அத்தியாயம் 02 தரவு செயலாக்கம்
முந்தைய அத்தியாயத்தில் நீங்கள் கற்றுக்கொண்டபடி, தரவுகளை ஒழுங்கமைத்து வழங்குவது அவற்றை புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக ஆக்குகிறது. இது தரவு செயலாக்கத்தை எளிதாக்குகிறது. தரவுகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு பல புள்ளியியல் நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எ.கா.
- மையப் போக்கின் அளவீடுகள்
- சிதறலின் அளவீடுகள்
- உறவின் அளவீடுகள்
மையப் போக்கின் அளவீடுகள் கண்காணிப்புகளின் தொகுப்பிற்கு ஒரு சிறந்த பிரதிநிதியான மதிப்பை வழங்குகையில், சிதறலின் அளவீடுகள் தரவின் உள் மாறுபாடுகளை, பெரும்பாலும் மையப் போக்கின் ஒரு அளவீட்டைச் சுற்றி, கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கின்றன. மறுபுறம், உறவின் அளவீடுகள், மழைப்பொழிவு மற்றும் வெள்ளத்தின் நிகழ்வு அல்லது உரப் பயன்பாடு மற்றும் பயிர் விளைச்சல் போன்ற எந்த இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொடர்புடைய நிகழ்வுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பின் அளவை வழங்குகின்றன. இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் மையப் போக்கின் அளவீடுகளைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள்.
மையப் போக்கின் அளவீடுகள்
மழைப்பொழிவு, உயரம், மக்கள் தொகை அடர்த்தி, கல்வி அடைதல் நிலைகள் அல்லது வயது குழுக்கள் போன்ற அளவிடக்கூடிய பண்புகள் மாறுபடுகின்றன. அவற்றைப் புரிந்துகொள்ள நாம் விரும்பினால், நாம் எப்படிச் செய்வோம்? ஒருவேளை, அனைத்து கண்காணிப்புகளையும் சிறப்பாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் ஒரு ஒற்றை மதிப்பு அல்லது எண்ணை நாம் தேவைப்படலாம். இந்த ஒற்றை மதிப்பு பொதுவாக விநியோகத்தின் மையத்திற்கு அருகில் அமைந்திருக்கும், இரு தீவிரங்களில் எதிலும் அல்ல. விநியோகங்களின் மையத்தைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படும் புள்ளியியல் நுட்பங்கள் மையப் போக்கின் அளவீடுகள் எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன. மையப் போக்கைக் குறிக்கும் எண் முழு தரவுத் தொகுப்பிற்கும் பிரதிநிதி உருவமாகும், ஏனெனில் இது உருப்படிகள் குவியும் போக்கைக் கொண்டுள்ள புள்ளியாகும்.
மையப் போக்கின் அளவீடுகள் புள்ளியியல் சராசரிகள் என்றும் அறியப்படுகின்றன. சராசரி, இடைநிலை மற்றும் முகடு போன்ற பல மையப் போக்கின் அளவீடுகள் உள்ளன.
சராசரி
சராசரி என்பது அனைத்து மதிப்புகளையும் கூட்டி, அதை கண்காணிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படும் மதிப்பாகும்.
இடைநிலை
இடைநிலை என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரை இரண்டு சம எண்களாகப் பிரிக்கும் தரவரிசையின் மதிப்பாகும். இது உண்மையான மதிப்பிலிருந்து சுயாதீனமானது. தரவை ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் வரிசைப்படுத்தி, பின்னர் நடுத்தர தரவரிசை எண்ணின் மதிப்பைக் கண்டறிவது இடைநிலையைக் கணக்கிடுவதில் மிகவும் முக்கியமானது. இரட்டை எண்களின் விஷயத்தில், இரண்டு நடுத்தர தரவரிசை மதிப்புகளின் சராசரி இடைநிலையாக இருக்கும்.
