4.1 ಪರಿಚಯ

ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಒಂದು ವಿಧವೆಂದರೆ $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ರೂಪದ ವರ್ಗ ಬಹುಪದ. ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಾವು ಅನೇಕ ನೈಜ ಜೀವನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ದಾನ ಟ್ರಸ್ಟ್ ತನ್ನ ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಹೆಚ್ಚು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉದ್ದವಿರುವ 300 ಚದರ ಮೀಟರ್ ಕಾರ್ಪೆಟ್ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಿರುವ ಪ್ರಾರ್ಥನಾ ಮಂದಿರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮಂದಿರದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎಷ್ಟಿರಬೇಕು? ಮಂದಿರದ ಅಗಲ $x$ ಮೀಟರ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ, ಅದರ ಉದ್ದ $(2 x+1)$ ಮೀಟರ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಚಿತ್ರ 4.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 4.1

$ \text{ಈಗ, ಮಂದಿರದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

$ \text{ಆದ್ದರಿಂದ,}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಂದಿರದ ಅಗಲವು $2 x^{2}+x-300=0$ ಎಂಬ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು.

ಬಹುತೇಕ ಜನರು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರು ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಡಲಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು $x^{2}-p x+q=0$ ರೂಪದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅದು ನಮ್ಮ ಇಂದಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿರುವ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಾಗಿತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಶ್ರೇಯಸ್ಸನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (ಕ್ರಿ.ಶ. 598-665) ರವರು $a x^{2}+b x=c$ ರೂಪದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ನಂತರ,

ಶ್ರೀಧರಾಚಾರ್ಯ (ಕ್ರಿ.ಶ. 1025) ರವರು ವರ್ಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಭಾಸ್ಕರ II ರವರು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಂತೆ) ಪಡೆದರು, ಇದು ಈಗ ವರ್ಗ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅರಬ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಅಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ. 800) ರವರು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಬ್ರಹಾಂ ಬಾರ್ ಹಿಯ್ಯಾ ಹಾ-ನಾಸಿ, ಅವರ ‘ಲಿಬರ್ ಎಂಬಡೋರಮ್’ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿ.ಶ. 1145 ರಲ್ಲಿ ಯೂರೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟು, ವಿವಿಧ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ. ನೀವು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕೂಡ ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

4.2 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಚರ $x$ ರಲ್ಲಿನ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವು $a x^{2}+b x+c=0$ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a, b, c$ ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, $a \neq 0$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2 x^{2}+x-300=0$ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ ಮತ್ತು $1-x^{2}+300=0$ ಗಳು ಕೂಡ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $p(x)=0$ ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣ, ಇಲ್ಲಿ $p(x)$ ಎಂಬುದು 2 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಅದು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು $p(x)$ ನ ಪದಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪದವಿಗಳ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ, ನಮಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, $a x^{2}+b x+c=0$, $a \neq 0$ ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರಪಂಚದ ಹಲವಾರು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿ:

(i) ಜಾನ್ ಮತ್ತು ಜಿವಂತಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ 45 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಿಬ್ಬರೂ ತಲಾ 5 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡರು, ಮತ್ತು ಈಗ ಅವರು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧ 124 ಆಗಿದೆ. ಅವರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

(ii) ಒಂದು ಕುಟೀರ ಉದ್ಯಮವು ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಟಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚ (ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ) ಆ ದಿನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 55 ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚ ₹ 750 ಆಗಿತ್ತು. ಆ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಆಟಿಕೆಗಳು ಉತ್ಪಾದಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಹಾರ :

(i) ಜಾನ್ ಹೊಂದಿದ್ದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $x$ ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ ಜಿವಂತಿ ಹೊಂದಿದ್ದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=45-x$ (ಏಕೆ?).

ಜಾನ್ 5 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಅವನ ಬಳಿ ಉಳಿದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=x-5$

ಜಿವಂತಿ 5 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಅವಳ ಬಳಿ ಉಳಿದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=45-x-5$

$$ =40-x $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (ಗುಣಲಬ್ಧ $=124$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ಅಂದರೆ, $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

ಅಂದರೆ, $\quad x^{2}-45 x+324=0$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಜಾನ್ ಹೊಂದಿದ್ದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ.

