৪.১ পৰিচয়

দ্বিতীয় অধ্যায়ত, আপুনি বিভিন্ন ধৰণৰ বহুপদ ৰাশিৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছে। এটা ধৰণ আছিল $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ৰূপৰ দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশি। যেতিয়া আমি এই বহুপদ ৰাশিটো শূন্যৰ সৈতে সমীকৰণ কৰোঁ, তেতিয়া আমি এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ পাম। দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰ ওলায় যেতিয়া আমি বহুতো বাস্তৱ জীৱনৰ পৰিস্থিতিৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰোঁ। উদাহৰণস্বৰূপে, ধৰি লওক যে এটা দাতব্য সংস্থাই এটা প্ৰাৰ্থনা কক্ষ নিৰ্মাণৰ সিদ্ধান্ত লয়, যাৰ কাৰ্পেটৰ কালি ৩০০ বৰ্গ মিটাৰ আৰু যাৰ দৈৰ্ঘ্য তাৰ প্ৰস্থৰ দুগুণতকৈ এক মিটাৰ বেছি। কক্ষটোৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ কিমান হ’ব লাগে? ধৰি লওক যে কক্ষটোৰ প্ৰস্থ $x$ মিটাৰ। তেন্তে, তাৰ দৈৰ্ঘ্য $(2 x+1)$ মিটাৰ হ’ব লাগিব। আমি এই তথ্যটো চিত্ৰ ৪.১ ত দেখুওৱাৰ দৰে চিত্ৰৰ সহায়ত চিত্ৰণ কৰিব পাৰোঁ।

চিত্ৰ ৪.১

$ \text{এতিয়া, কক্ষটোৰ কালি }=(2 x+1) \cdot x m^{2}=(2 x^{2}+x) m^{2} $

$\text{So,}\quad 2 x^{2}+x=300 \quad \quad \quad $ (দিয়া আছে)

$ \text{গতিকে,}\quad 2 x^{2}+x-300=0 $

সেয়েহে, কক্ষটোৰ প্ৰস্থই $2 x^{2}+x-300=0$ সমীকৰণটো সন্তুষ্ট কৰিব লাগিব যিটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।

বহুতো লোকৰ বিশ্বাস যে বেবিলনীয়ানসকলেই আছিল প্ৰথম যিসকলে দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰিছিল। উদাহৰণস্বৰূপে, তেওঁলোকে জানিছিল কেনেকৈ দুটা ধনাত্মক সংখ্যা উলিয়াব লাগে যিবোৰৰ ধনাত্মক যোগফল আৰু ধনাত্মক গুণফল দিয়া আছে, আৰু এই সমস্যাটো $x^{2}-p x+q=0$ ৰূপৰ এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ সমাধান কৰাৰ সমতুল্য। গ্ৰীক গণিতজ্ঞ ইউক্লিডে দৈৰ্ঘ্য উলিওৱাৰ বাবে এটা জ্যামিতিক পদ্ধতি বিকশিত কৰিছিল, যিবোৰ আমাৰ বৰ্তমানৰ পৰিভাষাত, দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ সমাধান। সাধাৰণ ৰূপত দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰাটো প্ৰায়ে প্ৰাচীন ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলৰ কৃতিত্ব বুলি গণ্য কৰা হয়। তথাপি, ব্ৰহ্মগুপ্তই (খ্ৰীষ্টাব্দ ৫৯৮-৬৬৫) $a x^{2}+b x=c$ ৰূপৰ এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ সমাধান কৰিবলৈ এটা স্পষ্ট সূত্ৰ দিছিল। পাছত,

