ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା ଏବଂ ସୂତ୍ର

ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ ପାଇଁ ୫-୭ଟି ଆବଶ୍ୟକ ଧାରଣା ପ୍ରଦାନ କରନ୍ତୁ:

ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସୂତ୍ର

୧୦ଟି ଅଭ୍ୟାସ ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ

Q1. ଯଦି (x+4)² = 49, x ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 3 B) -11 C) 3 କିମ୍ବା -11 D) 7 କିମ୍ବା -7

ଉତ୍ତର: C) 3 କିମ୍ବା -11

ସମାଧାନ: (x+4)² = 49 ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ: x+4 = ±7 କେସ 1: x+4 = 7 → x = 3 କେସ 2: x+4 = -7 → x = -11

ଶର୍ଟକଟ: ମନେରଖନ୍ତୁ ଯେ √49 = ±7 (ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ଉଭୟ)

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ବର୍ଗମୂଳ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ

Q2. ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରନ୍ତୁ: x² - 9 A) (x-3)² B) (x+3)² C) (x+3)(x-3) D) (x-9)(x+1)

ଉତ୍ତର: C) (x+3)(x-3)

ସମାଧାନ: ଅଭେଦ ବ୍ୟବହାର କରି: a² - b² = (a+b)(a-b) ଏଠାରେ, x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)

ଶର୍ଟକଟ: ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟ ସର୍ବଦା (ଯୋଗଫଳ)(ବିୟୋଗଫଳ) ଭାବରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ହୁଏ

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ଅଭେଦ ବ୍ୟବହାର କରି ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ

Q3. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ (x+20) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଗତି କରେ। ଯଦି ଏହା 5 ଘଣ୍ଟାରେ 300 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରେ, x ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

ଉତ୍ତର: A) 40

ସମାଧାନ: ବେଗ = ଦୂରତା/ସମୟ x+20 = 300/5 = 60 x = 60-20 = 40

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ବେଗ-ଦୂରତା ସମସ୍ୟାରେ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ

Q4. ଯଦି x + 1/x = 5, x² + 1/x² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ A) 23 B) 25 C) 27 D) 29

ଉତ୍ତର: A) 23

ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କରନ୍ତୁ: (x + 1/x)² = 5² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 25 x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 25-2 = 23

ଶର୍ଟକଟ: ମନେରଖନ୍ତୁ (a+b)² = a² + 2ab + b²

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ଏବଂ ଅଭେଦ

Q5. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 84। ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 41 B) 43 C) 45 D) 47

ଉତ୍ତର: B) 43

ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି x ଏବଂ x+2 x + (x+2) = 84 2x + 2 = 84 2x = 82 x = 41 ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟା = 41+2 = 43

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ଶବ୍ଦ ସମସ୍ୟାରେ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ

Q6. ଯଦି (3x-2)(2x+5) = ax² + bx + c, a+b+c ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

ଉତ୍ତର: C) 35

ସମାଧାନ: (3x-2)(2x+5) = 6x² + 15x - 4x - 10 = 6x² + 11x - 10 ତେଣୁ: a=6, b=11, c=-10 a+b+c = 6+11-10 = 7

ସଂଶୋଧନ: ମୁଁ ପୁନର୍ବାର ଗଣନା କରିବି a+b+c = 6+11+(-10) = 7 ଉତ୍ତର ହେବା ଉଚିତ: ଏଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ (7)

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ବିସ୍ତାର ଏବଂ ସହଗ ଚିହ୍ନିତକରଣ

Q7. 200 ମିଟର ଲମ୍ବର ଏକ ପ୍ଲାଟଫର୍ମରେ ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ ଅଛି। ଟ୍ରେନ୍ A (x ମିଟର) ଏବଂ ଟ୍ରେନ୍ B (x+50 ମିଟର)। ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ସମୁଦାୟ ଲମ୍ବ 550 ମିଟର, x ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 200 B) 250 C) 300 D) 350

ଉତ୍ତର: B) 250

ସମାଧାନ: x + (x+50) = 550 2x + 50 = 550 2x = 500 x = 250

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ଟ୍ରେନ୍ ଲମ୍ବ ସମସ୍ୟାରେ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ

Q8. ଯଦି x² - 5x + 6 = 0 ଏବଂ y² - 5y + 6 = 0, ଯେଉଁଠାରେ x ≠ y, x+y ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

ଉତ୍ତର: A) 5

ସମାଧାନ: ଉଭୟ ସମୀକରଣ ସମାନ: x² - 5x + 6 = 0 ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ: (x-2)(x-3) = 0 ତେଣୁ: x = 2 କିମ୍ବା 3, y = 2 କିମ୍ବା 3 ଯେହେତୁ x ≠ y, ଆମ ପାଖରେ x=2, y=3 କିମ୍ବା x=3, y=2 ଅଛି ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ: x+y = 5

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ଏବଂ ମୂଳ

Q9. ଯଦି (x+y)² = 36 ଏବଂ xy = 8, x² + y² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ A) 20 B) 28 C) 36 D) 44

ଉତ୍ତର: B) 20

ସମାଧାନ: (x+y)² = x² + 2xy + y² = 36 ଦିଆଯାଇଛି xy = 8, ତେଣୁ 2xy = 16 x² + y² + 16 = 36 x² + y² = 36-16 = 20

ଶର୍ଟକଟ: x² + y² = (x+y)² - 2xy

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଭେଦର ପ୍ରୟୋଗ

Q10. କୁହୁଡ଼ି ଯୋଗୁଁ ଏକ ଟ୍ରେନ୍ର ବେଗ 10 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା କମିଯାଏ। 270 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ଏହା 3 ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ନିଏ। ମୂଳ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। A) 45 B) 50 C) 55 D) 60

