તમે અગાઉના પ્રકરણમાં શીખ્યા હતા કે ડેટાને વ્યવસ્થિત અને પ્રસ્તુત કરવાથી તે સમજી શકાય તેવો બને છે. તે ડેટા પ્રક્રિયાને સરળ બનાવે છે. ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અનેક આંકડાકીય તકનીકોનો ઉપયોગ થાય છે, જેમ કે:

1. કેન્દ્રીય વલણના માપ
2. વિખેરવાના માપ
3. સંબંધના માપ

કેન્દ્રીય વલણના માપ એવું મૂલ્ય પૂરું પાડે છે જે અવલોકનોના સમૂહનું આદર્શ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યારે વિખેરવાના માપ ડેટાની આંતરિક ભિન્નતાઓને ધ્યાનમાં લે છે, જે ઘણીવાર કેન્દ્રીય વલણના માપની આસપાસ હોય છે. બીજી બાજુ, સંબંધના માપ કોઈપણ બે અથવા વધુ સંબંધિત ઘટનાઓ વચ્ચેની સહયોગની માત્રા પૂરી પાડે છે, જેમ કે વરસાદ અને પૂરની ઘટના અથવા ખાતરનો વપરાશ અને પાકની ઉપજ. આ પ્રકરણમાં, તમે કેન્દ્રીય વલણના માપ શીખશો.

કેન્દ્રીય વલણના માપ

માપી શકાય તેવી લાક્ષણિકતાઓ જેમ કે વરસાદ, ઊંચાઈ, વસ્તીની ઘનતા, શૈક્ષણિક પ્રાપ્તિના સ્તરો અથવા વય જૂથો બદલાય છે. જો આપણે તેમને સમજવા માંગીએ, તો આપણે કેવી રીતે કરીશું? કદાચ, આપણને એક જ મૂલ્ય અથવા સંખ્યાની જરૂર પડી શકે છે જે બધા અવલોકનોનું શ્રેષ્ઠ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ એક જ મૂલ્ય સામાન્ય રીતે વિતરણના કેન્દ્રની નજીક હોય છે, બંને અત્યંતતાની નજીક નહીં. વિતરણના કેન્દ્રને શોધવા માટે વપરાતી આંકડાકીય તકનીકોને કેન્દ્રીય વલણના માપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કેન્દ્રીય વલણ દર્શાવતી સંખ્યા સમગ્ર ડેટા સેટ માટે પ્રતિનિધિ આંકડો છે કારણ કે તે એ બિંદુ છે જેની આસપાસ વસ્તુઓનું ક્લસ્ટર બનવાની વલણ હોય છે.

કેન્દ્રીય વલણના માપને આંકડાકીય સરેરાશ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. કેન્દ્રીય વલણના માપની અનેક સંખ્યા છે, જેમ કે સરેરાશ (મીન), મધ્યસ્થ (મીડિયન) અને બહુલક (મોડ).

સરેરાશ (મીન)

સરેરાશ એ મૂલ્ય છે જે બધા મૂલ્યોનો સરવાળો કરીને અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મેળવવામાં આવે છે.

મધ્યસ્થ (મીડિયન)

મધ્યસ્થ એ રેંકનું મૂલ્ય છે, જે વ્યવસ્થિત શ્રેણીને બે સમાન સંખ્યાઓમાં વિભાજિત કરે છે. તે વાસ્તવિક મૂલ્યથી સ્વતંત્ર છે. ડેટાને ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવો અને પછી મધ્ય રેંકિંગ સંખ્યાનું મૂલ્ય શોધવું મધ્યસ્થની ગણતરીમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. સમ સંખ્યાઓના કિસ્સામાં, બે મધ્ય રેંકિંગ મૂલ્યોની સરેરાશ મધ્યસ્થ હશે.

બહુલક (મોડ)

બહુલક એ ચોક્કસ બિંદુ અથવા મૂલ્ય પર મહત્તમ ઘટના અથવા આવૃત્તિ છે. તમે નોંધી શકો છો કે આ દરેક માપ એક જ પ્રતિનિધિ સંખ્યા નક્કી કરવાની અલગ પદ્ધતિ છે જે વિવિધ પ્રકારના ડેટા સેટ માટે યોગ્ય છે.

સરેરાશ (મીન)

સરેરાશ એ ચલના વિવિધ મૂલ્યોની સરળ અંકગણિત સરેરાશ છે. અવર્ગીકૃત અને વર્ગીકૃત ડેટા માટે, સરેરાશની ગણતરીની પદ્ધતિઓ જરૂરી રીતે અલગ છે. સરેરાશની ગણતરી સીધી અથવા પરોક્ષ પદ્ધતિઓ દ્વારા, વર્ગીકૃત અને અવર્ગીકૃત બંને ડેટા માટે કરી શકાય છે.