শ্ৰীধৰাচাৰ্যই (খ্ৰীষ্টাব্দ ১০২৫) এটা সূত্ৰ উদ্ভাৱন কৰিছিল, যাক এতিয়া দ্বিঘাত সূত্ৰ বুলি জনা যায়, (ভাস্কৰ দ্বিতীয়ৰ দ্বাৰা উদ্ধৃত হিচাপে) বৰ্গ পূৰণ কৰাৰ পদ্ধতিৰে দ্বিঘাত সমীকৰণ এটা সমাধান কৰিবলৈ। এজন আৰৱ গণিতজ্ঞ আল-খোৱাৰিজমিও (খ্ৰীষ্টাব্দ ৮০০ চনৰ মানত) বিভিন্ন ধৰণৰ দ্বিঘাত সমীকৰণৰ অধ্যয়ন কৰিছিল। আব্ৰাহাম বাৰ হিয়্যা হা-নাছিয়ে, তেওঁৰ ‘লিবাৰ এম্বাডোৰাম’ নামৰ কিতাপখনত, যিখন ইউৰোপত খ্ৰীষ্টাব্দ ১১৪৫ চনত প্ৰকাশ পাইছিল, বিভিন্ন দ্বিঘাত সমীকৰণৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান দিছিল।

এই অধ্যায়ত, আপুনি দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰ, আৰু সেইবোৰৰ মূল উলিওৱাৰ বিভিন্ন পদ্ধতিৰ অধ্যয়ন কৰিব। আপুনি দৈনন্দিন জীৱনৰ পৰিস্থিতিত দ্বিঘাত সমীকৰণৰ কিছুমান প্ৰয়োগও দেখিব।

৪.২ দ্বিঘাত সমীকৰণ

$x$ চলকটোত এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ হৈছে $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ এটা সমীকৰণ, য’ত $a, b, c$ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা, $a \neq 0$। উদাহৰণস্বৰূপে, $2 x^{2}+x-300=0$ হৈছে এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ। একেদৰে, $2 x^{2}-3 x+1=0,4 x-3 x^{2}+2=0$ আৰু $1-x^{2}+300=0$ও দ্বিঘাত সমীকৰণ।

প্ৰকৃততে, $p(x)=0$ ৰূপৰ যিকোনো সমীকৰণ, য’ত $p(x)$ হৈছে ২ মাত্ৰাৰ এটা বহুপদ ৰাশি, এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ। কিন্তু যেতিয়া আমি $p(x)$ ৰ পদবোৰ তেওঁলোকৰ মাত্ৰাৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত লিখোঁ, তেতিয়া আমি সমীকৰণটোৰ প্ৰামাণিক ৰূপ পাম। অৰ্থাৎ, $a x^{2}+b x+c=0$, $a \neq 0$ ক দ্বিঘাত সমীকৰণ এটাৰ প্ৰামাণিক ৰূপ বুলি কোৱা হয়।

দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰ আমাৰ চৌপাশৰ পৃথিৱীৰ আৰু গণিতৰ বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত কেইবাটাও পৰিস্থিতিত ওলায়। আমি কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ আহক।

উদাহৰণ ১ : তলৰ পৰিস্থিতিবোৰ গাণিতিকভাৱে প্ৰতিনিধিত্ব কৰক:

(i) জন আৰু জীৱন্তীৰ মিলি ৪৫টা গুটি আছে। তেওঁলোক দুয়োজনে ৫টা কৈ গুটি হেৰুৱালে, আৰু এতিয়া তেওঁলোকৰ থকা গুটিবোৰৰ সংখ্যাৰ গুণফল ১২৪। আমি জানিব বিচাৰোঁ যে আৰম্ভণিতে তেওঁলোকৰ কিমান গুটি আছিল।

(ii) এটা কুটীৰ উদ্যোগে এদিনত এক নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক খেলনা উৎপাদন কৰে। প্ৰতিটো খেলনা উৎপাদনৰ খৰচ (টকাত) আছিল ৫৫ বিয়োগ সেইদিনা উৎপাদিত খেলনাৰ সংখ্যা। এটা নিৰ্দিষ্ট দিনত, মুঠ উৎপাদন খৰচ আছিল ₹ ৭৫০। আমি জানিব বিচাৰোঁ যে সেইদিনা কিমানটা খেলনা উৎপাদিত হৈছিল।

সমাধান :

