ہے نہ کہ مربعی مساوات۔ لیکن یہ ایک مربعی مساوات بن جاتی ہے۔ جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں، اکثر ہمیں یہ فیصلہ کرنے سے پہلے کہ یہ مربعی ہے یا نہیں، دی گئی مساوات کو آسان بنانے کی ضرورت ہوتی ہے۔

4.3 تجزیہ کے ذریعے مربعی مساوات کا حل

مربعی مساوات $2 x^{2}-3 x+1=0$ پر غور کریں۔ اگر ہم اس مساوات کے بائیں ہاتھ کی طرف $x$ کی جگہ 1 رکھیں، تو ہمیں مساوات کے دائیں ہاتھ کی طرف $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ ملتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ 1 مربعی مساوات $2 x^{2}-3 x+1=0$ کی ایک جڑ ہے۔ اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ 1 مربعی کثیر رقمی $2 x^{2}-3 x+1$ کا ایک صفر ہے۔

عام طور پر، ایک حقیقی عدد $\alpha$ کو مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$ کا جڑ کہا جاتا ہے اگر $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$۔ ہم یہ بھی کہتے ہیں کہ $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ مربعی مساوات کا حل ہے، یا یہ کہ $\alpha$ مربعی مساوات کو پورا کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ مربعی کثیر رقمی $a x^{2}+b x+c$ کے صفر اور مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی جڑیں ایک جیسی ہیں۔

آپ نے باب 2 میں مشاہدہ کیا ہے کہ ایک مربعی کثیر رقمی کے زیادہ سے زیادہ دو صفر ہو سکتے ہیں۔ لہذا، کسی بھی مربعی مساوات کے زیادہ سے زیادہ دو جڑیں ہو سکتی ہیں۔

آپ نے کلاس نہم میں سیکھا ہے کہ درمیانی شرائط کو تقسیم کر کے مربعی کثیر رقمیوں کا تجزیہ کیسے کیا جاتا ہے۔ ہم مربعی مساوات کی جڑیں تلاش کرنے کے لیے اس علم کا استعمال کریں گے۔ آئیے دیکھتے ہیں کیسے۔

مثال 3 : مساوات $2 x^{2}-5 x+3=0$ کی جڑیں، تجزیہ کے ذریعے تلاش کریں۔

حل : آئیے پہلے درمیانی اصطلاح $-5 x$ کو $-2 x-3 x$ کے طور پر تقسیم کریں [کیونکہ $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$]۔

لہذا، $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

اب، $2 x^{2}-5 x+3=0$ کو دوبارہ $(2 x-3)(x-1)=0$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

لہذا، $x$ کی وہ اقدار جن کے لیے $2 x^{2}-5 x+3=0$ ہے، وہی ہیں جن کے لیے $(2 x-3)(x-1)=0$ ہے، یعنی، یا تو $2 x-3=0$ یا $x-1=0$۔

اب، $2 x-3=0$ دیتا ہے $x=\dfrac{3}{2}$ اور $x-1=0$ دیتا ہے $x=1$۔

لہذا، $x=\dfrac{3}{2}$ اور $x=1$ مساوات کے حل ہیں۔

دوسرے الفاظ میں، 1 اور $\dfrac{3}{2}$ مساوات $2 x^{2}-5 x+3=0$ کی جڑیں ہیں۔

تصدیق کریں کہ یہ دی گئی مساوات کی جڑیں ہیں۔

نوٹ کریں کہ ہم نے $2 x^{2}-5 x+3=0$ کی جڑیں $2 x^{2}-5 x+3$ کو دو لکیری عوامل میں تجزیہ کر کے اور ہر عامل کو صفر کے برابر کر کے تلاش کی ہیں۔

مثال 4 : مربعی مساوات $6 x^{2}-x-2=0$ کی جڑیں تلاش کریں۔

حل : ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$ کی جڑیں $x$ کی وہ اقدار ہیں جن کے لیے $(3 x-2)(2 x+1)=0$

لہذا، $3 x-2=0$ یا $2 x+1=0$،

یعنی، $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

لہذا، $6 x^{2}-x-2=0$ کی جڑیں $\dfrac{2}{3}$ اور $-\dfrac{1}{2}$ ہیں۔

ہم جڑوں کی تصدیق کرتے ہیں، یہ چیک کر کے کہ $\dfrac{2}{3}$ اور $-\dfrac{1}{2}$ $6 x^{2}-x-2=0$ کو پورا کرتے ہیں۔

مثال 5 : مربعی مساوات $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ کی جڑیں تلاش کریں۔

حل : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

لہذا، مساوات کی جڑیں $x$ کی وہ اقدار ہیں جن کے لیے

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

اب، $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$ $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ کے لیے۔

لہذا، یہ جڑ دو بار دہرائی گئی ہے، ہر دہرائے گئے عامل $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$ کے لیے ایک بار۔

لہذا، $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ کی جڑیں $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ہیں۔

مثال 6 : سیکشن 4.1 میں زیر بحث عبادت گاہ کے طول و عرض تلاش کریں۔

حل : سیکشن 4.1 میں، ہم نے پایا کہ اگر ہال کی چوڑائی $x m$ ہے، تو $x$ مساوات $2 x^{2}+x-300=0$ کو پورا کرتا ہے۔ تجزیہ طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے، ہم اس مساوات کو اس طرح لکھتے ہیں

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ یعنی، } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

لہذا، دی گئی مساوات کی جڑیں $x=12$ یا $x=-12.5$ ہیں۔ چونکہ $x$ ہال کی چوڑائی ہے، یہ منفی نہیں ہو سکتی۔

لہذا، ہال کی چوڑائی $12 m$ ہے۔ اس کی لمبائی $=2 x+1=25 m$۔

4.4 جڑوں کی نوعیت

مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کے لیے جڑیں دی گئی ہیں

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

اگر $b^{2}-4 a c>0$، تو ہمیں دو مختلف حقیقی جڑیں ملتی ہیں $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ اور $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$۔

اگر $b^{2}-4 a c=0$، تو $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$، یعنی، $x=-\dfrac{b}{2 a}$ یا $-\dfrac{b}{2 a}$۔

لہذا، مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی جڑیں دونوں $\dfrac{-b}{2 a}$ ہیں۔

لہذا، ہم کہتے ہیں کہ مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کے اس معاملے میں دو برابر حقیقی جڑیں ہیں۔

اگر $b^{2}-4 a c<0$، تو کوئی حقیقی عدد نہیں ہے جس کا مربع $b^{2}-4 a c$ ہو۔ لہذا، اس معاملے میں دی گئی مربعی مساوات کی کوئی حقیقی جڑیں نہیں ہیں۔

چونکہ $b^{2}-4 a c$ یہ طے کرتا ہے کہ مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی حقیقی جڑیں ہیں یا نہیں، $b^{2}-4 a c$ کو اس مربعی مساوات کا ممیز کہا جاتا ہے۔

لہذا، ایک مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کے

(i) دو مختلف حقیقی جڑیں ہیں، اگر $b^{2}-4 a c>0$،

(ii) دو برابر حقیقی جڑیں ہیں، اگر $b^{2}-4 a c=0$،

(iii) کوئی حقیقی جڑیں نہیں ہیں، اگر $b^{2}-4 a c<0$۔

آئیے ہم کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 7 : مربعی مساوات $2 x^{2}-4 x+3=0$ کا ممیز تلاش کریں، اور اس طرح اس کی جڑوں کی نوعیت معلوم کریں۔

حل : دی گئی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل میں ہے، جہاں $a=2, b=-4$ اور $c=3$۔ لہذا، ممیز

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<0 $

لہذا، دی گئی مساوات کی کوئی حقیقی جڑیں نہیں ہیں۔

مثال 8 : 13 میٹر قطر کے ایک گول پارک کی سرحد پر ایک نقطہ پر ایک کھمبا اس طرح نصب کرنا ہے کہ سرحد پر واقع دو قطراً مخالف مقررہ گیٹس A اور B سے اس کی دوریوں کا فرق 7 میٹر ہو۔ کیا ایسا کرنا ممکن ہے؟ اگر ہاں، تو دونوں گیٹس سے کھمبے کو کس فاصلے پر نصب کیا جانا چاہیے؟

حل : آئیے پہلے خاکہ بناتے ہیں (شکل 4.2 دیکھیں)۔

شکل 4.2

مان لیں کہ $P$ کھمبے کی مطلوبہ جگہ ہے۔ مان لیں کہ کھمبے سے گیٹ $B$ کا فاصلہ $x m$ ہے، یعنی، $BP=x m$۔ اب کھمبے سے دو گیٹس کی دوریوں کا فرق $=AP-BP($ یا، $BP-AP)=$ $7 m$۔ لہذا، $AP=(x+7) m$۔