முகடு
முகடு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி அல்லது மதிப்பில் அதிகபட்ச நிகழ்வு அல்லது அதிர்வெண்ணாகும். இந்த அளவீடுகள் ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு வகையான தரவுத் தொகுப்புகளுக்கு ஏற்ற ஒரு ஒற்றை பிரதிநிதி எண்ணைத் தீர்மானிக்கும் வெவ்வேறு முறைகள் என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம்.
சராசரி
சராசரி என்பது ஒரு மாறியின் வெவ்வேறு மதிப்புகளின் எளிய கூட்டுச் சராசரியாகும். தொகுக்கப்படாத மற்றும் தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு, சராசரியைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் அவசியமாக வேறுபடுகின்றன. தொகுக்கப்பட்ட மற்றும் தொகுக்கப்படாத தரவுகள் இரண்டிற்கும், சராசரியை நேரடி அல்லது மறைமுக முறைகளால் கணக்கிடலாம்.
தொகுக்கப்படாத தரவிலிருந்து சராசரியைக் கணக்கிடுதல்
நேரடி முறை
தொகுக்கப்படாத தரவிலிருந்து சராசரியை நேரடி முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடும்போது, ஒவ்வொரு கண்காணிப்புக்கான மதிப்புகளும் சேர்க்கப்பட்டு, மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை அனைத்து கண்காணிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கப்படுகிறது. சராசரி பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:
$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum x}{\mathrm{~N}} $$
எங்கே,
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ \sum \quad & \text { Sum of a series of } \ & \text { measures } \end{aligned} $$
$x \quad=$ அளவீடுகளின் தொடரில் ஒரு மூல மதிப்பெண்
$\sum \mathrm{x}=$ அனைத்து அளவீடுகளின் கூட்டுத்தொகை
$\mathrm{N} \quad$ = அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை
எடுத்துக்காட்டு 2.1 : அட்டவணை 2.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள பிராந்தியத்தின் மாவட்டங்களின் மழைப்பொழிவிலிருந்து மத்தியப் பிரதேசத்தில் உள்ள மால்வா பீடபூமிக்கான சராசரி மழைப்பொழிவைக் கணக்கிடவும்:
$\hspace{1cm}$ அட்டவணை 2.1 : சராசரி மழைப்பொழிவின் கணக்கீடு
| மாவட்டங்கள் மால்வா பீடபூமியில் |
இயல்பான மழைப்பொழிவு மி.மீ. இல் |
மறைமுக முறை |
|---|---|---|
| x நேரடி முறை | $d=x-800^{*}$ | |
| இந்தூர் | 979 | 179 |
| தேவாஸ் | 1083 | 283 |
| தார் | 833 | 33 |
| ரத்லாம் | 896 | 96 |
| உஜ்ஜைன் | 891 | 91 |
| மாண்ட்சௌர் | 825 | 25 |
| ஷாஜாபூர் | 977 | 177 |
| $\sum x$ மற்றும் $\sum d$ | 6484 | 884 |
| $\frac{\sum x}{N}$ மற்றும் $\frac{\sum d}{N}$ | 926.29 | 126.29 |
- இங்கு 800 என்பது ஊகிக்கப்பட்ட சராசரியாகும்.
$\mathrm{d}$ என்பது ஊகிக்கப்பட்ட சராசரியிலிருந்து விலகல்.
அட்டவணை 2.1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தரவிற்கான சராசரி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum x}{N} \ & =\frac{6,484}{7} \ & =926.29 \end{aligned} $$
சராசரியைக் கணக்கிடுவதில் இருந்து கவனிக்கப்படும் படி, மூல மழைப்பொழிவு தரவு நேரடியாக சேர்க்கப்பட்டு, அந்தத் தொகை கண்காணிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது மாவட்டங்கள். எனவே, இது நேரடி முறை என்று அறியப்படுகிறது.
