മുൻ അദ്ധ്യായത്തിൽ നിങ്ങൾ പഠിച്ചതുപോലെ, ഡാറ്റ ക്രമീകരിക്കുകയും അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് അവയെ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഇത് ഡാറ്റ പ്രോസസ്സിംഗ് സുഗമമാക്കുന്നു. ഡാറ്റ വിശകലനം ചെയ്യാൻ നിരവധി സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

1. കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ
2. വിസരണത്തിന്റെ അളവുകൾ
3. ബന്ധത്തിന്റെ അളവുകൾ

കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന്റെ ആദർശ പ്രതിനിധിയായ ഒരു മൂല്യം നൽകുമ്പോൾ, വിസരണത്തിന്റെ അളവുകൾ ഡാറ്റയുടെ ആന്തരിക വ്യതിയാനങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു, പലപ്പോഴും ഒരു കേന്ദ്രീയ പ്രവണത അളവിന് ചുറ്റും. മറുവശത്ത്, ബന്ധത്തിന്റെ അളവുകൾ, മഴയും വെള്ളപ്പൊക്ക സംഭവവും അല്ലെങ്കിൽ വളം ഉപയോഗവും വിളവും പോലെയുള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ടോ അതിലധികമോ ബന്ധപ്പെട്ട പ്രതിഭാസങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ അളവ് നൽകുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിങ്ങൾ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ പഠിക്കും.

കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ

മഴ, ഉയരം, ജനസാന്ദ്രത, വിദ്യാഭ്യാസ നേട്ടങ്ങളുടെ തലങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രായ വിഭാഗങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെയുള്ള അളക്കാവുന്ന സവിശേഷതകൾ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് അവ മനസ്സിലാക്കണമെങ്കിൽ, എങ്ങനെ ചെയ്യും? ഒരുപക്ഷേ, എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളെയും ഏറ്റവും നന്നായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരൊറ്റ മൂല്യമോ സംഖ്യയോ നമുക്ക് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം. ഈ ഒറ്റ മൂല്യം സാധാരണയായി ഒരു വിതരണത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത്, അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങളിൽ അല്ല, സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. വിതരണങ്ങളുടെ കേന്ദ്രം കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് സാങ്കേതിക വിദ്യകളെ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യ മുഴുവൻ ഡാറ്റ സെറ്റിനുമുള്ള പ്രതിനിധി സംഖ്യയാണ്, കാരണം അതിന് ചുറ്റുമാണ് ഇനങ്ങൾ കൂട്ടമായി കാണപ്പെടുന്ന പ്രവണത.

കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ശരാശരികൾ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. മാധ്യം, മധ്യമം, ബഹുതമാവർത്തിതം എന്നിങ്ങനെ നിരവധി കേന്ദ്രീയ പ്രവണത അളവുകൾ ഉണ്ട്.

മാധ്യം

എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേർത്ത് നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് മാധ്യം ലഭിക്കുന്ന മൂല്യം.

മധ്യമം

ക്രമീകരിച്ച ശ്രേണിയെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന റാങ്കിന്റെ മൂല്യമാണ് മധ്യമം. ഇത് യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്. ഡാറ്റ ആരോഹണ ക്രമത്തിലോ അവരോഹണ ക്രമത്തിലോ ക്രമീകരിച്ച്, തുടർന്ന് മധ്യ റാങ്ക് സംഖ്യയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് മധ്യമം കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത്. ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിൽ, രണ്ട് മധ്യ റാങ്ക് മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരിയാണ് മധ്യമം.

ബഹുതമാവർത്തിതം

ഒരു പ്രത്യേക ബിന്ദുവിലോ മൂല്യത്തിലോ ഉള്ള പരമാവധി സംഭവങ്ങളോ ആവൃത്തിയോ ആണ് ബഹുതമാവർത്തിതം. ഈ അളവുകളിൽ ഓരോന്നും വ്യത്യസ്ത തരം ഡാറ്റ സെറ്റുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ഒരൊറ്റ പ്രതിനിധി സംഖ്യ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത രീതിയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

മാധ്യം

ഒരു ചരത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങളുടെ ലളിതമായ ഗണിത ശരാശരിയാണ് മാധ്യം. അസമൂഹിതവും സമൂഹിതവുമായ ഡാറ്റയ്ക്ക്, മാധ്യം കണക്കാക്കുന്ന രീതികൾ ആവശ്യമായും വ്യത്യസ്തമാണ്. സമൂഹിതവും അസമൂഹിതവുമായ ഡാറ്റയ്ക്ക്, നേരിട്ടുള്ള അല്ലെങ്കിൽ പരോക്ഷ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം കണക്കാക്കാം.