(i) ধৰি লওক যে জনৰ থকা গুটিবোৰৰ সংখ্যা $x$।

তেন্তে জীৱন্তীৰ থকা গুটিবোৰৰ সংখ্যা $=45-x$ (কিয়?)।

জনৰ থকা গুটিবোৰৰ সংখ্যা, যেতিয়া তেওঁ ৫টা গুটি হেৰুৱালে $=x-5$

জীৱন্তীৰ থকা গুটিবোৰৰ সংখ্যা, যেতিয়া তাই ৫টা গুটি হেৰুৱালে $=45-x-5$

$$ =40-x $$

গতিকে, তেওঁলোকৰ গুণফল $=(x-5)(40-x)$

$ \begin{aligned} & =40 x-x^{2}-200+5 x \\ & =-x^{2}+45 x-200 \end{aligned} $

সেয়েহে, $\quad-x^{2}+45 x-200=124 \quad$ (দিয়া আছে যে গুণফল $=124$ )

অৰ্থাৎ, $\quad-x^{2}+45 x-324=0$

অৰ্থাৎ, $\quad x^{2}-45 x+324=0$

গতিকে, জনৰ থকা গুটিবোৰৰ সংখ্যাই দ্বিঘাত সমীকৰণটোক সন্তুষ্ট কৰে

$$ x^{2}-45 x+324=0 $$

যিটো হৈছে সমস্যাটোৰ গাণিতিকভাৱে প্ৰয়োজনীয় প্ৰতিনিধিত্ব।

(ii) ধৰি লওক যে সেইদিনা উৎপাদিত খেলনাবোৰৰ সংখ্যা $x$।

গতিকে, সেইদিনা প্ৰতিটো খেলনা উৎপাদনৰ খৰচ (টকাত) $=55-x$

সেয়েহে, সেইদিনাৰ মুঠ উৎপাদন খৰচ (টকাত) $=x(55-x)$

গতিকে, $ \quad \quad x(55-x)=750$

অৰ্থাৎ, $\quad \quad 55 x-x^{2}=750$

অৰ্থাৎ, $ \quad \quad -x^{2}+55 x-750=0 $

অৰ্থাৎ, $ \quad \quad x^{2}-55 x+750=0 $

গতিকে, সেইদিনা উৎপাদিত খেলনাবোৰৰ সংখ্যাই দ্বিঘাত সমীকৰণটোক সন্তুষ্ট কৰে

$ x^{2}-55 x+750=0 $

যিটো হৈছে সমস্যাটোৰ গাণিতিকভাৱে প্ৰয়োজনীয় প্ৰতিনিধিত্ব।

উদাহৰণ ২ : তলৰবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰক:

(i) $(x-2)^{2}+1=2 x-3$

(ii) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$

(iii) $x(2 x+3)=x^{2}+1$

(iv) $(x+2)^{3}=x^{3}-4$

সমাধান :

(i) বাওঁপক্ষ $=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+4+1=x^{2}-4 x+5$

গতিকে, $(x-2)^{2}+1=2 x-3$ ক এনেদৰে পুনৰ লিখিব পাৰি

$$ x^{2}-4 x+5=2 x-3 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad x^{2}-6 x+8=0 $$

ই $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ।

গতিকে, দিয়া সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।

(ii) যিহেতু $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ আৰু $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$

গতিকে, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$

অৰ্থাৎ, $ \quad \quad x+12=0 $

ই $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ নহয়।

গতিকে, দিয়া সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।

(iii) ইয়াত,$ \quad \quad \quad \text{ LHS }=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$

$ \begin{aligned} \text{সেয়েহে, } \quad \quad \quad \quad &x(2 x+3) =x^{2}+1 \text{ ক এনেদৰে পুনৰ লিখিব পাৰি } \\ &2 x^{2}+3 x =x^{2}+1 \end{aligned} $

গতিকে, আমি পাম $x^{2}+3 x-1=0$

ই $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ।

সেয়েহে, দিয়া সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।

(iv) ইয়াত, $ \quad \quad \quad \text{ LHS }=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8 $

গতিকে, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ ক এনেদৰে পুনৰ লিখিব পাৰি

$ x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4 $

$ \text {অৰ্থাৎ,} \quad \quad \quad 6 x^{2}+12 x+12=0 \quad \text{ বা, } \quad x^{2}+2 x+2=0 $

ই $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ।

সেয়েহে, দিয়া সমীকৰণটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।

টোকা : সাৱধান হ’ব! ওপৰৰ (ii) ত, দিয়া সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ যেন দেখা গৈছে, কিন্তু ই দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।

ওপৰৰ (iv) ত, দিয়া সমীকৰণটো ত্ৰিঘাত সমীকৰণ (৩ মাত্ৰাৰ সমীকৰণ) যেন দেখা গৈছে আৰু দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়। কিন্তু ই দ্বিঘাত সমীকৰণ হৈ পৰে। আপুনি দেখিব পাৰে, প্ৰায়ে আমি সমীকৰণটো দ্বিঘাত হয় নে নহয় সিদ্ধান্ত লোৱাৰ আগতে ইয়াক সহজীকৰণ কৰাৰ প্ৰয়োজন হয়।

৪.৩ উৎপাদকীকৰণৰ দ্বাৰা দ্বিঘাত সমীকৰণৰ সমাধান

$2 x^{2}-3 x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক। যদি আমি এই সমীকৰণটোৰ বাওঁপক্ষত $x$ ৰ ঠাইত 1 বহুওৱোঁ, আমি পাম $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ সমীকৰণটোৰ সোঁপক্ষ। আমি ক’ব পাৰোঁ যে 1 হৈছে $2 x^{2}-3 x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল। ইয়ে ইয়াকো সূচায় যে 1 হৈছে $2 x^{2}-3 x+1$ দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিটোৰ এটা শূন্য।

সাধাৰণতে, এটা বাস্তৱ সংখ্যা $\alpha$ ক $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল বুলি কোৱা হয় যদি $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$। আমি ইয়াকো কওঁ যে $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}\alpha}$ হৈছে দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান, বা যে $\alpha$ য়ে দ্বিঘাত সমীকৰণটোক সন্তুষ্ট কৰে। মন কৰক যে $a x^{2}+b x+c$ দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিটোৰ শূন্যবোৰ আৰু $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ একে।

আপুনি দ্বিতীয় অধ্যায়ত লক্ষ্য কৰিছে যে এটা দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিৰ বেছিৰে পৰা দুটা শূন্য থাকিব পাৰে। সেয়েহে, যিকোনো দ্বিঘাত সমীকৰণৰ বেছিৰে পৰা দুটা মূল থাকিব পাৰে।

আপুনি নৱম শ্ৰেণীত শিকিছিল, কেনেকৈ মধ্যম পদবোৰ ভাঙি দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিবোৰ উৎপাদকীকৰণ কৰিব পাৰি। আমি দ্বিঘাত সমীকৰণ এটাৰ মূল উলিওৱাৰ বাবে এই জ্ঞান ব্যৱহাৰ কৰিম। আহক চাওঁ কেনেকৈ।

উদাহৰণ ৩ : উৎপাদকীকৰণৰ দ্বাৰা $2 x^{2}-5 x+3=0$ সমীকৰণটোৰ মূল উলিয়াওক।

সমাধান : আহক আমি প্ৰথমে মধ্যম পদ $-5 x$ ক $-2 x-3 x$ হিচাপে ভাঙোঁ [কাৰণ $(-2 x) \times(-3 x)=$ $.6 x^{2}=(2 x^{2}) \times 3$]।

সেয়েহে, $2 x^{2}-5 x+3=2 x^{2}-2 x-3 x+3=2 x(x-1)-3(x-1)=(2 x-3)(x-1)$

এতিয়া, $2 x^{2}-5 x+3=0$ ক $(2 x-3)(x-1)=0$ হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

সেয়েহে, $x$ ৰ যি মানবোৰৰ বাবে $2 x^{2}-5 x+3=0$, সেই একে মানবোৰৰ বাবে $(2 x-3)(x-1)=0$, অৰ্থাৎ, হয় $2 x-3=0$ বা $x-1=0$।

এতিয়া, $2 x-3=0$ য়ে দিয়ে $x=\dfrac{3}{2}$ আৰু $x-1=0$ য়ে দিয়ে $x=1$।

সেয়েহে, $x=\dfrac{3}{2}$ আৰু $x=1$ হৈছে সমীকৰণটোৰ সমাধান।

অন্য কথাত, 1 আৰু $\dfrac{3}{2}$ হৈছে $2 x^{2}-5 x+3=0$ সমীকৰণটোৰ মূল।

যাচাই কৰক যে এইবোৰ হৈছে দিয়া সমীকৰণটোৰ মূল।

মন কৰক যে আমি $2 x^{2}-5 x+3=0$ ৰ মূলবোৰ $2 x^{2}-5 x+3$ ক দুটা ৰৈখিক উৎপাদকলৈ উৎপাদকীকৰণ কৰি আৰু প্ৰতিটো উৎপাদক শূন্যৰ সৈতে সমীকৰণ কৰি উলিয়াইছোঁ।

উদাহৰণ ৪ : $6 x^{2}-x-2=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল উলিয়াওক।

সমাধান : আমাৰ আছে

$ \begin{aligned} 6 x^{2}-x-2 & =6 x^{2}+3 x-4 x-2 \\ & =3 x(2 x+1)-2(2 x+1) \\ & =(3 x-2)(2 x+1) \end{aligned} $

$6 x^{2}-x-2=0$ ৰ মূলবোৰ হৈছে $x$ ৰ সেই মানবোৰ যিবোৰৰ বাবে $(3 x-2)(2 x+1)=0$

গতিকে, $3 x-2=0$ বা $2 x+1=0$,

অৰ্থাৎ, $\quad \quad \quad x=\dfrac{2}{3} \quad \text{ or } \quad x=-\dfrac{1}{2}$

গতিকে, $6 x^{2}-x-2=0$ ৰ মূলবোৰ হৈছে $\dfrac{2}{3}$ আৰু $-\dfrac{1}{2}$।

আমি মূলবোৰ যাচাই কৰোঁ, $\dfrac{2}{3}$ আৰু $-\dfrac{1}{2}$ য়ে $6 x^{2}-x-2=0$ ক সন্তুষ্ট কৰে নে নাই পৰীক্ষা কৰি।

উদাহৰণ ৫ : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল উলিয়াওক।

সমাধান : $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=3 x^{2}-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+2$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{3} x(\sqrt{3} x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \\ & =(\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2}) \end{aligned} $

সেয়েহে, সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ হৈছে $x$ ৰ সেই মানবোৰ যিবোৰৰ বাবে

$ (\sqrt{3} x-\sqrt{2})(\sqrt{3} x-\sqrt{2})=0 $

এতিয়া, $\sqrt{3} x-\sqrt{2}=0$ হৈছে $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ৰ বাবে।

সেয়েহে, এই মূলটো দুবাৰকৈ পুনৰাবৃত্তি হৈছে, প্ৰতিটো পুনৰাবৃত্তি উৎপাদক $\sqrt{3} x-\sqrt{2}$ ৰ বাবে।

গতিকে, $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$ ৰ মূলবোৰ হৈছে $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$।

উদাহৰণ ৬ : ৪.১ অংশত আলোচনা কৰা প্ৰাৰ্থনা কক্ষটোৰ মাত্ৰাবোৰ উলিয়াওক।

সমাধান : ৪.১ অংশত, আমি পালোঁ যে যদি কক্ষটোৰ প্ৰস্থ $x m$, তেন্তে $x$ য়ে $2 x^{2}+x-300=0$ সমীকৰণটোক সন্তুষ্ট কৰে। উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি, আমি এই সমীকৰণটো এনেদৰে লিখোঁ

$ \begin{aligned} 2 x^{2}-24 x+25 x-300 & =0 \\ 2 x(x-12)+25(x-12) & =0 \\ \text{ অৰ্থাৎ, } \quad(x-12)(2 x+25) & =0 \end{aligned} $

সেয়েহে, দিয়া সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ হৈছে $x=12$ বা $x=-12.5$। যিহেতু $x$ হৈছে কক্ষটোৰ প্ৰস্থ, ই ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।

সেয়েহে, কক্ষটোৰ প্ৰস্থ হৈছে $12 m$। ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য $=2 x+1=25 m$।

৪.৪ মূলৰ প্ৰকৃতি

$a x^{2}+b x+c=0$ সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ দিয়া আছে

$ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

যদি $b^{2}-4 a c>0$, আমি দুটা পৃথক বাস্তৱ মূল $-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ আৰু $-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ পাম।

যদি $b^{2}-4 a c=0$, তেন্তে $x=-\dfrac{b}{2 a} \pm 0$, অৰ্থাৎ, $x=-\dfrac{b}{2 a}$ বা $-\dfrac{b}{2 a}$।

সেয়েহে, $a x^{2}+b x+c=0$ সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ দুয়োটাই $\dfrac{-b}{2 a}$।

গতিকে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে এই ক্ষেত্ৰত $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।

যদি $b^{2}-4 a c<0$, তেন্তে কোনো বাস্তৱ সংখ্যা নাই যাৰ বৰ্গ $b^{2}-4 a c$। গতিকে, এই ক্ষেত্ৰত দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।

যিহেতু $b^{2}-4 a c$ য়ে নিৰ্ধাৰণ কৰে যে $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ মূল আছে নে নাই, $b^{2}-4 a c$ ক এই দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ নিৰ্ণায়ক বুলি কোৱা হয়।

সেয়েহে, $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণ এটাৰ

(i) দুটা পৃথক বাস্তৱ মূল থাকে, যদি $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে, যদি $b^{2}-4 a c=0$,

(iii) কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে, যদি $b^{2}-4 a c<0$।

আহক আমি কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ৭ : $2 x^{2}-4 x+3=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ নিৰ্ণায়ক উলিয়াওক, আৰু তাৰ ফলত ইয়াৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান : দিয়া সমীকৰণটো $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ, য’ত $a=2, b=-4$ আৰু $c=3$। গতিকে, নিৰ্ণায়ক

$ b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-(4 \times 2 \times 3)=16-24=-8<0 $

সেয়েহে, দিয়া সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।

উদাহৰণ ৮ : ১৩ মিটাৰ ব্যাসৰ বৃত্তাকাৰ পাৰ্কৰ সীমাৰ ওপৰত এটা বিন্দুত এটা স্তম্ভ স্থাপন কৰিব লাগিব যেনেকৈ যে ইয়াৰ দূৰত্বৰ পাৰ্থক্য সীমাৰ ওপৰত থকা দুটা ব্যাসৰ বিপৰীত স্থিৰ গেট A আৰু B ৰ পৰা ৭ মিটাৰ। এইটো কৰাটো সম্ভৱ নেকি? যদি হয়, তেন্তে দুয়োটা গেটৰ পৰা কিমান দূৰত্বত স্তম্ভটো স্থাপন কৰিব লাগিব?

সমাধান : আহক আমি প্ৰথমে চিত্ৰটো আঁকো (চিত্ৰ ৪.২ চাওক)।

চিত্ৰ ৪.২

ধৰি লওক যে $P$ হৈছে স্তম্ভটোৰ প্ৰয়োজনীয় অৱস্থান। ধৰি লওক যে গেট $B$ ৰ পৰা স্তম্ভটোৰ দূৰত্ব $x m$, অৰ্থাৎ, $BP=x m$। এতিয়া দুয়োটা গেটৰ পৰা স্তম্ভটোৰ দূৰত্বৰ পাৰ্থক্য $=AP-BP($ বা, $BP-AP)=$ $7 m$। গতিকে, $AP=(x+7) m$।

এতিয়া, $AB=13 m$, আৰু যিহেতু $AB$ হৈছে এটা ব্যাস,

$$ \angle APB=90^{\circ} \quad(\text{ Why? }) $$

গতিকে, $ \quad \quad \quad AP^{2}+PB^{2}=AB^{2} \quad(\text{ By Pythagoras theorem }) $