மறைமுக முறை
பெரும்பாலான கண்காணிப்புகளுக்கு, சராசரியைக் கணக்கிடுவதற்கு பொதுவாக மறைமுக முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு நிலையான மதிப்பை அவற்றிலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் கண்காணிப்புகளின் மதிப்புகளை சிறிய எண்களாகக் குறைக்க இது உதவுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணை 2.1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, மழைப்பொழிவு மதிப்புகள் 800 மற்றும் $1100 \mathrm{~mm}$ க்கு இடையில் உள்ளன. ‘ஊகிக்கப்பட்ட சராசரி’யைத் தேர்ந்தெடுத்து, ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்ணைக் கழிப்பதன் மூலம் இந்த மதிப்புகளை நாம் குறைக்கலாம். தற்போதைய வழக்கில், நாங்கள் 800 ஐ ஊகிக்கப்பட்ட சராசரியாக எடுத்துள்ளோம். இத்தகைய செயல்பாடு குறியீட்டமைத்தல் என அறியப்படுகிறது. பின்னர் இந்தக் குறைக்கப்பட்ட எண்களிலிருந்து சராசரி கணக்கிடப்படுகிறது (அட்டவணை 2.1 இன் நெடுவரிசை 3).
மறைமுக முறையைப் பயன்படுத்தி சராசரியைக் கணக்கிட பின்வரும் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:
$$ \overline{\mathrm{X}}=A+\frac{\sum d}{N} $$
எங்கே,
$$ \begin{aligned} A & =\text { Subtracted constant } \ \sum d & =\text { Sum of the coded scores } \ N & =\text { Number of individual observations in a series } \end{aligned} $$
அட்டவணை 2.1 இல் காட்டப்பட்டுள்ள தரவிற்கான சராசரியை மறைமுக முறையைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் முறையில் கணக்கிடலாம்:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =800+\frac{884}{7} \ & =800+\frac{884}{7} \ \overline{\mathrm{X}} & =926.29 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$
இரண்டு முறைகளில் எதனாலும் கணக்கிடப்படும் போது சராசரி மதிப்பு ஒரே மாதிரியாக வருகிறது என்பதைக் கவனிக்கவும்.
தொகுக்கப்பட்ட தரவிலிருந்து சராசரியைக் கணக்கிடுதல்
சராசரியும் தொகுக்கப்பட்ட தரவிற்காக நேரடி அல்லது மறைமுக முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.
நேரடி முறை
மதிப்பெண்கள் அதிர்வெண் பரவலாக தொகுக்கப்படும்போது, தனிப்பட்ட மதிப்புகள் அவற்றின் அடையாளத்தை இழக்கின்றன. இந்த மதிப்புகள் அவை அமைந்துள்ள வகுப்பு ${ }^{\circ}$ இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகளால் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தப்படுகின்றன. தொகுக்கப்பட்ட தரவிலிருந்து நேரடி முறையைப் பயன்படுத்தி சராசரியைக் கணக்கிடும்போது, ஒவ்வொரு வகுப்பு இடைவெளியின் நடுப்புள்ளியும் அதன் தொடர்புடைய அதிர்வெண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது $(f)$; $f x$ இன் அனைத்து மதிப்புகளும் ($\mathrm{X}$ நடுப்புள்ளிகள்) $\sum f x$ ஐப் பெற சேர்க்கப்படுகின்றன, இது இறுதியாக கண்காணிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது $\mathrm{N}$. எனவே, சராசரி பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:
$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum f x}{N} $$
எங்கே :
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ f & =\text { Frequencies } \ x & =\text { Midpoints of class intervals } \ N & \left.=\text { Number of observations (it may also be defined as } \sum f\right) \end{aligned} $$