അസമൂഹിത ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് മാധ്യം കണക്കാക്കൽ

നേരിട്ടുള്ള രീതി

അസമൂഹിത ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിന്റെയും മൂല്യങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയെ മൊത്തം സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നത്:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum x}{\mathrm{~N}} $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ \sum \quad & \text { Sum of a series of } \ & \text { measures } \end{aligned} $$

$x \quad=$ ഒരു ശ്രേണിയിലെ അളവുകളുടെ ഒരു അസംസ്കൃത സ്കോർ

$\sum \mathrm{x}=$ എല്ലാ അളവുകളുടെയും ആകെത്തുക

$\mathrm{N} \quad$ = അളവുകളുടെ എണ്ണം

ഉദാഹരണം 2.1 : പട്ടിക 2.1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തെ ജില്ലകളുടെ മഴവെള്ളത്തിൽ നിന്ന് മധ്യപ്രദേശിലെ മാൽവ പീഠഭൂമിയുടെ ശരാശരി മഴ കണക്കാക്കുക:

$\hspace{1cm}$ പട്ടിക 2.1 : ശരാശരി മഴ കണക്കാക്കൽ

• ഇവിടെ 800 എന്നത് അനുമാനിച്ച മാധ്യമാണ്.
  $\mathrm{d}$ അനുമാനിച്ച മാധ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനമാണ്.

പട്ടിക 2.1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള മാധ്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum x}{N} \ & =\frac{6,484}{7} \ & =926.29 \end{aligned} $$

മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നത്, അസംസ്കൃത മഴ ഡാറ്റ നേരിട്ട് കൂട്ടിച്ചേർത്ത്, ആകെത്തുക നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം അതായത്, ജില്ലകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു എന്നതാണ്. അതിനാൽ, ഇത് നേരിട്ടുള്ള രീതി എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

പരോക്ഷ രീതി

വലിയ എണ്ണം നിരീക്ഷണങ്ങൾക്ക്, സാധാരണയായി മാധ്യം കണക്കാക്കാൻ പരോക്ഷ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യം കുറച്ചുകൊണ്ട് നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ചെറിയ സംഖ്യകളായി കുറയ്ക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പട്ടിക 2.1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, മഴ മൂല്യങ്ങൾ 800 നും $1100 \mathrm{~mm}$ നും ഇടയിലാണ്. ‘അനുമാനിച്ച മാധ്യം’ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഓരോ മൂല്യത്തിൽ നിന്നും ആ സംഖ്യ കുറച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഈ മൂല്യങ്ങൾ കുറയ്ക്കാം. ഇപ്പോഴത്തെ കേസിൽ, നമ്മൾ 800 അനുമാനിച്ച മാധ്യമായി എടുത്തിരിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തെ കോഡിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ കുറഞ്ഞ സംഖ്യകളിൽ നിന്നാണ് (പട്ടിക 2.1-ന്റെ കോളം 3) മാധ്യം പിന്നീട് കണക്കാക്കുന്നത്.

പരോക്ഷ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം കണക്കാക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

$$ \overline{\mathrm{X}}=A+\frac{\sum d}{N} $$

ഇവിടെ,

$$ \begin{aligned} A & =\text { Subtracted constant } \ \sum d & =\text { Sum of the coded scores } \ N & =\text { Number of individual observations in a series } \end{aligned} $$

പട്ടിക 2.1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള മാധ്യം പരോക്ഷ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കാം:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =800+\frac{884}{7} \ & =800+\frac{884}{7} \ \overline{\mathrm{X}} & =926.29 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

രണ്ട് രീതികളിലൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമ്പോൾ മാധ്യ മൂല്യം ഒന്നുതന്നെ വരുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സമൂഹിത ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് മാധ്യം കണക്കാക്കൽ

നേരിട്ടുള്ള അല്ലെങ്കിൽ പരോക്ഷ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്കും മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നു.

