৪.১ ভূমিকা

অধ্যায় ২-এ, তোমরা বিভিন্ন প্রকার বহুপদী সম্বন্ধে পড়েছ। একটি প্রকার ছিল $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ আকারের দ্বিঘাত বহুপদী। যখন আমরা এই বহুপদীকে শূন্যের সমান করি, তখন আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই। দ্বিঘাত সমীকরণগুলি আমাদের অনেক বাস্তব জীবনের পরিস্থিতির সাথে জড়িত। উদাহরণস্বরূপ, মনে করো একটি দাতব্য ট্রাস্ট একটি প্রার্থনা হল নির্মাণের সিদ্ধান্ত নিয়েছে যার কার্পেটের ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার এবং যার দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে এক মিটার বেশি। হলটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হওয়া উচিত? ধরা যাক হলটির প্রস্থ $x$ মিটার। তাহলে, এর দৈর্ঘ্য হওয়া উচিত $(2 x+1)$ মিটার। আমরা এই তথ্যটি চিত্র ৪.১-এ দেখানো হয়েছে এমনভাবে চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করতে পারি।

চিত্র ৪.১

$ \text{এখন, হলটির ক্ষেত্রফল }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (প্রদত্ত)

$ \text{অতএব,}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

সুতরাং, হলটির প্রস্থকে $2 x^{2}+x-300=0$ সমীকরণটি সিদ্ধ করতে হবে যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

অনেকের বিশ্বাস যে ব্যাবিলনীয়রাই প্রথম দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করেছিল। উদাহরণস্বরূপ, তারা জানত কিভাবে দুটি ধনাত্মক সংখ্যা বের করতে হয় যাদের একটি প্রদত্ত ধনাত্মক যোগফল এবং একটি প্রদত্ত ধনাত্মক গুণফল আছে, এবং এই সমস্যাটি $x^{2}-p x+q=0$ আকারের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সমতুল্য। গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য একটি জ্যামিতিক পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন, যা আমাদের বর্তমান পরিভাষায়, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান। সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান প্রায়শই প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদদের কৃতিত্ব দেওয়া হয়। প্রকৃতপক্ষে, ব্রহ্মগুপ্ত (খ্রিস্টাব্দ ৫৯৮-৬৬৫) $a x^{2}+b x=c$ আকারের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি সুস্পষ্ট সূত্র দিয়েছিলেন। পরবর্তীতে,

শ্রীধরাচার্য (খ্রিস্টাব্দ ১০২৫) একটি সূত্র উদ্ভাবন করেছিলেন, যা এখন দ্বিঘাত সূত্র নামে পরিচিত, (যেমন ভাস্কর II দ্বারা উদ্ধৃত) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য বর্গ পূর্ণ করার পদ্ধতিতে। একজন আরব গণিতবিদ আল-খোয়ারিজমি (খ্রিস্টাব্দ ৮০০ সালের কাছাকাছি) বিভিন্ন প্রকারের দ্বিঘাত সমীকরণও অধ্যয়ন করেছিলেন। আব্রাহাম বার হিয়্যা হা-নাসি, তাঁর ‘লিবার এম্বাডোরাম’ বইতে যা ইউরোপে খ্রিস্টাব্দ ১১৪৫ সালে প্রকাশিত হয়েছিল, বিভিন্ন দ্বিঘাত সমীকরণের সম্পূর্ণ সমাধান দিয়েছিলেন।

এই অধ্যায়ে, তোমরা দ্বিঘাত সমীকরণ এবং তাদের মূল নির্ণয়ের বিভিন্ন পদ্ধতি অধ্যয়ন করবে। তোমরা দৈনন্দিন জীবনের পরিস্থিতিতে দ্বিঘাত সমীকরণের কিছু প্রয়োগও দেখবে।

৪.২ দ্বিঘাত সমীকরণ

$x$ চলরাশিতে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের একটি সমীকরণ, যেখানে $a, b, c$ হল বাস্তব সংখ্যা, $a \neq 0$। উদাহরণস্বরূপ, $2 x^{2}+x-300=0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। একইভাবে, $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ এবং $1-x^{2}+300=0$ ও দ্বিঘাত সমীকরণ।

