4.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਅਧਿਆਇ 2 ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਅਧਿਅਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਿਸਮ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ਰੂਪ ਦਾ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਸੀ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤਦ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਚੈਰਿਟੀ ਟਰੱਸਟ 300 ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਦੇ ਕਾਰਪੇਟ ਖੇਤਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਾਰਥਨਾ ਹਾਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇਸਦੀ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮੀਟਰ ਵੱਧ ਹੈ। ਹਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਹਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ $x$ ਮੀਟਰ ਹੈ। ਫਿਰ, ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ $(2 x+1)$ ਮੀਟਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 4.1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਚਿੱਤਰਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਚਿੱਤਰ 4.1

$ \text{ਹੁਣ, ਹਾਲ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ)

$ \text{ਇਸ ਲਈ,}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

ਇਸ ਲਈ, ਹਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}+x-300=0$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਲੋਕ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਕਿ ਬੈਬੀਲੋਨੀਅਨ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਹਿਲੇ ਲੋਕ ਸਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉਹ ਜਾਣਦੇ ਸਨ ਕਿ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਆਂ ਜਾਣੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਧਨਾਤਮਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਧਨਾਤਮਕ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ $x^{2}-p x+q=0$ ਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਯੂਕਲਿਡ ਨੇ ਲੰਬਾਈਆਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤੀ ਢੰਗ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਡੀ ਵਰਤਮਾਨ ਦਿਨ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ, ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਕਸਰ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸਿਹਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ (ਸੰਨ 598-665) ਨੇ $a x^{2}+b x=c$ ਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦਿੱਤਾ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ,

ਸ਼੍ਰੀਧਰਾਚਾਰੀਆ (ਸੰਨ 1025) ਨੇ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭਾਸਕਰ II ਦੁਆਰਾ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਗਿਆ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਹੁਣ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਰਬ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਲ-ਖਵਾਰਿਜ਼ਮੀ (ਲਗਭਗ ਸੰਨ 800) ਨੇ ਵੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਅਨ ਕੀਤਾ। ਅਬਰਾਹਮ ਬਾਰ ਹਿਯਾ ਹਾ-ਨਾਸੀ ਨੇ, ਆਪਣੀ ਕਿਤਾਬ ‘ਲਿਬਰ ਐਮਬੈਡੋਰਮ’ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਸੰਨ 1145 ਵਿੱਚ ਯੂਰਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਹੋਈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪੂਰੇ ਹੱਲ ਦਿੱਤੇ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦਾ ਅਧਿਅਨ ਕਰੋਗੇ। ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗ ਵੀ ਦੇਖੋਗੇ।

4.2 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ

ਚਲ $x$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a, b, c$ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, $a \neq 0$। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2 x^{2}+x-300=0$ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ ਅਤੇ $1-x^{2}+300=0$ ਵੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ।

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, $p(x)=0$ ਰੂਪ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ $p(x)$ ਡਿਗਰੀ 2 ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ, ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ $p(x)$ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਦੇ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਨੀ, $a x^{2}+b x+c=0$, $a \neq 0$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਸਾਡੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਦੁਨੀਆ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰੋ:

(i) ਜੌਨ ਅਤੇ ਜੀਵੰਤੀ ਦੇ ਕੋਲ ਮਿਲਾ ਕੇ 45 ਕੰਚੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦੇ 5-5 ਕੰਚੇ ਗੁਆਚ ਗਏ, ਅਤੇ ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 124 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਕੰਚੇ ਸਨ।

(ii) ਇੱਕ ਕੁਟੀਰ ਉਦਯੋਗ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਉਤਪਾਦਨ ਲਾਗਤ (ਰੁਪਏ ਵਿੱਚ) ਉਸ ਦਿਨ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ 55 ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈ। ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਿਨ, ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ₹ 750 ਸੀ। ਅਸੀਂ ਉਸ ਦਿਨ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।

ਹੱਲ :

(i) ਮੰਨ ਲਓ ਜੌਨ ਦੇ ਕੋਲ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $x$ ਹੈ।

ਫਿਰ ਜੀਵੰਤੀ ਦੇ ਕੋਲ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=45-x$ (ਕਿਉਂ?)।

ਜੌਨ ਦੇ ਕੋਲ ਬਚੇ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਦੋਂ ਉਸਦੇ 5 ਕੰਚੇ ਗੁਆਚ ਗਏ $=x-5$

ਜੀਵੰਤੀ ਦੇ ਕੋਲ ਬਚੇ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਦੋਂ ਉਸਦੇ 5 ਕੰਚੇ ਗੁਆਚ ਗਏ $=45-x-5$

$$ =40-x $$

ਇਸ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ $=124$ )

ਯਾਨੀ, $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

ਯਾਨੀ, $\quad x^{2}-45 x+324=0$

ਇਸ ਲਈ, ਜੌਨ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕੰਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

ਜੋ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਗੀ ਗਈ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੈ।

(ii) ਮੰਨ ਲਓ ਉਸ ਦਿਨ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $x$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦਿਨ ਹਰੇਕ ਖਿਡੌਣੇ ਦੀ ਉਤਪਾਦਨ ਲਾਗਤ (ਰੁਪਏ ਵਿੱਚ) $=55-x$

ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦਿਨ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ (ਰੁਪਏ ਵਿੱਚ) $=x(55-x)$

ਇਸ ਲਈ, $ \quad \quad x(55-x)=750$

ਯਾਨੀ, $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

ਯਾਨੀ, $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

ਯਾਨੀ, $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦਿਨ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਖਿਡੌਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ

$ x^{2}-55 x+750=0 $

ਜੋ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਗੀ ਗਈ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 : ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

ਹੱਲ :