ଉତ୍ତର: A) 45

ସମାଧାନ: ମନେକର ମୂଳ ବେଗ = x କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ମୂଳ ସମୟ = 270/x ଘଣ୍ଟା ନୂତନ ବେଗ = (x-10) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ନୂତନ ସମୟ = 270/(x-10) ଘଣ୍ଟା ଦିଆଯାଇଛି: 270/(x-10) - 270/x = 3 ସମାଧାନ: 270x - 270(x-10) = 3x(x-10) 2700 = 3x² - 30x x² - 10x - 900 = 0 (x-45)(x+40) = 0 x = 45 (ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରେ ନାହିଁ)

ଧାରଣା: ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ - ସମୟ-ବେଗ ସମସ୍ୟାରେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ

୫ଟି ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ବର୍ଷର ପ୍ରଶ୍ନ

PYQ 1. ଯଦି a+b = 10 ଏବଂ a-b = 4, a² + b² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ RRB NTPC 2021 CBT-1

ଉତ୍ତର: 58

ସମାଧାନ: a+b = 10 ଏବଂ a-b = 4 ରୁ: ଯୋଗ କରି: 2a = 14 → a = 7 ବିୟୋଗ କରି: 2b = 6 → b = 3 a² + b² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

ବିକଳ୍ପ: a² + b² = ½[(a+b)² + (a-b)²] = ½[100 + 16] = 58

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ଯୋଗଫଳ ଏବଂ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଦୃଷ୍ଟିରୁ a² + b² ପାଇଁ ଅଭେଦ ମନେରଖନ୍ତୁ

PYQ 2. ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରନ୍ତୁ: 4x² - 25 RRB Group D 2022

ଉତ୍ତର: (2x+5)(2x-5)

ସମାଧାନ: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x+5)(2x-5)

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମସ୍ୟାରେ ସର୍ବଦା ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଖୋଜନ୍ତୁ

PYQ 3. ଯଦି x + 1/x = 3, x³ + 1/x³ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ RRB ALP 2018

ଉତ୍ତର: 18

ସମାଧାନ: ଅଭେଦ ବ୍ୟବହାର କରି: a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = 3³ - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: (a+b) ଦୃଷ୍ଟିରୁ a³ + b³ ପାଇଁ ଅଭେଦ ମନେରଖନ୍ତୁ

PYQ 4. ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ: 3(x-2) + 5 = 2(x+1) - 1 RRB JE 2019

ଉତ୍ତର: x = 2

ସମାଧାନ: 3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1 3x - 1 = 2x + 1 3x - 2x = 1 + 1 x = 2

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: ସର୍ବଦା ପ୍ରଥମେ ବ୍ରାକେଟ୍ ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ, ତା’ପରେ ସମାନ ପଦ ସଂଗ୍ରହ କରନ୍ତୁ

PYQ 5. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 168। ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। RPF SI 2019

ଉତ୍ତର: 26

ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି x ଏବଂ x+2 x(x+2) = 168 x² + 2x - 168 = 0 (x+14)(x-12) = 0 x = 12 (ଧନାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ନେବା) ସଂଖ୍ୟା: 12 ଏବଂ 14 ଯୋଗଫଳ = 12 + 14 = 26

ପରୀକ୍ଷା ଟିପ୍: କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ସମସ୍ୟା ପାଇଁ ସର୍ବଦା ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ଉଭୟ ମୂଳ ବିଚାର କରନ୍ତୁ

ଦ୍ରୁତ କୌଶଳ ଏବଂ ଶର୍ଟକଟ

ଏଡ଼େଇବା ପାଇଁ ସାଧାରଣ ଭୁଲ୍

ଦ୍ରୁତ ସମୀକ୍ଷା ଫ୍ଲାସ୍ କାର୍ଡ୍

ବିଷୟ ସଂଯୋଗ

ବୀଜଗଣିତ ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ କିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଆର୍ଆର୍ବି ପରୀକ୍ଷା ବିଷୟ ସହିତ ସଂଯୁକ୍ତ:

• ସିଧାସଳଖ ସଂଯୋଗ: ସରଳୀକରଣ - ଜଟିଳ ସାଂଖ୍ୟିକ ପ୍ରକାଶକୁ ସରଳ କରିବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ କୌଶଳ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ
• ସିଧାସଳଖ ସଂଯୋଗ: ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଧର୍ମ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ
• ମିଶ୍ରିତ ପ୍ରଶ୍ନ: ବୀଜଗଣିତ + ଲାଭ ଓ କ୍ଷତି - ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି ମୂଲ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜିବା
• ମିଶ୍ରିତ ପ୍ରଶ୍ନ: ବୀଜଗଣିତ + ସମୟ ଓ କାର୍ଯ୍ୟ - ସମୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି କାର୍ଯ୍ୟ ହାର ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ
• ଆଧାର: ଉନ୍ନତ ବୀଜଗଣିତ - ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ, ବହୁପଦୀ, ଏବଂ ପ୍ରଗତି ଏହି ମୌଳିକ ତତ୍ତ୍ୱ ଉପରେ ଗଠିତ
• ଆଧାର: ତଥ୍ୟ ବ୍ୟାଖ୍ୟା - ଦିଆଯାଇଥିବା ତଥ୍ୟ ସେଟ୍ ରୁ ସମୀକରଣ ସ୍ଥାପନ