প্রকৃতপক্ষে, $p(x)=0$ আকারের যেকোনো সমীকরণ, যেখানে $p(x)$ হল ২ ঘাতের একটি বহুপদী, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। কিন্তু যখন আমরা $p(x)$-এর পদগুলিকে তাদের ঘাতের অবরোহী ক্রমে লিখি, তখন আমরা সমীকরণটির প্রমিত আকার পাই। অর্থাৎ, $a x^{2}+b x+c=0$, $a \neq 0$ কে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের প্রমিত আকার বলা হয়।

দ্বিঘাত সমীকরণগুলি আমাদের চারপাশের বিশ্বের বিভিন্ন পরিস্থিতিতে এবং গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়। আসুন আমরা কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১ : নিম্নলিখিত পরিস্থিতিগুলি গাণিতিকভাবে উপস্থাপন করো:

(i) জন এবং জিবন্তির মোট ৪৫টি মার্বেল আছে। তাদের প্রত্যেকে ৫টি করে মার্বেল হারিয়েছে এবং এখন তাদের কাছে থাকা মার্বেলের সংখ্যার গুণফল ১২৪। আমরা জানতে চাই শুরুতে তাদের কতগুলি মার্বেল ছিল।

(ii) একটি কুটির শিল্প একটি দিনে নির্দিষ্ট সংখ্যক খেলনা উৎপাদন করে। প্রতিটি খেলনার উৎপাদন খরচ (টাকায়) দিনে উৎপাদিত খেলনার সংখ্যা বিয়োগ ৫৫ পাওয়া গেছে। একটি নির্দিষ্ট দিনে, মোট উৎপাদন খরচ ছিল ₹ ৭৫০। আমরা সেই দিনে উৎপাদিত খেলনার সংখ্যা জানতে চাই।

সমাধান :

(i) ধরা যাক জনের কাছে থাকা মার্বেলের সংখ্যা $x$।

তাহলে জিবন্তির কাছে থাকা মার্বেলের সংখ্যা $=45-x$ (কেন?)।

৫টি মার্বেল হারানোর পর জনের কাছে থাকা মার্বেলের সংখ্যা $=x-5$

৫টি মার্বেল হারানোর পর জিবন্তির কাছে থাকা মার্বেলের সংখ্যা $=45-x-5$

$$ =40-x $$

অতএব, তাদের গুণফল $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

সুতরাং, $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (প্রদত্ত যে গুণফল $=124$)

অর্থাৎ, $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

অর্থাৎ, $\quad x^{2}-45 x+324=0$

অতএব, জনের কাছে থাকা মার্বেলের সংখ্যা, দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ করে

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

যা সমস্যাটির গাণিতিকভাবে প্রয়োজনীয় উপস্থাপনা।

(ii) ধরা যাক সেই দিনে উৎপাদিত খেলনার সংখ্যা $x$।

অতএব, সেই দিনে প্রতিটি খেলনার উৎপাদন খরচ (টাকায়) $=55-x$

সুতরাং, সেই দিনের মোট উৎপাদন খরচ (টাকায়) $=x(55-x)$

অতএব, $ \quad \quad x(55-x)=750$

অর্থাৎ, $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

অর্থাৎ, $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

অর্থাৎ, $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

অতএব, সেই দিনে উৎপাদিত খেলনার সংখ্যা দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ করে

$ x^{2}-55 x+750=0 $

যা সমস্যাটির গাণিতিকভাবে প্রয়োজনীয় উপস্থাপনা।

উদাহরণ ২ : পরীক্ষা করো নিম্নলিখিতগুলি দ্বিঘাত সমীকরণ কিনা:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

সমাধান :

(i) বামপক্ষ $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

অতএব, $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ কে পুনরায় লেখা যেতে পারে

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

এটি $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের।

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

(ii) যেহেতু $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ এবং $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$

অতএব, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

অর্থাৎ, $ \quad \quad x+12=0 $

এটি $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের নয়।

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।

(iii) এখানে, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{সুতরাং, } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ কে পুনরায় লেখা যেতে পারে } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

অতএব, আমরা পাই $x^{2}+3 x-1=0$

এটি $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের।

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

(iv) এখানে, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

অতএব, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ কে পুনরায় লেখা যেতে পারে

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {অর্থাৎ,} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ বা, } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

এটি $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের।

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

মন্তব্য : সতর্ক থাকো! উপরের (ii)-তে, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ বলে মনে হয়, কিন্তু এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।