(i) ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

ਇਸ ਲਈ, $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

ਇਹ $a x^{2}+b x+c=0$ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

(ii) ਕਿਉਂਕਿ $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ ਅਤੇ $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$

ਇਸ ਲਈ, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

ਯਾਨੀ, $ \quad \quad x+12=0 $

ਇਹ $a x^{2}+b x+c=0$ ਰੂਪ ਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।

(iii) ਇੱਥੇ,$ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{ਇਸ ਲਈ, } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ $x^{2}+3 x-1=0$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

ਇਹ $a x^{2}+b x+c=0$ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

(iv) ਇੱਥੇ, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

ਇਸ ਲਈ, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {ਯਾਨੀ,} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ ਜਾਂ, } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

ਇਹ $a x^{2}+b x+c=0$ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀ : ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ! ਉਪਰੋਕਤ (ii) ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਪਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਪਰੋਕਤ (iv) ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਘਣ ਸਮੀਕਰਨ (ਡਿਗਰੀ 3 ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ) ਜਾਪਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਅਕਸਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

4.3 ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}-3 x+1=0$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ $x$ ਦੀ ਥਾਂ 1 ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}-3 x+1=0$ ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਵੀ ਹੈ ਕਿ 1 ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ $2 x^{2}-3 x+1$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ $\alpha$ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$ ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ, ਜਾਂ ਫਿਰ $\alpha$ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ $a x^{2}+b x+c$ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਦੇ ਮੂਲ ਇੱਕੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 2 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋ ਮੂਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਕਲਾਸ IX ਵਿੱਚ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੱਧ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿਵੇਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 : ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}-5 x+3=0$ ਦੇ ਮੂਲ, ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਮੱਧ ਪਦ $-5 x$ ਨੂੰ $-2 x-3 x$ ਵਜੋਂ ਵੰਡੀਏ [ਕਿਉਂਕਿ $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$]।

ਇਸ ਲਈ, $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

ਹੁਣ, $2 x^{2}-5 x+3=0$ ਨੂੰ $(2 x-3)(x-1)=0$ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $x$ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ $2 x^{2}-5 x+3=0$ ਹੈ, ਉਹੀ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ $(2 x-3)(x-1)=0$ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਜਾਂ ਤਾਂ $2 x-3=0$ ਜਾਂ $x-1=0$।

ਹੁਣ, $2 x-3=0$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $x=\dfrac{3}{2}$ ਅਤੇ $x-1=0$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $x=1$।

ਇਸ ਲਈ, $x=\dfrac{3}{2}$ ਅਤੇ $x=1$ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ।

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, 1 ਅਤੇ $\dfrac{3}{2}$ ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}-5 x+3=0$ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ।

ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੂਲ ਹਨ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ $2 x^{2}-5 x+3=0$ ਦੇ ਮੂਲ $2 x^{2}-5 x+3$ ਨੂੰ ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 : ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $6 x^{2}-x-2=0$ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$ ਦੇ ਮੂਲ $x$ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ $(3 x-2)(2 x+1)=0$

ਇਸ ਲਈ, $3 x-2=0$ ਜਾਂ $2 x+1=0$,

ਯਾਨੀ, $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

ਇਸ ਲਈ, $6 x^{2}-x-2=0$ ਦੇ ਮੂਲ $\dfrac{2}{3}$ ਅਤੇ $-\dfrac{1}{2}$ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਕਿ $\dfrac{2}{3}$ ਅਤੇ $-\dfrac{1}{2}$ $6 x^{2}-x-2=0$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 : ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੂਲ $x$ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

ਹੁਣ, $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$ $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ਲਈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਮੂਲ ਦੋ ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਗੁਣਨਖੰਡ $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਰ।

ਇਸ ਲਈ, $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ ਦੇ ਮੂਲ $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 6 : ਭਾਗ 4.1 ਵਿੱਚ ਚਰਚਿਤ ਪ੍ਰਾਰਥਨਾ ਹਾਲ ਦੇ ਆਯਾਮ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਭਾਗ 4.1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਜੇਕਰ ਹਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ $x m$ ਹੈ, ਤਾਂ $x$ ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}+x-300=0$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਨ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ ਯਾਨੀ, } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੂਲ $x=12$ ਜਾਂ $x=-12.5$ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ $x$ ਹਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ, ਇਹ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ।

ਇਸ ਲਈ, ਹਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ $12 m$ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ $=2 x+1=25 m$।

4.4 ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ

ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

ਜੇਕਰ $b^{2}-4 a c>0$, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਅਸਲ ਮੂਲ $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ ਅਤੇ $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਜੇਕਰ $b^{2}-4 a c=0$, ਤਾਂ $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$, ਯਾਨੀ, $x=-\dfrac{b}{2 a}$ ਜਾਂ $-\dfrac{b}{2 a}$।

ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਦੇ ਮੂਲ ਦੋਵੇਂ $\dfrac{-b}{2 a}$ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹਨ।

ਜੇਕਰ $b^{2}-4 a c<0$, ਤਾਂ ਕੋਈ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗ $b^{2}-4 a c$ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਅਸਲ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਕਿਉਂਕਿ $b^{2}-4 a c$ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਦੇ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, $b^{2}-4 a c$ ਨੂੰ ਇਸ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਵੇਚਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਦੇ

(i) ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਅਸਲ ਮੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ $b^{2}-4 a c=0$,

(iii) ਕੋਈ ਅਸਲ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਜੇਕਰ $b^{2}-4 a c<0$।

ਆਓ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਨ 7 : ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ $2 x^{2}-4 x+3=0$ ਦਾ ਵਿਵੇਚਕ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦੇ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਰੂਪ ਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a=2, b=-4$ ਅਤੇ $c=3$। ਇਸ ਲਈ, ਵਿਵੇਚਕ

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<