(ii) ಆ ದಿನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $x$ ಆಗಿರಲಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆ ದಿನದ ಪ್ರತಿ ಆಟಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚ (ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ) $=55-x$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆ ದಿನದ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚ (ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ) $=x(55-x)$

ಆದ್ದರಿಂದ, $ \quad \quad x(55-x)=750$

ಅಂದರೆ, $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

ಅಂದರೆ, $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

ಅಂದರೆ, $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆ ದಿನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

$ x^{2}-55 x+750=0 $

ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗಣಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಕೆಳಗಿನವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

ಪರಿಹಾರ :

(i) LHS $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

ಆದ್ದರಿಂದ, $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

ಇದು $a x^{2}+b x+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

(ii) ಏಕೆಂದರೆ $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ ಮತ್ತು $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

ಅಂದರೆ, $ \quad \quad x+12=0 $

ಇದು $a x^{2}+b x+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ.

(iii) ಇಲ್ಲಿ,$ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{ಆದ್ದರಿಂದ, } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $x^{2}+3 x-1=0$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇದು $a x^{2}+b x+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

(iv) ಇಲ್ಲಿ, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

ಆದ್ದರಿಂದ, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {ಅಂದರೆ,} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ ಅಥವಾ, } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

ಇದು $a x^{2}+b x+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ! ಮೇಲಿನ (ii) ನಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ (iv) ನಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಘನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ (3 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣ) ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆಯೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೊದಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

4.3 ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

$2 x^{2}-3 x+1=0$ ಎಂಬ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ LHS ನಲ್ಲಿ $x$ ಬದಲಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ, ನಮಗೆ ಸಮೀಕರಣದ RHS $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ ಸಿಗುತ್ತದೆ. 1 ಎಂಬುದು $2 x^{2}-3 x+1=0$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬೇರು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ 1 ಎಂಬುದು $2 x^{2}-3 x+1$ ವರ್ಗ ಬಹುಪದದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $\alpha$ ಅನ್ನು $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೇಳೆ $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$. $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ ಎಂಬುದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕೂಡ ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ $\alpha$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ: ವರ್ಗ ಬಹುಪದ $a x^{2}+b x+c$ ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ $a x^{2}+b x+c=0$ ನ ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.

ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.

9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮಧ್ಯದ ಪದಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಕರಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : $2 x^{2}-5 x+3=0$ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು, ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಮೊದಲು ಮಧ್ಯದ ಪದ $-5 x$ ಅನ್ನು $-2 x-3 x$ ಎಂದು ವಿಭಜಿಸೋಣ [ಏಕೆಂದರೆ $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$].

ಆದ್ದರಿಂದ, $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

ಈಗ, $2 x^{2}-5 x+3=0$ ಅನ್ನು $(2 x-3)(x-1)=0$ ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, $x$ ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳು, $2 x^{2}-5 x+3=0$ ಆಗಿರುವಂತೆ, ಅವೇ ಆಗಿವೆ, $(2 x-3)(x-1)=0$, ಅಂದರೆ, $2 x-3=0$ ಅಥವಾ $x-1=0$.

ಈಗ, $2 x-3=0$ ನಿಂದ $x=\dfrac{3}{2}$ ಸಿಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $x-1=0$ ನಿಂದ $x=1$ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $x=\dfrac{3}{2}$ ಮತ್ತು $x=1$ ಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 1 ಮತ್ತು $\dfrac{3}{2}$ ಗಳು $2 x^{2}-5 x+3=0$ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ.

ಇವು ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

$2 x^{2}-5 x+3=0$ ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಾವು $2 x^{2}-5 x+3$ ಅನ್ನು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : $6 x^{2}-x-2=0$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಮಗೆ ಇವೆ

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$ ನ ಬೇರುಗಳು $x$ ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, $(3 x-2)(2 x+1)=0$ ಆಗಿರುವಂತೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, $3 x-2=0$ ಅಥವಾ $2 x+1=0$,

ಅಂದರೆ, $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $6 x^{2}-x-2=0$ ನ ಬೇರುಗಳು $\dfrac{2}{3}$ ಮತ್ತು $-\dfrac{1}{2}$ ಆಗಿವೆ.

$\dfrac{2}{3}$ ಮತ್ತು $-\dfrac{1}{2}$ ಗಳು $6 x^{2}-x-2=0$ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು $x$ ನ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

ಈಗ, $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$, $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ಗಾಗಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಬೇರು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಪವರ್ತನ $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$ ಗಾಗಿ ಒಂದೊಂದಾಗಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ ನ ಬೇರುಗಳು $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ಆಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ವಿಭಾಗ 4.1 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಾರ್ಥನಾ ಮಂದಿರದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ವಿಭಾಗ 4.1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಮಂದಿರದ ಅಗಲವು $x m$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $x$ ಸಮೀಕರಣ $2 x^{2}+x-300=0$ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ ಅಂದರೆ, } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು $x=12$ ಅಥವಾ $x=-12.5$ ಆಗಿವೆ. $x$ ಮಂದಿರದ ಅಗಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮಂದಿರದ ಅಗಲ $12 m$ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಉದ್ದ $=2 x+1=25 m$.