উপরের (iv)-তে, প্রদত্ত সমীকরণটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ (৩ ঘাতের একটি সমীকরণ) বলে মনে হয় এবং দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। কিন্তু দেখা যাচ্ছে এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। যেমনটি তুমি দেখতে পাচ্ছ, প্রায়শই আমরা একটি সমীকরণ দ্বিঘাত কিনা তা নির্ধারণ করার আগে এটিকে সরলীকরণ করতে হয়।

৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান

দ্বিঘাত সমীকরণ $2 x^{2}-3 x+1=0$ বিবেচনা করো। যদি আমরা এই সমীকরণের বামপক্ষে $x$-এর স্থানে ১ বসাই, আমরা পাই $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ সমীকরণের ডানপক্ষ। আমরা বলি যে ১ হল দ্বিঘাত সমীকরণ $2 x^{2}-3 x+1=0$-এর একটি মূল। এর অর্থ এও যে ১ হল দ্বিঘাত বহুপদী $2 x^{2}-3 x+1$-এর একটি শূন্য।

সাধারণভাবে, একটি বাস্তব সংখ্যা $\alpha$ কে দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$-এর একটি মূল বলা হয় যদি $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$। আমরা আরও বলি যে $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ হল দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সমাধান, বা যে $\alpha$ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। লক্ষ্য করো যে দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c$-এর শূন্যগুলি এবং দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর মূলগুলি একই।

তুমি অধ্যায় ২-এ লক্ষ্য করেছ যে একটি দ্বিঘাত বহুপদীর সর্বাধিক দুটি শূন্য থাকতে পারে। সুতরাং, যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক দুটি মূল থাকতে পারে।

তুমি নবম শ্রেণীতে শিখেছ কিভাবে মধ্যবর্তী পদ বিভক্ত করে দ্বিঘাত বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়। আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের জন্য এই জ্ঞান ব্যবহার করব। আসুন দেখি কিভাবে।

উদাহরণ ৩ : উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে $2 x^{2}-5 x+3=0$ সমীকরণের মূল নির্ণয় করো।

সমাধান : আসুন প্রথমে মধ্যবর্তী পদ $-5 x$ কে $-2 x-3 x$ হিসাবে বিভক্ত করি [কারণ $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$]।

সুতরাং, $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

এখন, $2 x^{2}-5 x+3=0$ কে পুনরায় লেখা যেতে পারে $(2 x-3)(x-1)=0$ হিসাবে।

সুতরাং, $x$-এর যেসব মানের জন্য $2 x^{2}-5 x+3=0$, সেগুলি সেই মানগুলির জন্যই যার জন্য $(2 x-3)(x-1)=0$, অর্থাৎ, হয় $2 x-3=0$ অথবা $x-1=0$।

এখন, $2 x-3=0$ দেয় $x=\dfrac{3}{2}$ এবং $x-1=0$ দেয় $x=1$।

সুতরাং, $x=\dfrac{3}{2}$ এবং $x=1$ হল সমীকরণের সমাধান।

অন্য কথায়, ১ এবং $\dfrac{3}{2}$ হল $2 x^{2}-5 x+3=0$ সমীকরণের মূল।

যাচাই করো যে এগুলি প্রদত্ত সমীকরণের মূল।

লক্ষ্য করো যে আমরা $2 x^{2}-5 x+3=0$-এর মূলগুলি $2 x^{2}-5 x+3$ কে দুটি একঘাত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে এবং প্রতিটি উৎপাদককে শূন্যের সমান করে পেয়েছি।

উদাহরণ ৪ : দ্বিঘাত সমীকরণ $6 x^{2}-x-2=0$-এর মূল নির্ণয় করো।

সমাধান : আমাদের আছে

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$-এর মূলগুলি হল $x$-এর সেইসব মান যার জন্য $(3 x-2)(2 x+1)=0$

অতএব, $3 x-2=0$ অথবা $2 x+1=0$,

অর্থাৎ, $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

অতএব, $6 x^{2}-x-2=0$-এর মূলগুলি হল $\dfrac{2}{3}$ এবং $-\dfrac{1}{2}$।

আমরা মূলগুলি যাচাই করি, $\dfrac{2}{3}$ এবং $-\dfrac{1}{2}$ যে $6 x^{2}-x-2=0$ কে সিদ্ধ করে তা পরীক্ষা করে।

