অধ্যায় ০২ তথ্য প্ৰক্ৰিয়াকৰণ
আপুনি আগৰ অধ্যায়ত শিকিছিল যে তথ্য সংগঠিত আৰু প্ৰদৰ্শন কৰিলে সেইবোৰ সহজে বুজিব পৰা হয়। ই তথ্য প্ৰক্ৰিয়াকৰণত সহায় কৰে। তথ্য বিশ্লেষণ কৰিবলৈ বহুতো পৰিসংখ্যামূলক কৌশল ব্যৱহাৰ কৰা হয়, যেনে:
১. কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ ২. বিচ্যুতিৰ মাপ ৩. সম্পৰ্কৰ মাপ
কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপসমূহে এটা পৰ্যবেক্ষণ সমষ্টিৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰা আদৰ্শ মান প্ৰদান কৰে, আনহাতে বিচ্যুতিৰ মাপসমূহে তথ্যৰ আভ্যন্তৰীণ পৰিৱৰ্তনসমূহ বিবেচনা কৰে, যি প্ৰায়ে কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপৰ চাৰিওফালে ঘূৰি থাকে। আনহাতে, সম্পৰ্কৰ মাপসমূহে দুটা বা ততোধিক সম্পৰ্কিত ঘটনা, যেনে বৰষুণ আৰু বানৰ প্ৰাদুৰ্ভাৱ বা সাৰৰ ব্যৱহাৰ আৰু শস্যৰ উৎপাদনৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ মাত্ৰা প্ৰদান কৰে। এই অধ্যায়ত, আপুনি কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপসমূহ শিকিব।
কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ
বৰষুণ, উচ্চতা, জনসংখ্যাৰ ঘনত্ব, শিক্ষাগত অৰ্জনৰ স্তৰ বা বয়সৰ শ্ৰেণীৰ দৰে জোখযোগ্য বৈশিষ্ট্যসমূহ পৰিৱৰ্তনশীল। আমি যদি এইবোৰ বুজিব বিচাৰো, তেন্তে কেনেকৈ কৰিম? হয়তো আমি এটা একক মান বা সংখ্যাৰ প্ৰয়োজন হ’ব পাৰে যিয়ে সকলো পৰ্যবেক্ষণক সৰ্বোত্তমভাৱে প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। এই একক মানটো সাধাৰণতে বিতৰণৰ কেন্দ্ৰৰ ওচৰত থাকে, চৰম সীমাত নহয়। বিতৰণৰ কেন্দ্ৰ উলিয়াবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা পৰিসংখ্যামূলক কৌশলসমূহক কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ বুলি কোৱা হয়। কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তি সূচোৱা সংখ্যাটো সমগ্ৰ তথ্য সমষ্টিৰ বাবে প্ৰতিনিধিত্বমূলক আংক হয় কাৰণ ই হৈছে সেই বিন্দু য’ৰ চাৰিওফালে পদসমূহৰ গোট খোৱাৰ প্ৰবৃত্তি থাকে।
কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপসমূহক পৰিসংখ্যামূলক গড় হিচাপেও জনা যায়। কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ বহুতো আছে, যেনে গড়, মধ্যমা আৰু বহুলক।
গড়
গড় হৈছে সেই মান যিটো সকলো মান যোগ কৰি পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰি উলিওৱা হয়।
মধ্যমা
মধ্যমা হৈছে সেই ৰেংকৰ মান, যিয়ে ক্ৰমবদ্ধ ধাৰাটোক দুটা সমান সংখ্যাত বিভক্ত কৰে। ই প্ৰকৃত মানৰ পৰা স্বাধীন। তথ্যবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত বা অধঃক্ৰমত সজাই তাৰ পিছত মধ্যম ৰেংকিং সংখ্যাটোৰ মান উলিওৱাটো মধ্যমা গণনা কৰাত আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ। যুগ্ম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত দুটা মধ্যম ৰেংকিং মানৰ গড়েই হ’ব মধ্যমা।
বহুলক
বহুলক হৈছে কোনো নিৰ্দিষ্ট বিন্দু বা মানত সৰ্বোচ্চ সংঘটন বা বাৰংবাৰতা। আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে এই মাপবোৰৰ প্ৰতিটোৱেই তথ্য সমষ্টিৰ বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ বাবে উপযুক্ত একক প্ৰতিনিধিত্বমূলক সংখ্যা নিৰ্ধাৰণ কৰাৰ বিভিন্ন পদ্ধতি।
গড়
গড় হৈছে এটা চলকৰ বিভিন্ন মানৰ সৰল পাটিগণিতীয় গড়। অশ্ৰেণীবদ্ধ আৰু শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে, গড় গণনা কৰাৰ পদ্ধতিবোৰ অৱশ্যে বেলেগ। গড় প্ৰত্যক্ষ বা পৰোক্ষ পদ্ধতিৰে গণনা কৰিব পাৰি, শ্ৰেণীবদ্ধ আৰু অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্য উভয়ৰ বাবেই।
অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ পৰা গড় গণনা কৰা
প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি
অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ পৰা প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গড় গণনা কৰোতে, প্ৰতিটো পৰ্যবেক্ষণৰ মান যোগ কৰা হয় আৰু মুঠ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাক সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ যোগফলৰে হৰণ কৰা হয়। তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰি গড় গণনা কৰা হয়:
$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum x}{\mathrm{~N}} $$
য’ত,
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ \sum \quad & \text { Sum of a series of } \ & \text { measures } \end{aligned} $$
$x \quad=$ মাপৰ ধাৰাত এটা কেঁচা স্ক’ৰ
$\sum \mathrm{x}=$ সকলো মাপৰ যোগফল
$\mathrm{N} \quad$ = মাপৰ সংখ্যা
উদাহৰণ 2.1 : তলৰ সূচী 2.1 ত দিয়া অঞ্চলটোৰ জিলাসমূহৰ বৰষুণৰ পৰা মধ্যপ্ৰদেশৰ মালৱা মালভূমিৰ বাবে গড় বৰষুণ গণনা কৰক:
$\hspace{1cm}$ সূচী 2.1 : গড় বৰষুণৰ গণনা
| মালৱা মালভূমিৰ জিলাসমূহ |
স্বাভাৱিক বৰষুণ মিমি ত |
পৰোক্ষ পদ্ধতি |
|---|---|---|
| x প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি | $d=x-800^{*}$ | |
| ইন্দোৰ | 979 | 179 |
| দেৱাস | 1083 | 283 |
| ধাৰ | 833 | 33 |
| ৰতলাম | 896 | 96 |
| উজ্জয়িন | 891 | 91 |
| মান্দছৌৰ | 825 | 25 |
| শাজাপুৰ | 977 | 177 |
| $\sum x$ আৰু $\sum d$ | 6484 | 884 |
| $\frac{\sum x}{N}$ আৰু $\frac{\sum d}{N}$ | 926.29 | 126.29 |
- য’ত 800 ক ধাৰ্য্য গড় হিচাপে ধৰা হৈছে।
$\mathrm{d}$ হৈছে ধাৰ্য্য গড়ৰ পৰা বিচ্যুতি।
সূচী 2.1 ত দিয়া তথ্যৰ বাবে গড় তলত দৰে গণনা কৰা হৈছে:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum x}{N} \ & =\frac{6,484}{7} \ & =926.29 \end{aligned} $$
গড় গণনা কৰোতে লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে কেঁচা বৰষুণৰ তথ্য প্ৰত্যক্ষভাৱে যোগ কৰা হৈছে আৰু যোগফলটোক পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা অৰ্থাৎ জিলাৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰা হৈছে। সেয়েহে, ইয়াক প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি বুলি জনা যায়।
পৰোক্ষ পদ্ধতি
বহুত পৰ্যবেক্ষণৰ বাবে, পৰোক্ষ পদ্ধতি সাধাৰণতে গড় গণনা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ই এটা ধ্ৰুৱক মান বিচ্যুত কৰি পৰ্যবেক্ষণৰ মানসমূহ সৰু সংখ্যালৈ হ্ৰাস কৰাত সহায় কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, সূচী 2.1 ত দেখুওৱাৰ দৰে, বৰষুণৰ মানসমূহ 800 আৰু $1100 \mathrm{~mm}$ ৰ মাজত থাকে। আমি ‘ধাৰ্য্য গড়’ বাছনি কৰি প্ৰতিটো মানৰ পৰা বাছনি কৰা সংখ্যাটো বিচ্যুত কৰি এই মানসমূহ হ্ৰাস কৰিব পাৰো। বৰ্তমান ক্ষেত্ৰত, আমি 800 ক ধাৰ্য্য গড় হিচাপে লৈছো। এনে কাৰ্যক ক’ডিং বুলি কোৱা হয়। তাৰ পিছত এই হ্ৰাস কৰা সংখ্যাবোৰৰ পৰা গড় গণনা কৰা হয় (সূচী 2.1ৰ স্তম্ভ 3)।
পৰোক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গড় গণনা কৰিবলৈ তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰা হয়:
$$ \overline{\mathrm{X}}=A+\frac{\sum d}{N} $$
য’ত,
$$ \begin{aligned} A & =\text { Subtracted constant } \ \sum d & =\text { Sum of the coded scores } \ N & =\text { Number of individual observations in a series } \end{aligned} $$
সূচী 2.1 ত দেখুওৱা তথ্যৰ বাবে গড় পৰোক্ষ পদ্ধতিৰে তলত দিয়া ধৰণে গণনা কৰিব পাৰি:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =800+\frac{884}{7} \ & =800+\frac{884}{7} \ \overline{\mathrm{X}} & =926.29 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$
মন কৰক যে দুয়োটা পদ্ধতিৰে গণনা কৰিলে গড় মান একে আহে।
শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ পৰা গড় গণনা কৰা
গড় শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবেও প্ৰত্যক্ষ বা পৰোক্ষ পদ্ধতিৰে গণনা কৰা হয়।
প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি
যেতিয়া স্ক’ৰবোৰ এটা বাৰংবাৰতা বিতৰণত শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা হয়, তেতিয়া ব্যক্তিগত মানসমূহে তেওঁলোকৰ স্বতন্ত্ৰতা হেৰুৱায়। এই মানসমূহক তেওঁলোকে অৱস্থিত থকা শ্ৰেণী ${ }^{\circ}$ অন্তৰালসমূহৰ মধ্যবিন্দুৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ পৰা গড় গণনা কৰোতে, প্ৰতিটো শ্ৰেণী অন্তৰালৰ মধ্যবিন্দুক ইয়াৰ অনুক্ৰমী বাৰংবাৰতাৰে $(f)$ পূৰণ কৰা হয়; $f x$ ৰ সকলো মান ($\mathrm{X}$ হৈছে মধ্যবিন্দু) যোগ কৰি $\sum f x$ পোৱা হয় যিটো অৱশেষত পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা অৰ্থাৎ $\mathrm{N}$ ৰে হৰণ কৰা হয়। সেয়েহে, তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰি গড় গণনা কৰা হয়:
$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum f x}{N} $$
য’ত:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ f & =\text { Frequencies } \ x & =\text { Midpoints of class intervals } \ N & \left.=\text { Number of observations (it may also be defined as } \sum f\right) \end{aligned} $$
উদাহৰণ 2.2 : সূচী 2.2 ত দিয়া তথ্য ব্যৱহাৰ কৰি কাৰখানাৰ কৰ্মীৰ গড় মজুৰিৰ হাৰ গণনা কৰক:
সূচী 2.2 : কাৰখানাৰ কৰ্মীৰ মজুৰিৰ হাৰ
| মজুৰিৰ হাৰ (টকা/দিন) | কৰ্মীৰ সংখ্যা () |
|---|---|
| শ্ৰেণীসমূহ | $\boldsymbol{f}$ |
| $50-70$ | 10 |
| $70-90$ | 20 |
| $90-110$ | 25 |
| $110-130$ | 35 |
| $130-150$ | 9 |
সূচী 2.3 : গড় গণনা
| শ্ৰেণীসমূহ | বাৰংবাৰতা (f) |
মধ্য- বিন্দু $(x)$ |
$f x x$ | $d=x-100$ | $f d$ | $U=$ $(x-100)$ 20 |
$f u$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $50-70$ | 10 | 60 | 600 | -40 | -400 | -2 | -20 |
| $70-90$ | 20 | 80 | 1,600 | -20 | -400 | -1 | -20 |
| $\mathbf{9 0 - 1 1 0}$ | $\mathbf{2 5}$ | $\mathbf{1 0 0}$ | 2,500 | $\mathbf{0}$ | 0 | 0 | 0 |
| $110-130$ | 35 | 120 | 4,200 | 20 | 700 | 1 | 35 |
| $130-150$ | 9 | 140 | 1,260 | 40 | 360 | 2 | 18 |
| $\sum f x$ | |||||||
| আৰু | $\sum f=99$ | $\sum f x=$ | $\sum f d=$ | $\sum f u=$ | |||
| $\sum f x$ | 10,160 | 260 | 13 |
য’ত $\mathrm{N}=\sum f=99$
সূচী 2.3 এ শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে গড় গণনা কৰাৰ পদ্ধতি প্ৰদান কৰে। দিয়া বাৰংবাৰতা বিতৰণত, নিৰ্নৱৈজন কৰ্মীক মজুৰিৰ হাৰৰ পাঁচটা শ্ৰেণীত শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা হৈছে। এই গোটসমূহৰ মধ্যবিন্দুবোৰ তৃতীয় স্তম্ভত তালিকাভুক্ত কৰা হৈছে। গড় উলিয়াবলৈ, প্ৰতিটো মধ্যবিন্দু $(\mathrm{X})$ ক বাৰংবাৰতা $(f)$ ৰে পূৰণ কৰা হৈছে আৰু তেওঁলোকৰ যোগফল ($\sum f_{x}$) ক $N$ ৰে হৰণ কৰা হৈছে।
দিয়া সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰি গড় তলত দৰে গণনা কৰিব পাৰি:
$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum f x}{N} \ & =\frac{10,160}{99} \ & =102.6 \end{aligned} $$
পৰোক্ষ পদ্ধতি
শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ বাবে তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি। এই সূত্ৰটোৰ নীতিসমূহ অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে দিয়া পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ সৈতে একে। ই তলত দৰে প্ৰকাশ কৰা হয়:
$$ \bar{x}=A \pm \frac{\sum f d}{N} $$
য’ত,
= ধাৰ্য্য গড় গোটৰ মধ্যবিন্দু (সূচী 2.3 ত ধাৰ্য্য গড় গোট হৈছে 90 – 110 য’ত 100 মধ্যবিন্দু) f = বাৰংবাৰতা d = ধাৰ্য্য গড় গোট (A) ৰ পৰা বিচ্যুতি N = কেছৰ যোগফল বা ∑ f i = অন্তৰালৰ প্ৰস্থ (এই ক্ষেত্ৰত, ই 20)
সূচী 2.3 ৰ পৰা প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি গড় গণনা কৰোতে জড়িত তলৰ পদক্ষেপসমূহ অনুমান কৰিব পাৰি:
(i) গড়ক 90 - 110 ৰ গোটত ধাৰ্য্য কৰা হৈছে। ইয়াক সম্ভৱ হলে ধাৰাবাহিকতাৰ মাজৰ ওচৰৰ শ্ৰেণীৰ পৰা ধাৰ্য্য কৰাটো পছন্দনীয়। এই পদ্ধতিয়ে গণনাৰ পৰিমাণ হ্ৰাস কৰে। সূচী 2.3 ত, A (ধাৰ্য্য গড়) হৈছে 100, শ্ৰেণী $90-110$ ৰ মধ্যবিন্দু।
(ii) পঞ্চম স্তম্ভ (u) য়ে প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ মধ্যবিন্দুৰ পৰা ধাৰ্য্য গড় গোটৰ মধ্যবিন্দু $(90-110)$ ৰ বিচ্যুতি তালিকাভুক্ত কৰে।
(iii) ষষ্ঠ স্তম্ভটোৱে প্ৰতিটো $f$ ৰ ইয়াৰ অনুক্ৰমী $d$ ৰে পূৰণ কৰি $f d$ দিয়া মান দেখুৱায়। তাৰ পিছত, $f d$ ৰ ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক মানসমূহ পৃথককৈ যোগ কৰা হয় আৰু তেওঁলোকৰ পৰম পাৰ্থক্য উলিওৱা হয় ($\sum f d$)। মন কৰক যে $\sum f d$ ৰ লগত সংলগ্ন চিহ্নটো A ৰ পিছত সূত্ৰটোত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়, য’ত $\pm$ দিয়া হয়।
পৰোক্ষ পদ্ধতিৰে গড় তলত দৰে গণনা কৰা হয়:
$$ \begin{aligned} \overline{\boldsymbol{x}} & =\boldsymbol{A} \pm \frac{\sum \boldsymbol{f} \boldsymbol{d}}{\boldsymbol{N}} \ & =100+\frac{260}{99} \ & =100+2.6 \ & =102.6 \end{aligned} $$
মন কৰক : পৰোক্ষ গড় পদ্ধতিয়ে সমান আৰু অসমান শ্ৰেণী অন্তৰাল উভয়ৰ বাবে কাম কৰিব।
মধ্যমা
মধ্যমা হৈছে এটা স্থানীয় গড়। ইয়াক “বিতৰণত থকা এটা বিন্দু হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি য’ত ইয়াৰ প্ৰতিটো পাশে সমান সংখ্যক কেছ থাকে”। মধ্যমাক $\mathrm{M}$ চিহ্নৰে প্ৰকাশ কৰা হয়।
অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে মধ্যমা গণনা কৰা
যেতিয়া স্ক’ৰবোৰ অশ্ৰেণীবদ্ধ থাকে, তেতিয়া এইবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত বা অধঃক্ৰমত সজোৱা হয়। ক্ৰমবদ্ধ ধাৰাত কেন্দ্ৰীয় পৰ্যবেক্ষণ বা মানটো স্থানাংকন কৰি মধ্যমা পাব পাৰি। কেন্দ্ৰীয় মানটো ঊৰ্ধ্বক্ৰমত বা অধঃক্ৰমত সজোৱা ধাৰাৰ যিকোনো মূৰৰ পৰা স্থানাংকন কৰিব পাৰি। তলৰ সমীকৰণটো মধ্যমা গণনা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়:
$\left(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\right)$ তম পদৰ মান
উদাহৰণ 2.3: তলৰবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি হিমালয়ৰ অংশত থকা পৰ্বতশৃংগৰ মধ্যমা উচ্চতা গণনা কৰক:
$8,126 \mathrm{~m}, 8,611 \mathrm{~m}, 7,817 \mathrm{~m}, 8,172 \mathrm{~m}, 8,076 \mathrm{~m}, 8,848 \mathrm{~m}, 8,598 \mathrm{~m}$.