4.4 ಬೇರುಗಳ ಸ್ವಭಾವ

$a x^{2}+b x+c=0$ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

ವೇಳೆ $b^{2}-4 a c>0$, ನಮಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳು $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ ಮತ್ತು $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ವೇಳೆ $b^{2}-4 a c=0$, ಆಗ $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$, ಅಂದರೆ, $x=-\dfrac{b}{2 a}$ ಅಥವಾ $-\dfrac{b}{2 a}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ $a x^{2}+b x+c=0$ ನ ಬೇರುಗಳೆರಡೂ $\dfrac{-b}{2 a}$ ಆಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ $a x^{2}+b x+c=0$ ಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ವೇಳೆ $b^{2}-4 a c<0$, ಆಗ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ $b^{2}-4 a c$ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

$b^{2}-4 a c$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ $a x^{2}+b x+c=0$ ಗೆ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿವೆಯೇ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದರಿಂದ, $b^{2}-4 a c$ ಅನ್ನು ಈ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವೇಚಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ $a x^{2}+b x+c=0$ ಗೆ

(i) ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ವೇಳೆ $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) ಎರಡು ಸಮಾನ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ವೇಳೆ $b^{2}-4 a c=0$,

(iii) ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ವೇಳೆ $b^{2}-4 a c<0$.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 : $2 x^{2}-4 x+3=0$ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವೇಚಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು $a x^{2}+b x+c=0$ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a=2, b=-4$ ಮತ್ತು $c=3$. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವೇಚಕ

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<0 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 : 13 ಮೀಟರ್ ವ್ಯಾಸವಿರುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನದ ಸೀಮೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಂಬವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕು, ಅದು ಸೀಮೆಯ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ವ್ಯಾಸೀಯವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಗೇಟ್‌ಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳಿಂದ ಅದರ ದೂರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 7 ಮೀಟರ್ ಆಗಿರುವಂತೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದಾದರೆ, ಎರಡು ಗೇಟ್‌ಗಳಿಂದ ಯಾವ ದೂರದಲ್ಲಿ ಕಂಬವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ : ಮೊದಲು ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 4.2 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 4.2

$P$ ಕಂಬದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಕಂಬದಿಂದ ಗೇಟ್ $B$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರವು $x m$ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, $BP=x m$. ಈಗ ಕಂಬದಿಂದ ಎರಡು ಗೇಟ್‌ಗಳಿಗಿರುವ ದೂರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $=AP-BP($ ಅಥವಾ, $BP-AP)=$ $7 m$. ಆದ್ದರಿಂದ, $AP=(x+7) m$.

ಈಗ, $AB=13 m$, ಮತ್ತು $AB$ ವ್ಯಾಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ,

$$ \angle APB=90^{\circ} \quad(\text{ Why? }) $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $ \quad \quad \quad AP^{2}+PB^{2}=AB^{2} \quad(\text{ By Pythagoras theorem }) $

ಅಂದರೆ, $ \quad \quad \quad (x+7)^{2}+x^{2}=13^{2}$

ಅಂದರೆ, $ \quad \quad \quad x^{2}+14 x+49+x^{2}=169 $

ಅಂದರೆ, $ \quad \quad \quad 2 x^{2}+14 x-120=0 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೇಟ್ $B$ ನಿಂದ ಕಂಬದ ‘$x$’ ದೂರವು ಸಮೀಕರಣ $x^{2}+7 x-60=0$ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೆ ಕಂಬವನ್ನು ಇಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದೆಯೇ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನೋಡಲು, ಅದರ ವಿವೇಚಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ವಿವೇಚಕವು

$ b^{2}-4 a c=7^{2}-4 \times 1 \times(-60)=289>0 . $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಉದ್ಯಾನದ ಸೀಮೆಯ ಮೇಲೆ ಕಂಬವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ವರ್ಗ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ, ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}+7 x-60=0$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ

$$ x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7 \pm 17}{2} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $x=5$ ಅಥವಾ -12 .

$x$ ಕಂಬ ಮತ್ತು ಗೇಟ್ B ಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, $x=-12$ ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x=5$.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಂಬವನ್ನು ಉದ್ಯಾನದ ಸೀಮೆಯ ಮೇಲೆ ಗೇಟ್ $B$ ನಿಂದ $5 m$ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗೇಟ್ $A$ ನಿಂದ $12 m$ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 : $3 x^{2}-2 x+\dfrac{1}{3}=0$ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವೇಚಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡು