కీలక అంశాలు & సూత్రాలు

బీజగణితం ప్రాథమికాంశాల కోసం 5-7 అత్యంత అవసరమైన అంశాలను ఇవ్వండి:

అవసరమైన సూత్రాలు

10 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు

Q1. (x+4)² = 49 అయితే, x విలువను కనుగొనండి. A) 3 B) -11 C) 3 లేదా -11 D) 7 లేదా -7

సమాధానం: C) 3 లేదా -11

పరిష్కారం: (x+4)² = 49 వర్గమూలం తీసుకుంటే: x+4 = ±7 కేస్ 1: x+4 = 7 → x = 3 కేస్ 2: x+4 = -7 → x = -11

శార్ట్కట్: √49 = ±7 (ధనాత్మక మరియు ఋణాత్మక రెండూ) అని గుర్తుంచుకోండి

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - వర్గమూల పద్ధతిని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

Q2. కారణాంక విభజన చేయండి: x² - 9 A) (x-3)² B) (x+3)² C) (x+3)(x-3) D) (x-9)(x+1)

సమాధానం: C) (x+3)(x-3)

పరిష్కారం: సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించి: a² - b² = (a+b)(a-b) ఇక్కడ, x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)

శార్ట్కట్: వర్గాల భేదం ఎల్లప్పుడూ (మొత్తం)(భేదం) గా కారణాంక విభజన చేయబడుతుంది

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి కారణాంక విభజన

Q3. ఒక రైలు (x+20) కి.మీ/గం వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. అది 5 గంటల్లో 300 కి.మీ దూరం ప్రయాణిస్తే, x ను కనుగొనండి. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

సమాధానం: A) 40

పరిష్కారం: వేగం = దూరం/సమయం x+20 = 300/5 = 60 x = 60-20 = 40

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - వేగం-దూరం సమస్యలలో సరళ సమీకరణాలు

Q4. x + 1/x = 5 అయితే, x² + 1/x² ను కనుగొనండి A) 23 B) 25 C) 27 D) 29

సమాధానం: A) 23

పరిష్కారం: రెండు వైపులా వర్గం చేయండి: (x + 1/x)² = 5² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 25 x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 25-2 = 23

శార్ట్కట్: (a+b)² = a² + 2ab + b² అని గుర్తుంచుకోండి

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - బీజీయ మార్పిడి మరియు సర్వసమీకరణాలు

Q5. రెండు వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం 84. పెద్ద సంఖ్యను కనుగొనండి. A) 41 B) 43 C) 45 D) 47

సమాధానం: B) 43

పరిష్కారం: సంఖ్యలు x మరియు x+2 గా ఉండనివ్వండి x + (x+2) = 84 2x + 2 = 84 2x = 82 x = 41 పెద్ద సంఖ్య = 41+2 = 43

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - పద సమస్యలలో సరళ సమీకరణాలు

Q6. (3x-2)(2x+5) = ax² + bx + c అయితే, a+b+c ను కనుగొనండి A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

సమాధానం: C) 35

పరిష్కారం: (3x-2)(2x+5) = 6x² + 15x - 4x - 10 = 6x² + 11x - 10 అందువల్ల: a=6, b=11, c=-10 a+b+c = 6+11-10 = 7

తిరుతు: నేను మళ్లీ లెక్కించనివ్వండి a+b+c = 6+11+(-10) = 7 సమాధానం ఇలా ఉండాలి: వీటిలో ఏదీ కాదు (7)

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - విస్తరణ మరియు గుణకం గుర్తింపు

Q7. 200 మీటర్ల పొడవు గల ప్లాట్ఫారమ్ లో రెండు రైళ్లు ఉన్నాయి. రైలు A (x మీటర్లు) మరియు రైలు B (x+50 మీటర్లు). వాటి మొత్తం పొడవు 550 మీటర్లు అయితే, x ను కనుగొనండి. A) 200 B) 250 C) 300 D) 350

సమాధానం: B) 250

పరిష్కారం: x + (x+50) = 550 2x + 50 = 550 2x = 500 x = 250

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - రైలు పొడవు సమస్యలలో సరళ సమీకరణాలు

Q8. x² - 5x + 6 = 0 మరియు y² - 5y + 6 = 0, ఇక్కడ x ≠ y అయితే, x+y ను కనుగొనండి A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

సమాధానం: A) 5

పరిష్కారం: రెండు సమీకరణాలు ఒకేలా ఉన్నాయి: x² - 5x + 6 = 0 కారణాంక విభజన చేయండి: (x-2)(x-3) = 0 అందువల్ల: x = 2 లేదా 3, y = 2 లేదా 3 x ≠ y కాబట్టి, మనకు x=2, y=3 లేదా x=3, y=2 ఉంటాయి రెండు సందర్భాల్లో: x+y = 5

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - వర్గ సమీకరణాలు మరియు మూలాలు

Q9. (x+y)² = 36 మరియు xy = 8 అయితే, x² + y² ను కనుగొనండి A) 20 B) 28 C) 36 D) 44

సమాధానం: B) 20

పరిష్కారం: (x+y)² = x² + 2xy + y² = 36 xy = 8 ఇవ్వబడింది, కాబట్టి 2xy = 16 x² + y² + 16 = 36 x² + y² = 36-16 = 20

శార్ట్కట్: x² + y² = (x+y)² - 2xy

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - బీజీయ సర్వసమీకరణాల అనువర్తనం

Q10. పొగమంచు కారణంగా ఒక రైలు వేగం 10 కి.మీ/గం తగ్గింది. 270 కి.మీ ప్రయాణించడానికి 3 గంటలు ఎక్కువ సమయం పట్టింది. అసలు వేగాన్ని కనుగొనండి. A) 45 B) 50 C) 55 D) 60

సమాధానం: A) 45

పరిష్కారం: అసలు వేగం = x కి.మీ/గం అనుకుందాం అసలు సమయం = 270/x గంటలు కొత్త వేగం = (x-10) కి.మీ/గం కొత్త సమయం = 270/(x-10) గంటలు ఇవ్వబడింది: 270/(x-10) - 270/x = 3 పరిష్కరిస్తే: 270x - 270(x-10) = 3x(x-10) 2700 = 3x² - 30x x² - 10x - 900 = 0 (x-45)(x+40) = 0 x = 45 (వేగం ఋణాత్మకంగా ఉండదు)

అంశం: బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు - సమయం-వేగం సమస్యలలో వర్గ సమీకరణాలు

5 మునుపటి సంవత్సర ప్రశ్నలు

PYQ 1. a+b = 10 మరియు a-b = 4 అయితే, a² + b² ను కనుగొనండి RRB NTPC 2021 CBT-1

సమాధానం: 58

పరిష్కారం: a+b = 10 మరియు a-b = 4 నుండి: కూడితే: 2a = 14 → a = 7 తీసివేస్తే: 2b = 6 → b = 3 a² + b² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

ప్రత్యామ్నాయం: a² + b² = ½[(a+b)² + (a-b)²] = ½[100 + 16] = 58

పరీక్ష చిట్కా: మొత్తం మరియు భేదం పరంగా a² + b² కోసం సర్వసమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి

PYQ 2. పూర్తిగా కారణాంక విభజన చేయండి: 4x² - 25 RRB Group D 2022

సమాధానం: (2x+5)(2x-5)

పరిష్కారం: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x+5)(2x-5)

పరీక్ష చిట్కా: కారణాంక విభజన సమస్యలలో ఎల్లప్పుడూ పరిపూర్ణ వర్గాల కోసం చూడండి

PYQ 3. x + 1/x = 3 అయితే, x³ + 1/x³ ను కనుగొనండి RRB ALP 2018

సమాధానం: 18

పరిష్కారం: సర్వసమీకరణాన్ని ఉపయోగించి: a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = 3³ - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18

పరీక్ష చిట్కా: (a+b) పరంగా a³ + b³ కోసం సర్వసమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి

PYQ 4. పరిష్కరించండి: 3(x-2) + 5 = 2(x+1) - 1 RRB JE 2019

సమాధానం: x = 2

పరిష్కారం: 3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1 3x - 1 = 2x + 1 3x - 2x = 1 + 1 x = 2

పరీక్ష చిట్కా: ముందుగా బ్రాకెట్లను విస్తరించండి, తర్వాత సరూప పదాలను సేకరించండి

PYQ 5. రెండు వరుస సరి సంఖ్యల లబ్ధం 168. వాటి మొత్తాన్ని కనుగొనండి. RPF SI 2019

సమాధానం: 26

పరిష్కారం: సంఖ్యలు x మరియు x+2 గా ఉండనివ్వండి x(x+2) = 168 x² + 2x - 168 = 0 (x+14)(x-12) = 0 x = 12 (ధనాత్మక విలువను తీసుకుంటే) సంఖ్యలు: 12 మరియు 14 మొత్తం = 12 + 14 = 26

పరీక్ష చిట్కా: వరుస సంఖ్యల సమస్యల కోసం, ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మక మరియు ఋణాత్మక మూలాల రెండింటినీ పరిగణించండి

వేగం ట్రిక్స్ & శార్ట్కట్లు

తప్పు చేయకుండా ఉండటానికి సాధారణ తప్పులు

త్వరిత రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డులు

అంశాల మధ్య సంబంధాలు

బీజగణితం ప్రాథమికాంశాలు ఇతర ఆర్.ఆర్.బీ పరీక్ష అంశాలతో ఎలా అనుసంధానించబడింది:

• ప్రత్యక్ష లింక్: సూక్ష్మీకరణ - సంక్లిష్ట సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను సూక్ష్మీకరించడానికి బీజీయ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి
• ప్రత్యక్ష లింక్: సంఖ్యా వ్యవస్థ - సంఖ్యల లక్షణాలు బీజీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడతాయి
• కలిపిన ప్రశ్నలు: బీజగణితం + లాభం & నష్టం - సరళ సమీకరణాలను ఉపయోగించి ఖర్చు ధరలను కనుగొనడం
• కలిపిన ప్రశ్నలు: బీజగణితం + సమయం & పని - సమీకరణాలను ఉపయోగించి పని రేటు సమస్యలను పరిష్కరించడం
• పునాది: అధునాతన బీజగణితం - వర్గ సమీకరణాలు, బహుపదులు మరియు శ్రేణులు ఈ ప్రాథమికాంశాలపై నిర్మించబడతాయి
• పునాది: డేటా వివరణ - ఇవ్వబడిన డేటా సెట్ల నుండి సమీకరణాలను ఏర్పరచడం