നേരിട്ടുള്ള രീതി

സ്കോറുകൾ ഒരു ആവൃത്തി വിതരണത്തിൽ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുമ്പോൾ, വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ അവയുടെ തനത് സ്വഭാവം നഷ്ടപ്പെടുത്തുന്നു. അവ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ക്ലാസ് ${ }^{\circ}$ ഇടവേളകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ് ഈ മൂല്യങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്. നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമൂഹിത ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് മാധ്യം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ക്ലാസ് ഇടവേളയുടെയും മധ്യബിന്ദു അതിന്റെ അനുബന്ധ ആവൃത്തിയുമായി $(f)$ ഗുണിക്കുന്നു; $f x$ ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ($\mathrm{X}$ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്) $\sum f x$ ലഭിക്കാൻ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും അവസാനം നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം അതായത് $\mathrm{N}$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നത്:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum f x}{N} $$

ഇവിടെ:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\text { Mean } \ f & =\text { Frequencies } \ x & =\text { Midpoints of class intervals } \ N & \left.=\text { Number of observations (it may also be defined as } \sum f\right) \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 2.2 : പട്ടിക 2.2-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് ഫാക്ടറി തൊഴിലാളികളുടെ ശരാശരി കൂലി നിരക്ക് കണക്കാക്കുക:

പട്ടിക 2.2 : ഫാക്ടറി തൊഴിലാളികളുടെ കൂലി നിരക്ക്

പട്ടിക 2.3 : മാധ്യം കണക്കാക്കൽ

ഇവിടെ $\mathrm{N}=\sum f=99$

പട്ടിക 2.3 സമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം നൽകുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന ആവൃത്തി വിതരണത്തിൽ, തൊണ്ണൂറ്റി ഒൻപത് തൊഴിലാളികളെ കൂലി നിരക്കുകളുടെ അഞ്ച് ക്ലാസുകളായി ഗ്രൂപ്പുചെയ്തിരിക്കുന്നു. ഈ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ മൂന്നാമത്തെ കോളത്തിൽ പട്ടികയിലാക്കിയിരിക്കുന്നു. മാധ്യം കണ്ടെത്താൻ, ഓരോ മധ്യബിന്ദു $(\mathrm{X})$ ആവൃത്തി $(f)$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയുടെ ആകെത്തുക ($\sum f_{x}$) $N$ കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കാം:

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\sum f x}{N} \ & =\frac{10,160}{99} \ & =102.6 \end{aligned} $$

പരോക്ഷ രീതി

സമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള പരോക്ഷ രീതിക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ തത്വങ്ങൾ അസമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പരോക്ഷ രീതിയുടേതിന് സമാനമാണ്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

$$ \bar{x}=A \pm \frac{\sum f d}{N} $$

ഇവിടെ,

= അനുമാനിച്ച മാധ്യ ഗ്രൂപ്പിന്റെ മധ്യബിന്ദു (പട്ടിക 2.3-ൽ അനുമാനിച്ച മാധ്യ ഗ്രൂപ്പ് 90 – 110 ആണ്, 100 ആണ് മധ്യബിന്ദു.) f = ആവൃത്തി d = അനുമാനിച്ച മാധ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം (A) N = കേസുകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ∑ f i = ഇടവേള വീതി (ഈ കേസിൽ, അത് 20 ആണ്)

പട്ടിക 2.3-ൽ നിന്ന്, നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും:

(i) 90 - 110 എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ മാധ്യം അനുമാനിച്ചിരിക്കുന്നു. ശ്രേണിയുടെ മധ്യഭാഗത്തിന് സാധ്യമായത്ര അടുത്തുള്ള ക്ലാസിൽ നിന്ന് ഇത് അനുമാനിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ഈ നടപടിക്രമം കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ വ്യാപ്തി കുറയ്ക്കുന്നു. പട്ടിക 2.3-ൽ, A (അനുമാനിച്ച മാധ്യം) 100 ആണ്, ക്ലാസ് $90-110$ ന്റെ മധ്യബിന്ദു.

(ii) അഞ്ചാമത്തെ കോളം (u) അനുമാനിച്ച മാധ്യ ഗ്രൂപ്പിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് $(90-110)$ ഓരോ ക്ലാസിന്റെയും മധ്യബിന്ദുവിന്റെ വ്യതിയാനങ്ങൾ പട്ടികയിലാക്കുന്നു.

(iii) ആറാമത്തെ കോളം ഓരോ $f$ യെയും അതിന്റെ അനുബന്ധ $d$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് $f d$ നൽകുന്ന മൂല്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, $f d$ ന്റെ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ വെവ്വേറെ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് അവയുടെ കേവല വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നു ($\sum f d$). $\sum f d$ ലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ചിഹ്നം A യെ തുടർന്നുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അവിടെ $\pm$ നൽകിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

പരോക്ഷ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മാധ്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

$$ \begin{aligned} \overline{\boldsymbol{x}} & =\boldsymbol{A} \pm \frac{\sum \boldsymbol{f} \boldsymbol{d}}{\boldsymbol{N}} \ & =100+\frac{260}{99} \ & =100+2.6 \ & =102.6 \end{aligned} $$

കുറിപ്പ് : തുല്യവും അസമവുമായ ക്ലാസ് ഇടവേളകൾക്ക് പരോക്ഷ മാധ്യ രീതി പ്രവർത്തിക്കും.

