4.1 भूमिका

अध्याय 2 में, आपने विभिन्न प्रकार के बहुपदों का अध्ययन किया है। एक प्रकार $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ रूप का द्विघात बहुपद था। जब हम इस बहुपद को शून्य के बराबर करते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण तब सामने आते हैं जब हम कई वास्तविक जीवन स्थितियों से निपटते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक चैरिटी ट्रस्ट 300 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाला एक प्रार्थना हॉल बनाने का निर्णय लेता है, जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से एक मीटर अधिक है। हॉल की लंबाई और चौड़ाई क्या होनी चाहिए? मान लीजिए कि हॉल की चौड़ाई $x$ मीटर है। तब, इसकी लंबाई $(2 x+1)$ मीटर होनी चाहिए। हम इस जानकारी को चित्र 4.1 में दर्शाए अनुसार चित्रात्मक रूप से दर्शा सकते हैं।

चित्र 4.1

$ \text{अब, हॉल का क्षेत्रफल }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (दिया है)

$ \text{अतः,}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

इसलिए, हॉल की चौड़ाई को समीकरण $2 x^{2}+x-300=0$ को संतुष्ट करना चाहिए जो एक द्विघात समीकरण है।

बहुत से लोग मानते हैं कि बेबीलोनवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले व्यक्ति थे। उदाहरण के लिए, वे दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात करना जानते थे जिनका योग दिया हुआ धनात्मक हो और गुणनफल दिया हुआ धनात्मक हो, और यह समस्या $x^{2}-p x+q=0$ रूप के द्विघात समीकरण को हल करने के समतुल्य है। यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने ऐसी लंबाइयाँ ज्ञात करने के लिए एक ज्यामितीय उपागम विकसित किया, जो हमारी वर्तमान शब्दावली में, द्विघात समीकरणों के हल हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने का श्रेय प्रायः प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को दिया जाता है। वास्तव में, ब्रह्मगुप्त (ई.598-665) ने $a x^{2}+b x=c$ रूप के द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक स्पष्ट सूत्र दिया। बाद में,

श्रीधराचार्य (ई. 1025) ने पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण हल करने के लिए एक सूत्र (जैसा कि भास्कर द्वितीय ने उद्धृत किया है) व्युत्पन्न किया, जो अब द्विघात सूत्र के नाम से जाना जाता है। एक अरब गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी (लगभग ई. 800) ने भी विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया। अब्राहम बार हिय्या हा-नासी ने, अपनी पुस्तक ‘लिबर एम्बाडोरम’ में जो ई. 1145 में यूरोप में प्रकाशित हुई, विभिन्न द्विघात समीकरणों के पूर्ण हल दिए।

इस अध्याय में, आप द्विघात समीकरणों और उनके मूल ज्ञात करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करेंगे। आप दैनिक जीवन स्थितियों में द्विघात समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग भी देखेंगे।

4.2 द्विघात समीकरण

चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का एक समीकरण है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, $a \neq 0$। उदाहरण के लिए, $2 x^{2}+x-300=0$ एक द्विघात समीकरण है। इसी प्रकार, $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ और $1-x^{2}+300=0$ भी द्विघात समीकरण हैं।

वास्तव में, $p(x)=0$ रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ $p(x)$ घात 2 का एक बहुपद है, एक द्विघात समीकरण है। परंतु जब हम $p(x)$ के पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में लिखते हैं, तब हमें समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है। अर्थात्, $a x^{2}+b x+c=0$, $a \neq 0$ द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है।

द्विघात समीकरण हमारे आसपास की दुनिया में और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में कई स्थितियों में उत्पन्न होते हैं। आइए हम कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 : निम्नलिखित स्थितियों को गणितीय रूप से निरूपित कीजिए:

(i) जॉन और जीवंती के पास कुल 45 कंचे हैं। उन दोनों में से प्रत्येक ने 5 कंचे खो दिए, और अब उनके पास जितने कंचे हैं उनका गुणनफल 124 है। हम यह जानना चाहेंगे कि शुरुआत में उनके पास कितने कंचे थे।

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ निश्चित खिलौने बनाता है। प्रत्येक खिलौने के उत्पादन की लागत (रुपयों में) एक दिन में उत्पादित खिलौनों की संख्या को 55 में से घटाने पर प्राप्त होती है। एक विशेष दिन, उत्पादन की कुल लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन उत्पादित खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल :

(i) मान लीजिए जॉन के पास कंचों की संख्या $x$ थी।

तब जीवंती के पास कंचों की संख्या $=45-x$ थी (क्यों?)।

जब जॉन ने 5 कंचे खो दिए, तो उसके पास बचे कंचों की संख्या $=x-5$

जब जीवंती ने 5 कंचे खो दिए, तो उसके पास बचे कंचों की संख्या $=45-x-5$

$$ =40-x $$

इसलिए, उनका गुणनफल $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

अतः, $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (दिया है कि गुणनफल $=124$ )

अर्थात्, $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

अर्थात्, $\quad x^{2}-45 x+324=0$

इसलिए, जॉन के पास कंचों की संख्या, द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती है

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

जो समस्या का गणितीय रूप से अभीष्ट निरूपण है।

(ii) मान लीजिए उस दिन उत्पादित खिलौनों की संख्या $x$ है।

इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की उत्पादन लागत (रुपयों में) $=55-x$

अतः, उस दिन उत्पादन की कुल लागत (रुपयों में) $=x(55-x)$

इसलिए, $ \quad \quad x(55-x)=750$

अर्थात्, $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

अर्थात्, $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

अर्थात्, $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

इसलिए, उस दिन उत्पादित खिलौनों की संख्या द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती है

$ x^{2}-55 x+750=0 $

जो समस्या का गणितीय रूप से अभीष्ट निरूपण है।

उदाहरण 2 : जाँच कीजिए कि निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं या नहीं:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

हल :

(i) बायाँ पक्ष $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

इसलिए, $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

यह $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का है।

इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) चूँकि $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ और $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$

इसलिए, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

अर्थात्, $ \quad \quad x+12=0 $

यह $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का नहीं है।

इसलिए, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(iii) यहाँ, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{अतः, } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

इसलिए, हमें $x^{2}+3 x-1=0$ प्राप्त होता है।

यह $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का है।

अतः, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iv) यहाँ, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

इसलिए, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {अर्थात्,} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ या, } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

यह $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का है।

अतः, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

टिप्पणी : सावधान रहें! ऊपर (ii) में, दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण प्रतीत होता है, परंतु यह द्विघात समीकरण नहीं है।

ऊपर (iv) में, दिया गया समीकरण घन समीकरण (घात 3 का समीकरण) प्रतीत होता है न कि द्विघात समीकरण। परंतु यह द्विघात समीकरण निकलता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, अक्सर हमें यह तय करने से पहले कि यह द्विघात है या नहीं, दिए गए समीकरण को सरल करने की आवश्यकता होती है।

4.3 गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण का हल

द्विघात समीकरण $2 x^{2}-3 x+1=0$ पर विचार कीजिए। यदि हम इस समीकरण के बायें पक्ष में $x$ के स्थान पर 1 रखते हैं, तो हमें समीकरण के दायें पक्ष के बराबर $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ प्राप्त होता है। हम कहते हैं कि 1 द्विघात समीकरण $2 x^{2}-3 x+1=0$ का एक मूल है। इसका अर्थ यह भी है कि 1 द्विघात बहुपद $2 x^{2}-3 x+1$ का एक शून्यक है।

सामान्य रूप में, एक वास्तविक संख्या $\alpha$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$ का एक मूल कहलाती है यदि $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$। हम यह भी कहते हैं कि $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ द्विघात समीकरण का एक हल है, या कि $\alpha$ द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। ध्यान दीजिए कि द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल समान होते हैं।

आपने अध्याय 2 में देखा है कि एक द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं। इसलिए, किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।

आपने कक्षा IX में सीखा है कि मध्य पद को विभक्त करके द्विघात बहुपदों के गुणनखंड कैसे किए जाते हैं। हम द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए इस ज्ञान का उपयोग करेंगे। आइए देखें कैसे।

उदाहरण 3 : गुणनखंडन द्वारा समीकरण $2 x^{2}-5 x+3=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल : आइए हम पहले मध्य पद $-5 x$ को $-2 x-3 x$ के रूप में विभक्त करते हैं [क्योंकि $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$]।

अतः, $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

अब, $2 x^{2}-5 x+3=0$ को पुनः $(2 x-3)(x-1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, $x$ के वे मान जिनके लिए $2 x^{2}-5 x+3=0$ है, वे वही हैं जिनके लिए $(2 x-3)(x-1)=0$ है, अर्थात्, या तो $2 x-3=0$ या $x-1=0$।

अब, $2 x-3=0$ देता है $x=\dfrac{3}{2}$ और $x-1=0$ देता है $x=1$।

अतः, $x=\dfrac{3}{2}$ और $x=1$ समीकरण के हल हैं।

दूसरे शब्दों में, 1 और $\dfrac{3}{2}$ समीकरण $2 x^{2}-5 x+3=0$ के मूल हैं।

सत्यापित कीजिए कि ये दिए गए समीकरण के मूल हैं।

ध्यान दीजिए कि हमने $2 x^{2}-5 x+3=0$ के मूल, $2 x^{2}-5 x+3$ को दो रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडित करके और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करके ज्ञात किए हैं।

उदाहरण 4 : द्विघात समीकरण $6 x^{2}-x-2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल : हमारे पास है

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$ के मूल, $x$ के वे मान हैं जिनके लिए $(3 x-2)(2 x+1)=0$

इसलिए, $3 x-2=0$ या $2 x+1=0$,

अर्थात्, $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

इसलिए, $6 x^{2}-x-2=0$ के मूल $\dfrac{2}{3}$ और $-\dfrac{1}{2}$ हैं।

हम मूलों का सत्यापन करते हैं, यह जाँच करके कि $\dfrac{2}{3}$ और $-\dfrac{1}{2}$, $6 x^{2}-x-2=0$ को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 5 : द्विघात समीकरण $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

अतः, समीकरण के मूल, $x$ के वे मान हैं जिनके लिए

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

अब, $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$, $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ के लिए।

अतः, यह मूल दो बार आवर्तित है, एक बार प्रत्येक आवर्तित गुणनखंड $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$ के लिए।

इसलिए, $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ के मूल $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ हैं।

उदाहरण 6 : अनुभाग 4.1 में चर्चित प्रार्थना हॉल की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल : अनुभाग 4.1 में, हमने पाया कि यदि हॉल की चौड़ाई $x m$ है, तो $x$ समीकरण $2 x^{2}+x-300=0$ को संतुष्ट करता है। गुणनखंडन विधि लागू करते हुए, हम इस समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ अर्थात्, } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

अतः, दिए गए समीकरण के मूल $x=12$ या $x=-12.5$ हैं। चूँकि $x$ हॉल की चौड़ाई है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती।

इस प्रकार, हॉल की चौड़ाई $12 m$ है। इसकी लंबाई $=2 x+1=25 m$ है।

4.4 मूलों की प्रकृति

समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल निम्न द्वारा दिए जाते हैं

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

यदि $b^{2}-4 a c>0$, हमें दो भिन्न वास्तविक मूल $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ और $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ प्राप्त होते हैं।

यदि $b^{2}-4 a c=0$, तब $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$, अर्थात्, $x=-\dfrac{b}{2 a}$ या $-\dfrac{b}{2 a}$।

अतः, समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल दोनों $\dfrac{-b}{2 a}$ हैं।

इसलिए, हम कहते हैं कि इस स्थिति में द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं।

यदि $b^{2}-4 a c<0$, तब कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग $b^{2}-4 a c$ हो। इसलिए, इस स्थिति में दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

चूँकि $b^{2}-4 a c$ यह निर्धारित करता है कि द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के वास्तविक मूल हैं या नहीं, $b^{2}-4 a c$ को इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहा जाता है।

अतः, एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के

(i) दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) दो समान वास्तविक मूल होते हैं, यदि $b^{2}-4 a c=0$, और