অৰ্থাৎ, $ \quad \quad \quad (x+7)^{2}+x^{2}=13^{2}$

অৰ্থাৎ, $ \quad \quad \quad x^{2}+14 x+49+x^{2}=169 $

অৰ্থাৎ, $ \quad \quad \quad 2 x^{2}+14 x-120=0 $

সেয়েহে, গেট $B$ ৰ পৰা স্তম্ভটোৰ ‘$x$’ দূৰত্বই $x^{2}+7 x-60=0$ সমীকৰণটোক সন্তুষ্ট কৰে

সেয়েহে, স্তম্ভটো স্থাপন কৰাটো সম্ভৱ হ’ব যদি এই সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ মূল থাকে। এইটো হয় নে নহয় চাবলৈ, আহক ইয়াৰ নিৰ্ণায়কটো বিবেচনা কৰোঁ। নিৰ্ণায়কটো হৈছে

$ b^{2}-4 a c=7^{2}-4 \times 1 \times(-60)=289>0 . $

সেয়েহে, দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ দুটা বাস্তৱ মূল আছে, আৰু পাৰ্কৰ সীমাত স্তম্ভটো স্থাপন কৰাটো সম্ভৱ।

দ্বিঘাত সূত্ৰৰ দ্বাৰা $x^{2}+7 x-60=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটো সমাধান কৰি, আমি পাম

$$ x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7 \pm 17}{2} $$

গতিকে, $x=5$ বা -12।

যিহেতু $x$ হৈছে স্তম্ভ আৰু গেট B ৰ মাজৰ দূৰত্ব, ই ধনাত্মক হ’ব লাগিব। গতিকে, $x=-12$ ক উপেক্ষা কৰিব লাগিব। সেয়েহে, $x=5$।

অৰ্থাৎ, স্তম্ভটো পাৰ্কৰ সীমাত স্থাপন কৰিব লাগিব গেট $B$ ৰ পৰা $5 m$ দূৰত্বত আৰু গেট $A$ ৰ পৰা $12 m$ দূৰত্বত।

উদাহৰণ ৯ : $3 x^{2}-2 x+\dfrac{1}{3}=0$ সমীকৰণটোৰ নিৰ্ণায়ক উলিয়াওক আৰু তাৰ ফলত ইয়াৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰক। যদি সেইবোৰ বাস্তৱ হয়, তেন্তে সেইবোৰ উলিয়াওক।

সমাধান : ইয়াত $a=3, b=-2$ আৰু $c=\dfrac{1}{3}$।

গতিকে, নিৰ্ণায়ক $b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=4-4=0$।

সেয়েহে, দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।

মূলবোৰ হৈছে $\dfrac{-b}{2 a}, \dfrac{-b}{2 a}$, অৰ্থাৎ, $\dfrac{2}{6}, \dfrac{2}{6}$, অৰ্থাৎ, $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}$।

৪.৫ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. $x$ চলকটোত এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ হৈছে $a x^{2}+b x+c=0$ ৰূপৰ, য’ত $a, b, c$ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a \neq 0$।

২. এটা বাস্তৱ সংখ্যা $\alpha$ ক $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল বুলি কোৱা হয়, যদি $a \alpha^{2}+b \alpha+c=0$। $a x^{2}+b x+c$ দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিটোৰ শূন্যবোৰ আৰু $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ একে।

৩. যদি আমি $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ ক উৎপাদকীকৰণ কৰিব পাৰোঁ, দুটা ৰৈখিক উৎপাদকৰ গুণফললৈ, তেন্তে $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ প্ৰতিটো উৎপাদক শূন্যৰ সৈতে সমীকৰণ কৰি উলিয়াব পাৰি।

৪. দ্বিঘাত সূত্ৰ: $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণ এটাৰ মূলবোৰ দিয়া আছে $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ ৰ দ্বাৰা, যদি $b^{2}-4 a c \geq 0$।

৫. $a x^{2}+b x+c=0$ দ্বিঘাত সমীকৰণ এটাৰ

(i) দুটা পৃথক বাস্তৱ মূল থাকে, যদি $b^{2}-4 a c>0$,

(ii) দুটা সমান মূল (অৰ্থাৎ, একে মূল) থাকে, যদি $b^{2}-4 a c=0$, আৰু

(iii) কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে, যদি $b^{2}-4 a c<0$।