எடுத்துக்காட்டு 2.2 : அட்டவணை 2.2 இல் கொடுக்கப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி தொழிற்சாலைத் தொழிலாளர்களின் சராசரி கூலி விகிதத்தைக் கணக்கிடவும்:
அட்டவணை 2.2 : தொழிற்சாலைத் தொழிலாளர்களின் கூலி விகிதம்
| கூலி விகிதம் (ரூ./நாள்) | தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை () |
|---|---|
| வகுப்புகள் | $\boldsymbol{f}$ |
| $50-70$ | 10 |
| $70-90$ | 20 |
| $90-110$ | 25 |
| $110-130$ | 35 |
| $130-150$ | 9 |
அட்டவணை 2.3 : சராசரியின் கணக்கீடு
| வகுப்புகள் | அதிர்வெண் (f) |
நடு- புள்ளிகள் $(x)$ |
$f x x$ | $d=x-100$ | $f d$ | $U=$ $(x-100)$ 20 |
$f u$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $50-70$ | 10 | 60 | 600 | -40 | -400 | -2 | -20 |
| $70-90$ | 20 | 80 | 1,600 | -20 | -400 | -1 | -20 |
| $\mathbf{9 0 - 1 1 0}$ | $\mathbf{2 5}$ | $\mathbf{1 0 0}$ | 2,500 | $\mathbf{0}$ | 0 | 0 | 0 |
| $110-130$ | 35 | 120 | 4,200 | 20 | 700 | 1 | 35 |
| $130-150$ | 9 | 140 | 1,260 | 40 | 360 | 2 | 18 |
| $\sum f x$ | |||||||
| மற்றும் | $\sum f=99$ | $\sum f x=$ | $\sum f d=$ | $\sum f u=$ | |||
| $\sum f x$ | 10,160 | 260 | 13 |
எங்கே $\mathrm{N}=\sum f=99$
அட்டவணை 2.3 தொகுக்கப்பட்ட தரவிற்கான சராசரியைக் கணக்கிடுவதற்கான நடைமுறையை வழங்குகிறது. கொடுக்கப்பட்ட அதிர்வெண் பரவலில், தொண்ணூறு ஒன்பது தொழிலாளர்கள் ஐந்து கூலி விகித வகுப்புகளாக தொகுக்கப்பட்டுள்ளனர். இந்தக் குழுக்களின் நடுப்புள்ளிகள் மூன்றாவது நெடுவரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. சராசரியைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு நடுப்புள்ளியும் $(\mathrm{X})$ அதிர்வெண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது $(f)$ மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை ($\sum f_{x}$) $N$ ஆல் வகுக்கப்படுகிறது.
கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சராசரியை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum f x}{N} \ & =\frac{10,160}{99} \ & =102.6 \end{aligned} $$
மறைமுக முறை
தொகுக்கப்பட்ட தரவிற்கான மறைமுக முறைக்கு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த சூத்திரத்தின் கொள்கைகள் தொகுக்கப்படாத தரவிற்கு கொடுக்கப்பட்ட மறைமுக முறையின் கொள்கைகளைப் போன்றவை. இது பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது
$$ \bar{x}=A \pm \frac{\sum f d}{N} $$
எங்கே,
= ஊகிக்கப்பட்ட சராசரி குழுவின் நடுப்புள்ளி (அட்டவணை 2.3 இல் ஊகிக்கப்பட்ட சராசரி குழு 90 – 110 ஆகும், இதன் நடுப்புள்ளி 100 ஆகும்.) f = அதிர்வெண் d = ஊகிக்கப்பட்ட சராசரி குழுவிலிருந்து விலகல் (A) N = நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது ∑ f i = இடைவெளி அகலம் (இந்த விஷயத்தில், அது 20 ஆகும்)
அட்டவணை 2.3 இலிருந்து, நேரடி முறையைப் பயன்படுத்தி சராசரியைக் கணக்கிடுவதில் ஈடுபட்டுள்ள பின்வரும் படிகளைக் கண்டறியலாம்:
(i) 90 - 110 குழுவில் சராசரி ஊகிக்கப்பட்டுள்ளது. தொடரின் நடுவில் இருந்து முடிந்தவரை அருகில் உள்ள வகுப்பிலிருந்து இது விரும்பத்தக்க வகையில் ஊகிக்கப்படுகிறது. இந்த நடைமுறை கணக்கீட்டின் அளவைக் குறைக்கிறது. அட்டவணை 2.3 இல், A (ஊகிக்கப்பட்ட சராசரி) 100 ஆகும், இது வகுப்பின் நடுப்புள்ளியாகும் $90-110$.