গণনা : মধ্যমা (M) তলৰ পদক্ষেপসমূহত গণনা কৰিব পাৰি:
(i) দিয়া তথ্যবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত বা অধঃক্ৰমত সজাওক।
(ii) ধাৰাত কেন্দ্ৰীয় মান স্থানাংকন কৰিবলৈ সূত্ৰটো প্ৰয়োগ কৰক। এতেকে:
($\frac{\mathrm{N}+1}{2}$) তম পদৰ মান
$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$ তম পদ
$=\left(\frac{8}{2}\right)$ তম পদ
ক্ৰমবদ্ধ ধাৰাত 4ৰ্থ পদটো হ’ব মধ্যমা।
তথ্য ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজোৱা -
7,$817 ; 8,076 ; 8,126 ; 8,172 ; 8,598 ; 8,611 ; 8,848$
এতেকে,
4ৰ্থ পদ
$$ \mathrm{M}=8,172 \mathrm{~m} $$
শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে মধ্যমা গণনা কৰা
যেতিয়া স্ক’ৰবোৰ শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা হয়, তেতিয়া আমি সেই বিন্দুৰ মান উলিয়াব লাগিব য’ত এজন ব্যক্তি বা পৰ্যবেক্ষণ গোটটোৰ কেন্দ্ৰীয়ভাৱে অৱস্থিত। তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াক গণনা কৰিব পাৰি:
$$ M=\boldsymbol{l}+\frac{\boldsymbol{i}}{\boldsymbol{f}}\left(\frac{\boldsymbol{N}}{2}-\boldsymbol{c}\right) $$
য’ত,
M = শ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে মধ্যমা
l = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা
i = অন্তৰাল
f = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
N = মুঠ বাৰংবাৰতা বা পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা
c = পূৰ্ব-মধ্যমা শ্ৰেণীৰ সঞ্চিত বাৰংবাৰতা।
উদাহৰণ 2.4 : তলৰ বিতৰণৰ বাবে মধ্যমা গণনা কৰক:
| শ্ৰেণী | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ | $90-100$ | $100-110$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\boldsymbol{f}$ | 3 | 7 | 11 | 16 | 8 | 5 |
সূচী 2.4 : মধ্যমা গণনা
| শ্ৰেণী | বাৰংবাৰতা (f) |
সঞ্চিত বাৰংবাৰতা (iv) |
মধ্যমা শ্ৰেণীৰ গণনা |
|---|---|---|---|
| $50-60$ $60-70$ $70-80$ $\mathbf{8 0 - 9 0}$ (মধ্যমা গোট) $90-100$ $100-110$ |
3 7 11 $16 \boldsymbol{f}$ 8 5 5 |
3 10 $21 c$ $\mathbf{3 7}$ 45 50 |
$M=\frac{N}{2}$ $=\frac{50}{4}$ |
| $\sum_{\mathbf{N}=\mathbf{5 0}} f$ বা |
মধ্যমা তলত দিয়া পদক্ষেপসমূহত গণনা কৰা হয়:
(i) বাৰংবাৰতা সূচী সূচী 2.4 ত দিয়া ধৰণে স্থাপন কৰা হয়।
(ii) সঞ্চিত বাৰংবাৰতা (F) সমূহ ক্ৰমিক অন্তৰাল গোটসমূহৰ প্ৰতিটো সাধাৰণ বাৰংবাৰতা যোগ কৰি পোৱা হয়, যি সূচী 2.4 ৰ স্তম্ভ 3 ত দিয়া আছে।
(iii) মধ্যমা সংখ্যাটো $\frac{N}{2}$ ৰ দ্বাৰা পোৱা হয় অৰ্থাৎ এই ক্ষেত্ৰত $\frac{50}{2}=\mathbf{2 5}$, যি সূচী 2.4 ৰ স্তম্ভ 4 ত দেখুওৱা হৈছে।