اب، $AB=13 m$، اور چونکہ $AB$ ایک قطر ہے،

$$ \angle APB=90^{\circ} \quad(\text{ Why? }) $$

لہذا، $ \quad \quad \quad AP^{2}+PB^{2}=AB^{2} \quad(\text{ By Pythagoras theorem }) $

یعنی، $ \quad \quad \quad (x+7)^{2}+x^{2}=13^{2}$

یعنی، $ \quad \quad \quad x^{2}+14 x+49+x^{2}=169 $

یعنی، $ \quad \quad \quad 2 x^{2}+14 x-120=0 $

لہذا، گیٹ $B$ سے کھمبے کا فاصلہ ‘$x$’ مساوات $x^{2}+7 x-60=0$ کو پورا کرتا ہے

لہذا، کھمبا نصب کرنا ممکن ہو گا اگر اس مساوات کی حقیقی جڑیں ہوں۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ ایسا ہے یا نہیں، آئیے اس کے ممیز پر غور کریں۔ ممیز ہے

$ b^{2}-4 a c=7^{2}-4 \times 1 \times(-60)=289>0 . $

لہذا، دی گئی مربعی مساوات کے دو حقیقی جڑیں ہیں، اور پارک کی سرحد پر کھمبا نصب کرنا ممکن ہے۔

مربعی مساوات $x^{2}+7 x-60=0$ کو مربعی فارمولے سے حل کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

$$ x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7 \pm 17}{2} $$

لہذا، $x=5$ یا -12۔

چونکہ $x$ کھمبے اور گیٹ B کے درمیان فاصلہ ہے، یہ مثبت ہونا چاہیے۔ لہذا، $x=-12$ کو نظر انداز کرنا پڑے گا۔ لہذا، $x=5$۔

لہذا، کھمبے کو پارک کی سرحد پر گیٹ $B$ سے $5 m$ کے فاصلے پر اور گیٹ $A$ سے $12 m$ کے فاصلے پر نصب کرنا ہوگا۔

مثال 9 : مساوات $3 x^{2}-2 x+\dfrac{1}{3}=0$ کا ممیز تلاش کریں اور اس طرح اس کی جڑوں کی نوعیت معلوم کریں۔ اگر وہ حقیقی ہوں تو انہیں تلاش کریں۔

حل : یہاں $a=3, b=-2$ اور $c=\dfrac{1}{3}$۔

لہذا، ممیز $b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=4-4=0$۔

لہذا، دی گئی مربعی مساوات کے دو برابر حقیقی جڑیں ہیں۔

جڑیں $\dfrac{-b}{2 a}, \dfrac{-b}{2 a}$ ہیں، یعنی، $\dfrac{2}{6}, \dfrac{2}{6}$، یعنی، $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}$۔

4.5 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. متغیر $x$ میں ایک مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی شکل کی ہوتی ہے، جہاں $a, b, c$ حقیقی اعداد ہیں اور $a \neq 0$۔

2. ایک حقیقی عدد $\alpha$ کو مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کا جڑ کہا جاتا ہے، اگر $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$۔ مربعی کثیر رقمی $a x^{2}+b x+c$ کے صفر اور مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی جڑیں ایک جیسی ہیں۔

3. اگر ہم $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ کا تجزیہ دو لکیری عوامل کے حاصل ضرب میں کر سکتے ہیں، تو مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی جڑیں ہر عامل کو صفر کے برابر کر کے تلاش کی جا سکتی ہیں۔

4. مربعی فارمولا: مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کی جڑیں $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ کے ذریعے دی جاتی ہیں، بشرطیکہ $b^{2}-4 a c \geq 0$۔

5. ایک مربعی مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کے

(i) دو مختلف حقیقی جڑیں ہیں، اگر $b^{2}-4 a c>0$،

(ii) دو برابر جڑیں (یعنی، ہم وقت جڑیں) ہیں، اگر $b^{2}-4 a c=0$، اور

(iii) کوئی حقیقی جڑیں نہیں ہیں، اگر $b^{2}-4 a c<0$۔