উদাহরণ ৫ : দ্বিঘাত সমীকরণ $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$-এর মূলগুলি নির্ণয় করো।

সমাধান : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

সুতরাং, সমীকরণের মূলগুলি হল $x$-এর সেইসব মান যার জন্য

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

এখন, $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$ হয় যখন $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$।

সুতরাং, এই মূলটি দুবার পুনরাবৃত্ত হয়, প্রতিটি পুনরাবৃত্ত উৎপাদক $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$-এর জন্য একবার করে।

অতএব, $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$-এর মূলগুলি হল $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$।

উদাহরণ ৬ : ৪.১ বিভাগে আলোচিত প্রার্থনা হলের মাত্রা নির্ণয় করো।

সমাধান : ৪.১ বিভাগে, আমরা পেয়েছিলাম যে যদি হলের প্রস্থ $x m$ হয়, তাহলে $x$ $2 x^{2}+x-300=0$ সমীকরণটি সিদ্ধ করে। উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে, আমরা এই সমীকরণটি লিখি

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ অর্থাৎ, } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলি হল $x=12$ অথবা $x=-12.5$। যেহেতু $x$ হল হলের প্রস্থ, এটি ঋণাত্মক হতে পারে না।

অতএব, হলের প্রস্থ হল $12 m$। এর দৈর্ঘ্য $=2 x+1=25 m$।

৪.৪ মূলের প্রকৃতি

$a x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের মূলগুলি দেওয়া হয়

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

যদি $b^{2}-4 a c>0$ হয়, আমরা দুটি পৃথক বাস্তব মূল পাই $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ এবং $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$।

যদি $b^{2}-4 a c=0$ হয়, তাহলে $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$, অর্থাৎ, $x=-\dfrac{b}{2 a}$ অথবা $-\dfrac{b}{2 a}$।

সুতরাং, $a x^{2}+b x+c=0$ সমীকরণের উভয় মূল $\dfrac{-b}{2 a}$।

অতএব, আমরা বলি যে এই ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর দুটি সমান বাস্তব মূল আছে।

যদি $b^{2}-4 a c<0$ হয়, তাহলে এমন কোনো বাস্তব সংখ্যা নেই যার বর্গ $b^{2}-4 a c$। অতএব, এই ক্ষেত্রে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই।

যেহেতু $b^{2}-4 a c$ নির্ধারণ করে যে দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর বাস্তব মূল আছে কিনা, তাই $b^{2}-4 a c$ কে এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক বলা হয়।

সুতরাং, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর

(i) দুটি পৃথক বাস্তব মূল আছে, যদি $b^{2}-4 a c>0$ হয়,

(ii) দুটি সমান বাস্তব মূল আছে, যদি $b^{2}-4 a c=0$ হয়,

(iii) কোনো বাস্তব মূল নেই, যদি $b^{2}-4 a c<0$ হয়।

আসুন আমরা কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ৭ : দ্বিঘাত সমীকরণ $2 x^{2}-4 x+3=0$-এর নিরূপক নির্ণয় করো এবং এর ফলে এর মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করো।

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণটি $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের, যেখানে $a=2, b=-4$ এবং $c=3$। অতএব, নিরূপক

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<0 $

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই।

উদাহরণ ৮ : একটি বৃত্তাকার পার্কের সীমানায় একটি খুঁটি স্থাপন করতে হবে যার ব্যাস ১৩ মিটার, এমনভাবে যে পার্কের সীমানায় অবস্থিত দুটি ব্যাসের বিপরীত স্থির গেট A এবং B থেকে এর দূরত্বের পার্থক্য ৭ মিটার হয়। এটি করা কি সম্ভব? যদি হ্যাঁ, তবে দুটি গেট থেকে কত দূরত্বে খুঁটিটি স্থাপন করা উচিত?