(ii) ஐந்தாவது நெடுவரிசை (u) ஒவ்வொரு வகுப்பின் நடுப்புள்ளியிலிருந்து ஊகிக்கப்பட்ட சராசரி குழுவின் நடுப்புள்ளியிலிருந்து விலகல்களை பட்டியலிடுகிறது $(90-110)$.
(iii) ஆறாவது நெடுவரிசை ஒவ்வொரு $f$ ஐயும் அதன் தொடர்புடைய $d$ ஆல் பெருக்கப்பட்ட மதிப்புகளை $f d$ கொடுக்கக் காட்டுகிறது. பின்னர், $f d$ இன் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள் தனித்தனியாக சேர்க்கப்பட்டு அவற்றின் முழுமையான வேறுபாடு காணப்படுகிறது ($\sum f d$). $\sum f d$ இல் இணைக்கப்பட்ட அடையாளம் A ஐத் தொடர்ந்து வரும் சூத்திரத்தில் மாற்றப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கவனிக்கவும், அங்கு $\pm$ கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
மறைமுக முறையைப் பயன்படுத்தி சராசரி பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:
$$ \begin{aligned} \overline{\boldsymbol{x}} & =\boldsymbol{A} \pm \frac{\sum \boldsymbol{f} \boldsymbol{d}}{\boldsymbol{N}} \ & =100+\frac{260}{99} \ & =100+2.6 \ & =102.6 \end{aligned} $$
குறிப்பு : மறைமுக சராசரி முறை சம மற்றும் சமமற்ற வகுப்பு இடைவெளிகளுக்கும் வேலை செய்யும்.
இடைநிலை
இடைநிலை என்பது ஒரு நிலை சராசரியாகும். இது “ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் சம எண்ணிக்கையிலான நிகழ்வுகளைக் கொண்ட ஒரு பரவலில் உள்ள புள்ளியாக” வரையறுக்கப்படலாம். இடைநிலை $\mathrm{M}$ என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
தொகுக்கப்படாத தரவிற்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடுதல்
மதிப்பெண்கள் தொகுக்கப்படாதபோது, அவை ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரில் மையக் கண்காணிப்பு அல்லது மதிப்பைக் கண்டறிவதன் மூலம் இடைநிலையைக் காணலாம். மைய மதிப்பு ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரின் இரு முனைகளிலிருந்தும் கண்டறியப்படலாம். இடைநிலையைக் கணக்கிட பின்வரும் சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது:
$\left(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\right)$ வது உருப்படியின் மதிப்பு
எடுத்துக்காட்டு 2.3: பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்தி இமயமலையின் பகுதிகளில் உள்ள மலை உச்சிகளின் இடைநிலை உயரத்தைக் கணக்கிடவும்:
$8,126 \mathrm{~m}, 8,611 \mathrm{~m}, 7,817 \mathrm{~m}, 8,172 \mathrm{~m}, 8,076 \mathrm{~m}, 8,848 \mathrm{~m}, 8,598 \mathrm{~m}$.
கணக்கீடு : இடைநிலை (M) பின்வரும் படிகளில் கணக்கிடப்படலாம்:
(i) கொடுக்கப்பட்ட தரவை ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் வரிசைப்படுத்தவும்.
(ii) தொடரில் மைய மதிப்பைக் கண்டறியும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும். இவ்வாறு:
($\frac{\mathrm{N}+1}{2}$) வது உருப்படியின் மதிப்பு
$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$ வது உருப்படி
$=\left(\frac{8}{2}\right)$ வது உருப்படி
வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரில் 4வது உருப்படி இடைநிலையாக இருக்கும்.