(iv) সঞ্চিত বাৰংবাৰতা বিতৰণ (F) ৰ ওপৰৰ পৰা তললৈ গণনা কৰক যেতিয়ালৈকে $\frac{N}{2}$ তকৈ ডাঙৰ মানটো নোপোৱা হয়। এই উদাহৰণত, $\frac{N}{2}$ হৈছে 25, যি 40-44 ৰ শ্ৰেণী অন্তৰালত পৰে য’ত সঞ্চিত বাৰংবাৰতা 37, এতেকে পূৰ্ব-মধ্যমা শ্ৰেণীৰ সঞ্চিত বাৰংবাৰতা হৈছে 21 আৰু মধ্যমা শ্ৰেণীৰ প্ৰকৃত বাৰংবাৰতা হৈছে 16।
(v) তাৰ পিছত মধ্যমা পদক্ষেপ 4 ত নিৰ্ধাৰণ কৰা সকলো মান তলৰ সমীকৰণটোত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি গণনা কৰা হয়:
$$ M=l+\frac{i}{f}(m-c) $$
$$ \begin{aligned} & =80+\frac{10}{16}(25-21) \ & =80+\frac{5}{8} \times 4 \ & =80+\frac{5}{2} \ & =80+2.5 \ M & =82.5 \end{aligned} $$
বহুলক
বিতৰণত সৰ্বাধিক বাৰ ঘটা মানটোক বহুলক বুলি কোৱা হয়। ইয়াক $\mathbf{Z}$ বা $\mathbf{M}_{\mathbf{0}}$ চিহ্নৰে চিহ্নিত কৰা হয়। বহুলক হৈছে এনে এটা মাপ যি গড় আৰু মধ্যমাৰ তুলনাত কম ব্যাপকভাৱে ব্যৱহাৰ কৰা হয়। দিয়া তথ্য সমষ্টিত একাধিক প্ৰকাৰৰ বহুলক থাকিব পাৰে।
অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ বাবে বহুলক গণনা কৰা
দিয়া তথ্য সমষ্টিৰ পৰা বহুলক গণনা কৰোতে সকলো মাপ প্ৰথমে ঊৰ্ধ্বক্ৰমত বা অধঃক্ৰমত সজোৱা হয়। ই সৰ্বাধিক বাৰ ঘটা মাপটো সহজে চিনাক্ত কৰাত সহায় কৰে।
উদাহৰণ 2.5 : দহজন ছাত্ৰৰ বাবে ভূগোলৰ তলৰ পৰীক্ষাৰ স্ক’ৰৰ বাবে বহুলক গণনা কৰক:
$$ 61,10,88,37,61,72,55,61,46,22 $$
গণনা : বহুলক উলিয়াবলৈ মাপবোৰ তলত দিয়া ধৰণে ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজোৱা হয়:
$10,22,37,46,55, \mathbf{6 1}, \mathbf{6 1}, \mathbf{6 1}, 72,88$.
মাপ 61 ধাৰাত তিনিবাৰ ঘটা হৈছে দিয়া তথ্য সমষ্টিৰ বহুলক। তথ্য সমষ্টিত আন কোনো সংখ্যা একে ধৰণে নথকাৰ বাবে, ই একবিধ বহুলকৰ ধৰ্ম ধাৰণ কৰে।
উদাহৰণ 2.6 : দহজন অন্যান্য ছাত্ৰৰ এটা ভিন্ন নমুনা ব্যৱহাৰ কৰি বহুলক গণনা কৰক, যিসকলে স্ক’ৰ কৰিছিল:
$82,11,57,82,08,11,82,95,41,11$.
গণনা : দিয়া মাপবোৰ তলত দেখুওৱাৰ দৰে ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজাওক:
$$ 08,11,11,11,41,57,82,82,82,95 $$
ই সহজে লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে 11 আৰু 82 ৰ মাপ দুয়োটাই বিতৰণত তিনিবাৰকৈ ঘটা হৈছে। সেয়েহে তথ্য সমষ্টিটো দ্বিবিধ বহুলকৰ ৰূপত আছে। যদি তিনিটা মানৰ সমান আৰু সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা থাকে, ধাৰাটো ত্ৰিবিধ বহুলকৰ হয়। একেদৰে, ধাৰাত বহুতো মাপৰ পুনৰাবৃত্তি হ’লে ইয়াক বহুবিধ বহুলক কৰি তোলে। অৱশ্যে, যেতিয়া ধাৰাত কোনো মাপ পুনৰাবৃত্তি নহয় তেতিয়া ইয়াক বহুলকবিহীন হিচাপে মনোনীত কৰা হয়।
গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ তুলনা
কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ তিনিটা মাপ সাধাৰণ বিতৰণ বক্ৰৰ সহায়ত সহজে তুলনা কৰিব পাৰি। সাধাৰণ বক্ৰই এটা বাৰংবাৰতা বিতৰণক সূচায় য’ত স্ক’ৰৰ গ্ৰাফক প্ৰায়ে ঘণ্টা-আকৃতিৰ বক্ৰ বুলি কোৱা হয়। বহুতো মানৱীয় বৈশিষ্ট্য যেনে বুদ্ধিমত্তা, ব্যক্তিত্ব স্ক’ৰ আৰু ছাত্ৰৰ অৰ্জনৰ সাধাৰণ বিতৰণ থাকে। ঘণ্টা-আকৃতিৰ বক্ৰটোৱে যেনেকৈ দেখা যায়, ইয়াৰ কাৰণ হৈছে ই সমমিত। অন্য কথাত, বেছিভাগ পৰ্যবেক্ষণ মধ্যম মানৰ ওপৰত আৰু চাৰিওফালে থাকে। চৰম মানলৈ যোৱাৰ লগে লগে, পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা সমমিত ধৰণে হ্ৰাস পায়। সাধাৰণ বিতৰণ বক্ৰৰ উচ্চ বা নিম্ন তথ্য পৰিৱৰ্তনশীলতা থাকিব পাৰে। সাধাৰণ বিতৰণ বক্ৰৰ এটা উদাহৰণ চিত্ৰ 2.3 ত দিয়া হৈছে।
চিত্ৰ 2.3 : সাধাৰণ বিতৰণ বক্ৰ
সাধাৰণ বিতৰণৰ এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ বৈশিষ্ট্য আছে। গড়, মধ্যমা আৰু বহুলক একে স্ক’ৰ (চিত্ৰ 2.3 ত 100 ৰ স্ক’ৰ) হয় কাৰণ সাধাৰণ বিতৰণ সমমিত। সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতাৰ সৈতে স্ক’ৰটো বিতৰণৰ মাজত ঘটি থাকে আৰু ঠিক আধা স্ক’ৰ মাজৰ ওপৰত ঘটি থাকে আৰু আধা স্ক’ৰ মাজৰ তলত ঘটি থাকে। বেছিভাগ স্ক’ৰ বিতৰণৰ মাজৰ বা গড়ৰ চাৰিওফালে ঘটি থাকে। অতি উচ্চ আৰু অতি নিম্ন স্ক’ৰবোৰ প্ৰায়ে নঘটি আৰু সেয়েহে, দুৰ্লভ বুলি গণ্য কৰা হয়।
যদি তথ্যবোৰ কোনো ধৰণে বেঁকা বা বিকৃত কৰা হয়, তেন্তে গড়, মধ্যমা আৰু বহুলক একে নহ’ব আৰু বেঁকা তথ্যৰ প্ৰভাৱ বিবেচনা কৰিব লাগিব (চিত্ৰ 2.4 আৰু 2.5$)$.
চিত্ৰ 2.4 : ধনাত্মক বেঁকা
চিত্ৰ $2.5:$ ঋণাত্মক বেঁকা
অনুশীলনী
১. তলত দিয়া চাৰিটা বিকল্পৰ পৰা শুদ্ধ উত্তৰটো বাছনি কৰক:
(i) কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ সেই মাপ যি চৰম মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহয়:
(ক) গড়
(খ) গড় আৰু বহুলক
(গ) বহুলক
(ঘ) মধ্যমা
(ii) কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ সেই মাপ যি যিকোনো বিতৰণৰ hump ৰ সৈতে সদায় মিলি থাকে:
(ক) মধ্যমা
(খ) মধ্যমা আৰু বহুলক
(গ) গড়
(ঘ) বহুলক
২. তলৰ প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ প্ৰায় 30 শব্দত দিয়ক:
(i) গড়ৰ সংজ্ঞা দিয়ক।
(ii) বহুলক ব্যৱহাৰ কৰাৰ সুবিধাসমূহ কি?
৩. তলৰ প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ প্ৰায় 125 শব্দত দিয়ক:
(i) সাধাৰণ বিতৰণ আৰু বেঁকা বিতৰণত গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ আপেক্ষিক অৱস্থান চিত্ৰৰ সহায়ত ব্যাখ্যা কৰক।
(ii) গড়, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ প্ৰযোজ্যতাৰ ওপৰত মন্তব্য কৰক (ইংগিত: তেওঁলোকৰ গুণ আৰু দোষৰ পৰা)।
কাৰ্য্যকলাপ
১. ভৌগোলিক বিশ্লেষণৰ বাবে প্ৰযোজ্য এটা কাল্পনিক উদাহৰণ লওক আৰু অশ্ৰেণীবদ্ধ তথ্যৰ পৰা গড় গণনা কৰাৰ প্ৰত্যক্ষ আৰু পৰোক্ষ পদ্ধতি ব্যাখ্যা কৰক।
BETA