(iii) कोई वास्तविक मूल नहीं होते, यदि $b^{2}-4 a c<0$।

आइए हम कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 7 : द्विघात समीकरण $2 x^{2}-4 x+3=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए, और फिर इसके मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल : दिया गया समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का है, जहाँ $a=2, b=-4$ और $c=3$ हैं। इसलिए, विविक्तकर

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<0 $

अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

उदाहरण 8 : एक वृत्ताकार पार्क जिसका व्यास 13 मीटर है, की सीमा पर एक बिंदु पर एक खंभा इस प्रकार लगाना है कि सीमा पर स्थित दो व्यासतः सम्मुख निश्चित द्वार A और B से इसकी दूरियों का अंतर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना संभव है? यदि हाँ, तो खंभे को दोनों द्वारों से कितनी दूरियों पर लगाना चाहिए?

हल : आइए हम पहले आरेख बनाते हैं (चित्र 4.2 देखिए)।

चित्र 4.2

मान लीजिए $P$ खंभे का अभीष्ट स्थान है। मान लीजिए खंभे की द्वार $B$ से दूरी $x m$ है, अर्थात्, $BP=x m$। अब खंभे की दोनों द्वारों से दूरियों का अंतर $=AP-BP($ या, $BP-AP)=$ $7 m$। इसलिए, $AP=(x+7) m$।

अब, $AB=13 m$, और चूँकि $AB$ एक व्यास है,

$$ \angle APB=90^{\circ} \quad(\text{ Why? }) $$

इसलिए, $ \quad \quad \quad AP^{2}+PB^{2}=AB^{2} \quad(\text{ By Pythagoras theorem }) $

अर्थात्, $ \quad \quad \quad (x+7)^{2}+x^{2}=13^{2}$

अर्थात्, $ \quad \quad \quad x^{2}+14 x+49+x^{2}=169 $

अर्थात्, $ \quad \quad \quad 2 x^{2}+14 x-120=0 $

अतः, द्वार $B$ से खंभे की दूरी ‘$x$’ समीकरण $x^{2}+7 x-60=0$ को संतुष्ट करती है

इसलिए, खंभा लगाना संभव होगा यदि इस समीकरण के वास्तविक मूल हों। यह देखने के लिए कि ऐसा है या नहीं, आइए हम इसके विविक्तकर पर विचार करें। विविक्तकर है

$ b^{2}-4 a c=7^{2}-4 \times 1 \times(-60)=289>0 . $

अतः, दिए गए द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, और पार्क की सीमा पर खंभा लगाना संभव है।

द्विघात समीकरण $x^{2}+7 x-60=0$ को द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7 \pm 17}{2} $$

इसलिए, $x=5$ या -12।

चूँकि $x$ खंभे और द्वार B के बीच की दूरी है, यह धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए, $x=-12$ को नजरअंदाज करना होगा। अतः, $x=5$।

इस प्रकार, खंभे को पार्क की सीमा पर द्वार $B$ से $5 m$ की दूरी पर और द्वार $A$ से $12 m$ की दूरी पर लगाना होगा।

उदाहरण 9 : समीकरण $3 x^{2}-2 x+\dfrac{1}{3}=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर इसके मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वे वास्तविक हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ $a=3, b=-2$ और $c=\dfrac{1}{3}$ हैं।

इसलिए, विविक्तकर $b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=4-4=0$ है।

अतः, दिए गए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।

मूल $\dfrac{-b}{2 a}, \dfrac{-b}{2 a}$ हैं, अर्थात्, $\dfrac{2}{6}, \dfrac{2}{6}$, अर्थात्, $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}$।

4.5 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ रूप का होता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$।

2. एक वास्तविक संख्या $\alpha$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ का एक मूल कहलाती है, यदि $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$। द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल समान होते हैं।

3. यदि हम $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं, तो द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करके ज्ञात किए जा सकते हैं।

4. द्विघात सूत्र: एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ द्वारा दिए जाते हैं, बशर्ते कि $b^{2}-4 a c \geq 0$।

5. एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के

(i) दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) दो समान मूल (अर्थात् संपाती मूल) होते हैं, यदि $b^{2}-4 a c=0$, और

(iii) कोई वास्तविक मूल नहीं होते, यदि $b^{2}-4 a c<0$।