தரவை ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்துதல் -
7,$817 ; 8,076 ; 8,126 ; 8,172 ; 8,598 ; 8,611 ; 8,848$
எனவே,
4வது உருப்படி
$$ \mathrm{M}=8,172 \mathrm{~m} $$
தொகுக்கப்பட்ட தரவிற்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடுதல்
மதிப்பெண்கள் தொகுக்கப்படும்போது, ஒரு தனிநபர் அல்லது கண்காணிப்பு குழுவில் மையப்பகுதியில் அமைந்துள்ள புள்ளியின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். இது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படலாம்:
$$ M=\boldsymbol{l}+\frac{\boldsymbol{i}}{\boldsymbol{f}}\left(\frac{\boldsymbol{N}}{2}-\boldsymbol{c}\right) $$
எங்கே,
M = தொகுக்கப்பட்ட தரவிற்கான இடைநிலை
l = இடைநிலை வகுப்பின் கீழ் வரம்பு
i = இடைவெளி
f = இடைநிலை வகுப்பின் அதிர்வெண்
N = மொத்த அதிர்வெண்கள் அல்லது கண்காணிப்புகளின் எண்ணிக்கை
c = இடைநிலைக்கு முந்தைய வகுப்பின் குவிவு அதிர்வெண்.
எடுத்துக்காட்டு 2.4 : பின்வரும் பரவலுக்கான இடைநிலையைக் கணக்கிடவும்:
| வகுப்பு | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ | $90-100$ | $100-110$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\boldsymbol{f}$ | 3 | 7 | 11 | 16 | 8 | 5 |
அட்டவணை 2.4 : இடைநிலையின் கணக்கீடு
| வகுப்பு | அதிர்வெண் (f) |
குவிவு அதிர்வெண் (iv) |
இடைநிலை வகுப்பின் கணக்கீடு |
|---|---|---|---|
| $50-60$ $60-70$ $70-80$ $\mathbf{8 0 - 9 0}$ (இடைநிலை குழு) $90-100$ $100-110$ |
3 7 11 $16 \boldsymbol{f}$ 8 5 5 |
3 10 $21 c$ $\mathbf{3 7}$ 45 50 |
$M=\frac{N}{2}$ $=\frac{50}{4}$ |
| $\sum_{\mathbf{N}=\mathbf{5 0}} f$ அல்லது |
இடைநிலை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படிகளில் கணக்கிடப்படுகிறது:
(i) அட்டவணை 2.4 இல் உள்ளபடி அதிர்வெண் அட்டவணை அமைக்கப்பட்டுள்ளது.
(ii) அட்டவணை 2.4 இன் நெடுவரிசை 3 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி, தொடர்ச்சியான இடைவெளி குழுக்களின் ஒவ்வொரு சாதாரண அதிர்வெண்ணையும் சேர்ப்பதன் மூலம் குவிவு அதிர்வெண்கள் (F) பெறப்படுகின்றன.
(iii) இடைநிலை எண் $\frac{N}{2}$ அதாவது இந்த விஷயத்தில் $\frac{50}{2}=\mathbf{2 5}$ ஆல் பெறப்படுகிறது, இது அட்டவணை 2.4 இன் நெடுவரிசை 4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.
(iv) குவிவு அதிர்வெண் பரவலில் (F) மேலே இருந்து கீழ் நோக்கி $\frac{N}{2}$ ஐ விட அடுத்த பெரிய மதிப்பு வரை எண்ணவும். இந்த எடுத்துக்காட்டில், $\frac{N}{2}$ 25 ஆகும், இது 40-44 வகுப்பு இடைவெளியில் விழுகிறது, இதன் குவிவு அதிர்வெண் 37 ஆகும், இதனால் இடைநிலைக்கு முந்தைய வகுப்பின் குவிவு அதிர்வெண் 21 மற்றும் இடைநிலை வகுப்பின் உண்மையான அதிர்வெண் 16 ஆகும்.
(v) படி 4 இல் தீர்மானிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் பின்வரும் சமன்பாட்டில் பிரதியிடுவதன் மூலம் இடைநிலை கணக்கிடப்படுகிறது:
$$ M=l+\frac{i}{f}(m-c) $$
$$ \begin{aligned} & =80+\frac{10}{16}(25-21) \ & =80+\frac{5}{8} \times 4 \ & =80+\frac{5}{2} \ & =80+2.5 \ M & =82.5 \end{aligned} $$
முகடு
ஒரு பரவலில் மிகவும் அடிக்கடி நிகழும் மதிப்பு முகடு எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது $\mathbf{Z}$ அல்லது $\mathbf{M}_{\mathbf{0}}$ என குறியீடாக்கப்படுகிறது. முகடு என்பது சராசரி மற்றும் இடைநிலையுடன் ஒப்பிடும்போது குறைவாக பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அளவீடாகும். கொடுக்கப்பட்ட தரவுத் தொகுப்பில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வகை முகடு இருக்கலாம்.