અવર્ગીકૃત ડેટામાંથી સરેરાશની ગણતરી

સીધી પદ્ધતિ

અવર્ગીકૃત ડેટામાંથી સરેરાશની ગણતરી સીધી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરતી વખતે, દરેક અવલોકન માટેના મૂલ્યો ઉમેરવામાં આવે છે અને કુલ ઘટનાઓની સંખ્યાને બધા અવલોકનોના સરવાળા વડે ભાગવામાં આવે છે. સરેરાશની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum x}{\mathrm{~N}} $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ \sum \quad & \text { Sum of a series of } \ & \text { measures } \end{aligned} $$

$x \quad=$ માપની શ્રેણીમાં કાચો સ્કોર

$\sum \mathrm{x}=$ બધા માપોનો સરવાળો

$\mathrm{N} \quad$ = માપોની સંખ્યા

ઉદાહરણ 2.1 : કોષ્ટક 2.1માં આપેલા પ્રદેશના જિલ્લાઓના વરસાદમાંથી મધ્ય પ્રદેશમાં માળવા પટ્ટા માટે સરેરાશ વરસાદની ગણતરી કરો:

$\hspace{1cm}$ કોષ્ટક 2.1 : સરેરાશ વરસાદની ગણતરી

• જ્યાં 800 ધારેલી સરેરાશ છે.
  $\mathrm{d}$ ધારેલી સરેરાશમાંથી વિચલન છે.

કોષ્ટક 2.1માં આપેલા ડેટા માટે સરેરાશ નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum x}{N} \ & =\frac{6,484}{7} \ & =926.29 \end{aligned} $$

સરેરાશની ગણતરીમાંથી નોંધી શકાય છે કે કાચા વરસાદના ડેટાને સીધા ઉમેરવામાં આવ્યા છે અને સરવાળાને અવલોકનોની સંખ્યા એટલે કે જિલ્લાઓ વડે ભાગવામાં આવે છે. તેથી, તેને સીધી પદ્ધતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પરોક્ષ પદ્ધતિ

મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો માટે, સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે સામાન્ય રીતે પરોક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. તે અવલોકનોના મૂલ્યોમાંથી સ્થિર મૂલ્ય બાદ કરીને તેમને નાની સંખ્યાઓમાં ઘટાડવામાં મદદ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટક 2.1માં બતાવ્યા પ્રમાણે, વરસાદના મૂલ્યો 800 અને $1100 \mathrm{~mm}$ વચ્ચે આવેલા છે. આપણે ‘ધારેલી સરેરાશ’ પસંદ કરીને અને દરેક મૂલ્યમાંથી પસંદ કરેલી સંખ્યા બાદ કરીને આ મૂલ્યો ઘટાડી શકીએ છીએ. વર્તમાન કિસ્સામાં, આપણે 800 ને ધારેલી સરેરાશ તરીકે લીધી છે. આવી ક્રિયાને કોડિંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પછી સરેરાશની ગણતરી આ ઘટાડેલી સંખ્યાઓ (કોષ્ટક 2.1નો કૉલમ 3) પરથી કરવામાં આવે છે.

પરોક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

$$ \overline{\mathrm{X}}=A+\frac{\sum d}{N} $$

જ્યાં,

$$ \begin{aligned} A & =\text { Subtracted constant } \ \sum d & =\text { Sum of the coded scores } \ N & =\text { Number of individual observations in a series } \end{aligned} $$

કોષ્ટક 2.1માં બતાવ્યા પ્રમાણે ડેટા માટે સરેરાશ નીચેની રીતે પરોક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =800+\frac{884}{7} \ & =800+\frac{884}{7} \ \overline{\mathrm{X}} & =926.29 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

નોંધ લો કે બે પદ્ધતિઓમાંથી કોઈપણ એક દ્વારા ગણતરી કરતી વખતે સરેરાશ મૂલ્ય સમાન આવે છે.

વર્ગીકૃત ડેટામાંથી સરેરાશની ગણતરી

સરેરાશની ગણતરી વર્ગીકૃત ડેટા માટે પણ સીધી અથવા પરોક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

સીધી પદ્ધતિ

જ્યારે સ્કોરને આવૃત્તિ વિતરણમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે વ્યક્તિગત મૂલ્યો તેમની ઓળખ ગુમાવે છે. આ મૂલ્યોને વર્ગ ${ }^{\circ}$ અંતરાલોના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે જેમાં તેઓ સ્થિત છે. વર્ગીકૃત ડેટામાંથી સીધી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે, દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુને તેની અનુરૂપ આવૃત્તિ $(f)$ વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે; $f x$ ($\mathrm{X}$ મધ્યબિંદુઓ છે) ના બધા મૂલ્યો ઉમેરવામાં આવે છે $\sum f x$ મેળવવા માટે જે છેવટે અવલોકનોની સંખ્યા એટલે કે $\mathrm{N}$ વડે ભાગવામાં આવે છે. તેથી, સરેરાશની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum f x}{N} $$

જ્યાં :

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ f & =\text { Frequencies } \ x & =\text { Midpoints of class intervals } \ N & \left.=\text { Number of observations (it may also be defined as } \sum f\right) \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 2.2 : કોષ્ટક 2.2માં આપેલા ડેટાનો ઉપયોગ કરીને ફેક્ટરી કામદારોના સરેરાશ વેતન દરની ગણતરી કરો:

કોષ્ટક 2.2 : ફેક્ટરી કામદારોનો વેતન દર

કોષ્ટક 2.3 : સરેરાશની ગણતરી

જ્યાં $\mathrm{N}=\sum f=99$

કોષ્ટક 2.3 વર્ગીકૃત ડેટા માટે સરેરાશની ગણતરીની પ્રક્રિયા પૂરી પાડે છે. આપેલ આવૃત્તિ વિતરણમાં, નવ્વાણું કામદારોને વેતન દરના પાંચ વર્ગોમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવ્યા છે. આ જૂથોના મધ્યબિંદુઓ ત્રીજા સ્તંભમાં સૂચિબદ્ધ છે. સરેરાશ શોધવા માટે, દરેક મધ્યબિંદુ $(\mathrm{X})$ ને આવૃત્તિ $(f)$ વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને તેમનો સરવાળો ($\sum f_{x}$) ને $N$ વડે ભાગવામાં આવે છે.

આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ નીચે પ્રમાણે ગણી શકાય છે:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum f x}{N} \ & =\frac{10,160}{99} \ & =102.6 \end{aligned} $$

પરોક્ષ પદ્ધતિ

વર્ગીકૃત ડેટા માટે પરોક્ષ પદ્ધતિ માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ સૂત્રના સિદ્ધાંતો અવર્ગીકૃત ડેટા માટે આપેલ પરોક્ષ પદ્ધતિના સમાન છે. તે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

$$ \bar{x}=A \pm \frac{\sum f d}{N} $$

જ્યાં,

= ધારેલા સરેરાશ જૂથનું મધ્યબિંદુ (કોષ્ટક 2.3માં ધારેલું સરેરાશ જૂથ 90 – 110 છે જેનું મધ્યબિંદુ 100 છે.) f = આવૃત્તિ d = ધારેલા સરેરાશ જૂથ (A) માંથી વિચલન N = કેસોનો સરવાળો અથવા ∑ f i = અંતરાલ પહોળાઈ (આ કિસ્સામાં, તે 20 છે)

કોષ્ટક 2.3 માંથી સીધી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશની ગણતરીમાં સામેલ નીચેના પગલાંઓ મેળવી શકાય છે:

(i) સરેરાશ 90 - 110 ના જૂથમાં ધારવામાં આવી છે. તે શ્રેણીના મધ્યની નજીકના વર્ગમાંથી ધારવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા ગણતરીની તીવ્રતા ઘટાડે છે. કોષ્ટક 2.3 માં, A (ધારેલી સરેરાશ) 100 છે, વર્ગ $90-110$ નું મધ્યબિંદુ.

(ii) પાંચમો સ્તંભ (u) દરેક વર્ગના મધ્યબિંદુનું ધારેલા સરેરાશ જૂથ $(90-110)$ ના મધ્યબિંદુમાંથી વિચલન દર્શાવે છે.

(iii) છઠ્ઠો સ્તંભ દરેક $f$ ને તેની અનુરૂપ $d$ વડે ગુણાકાર કરીને $f d$ આપવા માટે ગુણાકાર કરેલા મૂલ્યો દર્શાવે છે. પછી, $f d$ ના ધન અને ઋણ મૂલ્યો અલગથી ઉમેરવામાં આવે છે અને તેમનો નિરપેક્ષ તફાવત શોધવામાં આવે છે ($\sum f d$). નોંધ લો કે $\sum f d$ સાથે જોડાયેલ ચિહ્નને A ને અનુસરતા સૂત્રમાં બદલવામાં આવે છે, જ્યાં $\pm$ આપવામાં આવે છે.

પરોક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

$$ \begin{aligned} \overline{\boldsymbol{x}} & =\boldsymbol{A} \pm \frac{\sum \boldsymbol{f} \boldsymbol{d}}{\boldsymbol{N}} \ & =100+\frac{260}{99} \ & =100+2.6 \ & =102.6 \end{aligned} $$

નોંધ : પરોક્ષ સરેરાશ પદ્ધતિ સમાન અને અસમાન વર્ગ અંતરાલો બંને માટે કામ કરશે.