മധ്യമം

മധ്യമം ഒരു സ്ഥാനാടിസ്ഥാന ശരാശരിയാണ്. “ഒരു വിതരണത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവായി ഇത് നിർവചിക്കപ്പെടാം, അതിന് ഇരുവശത്തും തുല്യ എണ്ണം കേസുകൾ ഉണ്ട്”. മധ്യമം $\mathrm{M}$ എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

അസമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്ക് മധ്യമം കണക്കാക്കൽ

സ്കോറുകൾ അസമൂഹിതമാകുമ്പോൾ, അവ ആരോഹണ ക്രമത്തിലോ അവരോഹണ ക്രമത്തിലോ ക്രമീകരിക്കുന്നു. ക്രമീകരിച്ച ശ്രേണിയിലെ മധ്യ നിരീക്ഷണം അല്ലെങ്കിൽ മൂല്യം കണ്ടെത്തി മധ്യമം കണ്ടെത്താനാകും. ആരോഹണ അല്ലെങ്കിൽ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ച ശ്രേണിയുടെ ഏത് അറ്റത്ത് നിന്നും മധ്യ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും. മധ്യമം കണക്കാക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

$\left(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\right)$ ആം ഇനത്തിന്റെ മൂല്യം

ഉദാഹരണം 2.3: ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉപയോഗിച്ച് ഹിമാലയത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങളിലെ പർവത ശിഖരങ്ങളുടെ മധ്യമ ഉയരം കണക്കാക്കുക:

$8,126 \mathrm{~m}, 8,611 \mathrm{~m}, 7,817 \mathrm{~m}, 8,172 \mathrm{~m}, 8,076 \mathrm{~m}, 8,848 \mathrm{~m}, 8,598 \mathrm{~m}$.

കണക്കുകൂട്ടൽ: മധ്യമം (M) ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാം:

(i) നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റ ആരോഹണ അല്ലെങ്കിൽ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുക.

(ii) ശ്രേണിയിലെ മധ്യ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക. അങ്ങനെ:

($\frac{\mathrm{N}+1}{2}$) ആം ഇനത്തിന്റെ മൂല്യം

$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$ ആം ഇനം

$=\left(\frac{8}{2}\right)$ ആം ഇനം

ക്രമീകരിച്ച ശ്രേണിയിലെ 4-ആം ഇനം മധ്യമമായിരിക്കും.

ഡാറ്റ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുക -

7,$817 ; 8,076 ; 8,126 ; 8,172 ; 8,598 ; 8,611 ; 8,848$

അതിനാൽ,

4-ആം ഇനം

$$ \mathrm{M}=8,172 \mathrm{~m} $$

സമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്ക് മധ്യമം കണക്കാക്കൽ

സ്കോറുകൾ സമൂഹിതമാകുമ്പോൾ, ഒരു വ്യക്തി അല്ലെങ്കിൽ നിരീക്ഷണം ഗ്രൂപ്പിൽ കേന്ദ്രീകൃതമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ മൂല്യം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

$$ M=\boldsymbol{l}+\frac{\boldsymbol{i}}{\boldsymbol{f}}\left(\frac{\boldsymbol{N}}{2}-\boldsymbol{c}\right) $$

ഇവിടെ,

M = സമൂഹിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള മധ്യമം
l = മധ്യമ ക്ലാസിന്റെ താഴ്ന്ന പരിധി
i = ഇടവേള
f = മധ്യമ ക്ലാസിന്റെ ആവൃത്തി
N = ആവൃത്തികളുടെ മൊത്തം എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം
c = മധ്യമ-മുൻ ക്ലാസിന്റെ സഞ്ചിത ആവൃത്തി.

ഉദാഹരണം 2.4 : ഇനിപ്പറയുന്ന വിതരണത്തിന് മധ്യമം കണക്കാക്കുക:

പട്ടിക 2.4 : മധ്യമം കണക്കാക്കൽ

| ക്ലാസ് | ആവൃത്തി
(f) | സഞ്ചിത
ആവൃത്തി (iv) | മധ്യമ ക്ലാസ്
കണക്ക