সমাধান : আসুন প্রথমে চিত্রটি আঁকি (চিত্র ৪.২ দেখো)।

চিত্র ৪.২

ধরা যাক $P$ হল খুঁটির প্রয়োজনীয় অবস্থান। ধরা যাক গেট $B$ থেকে খুঁটির দূরত্ব $x m$, অর্থাৎ, $BP=x m$। এখন দুটি গেট থেকে খুঁটির দূরত্বের পার্থক্য $=AP-BP($ অথবা, $BP-AP)=$ $7 m$। অতএব, $AP=(x+7) m$।

এখন, $AB=13 m$, এবং যেহেতু $AB$ একটি ব্যাস,

$$ \angle APB=90^{\circ} \quad(\text{ Why? }) $$

অতএব, $ \quad \quad \quad AP^{2}+PB^{2}=AB^{2} \quad(\text{ By Pythagoras theorem }) $

অর্থাৎ, $ \quad \quad \quad (x+7)^{2}+x^{2}=13^{2}$

অর্থাৎ, $ \quad \quad \quad x^{2}+14 x+49+x^{2}=169 $

অর্থাৎ, $ \quad \quad \quad 2 x^{2}+14 x-120=0 $

সুতরাং, গেট $B$ থেকে খুঁটির দূরত্ব ‘$x$’ $x^{2}+7 x-60=0$ সমীকরণটি সিদ্ধ করে

সুতরাং, খুঁটিটি স্থাপন করা সম্ভব হবে যদি এই সমীকরণের বাস্তব মূল থাকে। এটি সত্যি কিনা তা দেখতে, আসুন এর নিরূপক বিবেচনা করি। নিরূপক হল

$ b^{2}-4 a c=7^{2}-4 \times 1 \times(-60)=289>0 . $

সুতরাং, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বাস্তব মূল আছে, এবং পার্কের সীমানায় খুঁটিটি স্থাপন করা সম্ভব।

দ্বিঘাত সূত্র দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ $x^{2}+7 x-60=0$ সমাধান করে, আমরা পাই

$$ x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7 \pm 17}{2} $$

অতএব, $x=5$ অথবা -১২।

যেহেতু $x$ হল খুঁটি এবং গেট B-এর মধ্যেকার দূরত্ব, এটি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। অতএব, $x=-12$ কে উপেক্ষা করতে হবে। সুতরাং, $x=5$।

অতএব, খুঁটিটিকে পার্কের সীমানায় গেট $B$ থেকে $5 m$ দূরত্বে এবং গেট $A$ থেকে $12 m$ দূরত্বে স্থাপন করতে হবে।

উদাহরণ ৯ : $3 x^{2}-2 x+\dfrac{1}{3}=0$ সমীকরণের নিরূপক নির্ণয় করো এবং এর ফলে এর মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করো। সেগুলি বাস্তব হলে মূলগুলি নির্ণয় করো।

সমাধান : এখানে $a=3, b=-2$ এবং $c=\dfrac{1}{3}$।

অতএব, নিরূপক $b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=4-4=0$।

সুতরাং, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি সমান বাস্তব মূল আছে।

মূলগুলি হল $\dfrac{-b}{2 a}, \dfrac{-b}{2 a}$, অর্থাৎ, $\dfrac{2}{6}, \dfrac{2}{6}$, অর্থাৎ, $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}$।

৪.৫ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তোমরা নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছ:

১. $x$ চলরাশিতে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল $a x^{2}+b x+c=0$ আকারের, যেখানে $a, b, c$ হল বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$।

২. একটি বাস্তব সংখ্যা $\alpha$ কে দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর একটি মূল বলা হয়, যদি $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$ হয়। দ্বিঘাত বহুপদী $a x^{2}+b x+c$-এর শূন্যগুলি এবং দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর মূলগুলি একই।

৩. যদি আমরা $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ কে দুটি একঘাত উৎপাদকের গুণফল হিসাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর মূলগুলি প্রতিটি উৎপাদককে শূন্যের সমান করে পাওয়া যেতে পারে।

৪. দ্বিঘাত সূত্র: একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর মূলগুলি দেওয়া হয় $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ দ্বারা, শর্ত থাকে যে $b^{2}-4 a c \geq 0$।

৫. একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $a x^{2}+b x+c=0$-এর

(i) দুটি পৃথক বাস্তব মূল আছে, যদি $b^{2}-4 a c>0$ হয়,

(ii) দুটি সমান মূল (অর্থাৎ, সমাপতিত মূল) আছে, যদি $b^{2}-4 a c=0$ হয়, এবং

(iii) কোনো বাস্তব মূল নেই, যদি $b^{2}-4 a c<0$ হয়।