મધ્યસ્થ (મીડિયન)

મધ્યસ્થ એ સ્થાનિક સરેરાશ છે. તેને “વિતરણમાં એક બિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેની દરેક બાજુ સમાન સંખ્યામાં કેસો હોય”. મધ્યસ્થને પ્રતીક $\mathrm{M}$ નો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

અવર્ગીકૃત ડેટા માટે મધ્યસ્થની ગણતરી

જ્યારે સ્કોર અવર્ગીકૃત હોય, તો તેને ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ગોઠવેલી શ્રેણીમાં કેન્દ્રીય અવલોકન અથવા મૂલ્યને શોધીને મધ્યસ્થ શોધી શકાય છે. કેન્દ્રીય મૂલ્ય ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવેલી શ્રેણીના કોઈપણ છેડેથી શોધી શકાય છે. મધ્યસ્થની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સમીકરણનો ઉપયોગ થાય છે:

$\left(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\right)$ મી વસ્તુનું મૂલ્ય

ઉદાહરણ 2.3: નીચેનો ઉપયોગ કરીને હિમાલયના ભાગોમાં પર્વતની ટોચની મધ્યસ્થ ઊંચાઈની ગણતરી કરો:

$8,126 \mathrm{~m}, 8,611 \mathrm{~m}, 7,817 \mathrm{~m}, 8,172 \mathrm{~m}, 8,076 \mathrm{~m}, 8,848 \mathrm{~m}, 8,598 \mathrm{~m}$.

ગણતરી : મધ્યસ્થ (M) નીચેના પગલાંઓમાં ગણી શકાય છે:

(i) આપેલા ડેટાને ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો.

(ii) શ્રેણીમાં કેન્દ્રીય મૂલ્ય શોધવા માટે સૂત્ર લાગુ કરો. આમ:

($\frac{\mathrm{N}+1}{2}$) મી વસ્તુનું મૂલ્ય

$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$ મી વસ્તુ

$=\left(\frac{8}{2}\right)$ મી વસ્તુ

ગોઠવેલી શ્રેણીમાં 4થી વસ્તુ મધ્યસ્થ હશે.

ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવણી -

7,$817 ; 8,076 ; 8,126 ; 8,172 ; 8,598 ; 8,611 ; 8,848$

તેથી,

4થી વસ્તુ

$$ \mathrm{M}=8,172 \mathrm{~m} $$

વર્ગીકૃત ડેટા માટે મધ્યસ્થની ગણતરી

જ્યારે સ્કોર જૂથબદ્ધ હોય, ત્યારે આપણે તે બિંદુનું મૂલ્ય શોધવું પડે છે જ્યાં એક વ્યક્તિ અથવા અવલોકન જૂથમાં કેન્દ્રીય રીતે સ્થિત છે. તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે:

$$ M=\boldsymbol{l}+\frac{\boldsymbol{i}}{\boldsymbol{f}}\left(\frac{\boldsymbol{N}}{2}-\boldsymbol{c}\right) $$

જ્યાં,

M = વર્ગીકૃત ડેટા માટે મધ્યસ્થ
l = મધ્યસ્થ વર્ગની નીચી મર્યાદા
i = અંતરાલ
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ
N = કુલ આવૃત્તિઓ અથવા અવલોકનોની સંખ્યા
c = પૂર્વ-મધ્યસ્થ વર્ગની સંચિત આવૃત્તિ.

ઉદાહરણ 2.4 : નીચેના વિતરણ માટે મધ્યસ્થની ગણતરી કરો:

કોષ્ટક 2.4 : મધ્યસ્થની ગણતરી

મધ્યસ્થ નીચે આપેલા પગલાંઓમાં ગણવામાં આવે છે:

(i) આવૃત્તિ કોષ્ટક કોષ્ટક 2.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે સેટ કરવામાં આવે છે.

(ii) સંચિત આવૃત્તિઓ (F) ક્રમિક અંતરાલ જૂથોની દરેક સામાન્ય આવૃત્તિ ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે, જે કોષ્ટક 2.4 ના કૉલમ 3 માં આપવામાં આવી છે.

(iii) મધ્યસ્થ સંખ્યા $\frac{N}{2}$ એટલે કે આ કિસ્સામાં $\frac{50}{2}=\mathbf{2 5}$ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, જે કોષ્ટક 2.4 ના કૉલમ 4 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

(iv) સંચિત આવૃત્તિ વિતરણ (F) માં ઉપરથી નીચે તરફ ગણતરી કરો જ્યાં સુધી $\frac{N}{2}$ કરતા આગળનું મૂલ્ય નહીં મળે. આ ઉદાહરણમાં, $\frac{N}{2}$ 25 છે, જે 40-44 ના વર્ગ અંતરાલમાં આવે છે જેની સંચિત આવૃત્તિ 37 છે, આમ પૂર્વ-મધ્યસ્થ વર્ગની સંચિત આવૃત્તિ 21 છે અને મધ્યસ