தொகுக்கப்படாத தரவிற்கான முகட்டைக் கணக்கிடுதல்
கொடுக்கப்பட்ட தரவுத் தொகுப்பிலிருந்து முகட்டைக் கணக்கிடும்போது, அனைத்து அளவீடுகளும் முதலில் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. இது மிகவும் அடிக்கடி நிகழும் அளவீட்டை எளிதாக அடையாளம் காண உதவுகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 2.5 : பத்து மாணவர்களுக்கான புவியியல் பாடத்தில் பின்வரும் சோதனை மதிப்பெண்களுக்கான முகட்டைக் கணக்கிடவும்:
$$ 61,10,88,37,61,72,55,61,46,22 $$
கணக்கீடு : முகட்டைக் கண்டறிய, அளவீடுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன:
$10,22,37,46,55, \mathbf{6 1}, \mathbf{6 1}, \mathbf{6 1}, 72,88$.
தொடரில் மூன்று முறை நிகழும் 61 என்ற அளவீடு கொடுக்கப்பட்ட தரவுத் தொகுப்பில் முகடாகும். தரவுத் தொகுப்பில் வேறு எந்த எண்ணும் இதேபோல் இல்லாததால், இது ஒற்றை முகடு கொண்ட பண்பைக் கொண்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 2.6 : பத்து வெவ்வேறு மாணவர்களின் வேறுபட்ட மாதிரியைப் பயன்படுத்தி முகட்டைக் கணக்கிடவும், அவர்கள் பெற்ற மதிப்பெண்கள்:
$82,11,57,82,08,11,82,95,41,11$.
கணக்கீடு : கொடுக்கப்பட்ட அளவீடுகளை கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தவும்:
$$ 08,11,11,11,41,57,82,82,82,95 $$
11 மற்றும் 82 ஆகிய இரண்டு அளவீடுகளும் பரவலில் மூன்று முறை நிகழ்வதை எளிதாகக் காணலாம். எனவே, தரவுத் தொகுப்பு தோற்றத்தில் இரு முகடு கொண்டதாக உள்ளது. மூன்று மதிப்புகள் சமமான மற்றும் அதிகபட்ச அதிர்வெண்ணைக் கொண்டிருந்தால், தொடர் மூன்று முகடு கொண்டதாக இருக்கும். இதேபோல், ஒரு தொடரில் பல அளவீடுகளின் மீண்டும் நிகழ்வு அதை பல முகடு கொண்டதாக ஆக்குகிறது. இருப்பினும், ஒரு தொடரில் எந்த அளவீடும் மீண்டும் நிகழாதபோது, அது முகடு இல்லாதது என நியமிக்கப்படுகிறது.
சராசரி, இடைநிலை மற்றும் முகட்டின் ஒப்பீடு
மையப் போக்கின் மூன்று அளவீடுகளையும் இயல்பான பரவல் வளைவின் உதவியுடன் எளிதாக ஒப்பிடலாம். இயல்பான வளைவு என்பது மதிப்பெண்களின் வரைபடம் பெரும்பாலும் மணி வடிவ வளைவு என்று அழைக்கப்படும் அதிர்வெண் பரவலைக் குறிக்கிறது. பல மனித பண்புகள், எடுத்துக்காட்டாக நுண்ணறிவு, ஆளுமை மதிப்பெண்கள் மற்றும் மாணவர் சாதனைகள் இயல்பான பரவல்களைக் கொண்டுள்ளன. மணி வடிவ வளைவு அது இருக்கும் விதத்தில் தெரிகிறது, ஏனெனில் அது சமச்சீரானது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், பெரும்பாலான கண்காணிப்புகள் நட
BETA
